登录
1. 暑假期间,王老师一家自驾游去了离家 170 km的黄山,下面是他们离家的距离 y km与汽车行驶的时间 x h之间的函数图象,他们出发2 h时,离目的地还有 (
A.40 km
B.60 km
C.110 km
D.130 km
A
)A.40 km
B.60 km
C.110 km
D.130 km
答案
1.A
解析
【分析】
要解决这个问题，首先从函数图象读取已知信息：行驶1.5h时离家90km，行驶2.5h时到达离家170km的目的地。可以先计算1.5h到2.5h阶段的行驶速度，再求出发2h时离家的距离，最后用总路程减去该距离即可得到离目的地的距离；也可以先求出1.5~2.5h阶段的一次函数解析式，代入x=2求出对应y值再计算差值。
【解析】
方法一：
1. 计算1.5h到2.5h的行驶速度：
这段时长为 $2.5 - 1.5 = 1\ \mathrm{h}$，行驶路程为 $170 - 90 = 80\ \mathrm{km}$，因此速度 $v = 80 ÷ 1 = 80\ \mathrm{km/h}$。
2. 计算出发2h时离家的距离：
2h比1.5h多行驶了 $2 - 1.5 = 0.5\ \mathrm{h}$，这段时间行驶的路程为 $80 × 0.5 = 40\ \mathrm{km}$，因此2h时离家距离为 $90 + 40 = 130\ \mathrm{km}$。
3. 计算离目的地的距离：
总路程为170km，因此离目的地还有 $170 - 130 = 40\ \mathrm{km}$。
方法二（求一次函数解析式）：
设当 $1.5 ≤ x ≤ 2.5$ 时，函数解析式为 $y = kx + b$，将点 $(1.5,90)$、$(2.5,170)$ 代入得：
$\begin{cases}1.5k + b = 90 \\2.5k + b = 170\end{cases}$
两式相减得 $k=80$，代入第一个式子解得 $b=-30$，因此解析式为 $y=80x - 30$。
当 $x=2$ 时，$y=80 × 2 - 30 = 130$，因此离目的地的距离为 $170 - 130 = 40\ \mathrm{km}$。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的应用，函数图像识图，行程问题计算
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的实际应用，解题核心是正确提取图像中坐标点的含义，结合路程、速度、时间的关系或一次函数的性质求解，是一次函数应用的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先从函数图象读取已知信息：行驶1.5h时离家90km，行驶2.5h时到达离家170km的目的地。可以先计算1.5h到2.5h阶段的行驶速度，再求出发2h时离家的距离，最后用总路程减去该距离即可得到离目的地的距离；也可以先求出1.5~2.5h阶段的一次函数解析式，代入x=2求出对应y值再计算差值。
【解析】
方法一：
1. 计算1.5h到2.5h的行驶速度：
这段时长为 $2.5 - 1.5 = 1\ \mathrm{h}$，行驶路程为 $170 - 90 = 80\ \mathrm{km}$，因此速度 $v = 80 ÷ 1 = 80\ \mathrm{km/h}$。
2. 计算出发2h时离家的距离：
2h比1.5h多行驶了 $2 - 1.5 = 0.5\ \mathrm{h}$，这段时间行驶的路程为 $80 × 0.5 = 40\ \mathrm{km}$，因此2h时离家距离为 $90 + 40 = 130\ \mathrm{km}$。
3. 计算离目的地的距离：
总路程为170km，因此离目的地还有 $170 - 130 = 40\ \mathrm{km}$。
方法二（求一次函数解析式）：
设当 $1.5 ≤ x ≤ 2.5$ 时，函数解析式为 $y = kx + b$，将点 $(1.5,90)$、$(2.5,170)$ 代入得：
$\begin{cases}1.5k + b = 90 \\2.5k + b = 170\end{cases}$
两式相减得 $k=80$，代入第一个式子解得 $b=-30$，因此解析式为 $y=80x - 30$。
当 $x=2$ 时，$y=80 × 2 - 30 = 130$，因此离目的地的距离为 $170 - 130 = 40\ \mathrm{km}$。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的应用，函数图像识图，行程问题计算
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的实际应用，解题核心是正确提取图像中坐标点的含义，结合路程、速度、时间的关系或一次函数的性质求解，是一次函数应用的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 某数学兴趣小组要印刷一批学习资料，印刷数量超过200份时，超过部分的印刷费按九折收费，费用$ y $元与份数$ x $份的关系如图所示.下列结论错误的是（
