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11. 新角度如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点B在x轴负半轴上，△AOB是边长为2的等边三角形，将△AOB以原点为中心作中心对称图形，得到△A'OB'，则点A'的坐标是
(1,-√3)
。答案
11.(1,-√3)
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步先求出点A的坐标，已知△AOB是边长为2的等边三角形，结合平面直角坐标系的位置特征，利用等边三角形三线合一和勾股定理即可算出A点坐标；第二步根据中心对称的性质，关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，代入A点坐标就能得到A'的坐标。
【解析】
解：过点A作AC⊥x轴于点C，
∵△AOB是边长为2的等边三角形，点B在x轴负半轴上，
∴OB=OA=2，OC=½OB=1（等边三角形三线合一），
在Rt△AOC中，由勾股定理得：$AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∵点A在第二象限，
∴点A的坐标为$(-1,\sqrt{3})$。
∵△A'OB'与△AOB关于原点中心对称，
∴点A'与点A关于原点对称，关于原点对称的点横、纵坐标均为原坐标的相反数，
∴点A'的坐标为$(1,-\sqrt{3})$。
【答案】
$(1,-\sqrt{3})$
【知识点】
等边三角形的性质；关于原点对称的点的坐标；勾股定理
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查等边三角形的性质和原点对称的坐标变化规律，解题的核心是先准确求出原图形对应点的坐标，再套用对称坐标规律计算即可。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：第一步先求出点A的坐标，已知△AOB是边长为2的等边三角形，结合平面直角坐标系的位置特征，利用等边三角形三线合一和勾股定理即可算出A点坐标；第二步根据中心对称的性质，关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，代入A点坐标就能得到A'的坐标。
【解析】
解：过点A作AC⊥x轴于点C，
∵△AOB是边长为2的等边三角形，点B在x轴负半轴上，
∴OB=OA=2，OC=½OB=1（等边三角形三线合一），
在Rt△AOC中，由勾股定理得：$AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∵点A在第二象限，
∴点A的坐标为$(-1,\sqrt{3})$。
∵△A'OB'与△AOB关于原点中心对称，
∴点A'与点A关于原点对称，关于原点对称的点横、纵坐标均为原坐标的相反数，
∴点A'的坐标为$(1,-\sqrt{3})$。
【答案】
$(1,-\sqrt{3})$
【知识点】
等边三角形的性质；关于原点对称的点的坐标；勾股定理
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查等边三角形的性质和原点对称的坐标变化规律，解题的核心是先准确求出原图形对应点的坐标，再套用对称坐标规律计算即可。
【难度系数】
0.8
12.在平面直角坐标系中，$△ ABC$的位置如图所示，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形.
(1)若$△ ABC$和$△ A_1B_1C_1$关于原点$O$成中心对称，画出$△ A_1B_1C_1$；
(2)将$△ ABC$绕着点$A$顺时针旋转$90°$，画出旋转后得到的$△ AB_2C_2$；
(3)求$△ A_1B_1C_1$的面积.
(1)若$△ ABC$和$△ A_1B_1C_1$关于原点$O$成中心对称，画出$△ A_1B_1C_1$；
(2)将$△ ABC$绕着点$A$顺时针旋转$90°$，画出旋转后得到的$△ AB_2C_2$；
(3)求$△ A_1B_1C_1$的面积.
答案
12.解: (1)略.(2)略.(3)6.
