三、解答题
9.某数学兴趣小组设计方案测量河两岸A，B两点间的距离.如图所示，在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A，B，C在同一直线上，且$CD=BC$，在CD的延长线上取点E，使得$∠ CEB=15°$，测得$∠ ACD=100°$，$∠ ADC=65°$，$DE$的长度为30 m.请你根据以上数据求出A，B两点间的距离.

9.解：A，B两点间的距离是30 m.

【分析】
要解决这个问题，我们可以先通过三角形内角和定理求出∠A的度数，对比已知∠CEB的度数得到一组等角，再结合相等的角和已知相等的边，证明△ACD和△ECB全等，利用全等三角形对应边相等的性质，结合BC=CD的条件，通过边的和差推导得出AB与DE相等，即可求出AB的长度。
【解析】
解：在△ACD中，根据三角形内角和为180°，得
$∠ A = 180° - ∠ ACD - ∠ ADC = 180° - 100° - 65° = 15°$
$\because ∠ CEB=15°$
$\therefore ∠ A=∠ CEB$
$\because$点A，B，C在同一直线上，$\therefore ∠ ACD=∠ ECB=100°$
在△ACD和△ECB中：
$\begin{cases}∠ A=∠ CEB \\∠ ACD=∠ ECB \\CD=CB\end{cases}$
$\therefore △ ACD ≌ △ ECB\ (\mathrm{AAS})$
$\therefore AC=EC$
又$\because AC=AB+BC$，$EC=CD+DE$，且已知$BC=CD$
$\therefore AB+BC=CD+DE$
两边同时减去相等的$BC$和$CD$，得$AB=DE$
$\because DE=30\ \mathrm{m}$
$\therefore AB=30\ \mathrm{m}$
【答案】
A，B两点间的距离是30 m。
【知识点】
三角形内角和定理；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题以实际测量河两岸距离为背景，考查了全等三角形的判定与性质的应用，解题时需要先通过角度计算得到全等所需的条件，再利用边的和差关系转化得到所求线段的长度，体现了数学知识在实际问题中的应用价值。
【难度系数】
0.7

10. [2026淮北期末]如图,在四边形ABCD中,AD//BC,E为CD的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,连接BE,且BE⊥AF.求证:
(1)$FC=AD$;
(2)$BC=AB-AD$.

10.证明：(1)略. (2)略.

【分析】
(1) 要证$FC=AD$，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。已知$AD// BC$，可得两对内错角相等，结合$E$是$CD$中点得到$DE=CE$，利用AAS判定$△ ADE≌△ FCE$，即可得到对应边相等的结论。
(2) 要证$BC=AB-AD$，可先利用第一问结论将$AD$替换为$FC$，只需证明$AB=BC+FC=BF$。由全等可得$AE=FE$，结合$BE⊥ AF$可知$BE$是$AF$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得$AB=BF$，最后通过线段和差代换即可得证。
【解析】
(1) 证明：
$\because AD// BC$
$\therefore ∠ DAE=∠ F$，$∠ D=∠ ECF$（两直线平行，内错角相等）
$\because E$为$CD$的中点
$\therefore DE=CE$
在$△ ADE$和$△ FCE$中：
$\begin{cases}∠ DAE=∠ F \\∠ D=∠ ECF \\DE=CE\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ FCE(\mathrm{AAS})$
$\therefore FC=AD$
(2) 证明：
由(1)中$△ ADE≌△ FCE$可得$AE=FE$
$\because BE⊥ AF$
$\therefore BE$垂直平分线段$AF$
$\therefore AB=BF$（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
又$\because BF=BC+CF$，且$CF=AD$
$\therefore AB=BC+AD$
移项得：$BC=AB-AD$
【答案】
(1) 证明见上述解析，可得$FC=AD$；
(2) 证明见上述解析，可得$BC=AB-AD$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行线的性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心是通过全等三角形实现线段的等量转化，结合线段垂直平分线的性质解决线段和差问题，需要熟练掌握全等三角形的判定定理，学会灵活运用等量代换的思路处理几何证明问题。
【难度系数】
0.75

11. [2026 阜阳期中]如图,在$△ ABC$中,D为AB的中点,$DE ⊥ AB$,$∠ ACE + ∠ BCE = 180°$,过点E作$EF ⊥ BC$于点F,作$EG ⊥ AC$交AC的延长线于点G,连接AE,BE.

(1)若$∠ ACB = 50°$,则$∠ BCE$的度数为________;
(2)若$AC = 8$,$BC = 12$,则$BF$的长为________.

