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1. 新情境 芯片是半导体元件产品的统称，是一种将电路小型化的技术，常置于半导体晶圆表面上. 下列关于芯片的图标中，是轴对称图形的是（
A
）答案
1.A
解析
【分析】
要判断哪个图标是轴对称图形，首先要明确轴对称图形的定义：平面内沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形。解题时只需逐个分析四个选项，判断是否存在满足上述要求的直线即可。
【解析】
根据轴对称图形的定义逐一判断：
1. 选项A：存在过图形中心的竖直直线、水平直线作为对称轴，沿对称轴折叠后，直线两侧的部分能够完全重合，是轴对称图形；
2. 选项B：图标内的“GPU”字样不对称，找不到直线使得折叠后两侧部分完全重合，不是轴对称图形；
3. 选项C：图标内部的线路、左下角的黑色圆点均不对称，找不到符合要求的对称轴，不是轴对称图形；
4. 选项D：图标内的“CPU”字样不对称，找不到直线使得折叠后两侧部分完全重合，不是轴对称图形。
综上，符合要求的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
轴对称图形的识别
【点评】
本题结合芯片的科技新情境考查轴对称图形的判断，难度较低，只要熟练掌握轴对称图形的定义就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要判断哪个图标是轴对称图形，首先要明确轴对称图形的定义：平面内沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形。解题时只需逐个分析四个选项，判断是否存在满足上述要求的直线即可。
【解析】
根据轴对称图形的定义逐一判断：
1. 选项A：存在过图形中心的竖直直线、水平直线作为对称轴，沿对称轴折叠后，直线两侧的部分能够完全重合，是轴对称图形；
2. 选项B：图标内的“GPU”字样不对称，找不到直线使得折叠后两侧部分完全重合，不是轴对称图形；
3. 选项C：图标内部的线路、左下角的黑色圆点均不对称，找不到符合要求的对称轴，不是轴对称图形；
4. 选项D：图标内的“CPU”字样不对称，找不到直线使得折叠后两侧部分完全重合，不是轴对称图形。
综上，符合要求的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
轴对称图形的识别
【点评】
本题结合芯片的科技新情境考查轴对称图形的判断，难度较低，只要熟练掌握轴对称图形的定义就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2.如图，在$△ AEF$中，根据尺规作图的痕迹，下列结论一定正确的是（
A.$AO$平分$∠ EAF$
B.$AO$垂直平分$EF$
C.$GH$垂直平分$EF$
D.$GH$平分$AF$
C
）A.$AO$平分$∠ EAF$
B.$AO$垂直平分$EF$
C.$GH$垂直平分$EF$
D.$GH$平分$AF$
答案
2.C
解析
【分析】
首先观察图中的尺规作图痕迹，识别作图类型：分别以线段EF的两个端点E、F为圆心画弧，过上下两个弧的交点G、H作直线，这是作线段垂直平分线的标准作法。接下来逐一分析选项：角平分线的作图会在角的两边留下弧痕，本题没有相关痕迹，无法判断AO是角平分线；只有当AE=AF时，点A才在EF的垂直平分线上，题目未给出该条件，因此AO不一定垂直平分EF；GH符合线段垂直平分线的作图结果，该结论成立；没有作图依据能证明GH和AF的交点是AF中点，因此GH平分AF不成立。
【解析】
解：根据尺规作图的痕迹可知，该作图是作线段EF的垂直平分线：
分别以E、F为圆心，大于$\frac{1}{2}EF$的长度为半径画弧，两弧交于G、H两点，根据线段垂直平分线的作图原理，直线GH就是线段EF的垂直平分线。
对各选项判断如下：
A. 图中没有作角平分线的作图痕迹，无法推出AO平分$∠ EAF$，故A错误；
B. 题目未给出$AE=AF$的条件，无法证明AO垂直平分EF，故B错误；
C. 由作图原理可知GH垂直平分EF，故C正确；
D. 无相关作图依据证明GH平分AF，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的尺规作图；尺规作图的识别
【点评】
本题考查常见尺规作图的识别，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线、角平分线等常见基本作图的操作痕迹和结论，不要混淆不同作图的特征。
【难度系数】
0.8
首先观察图中的尺规作图痕迹，识别作图类型：分别以线段EF的两个端点E、F为圆心画弧，过上下两个弧的交点G、H作直线，这是作线段垂直平分线的标准作法。接下来逐一分析选项：角平分线的作图会在角的两边留下弧痕，本题没有相关痕迹，无法判断AO是角平分线；只有当AE=AF时，点A才在EF的垂直平分线上，题目未给出该条件，因此AO不一定垂直平分EF；GH符合线段垂直平分线的作图结果，该结论成立；没有作图依据能证明GH和AF的交点是AF中点，因此GH平分AF不成立。