解析
【分析】
(1) 关于原点成中心对称的点的坐标特征为横、纵坐标均互为相反数，先确定△ABC三个顶点的坐标，再求出对应对称点A₁、B₁、C₁的坐标，依次连接各点即可画出△A₁B₁C₁；
(2) 作旋转后图形时，先明确旋转中心为点A、旋转方向为顺时针、旋转角度90°，分别找到点B、C绕点A顺时针旋转90°后的对应点B₂、C₂，依次连接A、B₂、C₂即可得到△AB₂C₂；
(3) 中心对称的两个图形全等，面积相等，因此只需计算△ABC的面积即可得到△A₁B₁C₁的面积，利用三角形面积公式计算即可。
【解析】
由图可得△ABC各顶点坐标：$A(1,1)$，$B(4,4)$，$C(5,1)$。
(1) 根据关于原点对称的点的坐标规律：点$(x,y)$关于原点对称的点为$(-x,-y)$，可得$A_1(-1,-1)$，$B_1(-4,-4)$，$C_1(-5,-1)$，在坐标系中描出三点后依次连接，即得△A₁B₁C₁（画图略）；
(2) 求点B、C绕点A顺时针旋转90°的对应点：
点B相对点A的坐标为$(4-1,4-1)=(3,3)$，顺时针旋转90°后相对坐标为$(3,-3)$，对应$B_2$坐标为$(1+3,1-3)=(4,-2)$；
点C相对点A的坐标为$(5-1,1-1)=(4,0)$，顺时针旋转90°后相对坐标为$(0,-4)$，对应$C_2$坐标为$(1+0,1-4)=(1,-3)$；
描出$B_2$、$C_2$后依次连接$A、B_2、C_2$，即得△AB₂C₂（画图略）；
(3)
∵△ABC和△A₁B₁C₁关于原点成中心对称，
∴$S_{△ A_1B_1C_1}=S_{△ ABC}$。
△ABC中，AC边长为$5-1=4$，AC边上的高为$4-1=3$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×3=6$，即$S_{△ A_1B_1C_1}=6$。
【答案】
(1) 略；(2) 略；(3) $\boxed{6}$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标，图形的旋转，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了中心对称作图、旋转作图及面积计算，掌握中心对称和旋转的坐标变换规律是解题的关键，计算面积时利用全等图形面积相等的性质可简化运算。
【难度系数】
0.75
(1) 关于原点成中心对称的点的坐标特征为横、纵坐标均互为相反数，先确定△ABC三个顶点的坐标，再求出对应对称点A₁、B₁、C₁的坐标，依次连接各点即可画出△A₁B₁C₁；
(2) 作旋转后图形时，先明确旋转中心为点A、旋转方向为顺时针、旋转角度90°，分别找到点B、C绕点A顺时针旋转90°后的对应点B₂、C₂，依次连接A、B₂、C₂即可得到△AB₂C₂；
(3) 中心对称的两个图形全等，面积相等，因此只需计算△ABC的面积即可得到△A₁B₁C₁的面积，利用三角形面积公式计算即可。
【解析】
由图可得△ABC各顶点坐标：$A(1,1)$，$B(4,4)$，$C(5,1)$。
(1) 根据关于原点对称的点的坐标规律：点$(x,y)$关于原点对称的点为$(-x,-y)$，可得$A_1(-1,-1)$，$B_1(-4,-4)$，$C_1(-5,-1)$，在坐标系中描出三点后依次连接，即得△A₁B₁C₁（画图略）；
(2) 求点B、C绕点A顺时针旋转90°的对应点：
点B相对点A的坐标为$(4-1,4-1)=(3,3)$，顺时针旋转90°后相对坐标为$(3,-3)$，对应$B_2$坐标为$(1+3,1-3)=(4,-2)$；
点C相对点A的坐标为$(5-1,1-1)=(4,0)$，顺时针旋转90°后相对坐标为$(0,-4)$，对应$C_2$坐标为$(1+0,1-4)=(1,-3)$；
描出$B_2$、$C_2$后依次连接$A、B_2、C_2$，即得△AB₂C₂（画图略）；
(3)
∵△ABC和△A₁B₁C₁关于原点成中心对称，
∴$S_{△ A_1B_1C_1}=S_{△ ABC}$。
△ABC中，AC边长为$5-1=4$，AC边上的高为$4-1=3$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×3=6$，即$S_{△ A_1B_1C_1}=6$。
【答案】
(1) 略；(2) 略；(3) $\boxed{6}$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标，图形的旋转，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了中心对称作图、旋转作图及面积计算，掌握中心对称和旋转的坐标变换规律是解题的关键，计算面积时利用全等图形面积相等的性质可简化运算。
【难度系数】
0.75
1. 如图，将$△ ABC$绕点$B(1,0)$旋转$180°$得到$△ A'BC'$，点A的坐标为$(m,n)$，则点$A'$的坐标为（
A.$(-m-4,-n)$