A.当印刷200份时，印刷费用为100元
B.当印刷份数少于200份时，每份资料0.5元
C.当印刷400份时，每份资料0.45元
D.$ a $的值为190
C
）A.当印刷200份时，印刷费用为100元
B.当印刷份数少于200份时，每份资料0.5元
C.当印刷400份时，每份资料0.45元
D.$ a $的值为190
答案
2.C
解析
【分析】
首先观察函数图像，明确x代表印刷份数，y代表印刷总费用，收费规则分两段：①印刷份数≤200份时，费用与份数成正比例关系；②印刷份数＞200份时，前200份按原价收费，超过部分打九折。先计算两段的单价，再逐个验证四个选项的正误即可。
【解析】
逐一分析各选项：
1. 选项A：由图像可得，当印刷份数$x=200$时，对应费用$y=100$元，即印刷200份时印刷费用为100元，结论正确，不符合题意。
2. 选项B：印刷份数少于200份时，每份资料单价为$100÷200=0.5$元，结论正确，不符合题意。
3. 选项C：印刷400份时，前200份费用为100元，超过200份的部分为$400-200=200$份，超过部分单价为$0.5×0.9=0.45$元，总费用为$100+200×0.45=190$元，平均每份费用为$190÷400=0.475$元，并非0.45元，结论错误，符合题意。
4. 选项D：由选项C的计算可知，印刷400份总费用为190元，即$a=190$，结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的应用；分段函数；打折销售计算
【点评】
本题考查分段函数在实际收费问题中的应用，解题的关键是明确收费规则：仅超过200份的部分享受九折优惠，不要误将全部份数按打折后的单价计算。
【难度系数】
0.7
首先观察函数图像，明确x代表印刷份数，y代表印刷总费用，收费规则分两段：①印刷份数≤200份时，费用与份数成正比例关系；②印刷份数＞200份时，前200份按原价收费，超过部分打九折。先计算两段的单价，再逐个验证四个选项的正误即可。
【解析】
逐一分析各选项：
1. 选项A：由图像可得，当印刷份数$x=200$时，对应费用$y=100$元，即印刷200份时印刷费用为100元，结论正确，不符合题意。
2. 选项B：印刷份数少于200份时，每份资料单价为$100÷200=0.5$元，结论正确，不符合题意。
3. 选项C：印刷400份时，前200份费用为100元，超过200份的部分为$400-200=200$份，超过部分单价为$0.5×0.9=0.45$元，总费用为$100+200×0.45=190$元，平均每份费用为$190÷400=0.475$元，并非0.45元，结论错误，符合题意。
4. 选项D：由选项C的计算可知，印刷400份总费用为190元，即$a=190$，结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的应用；分段函数；打折销售计算
【点评】
本题考查分段函数在实际收费问题中的应用，解题的关键是明确收费规则：仅超过200份的部分享受九折优惠，不要误将全部份数按打折后的单价计算。
【难度系数】
0.7
3.[2025·成都中考]小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家(小明家、书店、体育馆依次在同一条直线上)，如图所示的是小明离家的距离与时间的关系.下列说法正确的是
（
A.小明家到体育馆的距离为2 km
B.小明在体育馆锻炼的时间为45 min
C.小明家到书店的距离为1 km
D.小明从书店到家步行的时间为40 min
（
C
）A.小明家到体育馆的距离为2 km
B.小明在体育馆锻炼的时间为45 min
C.小明家到书店的距离为1 km
D.小明从书店到家步行的时间为40 min
答案
3.C
解析
【分析】
解答本题首先要明确函数图像的横、纵坐标含义：横坐标是小明离家的时间，纵坐标是小明离家的距离。其次判断折线各段对应的实际行为：距离随时间上升代表向离家更远的方向行走，距离不变代表在原地停留，距离随时间下降代表向家的方向行走。最后结合各段的时间、距离数据，逐一判断选项正误即可。
【解析】
我们结合图像逐段分析选项：
1. 0~15min：离家距离从0增加到2.5km，说明小明家到体育馆的距离为2.5km，因此A选项错误；
2. 15~45min：离家距离保持2.5km不变，对应小明在体育馆锻炼，锻炼时长为$45-15=30\mathrm{min}$，因此B选项错误；
3. 45~60min：离家距离从2.5km下降到1km，60~80min距离保持1km不变，对应小明到达书店停留，说明小明家到书店的距离为1km，因此C选项正确；
