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10. [与T1互为孪生题]若$y+1$与$x-2$成正比例，当$x=0$时，$y=1$，则当$x=1$时，$y$的值是（
A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$1$
C
）A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$1$
答案
10.C
解析
【分析】
本题解题思路分为三步：第一步，根据两个量成正比例的定义，设出含有待定系数k的关系式；第二步，将已知的x、y对应值代入关系式，求出待定系数k的值，确定y与x的函数关系；第三步，将x=1代入确定的函数关系式，计算得到对应的y值。
【解析】
∵ y+1与x-2成正比例
∴ 设$y+1 = k(x-2)$（$k≠0$，k为常数）
将$x=0$，$y=1$代入上式，得：
$1+1 = k(0-2)$
即$2 = -2k$，解得$k=-1$
∴ y与x的关系式为：$y+1 = -(x-2)$
将$x=1$代入关系式，得：
$y+1 = -(1-2) = 1$，解得$y=0$
【答案】
C
【知识点】
正比例关系定义，待定系数法，函数值计算
【点评】
本题是正比例关系与待定系数法的基础应用题型，解题核心是准确理解正比例的含义，正确设出含参数的关系式，再代入已知条件求解，这类题型是一次函数部分的常考基础题型，需熟练掌握解题步骤。
【难度系数】
0.8
本题解题思路分为三步：第一步，根据两个量成正比例的定义，设出含有待定系数k的关系式；第二步，将已知的x、y对应值代入关系式，求出待定系数k的值，确定y与x的函数关系；第三步，将x=1代入确定的函数关系式，计算得到对应的y值。
【解析】
∵ y+1与x-2成正比例
∴ 设$y+1 = k(x-2)$（$k≠0$，k为常数）
将$x=0$，$y=1$代入上式，得：
$1+1 = k(0-2)$
即$2 = -2k$，解得$k=-1$
∴ y与x的关系式为：$y+1 = -(x-2)$
将$x=1$代入关系式，得：
$y+1 = -(1-2) = 1$，解得$y=0$
【答案】
C
【知识点】
正比例关系定义，待定系数法，函数值计算
【点评】
本题是正比例关系与待定系数法的基础应用题型，解题核心是准确理解正比例的含义，正确设出含参数的关系式，再代入已知条件求解，这类题型是一次函数部分的常考基础题型，需熟练掌握解题步骤。
【难度系数】
0.8
11.[新课标—数学文化题]象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久.如图是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点$(-2,-1)$的位置，那么在同一平面直角坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的直线对应的一次函数表达式为 （
A.$y=x+1$
B.$y=x-1$
C.$y=2x+1$
D.$y=2x-1$
A
）A.$y=x+1$
B.$y=x-1$
C.$y=2x+1$
D.$y=2x-1$
答案
11.A
解析
【分析】
要得到过“帅”和“马”两点的一次函数表达式，首先需要确定两点的坐标：已知“帅”的坐标为$(-2,-1)$，可根据平面直角坐标系的坐标规则（向右为x轴正方向，向上为y轴正方向，每格代表1个单位长度），确定“马”的坐标；再利用待定系数法，设一次函数一般式$y=kx+b(k≠0)$，将两点坐标代入求解k和b的值，即可得到函数表达式。
【解析】
1. 确定“马”的坐标：
已知“帅”位于$(-2,-1)$，结合棋盘网格，横向向右为x轴正方向，纵向向上为y轴正方向，每格对应1个单位长度，可得出“马”的坐标为$(1,2)$。
2. 用待定系数法求一次函数表达式：
设过点$(-2,-1)$和$(1,2)$的一次函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将两点坐标分别代入得：