【解析】
解：根据尺规作图的痕迹可知，该作图是作线段EF的垂直平分线：
分别以E、F为圆心，大于$\frac{1}{2}EF$的长度为半径画弧，两弧交于G、H两点，根据线段垂直平分线的作图原理，直线GH就是线段EF的垂直平分线。
对各选项判断如下：
A. 图中没有作角平分线的作图痕迹，无法推出AO平分$∠ EAF$，故A错误；
B. 题目未给出$AE=AF$的条件，无法证明AO垂直平分EF，故B错误；
C. 由作图原理可知GH垂直平分EF，故C正确；
D. 无相关作图依据证明GH平分AF，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的尺规作图；尺规作图的识别
【点评】
本题考查常见尺规作图的识别，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线、角平分线等常见基本作图的操作痕迹和结论，不要混淆不同作图的特征。
【难度系数】
0.8
3.下列命题的逆命题为真命题的是（
A.同角的补角相等
B.如果$a=b$，那么$a^{2n}=b^{2n}$
C.若$a＞b$，则$a^2＞b^2$
D.同位角相等，两直线平行
D
）A.同角的补角相等
B.如果$a=b$，那么$a^{2n}=b^{2n}$
C.若$a＞b$，则$a^2＞b^2$
D.同位角相等，两直线平行
答案
3.D
解析
【分析】
解题需按两步进行：第一步，明确逆命题的定义：将原命题的题设和结论互换位置，即可得到原命题的逆命题；第二步，依次写出四个选项命题的逆命题，再判断逆命题的真假：若命题的题设成立时结论一定成立，则为真命题，若能举出反例推翻命题则为假命题，最终选出符合要求的选项。
【解析】
我们逐个分析各选项的逆命题：
A. 原命题“同角的补角相等”可改写为“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”，其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角”。比如两个相等的对顶角，它们不是同一个角的补角，因此该逆命题是假命题，不符合要求。
B. 原命题“如果$a=b$，那么$a^{2n}=b^{2n}$”的逆命题为“如果$a^{2n}=b^{2n}$，那么$a=b$”。举反例：当$a=2$，$b=-2$，$n=1$时，$a^2=b^2=4$，但$a≠b$，因此该逆命题是假命题，不符合要求。
C. 原命题“若$a＞b$，则$a^2＞b^2$”的逆命题为“若$a^2＞b^2$，则$a＞b$”。举反例：当$a=-3$，$b=1$时，$a^2=9＞1=b^2$，但$a=-3＜1=b$，因此该逆命题是假命题，不符合要求。
D. 原命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题为“两直线平行，同位角相等”，这是平行线的性质定理，是真命题，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
逆命题的定义；真假命题判断；平行线的判定与性质
【点评】
本题核心考查逆命题的改写及真假判断，解题的关键是准确改写各命题的逆命题，判断假命题时可通过举反例快速验证，判断真命题则需要结合已学的定理公理确认。
【难度系数】
0.7
解题需按两步进行：第一步，明确逆命题的定义：将原命题的题设和结论互换位置，即可得到原命题的逆命题；第二步，依次写出四个选项命题的逆命题，再判断逆命题的真假：若命题的题设成立时结论一定成立，则为真命题，若能举出反例推翻命题则为假命题，最终选出符合要求的选项。
【解析】
我们逐个分析各选项的逆命题：
A. 原命题“同角的补角相等”可改写为“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”，其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角”。比如两个相等的对顶角，它们不是同一个角的补角，因此该逆命题是假命题，不符合要求。
B. 原命题“如果$a=b$，那么$a^{2n}=b^{2n}$”的逆命题为“如果$a^{2n}=b^{2n}$，那么$a=b$”。举反例：当$a=2$，$b=-2$，$n=1$时，$a^2=b^2=4$，但$a≠b$，因此该逆命题是假命题，不符合要求。
C. 原命题“若$a＞b$，则$a^2＞b^2$”的逆命题为“若$a^2＞b^2$，则$a＞b$”。举反例：当$a=-3$，$b=1$时，$a^2=9＞1=b^2$，但$a=-3＜1=b$，因此该逆命题是假命题，不符合要求。
D. 原命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题为“两直线平行，同位角相等”，这是平行线的性质定理，是真命题，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
逆命题的定义；真假命题判断；平行线的判定与性质
【点评】
本题核心考查逆命题的改写及真假判断，解题的关键是准确改写各命题的逆命题，判断假命题时可通过举反例快速验证，判断真命题则需要结合已学的定理公理确认。
【难度系数】