4. 80~100min：离家距离从1km下降到0，对应小明从书店步行回家，步行时长为$100-80=20\mathrm{min}$，因此D选项错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
函数图像识别，分段函数应用，行程问题分析
【点评】
本题结合生活场景考查分段函数的实际应用，解题核心是读懂折线各段对应的实际意义，从图像中提取时间、距离的有效信息即可判断选项，侧重考查对基础图像信息的提取和应用能力。
【难度系数】
0.7
解答本题首先要明确函数图像的横、纵坐标含义：横坐标是小明离家的时间，纵坐标是小明离家的距离。其次判断折线各段对应的实际行为：距离随时间上升代表向离家更远的方向行走，距离不变代表在原地停留，距离随时间下降代表向家的方向行走。最后结合各段的时间、距离数据，逐一判断选项正误即可。
【解析】
我们结合图像逐段分析选项：
1. 0~15min：离家距离从0增加到2.5km，说明小明家到体育馆的距离为2.5km，因此A选项错误；
2. 15~45min：离家距离保持2.5km不变，对应小明在体育馆锻炼，锻炼时长为$45-15=30\mathrm{min}$，因此B选项错误；
3. 45~60min：离家距离从2.5km下降到1km，60~80min距离保持1km不变，对应小明到达书店停留，说明小明家到书店的距离为1km，因此C选项正确；
4. 80~100min：离家距离从1km下降到0，对应小明从书店步行回家，步行时长为$100-80=20\mathrm{min}$，因此D选项错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
函数图像识别，分段函数应用，行程问题分析
【点评】
本题结合生活场景考查分段函数的实际应用，解题核心是读懂折线各段对应的实际意义，从图像中提取时间、距离的有效信息即可判断选项，侧重考查对基础图像信息的提取和应用能力。
【难度系数】
0.7
4. 已知函数 $ y = \begin{cases} -x & (x＜1), \\ 2x - 2 & (x≥1). \end{cases} $ 若 $ y=2 $，则 $ x = \underline{\hspace{5cm}} $
答案
4.-2或2
解析
【分析】
本题是已知分段函数的函数值求自变量的问题，解题时需根据分段函数不同的x取值范围对应的解析式分类讨论：首先分别将y=2代入两个不同区间的函数解析式求出x的取值，再验证求出的x是否符合对应区间的取值要求，符合要求的就是有效解，最后合并所有有效解即可。
【解析】
分两种情况讨论求解：
1. 当$ x ＜ 1 $时，对应函数解析式为$ y=-x $，令$ y=2 $，可得：
$ -x=2 $，解得$ x=-2 $，
验证：$ -2 ＜ 1 $，符合该区间的取值要求，故$ x=-2 $是有效解。
2. 当$ x ≥ 1 $时，对应函数解析式为$ y=2x-2 $，令$ y=2 $，可得：
$ 2x-2=2 $，移项计算得$ 2x=4 $，解得$ x=2 $，
验证：$ 2 ≥ 1 $，符合该区间的取值要求，故$ x=2 $是有效解。
综上，满足条件的x的值为-2或2。
【答案】
-2或2
【知识点】
分段函数求值；解一元一次方程
【点评】
本题考查分段函数的求值应用，解题核心是按分段函数的定义域分类讨论，求出解后要注意验证是否符合对应区间的取值范围，避免出现漏解或增根的问题。
【难度系数】
0.7
本题是已知分段函数的函数值求自变量的问题，解题时需根据分段函数不同的x取值范围对应的解析式分类讨论：首先分别将y=2代入两个不同区间的函数解析式求出x的取值，再验证求出的x是否符合对应区间的取值要求，符合要求的就是有效解，最后合并所有有效解即可。
【解析】
分两种情况讨论求解：
1. 当$ x ＜ 1 $时，对应函数解析式为$ y=-x $，令$ y=2 $，可得：
$ -x=2 $，解得$ x=-2 $，
验证：$ -2 ＜ 1 $，符合该区间的取值要求，故$ x=-2 $是有效解。
2. 当$ x ≥ 1 $时，对应函数解析式为$ y=2x-2 $，令$ y=2 $，可得：
$ 2x-2=2 $，移项计算得$ 2x=4 $，解得$ x=2 $，
验证：$ 2 ≥ 1 $，符合该区间的取值要求，故$ x=2 $是有效解。
综上，满足条件的x的值为-2或2。
【答案】
-2或2
【知识点】
分段函数求值；解一元一次方程
【点评】
本题考查分段函数的求值应用，解题核心是按分段函数的定义域分类讨论，求出解后要注意验证是否符合对应区间的取值范围，避免出现漏解或增根的问题。
【难度系数】
0.7
5. 某水果店购进一批季节水果，20天销售完毕.店主将本次销售情况进行了记录，并根据所记录的数据绘制了如下函数图象，其中日销售量y kg与销售时间x天之间的函数关系如图1所示，销售单价p元与销售时间x天之间的函数关系如图2所示.