$\begin{cases}-2k + b = -1 \\k + b = 2\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得：$3k=3$，解得$k=1$。
将$k=1$代入$k + b = 2$，得：$1 + b = 2$，解得$b=1$。
因此该一次函数表达式为$y=x+1$。
【答案】
A
【知识点】
坐标确定位置；待定系数法；一次函数表达式
【点评】
本题结合中国象棋文化背景，考查了平面直角坐标系中坐标的确定以及待定系数法求一次函数解析式的应用，侧重对基础方法的考查，解题关键是准确确定“马”的坐标。
【难度系数】
0.8
要得到过“帅”和“马”两点的一次函数表达式，首先需要确定两点的坐标：已知“帅”的坐标为$(-2,-1)$，可根据平面直角坐标系的坐标规则（向右为x轴正方向，向上为y轴正方向，每格代表1个单位长度），确定“马”的坐标；再利用待定系数法，设一次函数一般式$y=kx+b(k≠0)$，将两点坐标代入求解k和b的值，即可得到函数表达式。
【解析】
1. 确定“马”的坐标：
已知“帅”位于$(-2,-1)$，结合棋盘网格，横向向右为x轴正方向，纵向向上为y轴正方向，每格对应1个单位长度，可得出“马”的坐标为$(1,2)$。
2. 用待定系数法求一次函数表达式：
设过点$(-2,-1)$和$(1,2)$的一次函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将两点坐标分别代入得：
$\begin{cases}-2k + b = -1 \\k + b = 2\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得：$3k=3$，解得$k=1$。
将$k=1$代入$k + b = 2$，得：$1 + b = 2$，解得$b=1$。
因此该一次函数表达式为$y=x+1$。
【答案】
A
【知识点】
坐标确定位置；待定系数法；一次函数表达式
【点评】
本题结合中国象棋文化背景，考查了平面直角坐标系中坐标的确定以及待定系数法求一次函数解析式的应用，侧重对基础方法的考查，解题关键是准确确定“马”的坐标。
【难度系数】
0.8
12. [2024·淮北期末]如图,在平面直角坐标系中,线段AB的端点为A(1,0),B(5,8).
(1)直线AB的函数表达式为
(2)某同学设计了一个动画:在函数$y=-2x+b$中,输入$b(b＞0)$的值,得到直线CD,其中点C在x轴上,点D在y轴上.当直线CD与线段AB有交点时,直线CD就会发红光,则此时输入的b的取值范围是
(1)直线AB的函数表达式为
$y=2x-2$
.(2)某同学设计了一个动画:在函数$y=-2x+b$中,输入$b(b＞0)$的值,得到直线CD,其中点C在x轴上,点D在y轴上.当直线CD与线段AB有交点时,直线CD就会发红光,则此时输入的b的取值范围是
$2≤ b≤ 18$
.答案
12.(1)$y=2x-2$ (2)$2≤ b≤ 18$
解析
【分析】
(1) 已知直线AB经过两个确定的点，求函数表达式可采用待定系数法：先设一次函数的一般形式，将两点坐标代入得到关于系数的二元一次方程组，解方程组求出系数即可得到表达式。
(2) 直线CD的斜率固定，参数$b$为直线与y轴交点的纵坐标，$b$变化时直线沿竖直方向平移；当直线CD与线段AB有交点时，临界情况为直线刚好经过线段AB的两个端点A、B，将两个端点分别代入直线CD的表达式求出对应的$b$值，即可确定$b$的取值范围，端点处符合题意，可取等号。也可联立两条直线的表达式，结合交点横坐标在线段AB的横坐标范围内求解$b$的范围。
【解析】
(1) 设直线AB的函数表达式为$y=kx+m$（$k≠0$），
将$A(1,0)$、$B(5,8)$代入表达式得：
$\begin{cases} k+m=0 \\ 5k+m=8 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$4k=8$，解得$k=2$，