0.7
4. [2026 淮南期中] 已知点$A(m+2,-3)$，$B(4,n+6)$关于$x$轴对称，则$m+n$的值为（
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
A
）A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
答案
4.A
解析
【分析】
解决本题首先要牢记关于x轴对称的点的坐标规律：两点关于x轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数。我们可以依据这个规律分别列方程求出m、n的值，再代入计算m+n的结果即可。
【解析】
解：
∵点$A(m+2,-3)$，$B(4,n+6)$关于x轴对称，
根据关于x轴对称的点的坐标特征可得：
横坐标相等：$m+2=4$，解得$m=2$；
纵坐标互为相反数：$n+6=-(-3)=3$，解得$n=-3$。
∴$m+n=2+(-3)=-1$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
x轴对称点的坐标特征，代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查平面直角坐标系中对称点的坐标规律，熟记对称对应的坐标变化特点就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要牢记关于x轴对称的点的坐标规律：两点关于x轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数。我们可以依据这个规律分别列方程求出m、n的值，再代入计算m+n的结果即可。
【解析】
解：
∵点$A(m+2,-3)$，$B(4,n+6)$关于x轴对称，
根据关于x轴对称的点的坐标特征可得：
横坐标相等：$m+2=4$，解得$m=2$；
纵坐标互为相反数：$n+6=-(-3)=3$，解得$n=-3$。
∴$m+n=2+(-3)=-1$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
x轴对称点的坐标特征，代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查平面直角坐标系中对称点的坐标规律，熟记对称对应的坐标变化特点就能快速解题。
【难度系数】
0.8
5. [2026 绍兴期末]根据下列图形提供的角度，不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形的是（
D
）答案
5.D
解析
【分析】
要判断能否用一条直线将三角形分成两个等腰三角形，解题思路如下：首先根据三角形内角和为180°明确原三角形的三个内角，再尝试从内角（通常先试最大角）中拆分出一个角，使拆分出的角与原三角形的某一个内角相等，先得到第一个等腰三角形，再利用三角形内角和计算剩余三角形的三个内角，验证剩余三角形是否也满足等腰三角形的判定（有两个内角相等），逐一验证四个选项即可找到答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：三角形三个内角为10°、20°、150°。将150°的角拆分为10°和140°，得到的第一个三角形有两个10°的内角，是等腰三角形；剩余三角形的三个内角为20°、20°、140°，也有两个相等的内角，是等腰三角形，因此A可以拆分。
选项B：三角形三个内角为25°、75°、80°。将75°的角拆分为25°和50°，得到的第一个三角形有两个25°的内角，是等腰三角形；剩余三角形的三个内角为50°、50°、80°，也有两个相等的内角，是等腰三角形，因此B可以拆分。
选项C：这是直角三角形，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，沿斜边上的中线拆分，得到的两个三角形都有两条边相等，均为等腰三角形，因此C可以拆分。
选项D：三角形三个内角为42°、46°、92°。尝试拆分最大角92°：若拆为42°和50°，剩余三角形内角为46°、50°、84°，无相等内角；若拆为46°和46°，剩余三角形内角为42°、46°、92°，无相等内角。尝试拆分较小的42°、46°角，均无法得到两个有相等内角的三角形，因此D不能拆分。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定；直角三角形的性质
【点评】
本题需要结合三角形内角和与等腰三角形的判定逐一验证，解题时优先从最大内角入手拆分，能有效提高解题效率，注意拆分后两个三角形都要满足等腰的条件，避免只验证一个就判定可行。
【难度系数】
0.6
要判断能否用一条直线将三角形分成两个等腰三角形，解题思路如下：首先根据三角形内角和为180°明确原三角形的三个内角，再尝试从内角（通常先试最大角）中拆分出一个角，使拆分出的角与原三角形的某一个内角相等，先得到第一个等腰三角形，再利用三角形内角和计算剩余三角形的三个内角，验证剩余三角形是否也满足等腰三角形的判定（有两个内角相等），逐一验证四个选项即可找到答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：三角形三个内角为10°、20°、150°。将150°的角拆分为10°和140°，得到的第一个三角形有两个10°的内角，是等腰三角形；剩余三角形的三个内角为20°、20°、140°，也有两个相等的内角，是等腰三角形，因此A可以拆分。