(1)由图1可知，第8天日销售量为
(2)求第8天和第16天的销售额.
(3)若日销售量不低于24 kg的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中，“最佳销售期”共有多少天？在此期间，销售单价最高为多少？
(1)由图1可知，第8天日销售量为
16
kg，第16天日销售量为24
kg.(2)求第8天和第16天的销售额.
(3)若日销售量不低于24 kg的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中，“最佳销售期”共有多少天？在此期间，销售单价最高为多少？
答案
5.(1)16;24
(2)由题图2可得,第8天的销售单价为10元,
则第8天的销售额为10×16=160(元).
当10≤x≤20时,易得p与x之间的函数表达式为p=-0.2x+12,
当x=16时,p=-0.2×16+12=8.8,
所以第16天的销售额为8.8×24=211.2(元).
(3)当0≤x≤15时,y=2x≥24,解得x≥12;
当15＜x≤20时,y=-6x+120≥24,解得x≤16.
综上所述,x的取值范围为12≤x≤16,
所以“最佳销售期”共有16-12+1=5(天).
因为-0.2＜0,所以p随x的增大而减小,
所以当x=12时,p取得最大值,此时p=9.6.
答:此次销售过程中,“最佳销售期”共有5天,在此期间销售单价最高为9.6元/kg.
(2)由题图2可得,第8天的销售单价为10元,
则第8天的销售额为10×16=160(元).
当10≤x≤20时,易得p与x之间的函数表达式为p=-0.2x+12,
当x=16时,p=-0.2×16+12=8.8,
所以第16天的销售额为8.8×24=211.2(元).
(3)当0≤x≤15时,y=2x≥24,解得x≥12;
当15＜x≤20时,y=-6x+120≥24,解得x≤16.
综上所述,x的取值范围为12≤x≤16,
所以“最佳销售期”共有16-12+1=5(天).
因为-0.2＜0,所以p随x的增大而减小,
所以当x=12时,p取得最大值,此时p=9.6.
答:此次销售过程中,“最佳销售期”共有5天,在此期间销售单价最高为9.6元/kg.
解析
【分析】
解题思路如下：①先根据图1的两个分段区间，用待定系数法分别求出日销售量y与x的函数解析式，代入x=8、x=16即可得到对应日销量，解决第(1)问；②再根据图2的分段区间求出销售单价p与x的函数解析式，销售额=日销量×销售单价，代入对应x值即可计算第8、16天的销售额，解决第(2)问；③要找“最佳销售期”，即分别在y的两个分段区间内解y≥24的不等式，合并解集得到x的范围后计算天数，再结合p的函数单调性，在最佳销售期的x范围内求p的最大值即可解决第(3)问。
【解析】
(1) 先求日销售量y的分段函数：
当$0≤x≤15$时，设$y=k_1x$，将$(15,30)$代入得$30=15k_1$，解得$k_1=2$，即$y=2x$；
当$15＜x≤20$时，设$y=k_2x+b$，将$(15,30)$、$(20,0)$代入得：
$\begin{cases}15k_2+b=30 \\20k_2+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_2=-6 \\b=120\end{cases}$，即$y=-6x+120$。
当$x=8$时，$y=2×8=16\ \mathrm{kg}$；当$x=16$时，$y=-6×16+120=24\ \mathrm{kg}$。
(2) 再求销售单价p的分段函数：
当$0≤x≤10$时，$p=10$元；
当$10＜x≤20$时，设$p=mx+n$，将$(10,10)$、$(20,8)$代入得：
$\begin{cases}10m+n=10 \\20m+n=8\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-0.2 \\n=12\end{cases}$，即$p=-0.2x+12$。
第8天：$x=8$属于$0≤x≤10$区间，$p=10$元，销售额$=10×16=160$元；
第16天：$x=16$属于$10＜x≤20$区间，$p=-0.2×16+12=8.8$元，销售额$=8.8×24=211.2$元。
(3) 求“最佳销售期”即$y≥24$的x范围：
①当$0≤x≤15$时，$2x≥24$，解得$x≥12$，故$12≤x≤15$；