将$k=2$代入$k+m=0$，得$2+m=0$，解得$m=-2$，
因此直线AB的函数表达式为$y=2x-2$。
(2) 方法一：临界值法
当直线$y=-2x+b$经过点$A(1,0)$时，代入得：
$0=-2×1 + b$，解得$b=2$；
当直线$y=-2x+b$经过点$B(5,8)$时，代入得：
$8=-2×5 + b$，解得$b=18$；
直线CD平移过程中，当$b$在$2$到$18$之间时，直线与线段AB有交点，因此$b$的取值范围是$2≤b≤18$。
方法二：联立方程法
联立直线AB和CD的表达式：$\begin{cases} y=2x-2 \\ y=-2x+b \end{cases}$
消去$y$得：$2x-2=-2x+b$，解得$x=\frac{b+2}{4}$，
因为交点在线段AB上，所以交点的横坐标需满足$1≤x≤5$，
即$1≤\frac{b+2}{4}≤5$，
不等式两边同时乘4得：$4≤b+2≤20$，
两边同时减2得：$2≤b≤18$。
【答案】
(1) $y=2x-2$ (2) $2≤b≤18$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数交点问题；一次函数图象性质
【点评】
本题是一次函数的常规考查题型，第一问侧重基础方法的应用，第二问需要结合图象的平移规律或者交点的取值范围分析参数，解题时需注意线段交点和直线交点的区别，不要遗漏边界值。
【难度系数】
0.7
(1) 已知直线AB经过两个确定的点，求函数表达式可采用待定系数法：先设一次函数的一般形式，将两点坐标代入得到关于系数的二元一次方程组，解方程组求出系数即可得到表达式。
(2) 直线CD的斜率固定，参数$b$为直线与y轴交点的纵坐标，$b$变化时直线沿竖直方向平移；当直线CD与线段AB有交点时，临界情况为直线刚好经过线段AB的两个端点A、B，将两个端点分别代入直线CD的表达式求出对应的$b$值，即可确定$b$的取值范围，端点处符合题意，可取等号。也可联立两条直线的表达式，结合交点横坐标在线段AB的横坐标范围内求解$b$的范围。
【解析】
(1) 设直线AB的函数表达式为$y=kx+m$（$k≠0$），
将$A(1,0)$、$B(5,8)$代入表达式得：
$\begin{cases} k+m=0 \\ 5k+m=8 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$4k=8$，解得$k=2$，
将$k=2$代入$k+m=0$，得$2+m=0$，解得$m=-2$，
因此直线AB的函数表达式为$y=2x-2$。
(2) 方法一：临界值法
当直线$y=-2x+b$经过点$A(1,0)$时，代入得：
$0=-2×1 + b$，解得$b=2$；
当直线$y=-2x+b$经过点$B(5,8)$时，代入得：
$8=-2×5 + b$，解得$b=18$；
直线CD平移过程中，当$b$在$2$到$18$之间时，直线与线段AB有交点，因此$b$的取值范围是$2≤b≤18$。
方法二：联立方程法
联立直线AB和CD的表达式：$\begin{cases} y=2x-2 \\ y=-2x+b \end{cases}$
消去$y$得：$2x-2=-2x+b$，解得$x=\frac{b+2}{4}$，
因为交点在线段AB上，所以交点的横坐标需满足$1≤x≤5$，
即$1≤\frac{b+2}{4}≤5$，
不等式两边同时乘4得：$4≤b+2≤20$，
两边同时减2得：$2≤b≤18$。
【答案】
(1) $y=2x-2$ (2) $2≤b≤18$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数交点问题；一次函数图象性质
【点评】
本题是一次函数的常规考查题型，第一问侧重基础方法的应用，第二问需要结合图象的平移规律或者交点的取值范围分析参数，解题时需注意线段交点和直线交点的区别，不要遗漏边界值。
【难度系数】
0.7
13.[分类讨论思想]已知某一次函数，当$-1≤ x≤2$时，$3≤ y≤6$，求该一次函数的表达式.