选项B：三角形三个内角为25°、75°、80°。将75°的角拆分为25°和50°，得到的第一个三角形有两个25°的内角，是等腰三角形；剩余三角形的三个内角为50°、50°、80°，也有两个相等的内角，是等腰三角形，因此B可以拆分。
选项C：这是直角三角形，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，沿斜边上的中线拆分，得到的两个三角形都有两条边相等，均为等腰三角形，因此C可以拆分。
选项D：三角形三个内角为42°、46°、92°。尝试拆分最大角92°：若拆为42°和50°，剩余三角形内角为46°、50°、84°，无相等内角；若拆为46°和46°，剩余三角形内角为42°、46°、92°，无相等内角。尝试拆分较小的42°、46°角，均无法得到两个有相等内角的三角形，因此D不能拆分。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定；直角三角形的性质
【点评】
本题需要结合三角形内角和与等腰三角形的判定逐一验证，解题时优先从最大内角入手拆分，能有效提高解题效率，注意拆分后两个三角形都要满足等腰的条件，避免只验证一个就判定可行。
【难度系数】
0.6
6. 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，$D$，$E$是$△ ABC$内两点，$AD$平分$∠ BAC$，$∠ EBC = ∠ E = 60°$，若$BE = 3$，$DE = 1$，则$BC$的长度是（
A.6
B.5
C.4
D.3
C
）A.6
B.5
C.4
D.3
答案
6.C
解析
【分析】
解题可从已知特殊角和等腰三角形的性质切入思考：首先，等腰△ABC中AD平分顶角，可直接利用等腰三角形三线合一，得出AD垂直平分BC；其次，∠E和∠EBC均为60°，可通过延长ED构造等边三角形，将已知线段长度关联起来；最后结合直角三角形中30°角的性质求出未知线段长度，进而得到BC的长。
【解析】
解：延长ED交BC于点M，延长AD交BC于点N。
∵$AB=AC$，$AD$平分$∠BAC$，
∴$AN⊥BC$，$BN=CN$（等腰三角形三线合一）。
∵$∠EBC=∠E=60°$，
∴$△ BEM$是等边三角形，
∴$BE=BM=EM=3$，$∠BME=60°$，
∵$DE=1$，
∴$DM=EM-DE=3-1=2$，
∵$AN⊥BC$，
∴$∠DNM=90°$，
在$Rt△ DNM$中，$∠NDM=90°-∠BME=30°$，
∴$NM=\frac{1}{2}DM=\frac{1}{2}×2=1$，
∴$BN=BM-NM=3-1=2$，
∴$BC=2BN=2×2=4$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题核心是通过添加辅助线构造特殊三角形，将分散的已知条件关联，解题时需熟练掌握各类特殊三角形的性质，灵活运用辅助线转化问题。
【难度系数】
0.6
解题可从已知特殊角和等腰三角形的性质切入思考：首先，等腰△ABC中AD平分顶角，可直接利用等腰三角形三线合一，得出AD垂直平分BC；其次，∠E和∠EBC均为60°，可通过延长ED构造等边三角形，将已知线段长度关联起来；最后结合直角三角形中30°角的性质求出未知线段长度，进而得到BC的长。
【解析】
解：延长ED交BC于点M，延长AD交BC于点N。
∵$AB=AC$，$AD$平分$∠BAC$，
∴$AN⊥BC$，$BN=CN$（等腰三角形三线合一）。
∵$∠EBC=∠E=60°$，
∴$△ BEM$是等边三角形，
∴$BE=BM=EM=3$，$∠BME=60°$，
∵$DE=1$，
∴$DM=EM-DE=3-1=2$，
∵$AN⊥BC$，
∴$∠DNM=90°$，
在$Rt△ DNM$中，$∠NDM=90°-∠BME=30°$，
∴$NM=\frac{1}{2}DM=\frac{1}{2}×2=1$，
∴$BN=BM-NM=3-1=2$，
∴$BC=2BN=2×2=4$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题核心是通过添加辅助线构造特殊三角形，将分散的已知条件关联，解题时需熟练掌握各类特殊三角形的性质，灵活运用辅助线转化问题。
【难度系数】
0.6
7. [2026安庆期末]如图，这是小明在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是
20:15
。答案
7.20:15
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆轴对称的性质：平面镜所成的像和实际物体关于镜面对称，竖直放置的平面镜对应的对称是左右方向对称，因此镜中显示的时间和实际时间是左右翻转的关系。我们可以通过两种思路求解：一是根据轴对称的性质，作出镜中时间的轴对称图形，读取得到实际时间；二是更简便的操作，把试卷翻过来从背面看，此时看到的时间就是实际时间，因为翻纸的效果和左右对称完全一致。