B.$(-m+2,-n)$
C.$(-m-2,-n)$
D.$(-m+4,-n)$
B
）A.$(-m-4,-n)$
B.$(-m+2,-n)$
C.$(-m-2,-n)$
D.$(-m+4,-n)$
答案
1.B
解析
【分析】
将三角形绕点B旋转180°，说明△ABC和△A'BC'关于点B中心对称，根据中心对称的性质，点B是线段AA'的中点，已知中点B的坐标和点A的坐标，即可通过中点坐标公式求出点A'的坐标。
【解析】
设点A'的坐标为$(x,y)$。
因为$△ABC$绕点$B(1,0)$旋转$180°$得到$△A'BC'$，所以点$B$是线段$AA'$的中点。
根据中点坐标公式：若两点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$的中点坐标为$(x_0,y_0)$，则$x_0=\frac{x_1+x_2}{2}$，$y_0=\frac{y_1+y_2}{2}$。
代入已知坐标可得：
横坐标：$\frac{m+x}{2}=1$，解得$x=2-m=-m+2$；
纵坐标：$\frac{n+y}{2}=0$，解得$y=-n$。
因此点$A'$的坐标为$(-m+2,-n)$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；中心对称的性质；中点坐标公式
【点评】
本题考查中心对称与中点坐标公式的结合应用，解题关键是明确旋转180°后旋转中心是对应点连线的中点，属于基础题型，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
将三角形绕点B旋转180°，说明△ABC和△A'BC'关于点B中心对称，根据中心对称的性质，点B是线段AA'的中点，已知中点B的坐标和点A的坐标，即可通过中点坐标公式求出点A'的坐标。
【解析】
设点A'的坐标为$(x,y)$。
因为$△ABC$绕点$B(1,0)$旋转$180°$得到$△A'BC'$，所以点$B$是线段$AA'$的中点。
根据中点坐标公式：若两点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$的中点坐标为$(x_0,y_0)$，则$x_0=\frac{x_1+x_2}{2}$，$y_0=\frac{y_1+y_2}{2}$。
代入已知坐标可得：
横坐标：$\frac{m+x}{2}=1$，解得$x=2-m=-m+2$；
纵坐标：$\frac{n+y}{2}=0$，解得$y=-n$。
因此点$A'$的坐标为$(-m+2,-n)$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；中心对称的性质；中点坐标公式
【点评】
本题考查中心对称与中点坐标公式的结合应用，解题关键是明确旋转180°后旋转中心是对应点连线的中点，属于基础题型，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在平面直角坐标系中，已知点$A(1,0)$，$B(0,2)$，将线段$AB$绕点$A$顺时针旋转$180°$，则点$B$的对应点$B'$的坐标是（
A.$(2,0)$
B.$(2,-1)$
C.$(2,-2)$
D.$(-2,2)$
C
）A.$(2,0)$
B.$(2,-1)$
C.$(2,-2)$
D.$(-2,2)$
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先明确旋转180°的性质：线段绕某点旋转180°后，旋转中心是原线段端点和对应线段端点连线的中点，即点A是点B和点B'的中点。接下来利用中点坐标公式，代入已知点A、B的坐标，即可求出对应点B'的坐标。
【解析】
设点$B'$的坐标为$(x,y)$。
∵线段$AB$绕点$A$顺时针旋转$180°$得到线段$AB'$，
∴点$A$是线段$BB'$的中点。
根据中点坐标公式：若两点$P_1(x_1,y_1)$、$P_2(x_2,y_2)$的中点为$P(x_0,y_0)$，则$x_0=\frac{x_1+x_2}{2}$，$y_0=\frac{y_1+y_2}{2}$。
已知$A(1,0)$，$B(0,2)$，代入得：
$\begin{cases}1=\frac{0+x}{2}\\0=\frac{2+y}{2}\end{cases}$
解得：$\begin{cases}x=2\\y=-2\end{cases}$
∴点$B'$的坐标为$(2,-2)$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 旋转的性质
2. 中点坐标公式
3. 中心对称的特征
【点评】
本题是基础题型，解题的关键是理解旋转180°的本质是中心对称，旋转中心为对应点连线的中点，结合中点坐标公式即可快速求解对应点的坐标。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确旋转180°的性质：线段绕某点旋转180°后，旋转中心是原线段端点和对应线段端点连线的中点，即点A是点B和点B'的中点。接下来利用中点坐标公式，代入已知点A、B的坐标，即可求出对应点B'的坐标。