答案
13.$y=x+4$或$y=-x+5$
解析
【分析】
一次函数的增减性由k的符号决定：k＞0时y随x增大而增大，k＜0时y随x增大而减小。题目未明确k的正负，因此需要分两种情况分类讨论，结合x、y的取值范围确定对应端点的取值，再用待定系数法代入解析式y=kx+b（k≠0）求解k、b的值，即可得到函数表达式。
【解析】
设该一次函数的表达式为$\boldsymbol{y=kx+b\ (k≠0)}$，分两种情况讨论：
1. 当$k＞0$时，y随x的增大而增大
此时x取最小值-1时y取最小值3，x取最大值2时y取最大值6，代入得方程组：
$\begin{cases} -k+b=3 \\ 2k+b=6 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得$3k=3$，解得$k=1$；将$k=1$代入$-k+b=3$，解得$b=4$，此时函数表达式为$y=x+4$。
2. 当$k＜0$时，y随x的增大而减小
此时x取最小值-1时y取最大值6，x取最大值2时y取最小值3，代入得方程组：
$\begin{cases} -k+b=6 \\ 2k+b=3 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得$3k=-3$，解得$k=-1$；将$k=-1$代入$-k+b=6$，解得$b=5$，此时函数表达式为$y=-x+5$。
【答案】
$y=x+4$或$y=-x+5$
【知识点】
一次函数的性质，待定系数法，分类讨论思想
【点评】
本题核心是结合一次函数的增减性分类讨论，易错点是忽略k＜0的情况，导致漏写其中一个函数表达式，解题时需注意考虑参数的所有可能取值情况。
【难度系数】
0.6
一次函数的增减性由k的符号决定：k＞0时y随x增大而增大，k＜0时y随x增大而减小。题目未明确k的正负，因此需要分两种情况分类讨论，结合x、y的取值范围确定对应端点的取值，再用待定系数法代入解析式y=kx+b（k≠0）求解k、b的值，即可得到函数表达式。
【解析】
设该一次函数的表达式为$\boldsymbol{y=kx+b\ (k≠0)}$，分两种情况讨论：
1. 当$k＞0$时，y随x的增大而增大
此时x取最小值-1时y取最小值3，x取最大值2时y取最大值6，代入得方程组：
$\begin{cases} -k+b=3 \\ 2k+b=6 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得$3k=3$，解得$k=1$；将$k=1$代入$-k+b=3$，解得$b=4$，此时函数表达式为$y=x+4$。
2. 当$k＜0$时，y随x的增大而减小
此时x取最小值-1时y取最大值6，x取最大值2时y取最小值3，代入得方程组：
$\begin{cases} -k+b=6 \\ 2k+b=3 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得$3k=-3$，解得$k=-1$；将$k=-1$代入$-k+b=6$，解得$b=5$，此时函数表达式为$y=-x+5$。
【答案】
$y=x+4$或$y=-x+5$
【知识点】
一次函数的性质，待定系数法，分类讨论思想
【点评】
本题核心是结合一次函数的增减性分类讨论，易错点是忽略k＜0的情况，导致漏写其中一个函数表达式，解题时需注意考虑参数的所有可能取值情况。
【难度系数】
0.6
14.[新课标—综合与实践题]某数学兴趣小组开展了在平面直角坐标系中研究直线平移的探究活动.
答案
14.任务1:$(-7,0)$;$(-5,4)$.
平移后的函数表达式为$y=2x+14$.
任务2:平移后的函数表达式为$y=-3x+13$.
平移后的函数表达式为$y=2x+14$.
任务2:平移后的函数表达式为$y=-3x+13$.
解析
【分析】
任务1解题思路：①先求原一次函数与坐标轴的交点坐标：令函数值y=0，可得与x轴交点A的坐标，令自变量x=0，可得与y轴交点B的坐标；②根据点平移的规律：向左平移时横坐标减平移距离，纵坐标不变，即可得到C、D的坐标；③求平移后的解析式：由于平移不改变一次函数的k值，可设平移后的解析式，代入平移后的点坐标求解，也可直接用一次函数平移“左加右减”的规则计算。
任务2解题思路：①先求出原函数与坐标轴的交点E、F的坐标；②线段向右平移扫过的图形是平行四边形，该平行四边形的底为平移距离m，高为F点到x轴的距离，根据面积列方程求出m的值；③再根据“右减”的平移规则得到平移后的函数表达式。