【解析】
观察镜中显示的电子钟数字，根据轴对称左右翻转的特点，将整个显示内容沿竖直对称轴翻转：翻转后原来的数字顺序反转，且每个电子数字左右对称变换，最终读取得到实际时间为20:15。也可直接将试卷翻至背面，从背面直接读取时间为20:15。
【答案】
20:15
【知识点】
轴对称的应用；平面镜成像特点
【点评】
这道题是轴对称在生活中的常见应用，解题核心是理解镜面成像左右对称的规律，也可以借助翻纸的小技巧快速得到答案，难度不大。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先回忆轴对称的性质：平面镜所成的像和实际物体关于镜面对称，竖直放置的平面镜对应的对称是左右方向对称，因此镜中显示的时间和实际时间是左右翻转的关系。我们可以通过两种思路求解：一是根据轴对称的性质，作出镜中时间的轴对称图形，读取得到实际时间；二是更简便的操作，把试卷翻过来从背面看，此时看到的时间就是实际时间，因为翻纸的效果和左右对称完全一致。
【解析】
观察镜中显示的电子钟数字，根据轴对称左右翻转的特点，将整个显示内容沿竖直对称轴翻转：翻转后原来的数字顺序反转，且每个电子数字左右对称变换，最终读取得到实际时间为20:15。也可直接将试卷翻至背面，从背面直接读取时间为20:15。
【答案】
20:15
【知识点】
轴对称的应用；平面镜成像特点
【点评】
这道题是轴对称在生活中的常见应用，解题核心是理解镜面成像左右对称的规律，也可以借助翻纸的小技巧快速得到答案，难度不大。
【难度系数】
0.7
8.如图,在△ABC中,DE是BC的垂直平分线,若AB=5,AC=8,则△ABD的周长是
13
。答案
8.13
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件：DE是BC的垂直平分线，结合线段垂直平分线的性质可得BD=CD。要求△ABD的周长，先写出其周长公式为AB+AD+BD，将BD等量替换为CD后，AD+CD恰好等于AC，因此△ABD的周长可转化为AB与AC的长度和，代入已知数值即可算出结果。
【解析】
解：
∵DE是BC的垂直平分线，点D在DE上
∴根据线段垂直平分线的性质，可得BD=CD
△ABD的周长 = AB + AD + BD
将BD=CD代入，得：
△ABD的周长 = AB + AD + CD = AB + (AD + CD) = AB + AC
已知AB=5，AC=8
∴△ABD的周长 = 5 + 8 = 13
【答案】
13
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题属于基础几何题，核心是利用线段垂直平分线的性质做线段的等量替换，将未知的周长转化为已知线段的和，只要熟练掌握相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确已知条件：DE是BC的垂直平分线，结合线段垂直平分线的性质可得BD=CD。要求△ABD的周长，先写出其周长公式为AB+AD+BD，将BD等量替换为CD后，AD+CD恰好等于AC，因此△ABD的周长可转化为AB与AC的长度和，代入已知数值即可算出结果。
【解析】
解：
∵DE是BC的垂直平分线，点D在DE上
∴根据线段垂直平分线的性质，可得BD=CD
△ABD的周长 = AB + AD + BD
将BD=CD代入，得：
△ABD的周长 = AB + AD + CD = AB + (AD + CD) = AB + AC
已知AB=5，AC=8
∴△ABD的周长 = 5 + 8 = 13
【答案】
13
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题属于基础几何题，核心是利用线段垂直平分线的性质做线段的等量替换，将未知的周长转化为已知线段的和，只要熟练掌握相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
9. [2026 安庆期末]若等腰三角形的一个外角是$128°$，则这个等腰三角形的顶角的度数是
76°或52°
。答案
9.76°或52°
解析
【分析】
解题时首先要明确等腰三角形的一个外角可能对应顶角的外角，也可能对应底角的外角，因此需要分类讨论：第一步先根据外角与相邻内角互补求出对应的内角度数；第二步分该内角为顶角、该内角为底角两种情况，结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°计算顶角的度数，最后验证两种情况都满足三角形的构成条件即可。
【解析】
首先计算与128°外角相邻的内角度数：
$180° - 128° = 52°$
分两种情况讨论：
1. 若$52°$是等腰三角形的顶角，则顶角的度数就是$52°$，此时两底角均为$\frac{180° - 52°}{2}=64°$，符合三角形内角和定理；
2. 若$52°$是等腰三角形的底角，根据等腰三角形两底角相等，可得顶角的度数为：