【解析】
设点$B'$的坐标为$(x,y)$。
∵线段$AB$绕点$A$顺时针旋转$180°$得到线段$AB'$，
∴点$A$是线段$BB'$的中点。
根据中点坐标公式：若两点$P_1(x_1,y_1)$、$P_2(x_2,y_2)$的中点为$P(x_0,y_0)$，则$x_0=\frac{x_1+x_2}{2}$，$y_0=\frac{y_1+y_2}{2}$。
已知$A(1,0)$，$B(0,2)$，代入得：
$\begin{cases}1=\frac{0+x}{2}\\0=\frac{2+y}{2}\end{cases}$
解得：$\begin{cases}x=2\\y=-2\end{cases}$
∴点$B'$的坐标为$(2,-2)$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 旋转的性质
2. 中点坐标公式
3. 中心对称的特征
【点评】
本题是基础题型，解题的关键是理解旋转180°的本质是中心对称，旋转中心为对应点连线的中点，结合中点坐标公式即可快速求解对应点的坐标。
【难度系数】
0.7
3.在平面直角坐标系中，已知$A(2,3),B(0,1),C(3,1)$，若线段$AC$与$BD$互相平分，则点$D$的坐标为________.
答案
3.(5,3)
解析
【分析】
本题可根据线段互相平分的性质推导解题思路：若两条线段互相平分，则它们的中点完全重合。因此我们可以先计算出线段AC的中点坐标，再利用BD的中点与AC的中点相同，结合中点坐标公式列方程求出点D的坐标。
【解析】
设点D的坐标为$(x,y)$。
1. 求线段AC的中点坐标：
已知$A(2,3)$，$C(3,1)$，根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则其中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，可得AC的中点横坐标为$\frac{2+3}{2}=\frac{5}{2}$，纵坐标为$\frac{3+1}{2}=2$，即AC的中点为$(\frac{5}{2},2)$。
2. 利用中点重合列方程求解：
因为线段AC与BD互相平分，所以BD的中点与AC的中点重合。已知$B(0,1)$，则BD的中点坐标为$(\frac{0+x}{2},\frac{1+y}{2})$，可得方程组：
$\begin{cases}\frac{0+x}{2}=\frac{5}{2}\\\frac{1+y}{2}=2\end{cases}$
解得：$\begin{cases}x=5\\y=3\end{cases}$
【答案】
$(5,3)$
【知识点】
1. 中点坐标公式 2. 线段互相平分的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是抓住“互相平分的线段中点重合”这一关键性质，结合中点坐标公式即可快速求出未知点的坐标，计算时注意坐标运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8
本题可根据线段互相平分的性质推导解题思路：若两条线段互相平分，则它们的中点完全重合。因此我们可以先计算出线段AC的中点坐标，再利用BD的中点与AC的中点相同，结合中点坐标公式列方程求出点D的坐标。
【解析】
设点D的坐标为$(x,y)$。
1. 求线段AC的中点坐标：
已知$A(2,3)$，$C(3,1)$，根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则其中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，可得AC的中点横坐标为$\frac{2+3}{2}=\frac{5}{2}$，纵坐标为$\frac{3+1}{2}=2$，即AC的中点为$(\frac{5}{2},2)$。
2. 利用中点重合列方程求解：
因为线段AC与BD互相平分，所以BD的中点与AC的中点重合。已知$B(0,1)$，则BD的中点坐标为$(\frac{0+x}{2},\frac{1+y}{2})$，可得方程组：
$\begin{cases}\frac{0+x}{2}=\frac{5}{2}\\\frac{1+y}{2}=2\end{cases}$
解得：$\begin{cases}x=5\\y=3\end{cases}$
【答案】
$(5,3)$
【知识点】
1. 中点坐标公式 2. 线段互相平分的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是抓住“互相平分的线段中点重合”这一关键性质，结合中点坐标公式即可快速求出未知点的坐标，计算时注意坐标运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8