【解析】
任务1解答：
1. 求点A、B的坐标：
对于一次函数$y=2x+4$，
令$y=0$，得$2x+4=0$，解得$x=-2$，故$A(-2,0)$；
令$x=0$，得$y=4$，故$B(0,4)$。
2. 求平移后C、D的坐标：
图象向左平移5个单位，点的横坐标减5，纵坐标不变：
$C$的坐标为$(-2-5,0)=(-7,0)$，
$D$的坐标为$(0-5,4)=(-5,4)$。
3. 求平移后的函数表达式：
平移不改变直线的斜率k，故平移后函数的$k=2$，设解析式为$y=2x+b$，
将$C(-7,0)$代入得：$0=2×(-7)+b$，解得$b=14$，
故平移后的函数表达式为$y=2x+14$。
任务2解答：
1. 求点E、F的坐标：
对于一次函数$y=-3x+4$，
令$y=0$，得$-3x+4=0$，解得$x=\frac{4}{3}$，故$E(\frac{4}{3},0)$；
令$x=0$，得$y=4$，故$F(0,4)$。
2. 求平移距离m：
线段EF向右平移$m$个单位，扫过的图形是平行四边形，该平行四边形的底为平移距离$m$，高为点F到x轴的距离4，
由面积为12得：$4m=12$，解得$m=3$。
3. 求平移后的函数表达式：
根据“右减”的平移规则，向右平移3个单位后的解析式为：
$y=-3(x-3)+4=-3x+9+4=-3x+13$。
【答案】
任务1：$(-7,0)$；$(-5,4)$，平移后的函数表达式为$y=2x+14$。
任务2：平移后的函数表达式为$y=-3x+13$。
【知识点】
一次函数的平移；一次函数与坐标轴的交点；待定系数法求解析式
【点评】
本题综合考查一次函数的平移性质和几何应用，解题时需熟练掌握点的平移规律和一次函数平移“左加右减”的规则，明确线段平移扫过的图形形状是解决任务2的关键，整体注重基础性质的灵活应用。
【难度系数】
0.7
任务1解题思路：①先求原一次函数与坐标轴的交点坐标：令函数值y=0，可得与x轴交点A的坐标，令自变量x=0，可得与y轴交点B的坐标；②根据点平移的规律：向左平移时横坐标减平移距离，纵坐标不变，即可得到C、D的坐标；③求平移后的解析式：由于平移不改变一次函数的k值，可设平移后的解析式，代入平移后的点坐标求解，也可直接用一次函数平移“左加右减”的规则计算。
任务2解题思路：①先求出原函数与坐标轴的交点E、F的坐标；②线段向右平移扫过的图形是平行四边形，该平行四边形的底为平移距离m，高为F点到x轴的距离，根据面积列方程求出m的值；③再根据“右减”的平移规则得到平移后的函数表达式。
【解析】
任务1解答：
1. 求点A、B的坐标：
对于一次函数$y=2x+4$，
令$y=0$，得$2x+4=0$，解得$x=-2$，故$A(-2,0)$；
令$x=0$，得$y=4$，故$B(0,4)$。
2. 求平移后C、D的坐标：
图象向左平移5个单位，点的横坐标减5，纵坐标不变：
$C$的坐标为$(-2-5,0)=(-7,0)$，
$D$的坐标为$(0-5,4)=(-5,4)$。
3. 求平移后的函数表达式：
平移不改变直线的斜率k，故平移后函数的$k=2$，设解析式为$y=2x+b$，
将$C(-7,0)$代入得：$0=2×(-7)+b$，解得$b=14$，
故平移后的函数表达式为$y=2x+14$。
任务2解答：
1. 求点E、F的坐标：
对于一次函数$y=-3x+4$，
令$y=0$，得$-3x+4=0$，解得$x=\frac{4}{3}$，故$E(\frac{4}{3},0)$；
令$x=0$，得$y=4$，故$F(0,4)$。
2. 求平移距离m：
线段EF向右平移$m$个单位，扫过的图形是平行四边形，该平行四边形的底为平移距离$m$，高为点F到x轴的距离4，
由面积为12得：$4m=12$，解得$m=3$。
3. 求平移后的函数表达式：
根据“右减”的平移规则，向右平移3个单位后的解析式为：
$y=-3(x-3)+4=-3x+9+4=-3x+13$。
【答案】
任务1：$(-7,0)$；$(-5,4)$，平移后的函数表达式为$y=2x+14$。
任务2：平移后的函数表达式为$y=-3x+13$。
【知识点】
一次函数的平移；一次函数与坐标轴的交点；待定系数法求解析式
【点评】
本题综合考查一次函数的平移性质和几何应用，解题时需熟练掌握点的平移规律和一次函数平移“左加右减”的规则，明确线段平移扫过的图形形状是解决任务2的关键，整体注重基础性质的灵活应用。
【难度系数】
0.7