$180° - 2×52° = 180° - 104° =76°$，也符合三角形内角和定理。
因此这个等腰三角形的顶角为$52°$或$76°$。
【答案】
$76°$或$52°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题重点考查分类讨论的数学思想，是等腰三角形性质应用的常见易错题，解题时要注意外角对应的内角既可以是顶角也可以是底角，不要漏解，同时要验证所得结果是否满足三角形的基本性质。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确等腰三角形的一个外角可能对应顶角的外角，也可能对应底角的外角，因此需要分类讨论：第一步先根据外角与相邻内角互补求出对应的内角度数；第二步分该内角为顶角、该内角为底角两种情况，结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°计算顶角的度数，最后验证两种情况都满足三角形的构成条件即可。
【解析】
首先计算与128°外角相邻的内角度数：
$180° - 128° = 52°$
分两种情况讨论：
1. 若$52°$是等腰三角形的顶角，则顶角的度数就是$52°$，此时两底角均为$\frac{180° - 52°}{2}=64°$，符合三角形内角和定理；
2. 若$52°$是等腰三角形的底角，根据等腰三角形两底角相等，可得顶角的度数为：
$180° - 2×52° = 180° - 104° =76°$，也符合三角形内角和定理。
因此这个等腰三角形的顶角为$52°$或$76°$。
【答案】
$76°$或$52°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题重点考查分类讨论的数学思想，是等腰三角形性质应用的常见易错题，解题时要注意外角对应的内角既可以是顶角也可以是底角，不要漏解，同时要验证所得结果是否满足三角形的基本性质。
【难度系数】
0.7
10. [2026 淮南期末] 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线交于点$E$，过点$E$作$MN// BC$，$MN$交$AB$于点$M$，交$AC$于点$N$，若$BM+CN=9$，则$MN=$
9
。答案
10.9
解析
【分析】
解题时先观察题目给出的条件：存在角平分线和平行线，这两个条件组合通常可以推出等腰三角形。首先利用角平分线的定义得到相等的角，再结合平行线的内错角相等进行等量代换，即可证出△MBE和△NEC都是等腰三角形，得到线段相等关系，最后将MN拆分为ME+EN，通过等量代换即可求出MN的长度。
【解析】
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠MBE = ∠CBE，
∵ MN//BC，
∴ ∠MEB = ∠CBE（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠MBE = ∠MEB，
∴ BM = ME（等角对等边）。
同理，CE平分∠ACB，可得∠NCE = ∠BCE，
又
∵ MN//BC，
∴ ∠NEC = ∠BCE，
∴ ∠NCE = ∠NEC，
∴ CN = EN。
∴ MN = ME + EN = BM + CN，
∵ BM+CN=9，
∴ MN=9。
【答案】
9
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是角平分线、平行线与等腰三角形判定结合的典型基础题，解题关键是掌握“角平分线+平行线”的模型可推出等腰三角形，通过线段等量代换即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
解题时先观察题目给出的条件：存在角平分线和平行线，这两个条件组合通常可以推出等腰三角形。首先利用角平分线的定义得到相等的角，再结合平行线的内错角相等进行等量代换，即可证出△MBE和△NEC都是等腰三角形，得到线段相等关系，最后将MN拆分为ME+EN，通过等量代换即可求出MN的长度。
【解析】
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠MBE = ∠CBE，
∵ MN//BC，
∴ ∠MEB = ∠CBE（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠MBE = ∠MEB，
∴ BM = ME（等角对等边）。
同理，CE平分∠ACB，可得∠NCE = ∠BCE，
又
∵ MN//BC，
∴ ∠NEC = ∠BCE，
∴ ∠NCE = ∠NEC，
∴ CN = EN。
∴ MN = ME + EN = BM + CN，
∵ BM+CN=9，
∴ MN=9。
【答案】
9
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是角平分线、平行线与等腰三角形判定结合的典型基础题，解题关键是掌握“角平分线+平行线”的模型可推出等腰三角形，通过线段等量代换即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