11.(1)65° (2)10

【分析】
(1) 先根据平角的定义推出∠BCE=∠ECG，可得CE是∠BCG的角平分线，再结合已知∠ACB的度数求出∠BCG的度数，最后根据角平分线的定义计算∠BCE即可。
(2) 首先由垂直平分线的性质得AE=BE，再由角平分线的性质得EF=EG，利用HL证明Rt△AEG≌Rt△BEF、Rt△CEG≌Rt△CEF，得到AG=BF、CG=CF，设CG=CF=x，用含x的式子表示AG和BF，列方程求解即可得到BF的长度。
【解析】
(1)
∵∠ACE+∠ECG=180°，∠ACE+∠BCE=180°，
∴∠BCE=∠ECG，即CE平分∠BCG。
∵∠ACB=50°，∠ACB+∠BCG=180°，
∴∠BCG=180°-50°=130°，
∴$∠ BCE=\frac{1}{2}∠ BCG=\frac{1}{2}×130°=65°$。
(2)
∵D为AB中点，DE⊥AB，
∴DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵CE平分∠BCG，EF⊥BC，EG⊥AG，
∴EF=EG（角平分线上的点到角两边的距离相等），∠G=∠EFB=90°。
在$\mathrm{Rt}△ AEG$和$\mathrm{Rt}△ BEF$中：
$\begin{cases}AE=BE\\EG=EF\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ AEG≌\mathrm{Rt}△ BEF(\mathrm{HL})$，
∴AG=BF。
同理可证$\mathrm{Rt}△ CEG≌\mathrm{Rt}△ CEF(\mathrm{HL})$，
∴CG=CF。
设CG=CF=x，则AG=AC+CG=8+x，BF=BC-CF=12-x，
∵AG=BF，
∴8+x=12-x，
解得x=2，
∴BF=12-2=10。
【答案】
(1)$65°$ (2)$10$
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合基础题，核心是通过角平分线和垂直平分线的性质得到相等的线段，结合全等三角形的判定建立线段之间的等量关系，第二问通过设未知数列方程的方法可以快速求解，需要熟练掌握相关性质定理的应用。
【难度系数】
0.7

12. 已知在$△ AOB$ 和$△ COD$ 中，$OA=OB$，$OC=OD$.
(1)如图①，若$∠ AOB=∠ COD=60°$.
①请问线段$AC$ 与$BD$ 相等吗？请说明理由.
②求$∠ APB$ 的度数.
(2)如图②，若$∠ AOB=∠ COD=α$，则$∠ APD$ 的大小为.

12.解：(1)①线段AC与BD相等.理由略.
②$∠APB=60°$.
(2)$180°-α$

【分析】
(1)①要判断线段AC与BD是否相等，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解：已知两组边对应相等，只需结合已知的等角推导两边的夹角相等，用SAS判定全等即可得到对应边相等。
②求∠APB的度数，可利用全等三角形的对应角相等，结合三角形内角和中对顶角相等的关系，推导得到∠APB与已知的∠AOB相等。
(2)将60°替换为α，沿用(1)的角度推导思路，先得到AC与BD的夹角为α，再根据邻补角的和为180°即可求出∠APD的度数。
【解析】
(1)①$AC=BD$，理由如下：
已知$∠ AOB=∠ COD$，等式两边同时加$∠ BOC$，可得$∠ AOB+∠ BOC=∠ COD+∠ BOC$，即$∠ AOC=∠ BOD$。
在$△ AOC$和$△ BOD$中：
$\begin{cases}OA=OB\\∠ AOC=∠ BOD\\OC=OD\end{cases}$
$\therefore △ AOC≌△ BOD(\mathrm{SAS})$，$\therefore AC=BD$。
②由$△ AOC≌△ BOD$，可得$∠ OAC=∠ OBD$。
设$AC$与$OB$交于点$E$，则$∠ AEO=∠ BEP$（对顶角相等）。
在$△ AEO$中，$∠ OAC+∠ AOB+∠ AEO=180°$；在$△ BEP$中，$∠ OBD+∠ APB+∠ BEP=180°$。
结合$∠ OAC=∠ OBD$，$∠ AEO=∠ BEP$，可得$∠ APB=∠ AOB=60°$。
(2)同(1)的推导可得$∠ APB=∠ AOB=α$，
$\because ∠ APB+∠ APD=180°$（邻补角的和为平角），
$\therefore ∠ APD=180°-α$。
【答案】
(1)①线段$AC$与$BD$相等；②$∠ APB=60°$；(2)$180°-α$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，邻补角的性质
【点评】
本题是手拉手全等模型的典型习题，解题核心是通过等角加公共角推导全等所需的相等夹角，再利用全等的性质实现边和角的转化，熟练掌握这类共顶点等角的全等模型可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7