②当$15＜x≤20$时，$-6x+120≥24$，解得$x≤16$，故$15＜x≤16$。
合并得x的取值范围为$12≤x≤16$，总天数$=16-12+1=5$天。
在$12≤x≤16$区间内，销售单价$p=-0.2x+12$，
∵$-0.2＜0$，
∴p随x的增大而减小，当x取最小值12时，p最大，最大值为$p=-0.2×12+12=9.6$元/kg。
【答案】
(1) $\boxed{16}$；$\boxed{24}$
(2) 第8天销售额为$\boxed{160}$元，第16天销售额为$\boxed{211.2}$元
(3) “最佳销售期”共有$\boxed{5}$天，在此期间销售单价最高为$\boxed{9.6}$元/kg
【知识点】
一次函数的应用；分段函数；一次函数的性质
【点评】
本题结合生活中的销售场景考查分段一次函数的相关知识，解题时要注意对不同区间的函数分段讨论，计算区间天数时不要遗漏边界点，求最值时结合一次函数的增减性判断即可，整体难度适中，贴合实际应用。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：①先根据图1的两个分段区间，用待定系数法分别求出日销售量y与x的函数解析式，代入x=8、x=16即可得到对应日销量，解决第(1)问；②再根据图2的分段区间求出销售单价p与x的函数解析式，销售额=日销量×销售单价，代入对应x值即可计算第8、16天的销售额，解决第(2)问；③要找“最佳销售期”，即分别在y的两个分段区间内解y≥24的不等式，合并解集得到x的范围后计算天数，再结合p的函数单调性，在最佳销售期的x范围内求p的最大值即可解决第(3)问。
【解析】
(1) 先求日销售量y的分段函数：
当$0≤x≤15$时，设$y=k_1x$，将$(15,30)$代入得$30=15k_1$，解得$k_1=2$，即$y=2x$；
当$15＜x≤20$时，设$y=k_2x+b$，将$(15,30)$、$(20,0)$代入得：
$\begin{cases}15k_2+b=30 \\20k_2+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_2=-6 \\b=120\end{cases}$，即$y=-6x+120$。
当$x=8$时，$y=2×8=16\ \mathrm{kg}$；当$x=16$时，$y=-6×16+120=24\ \mathrm{kg}$。
(2) 再求销售单价p的分段函数：
当$0≤x≤10$时，$p=10$元；
当$10＜x≤20$时，设$p=mx+n$，将$(10,10)$、$(20,8)$代入得：
$\begin{cases}10m+n=10 \\20m+n=8\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-0.2 \\n=12\end{cases}$，即$p=-0.2x+12$。
第8天：$x=8$属于$0≤x≤10$区间，$p=10$元，销售额$=10×16=160$元；
第16天：$x=16$属于$10＜x≤20$区间，$p=-0.2×16+12=8.8$元，销售额$=8.8×24=211.2$元。
(3) 求“最佳销售期”即$y≥24$的x范围：
①当$0≤x≤15$时，$2x≥24$，解得$x≥12$，故$12≤x≤15$；
②当$15＜x≤20$时，$-6x+120≥24$，解得$x≤16$，故$15＜x≤16$。
合并得x的取值范围为$12≤x≤16$，总天数$=16-12+1=5$天。
在$12≤x≤16$区间内，销售单价$p=-0.2x+12$，
∵$-0.2＜0$，
∴p随x的增大而减小，当x取最小值12时，p最大，最大值为$p=-0.2×12+12=9.6$元/kg。
【答案】
(1) $\boxed{16}$；$\boxed{24}$
(2) 第8天销售额为$\boxed{160}$元，第16天销售额为$\boxed{211.2}$元
(3) “最佳销售期”共有$\boxed{5}$天，在此期间销售单价最高为$\boxed{9.6}$元/kg
【知识点】
一次函数的应用；分段函数；一次函数的性质
【点评】
本题结合生活中的销售场景考查分段一次函数的相关知识，解题时要注意对不同区间的函数分段讨论，计算区间天数时不要遗漏边界点，求最值时结合一次函数的增减性判断即可，整体难度适中，贴合实际应用。
【难度系数】
0.7
