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三、解答题
11.如图,在平面直角坐标系中,$A(-1,5)$,$B(-1,0)$,$C(-4,3)$.
(1)若$△ A_{1}B_{1}C_{1}$与$△ ABC$关于$y$轴对称,画出$△ A_{1}B_{1}C_{1}$,并写出点$A_{1},B_{1},C_{1}$的坐标;
(2)在$x$轴上找一点$P$,使点$P$到$A,C$两点的距离之和最小(不写作法,保留作图痕迹).
11.如图,在平面直角坐标系中,$A(-1,5)$,$B(-1,0)$,$C(-4,3)$.
(1)若$△ A_{1}B_{1}C_{1}$与$△ ABC$关于$y$轴对称,画出$△ A_{1}B_{1}C_{1}$,并写出点$A_{1},B_{1},C_{1}$的坐标;
(2)在$x$轴上找一点$P$,使点$P$到$A,C$两点的距离之和最小(不写作法,保留作图痕迹).
答案
11.解：(1)图略，$A_1(1,5)$，$B_1(1,0)$，$C_1(4,3)$。(2)图略。
解析
【分析】
(1) 要作与△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁，首先回忆关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标互为相反数，先求出三个顶点的对称点坐标，再描点连线即可得到对应图形。
(2) 要在x轴上找P使PA+PC最小，属于典型的“将军饮马”最短路径问题，利用轴对称的性质，将其中一个点转化为x轴另一侧的对称点，根据“两点之间线段最短”，连接对称点与另一个点，和x轴的交点就是所求的P点。
【解析】
(1) 根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数：
点A(-1,5)的对称点A₁横坐标为$-(-1)=1$，纵坐标为5，即$A_1(1,5)$；
点B(-1,0)的对称点B₁横坐标为$-(-1)=1$，纵坐标为0，即$B_1(1,0)$；
点C(-4,3)的对称点C₁横坐标为$-(-4)=4$，纵坐标为3，即$C_1(4,3)$；
在坐标系中描出A₁、B₁、C₁三个点，顺次连接即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 作点C关于x轴的对称点C'（或作点A关于x轴的对称点A'），连接AC'（或A'C），线段与x轴的交点即为点P，此时PA+PC的和最小。
【答案】
(1) $A_1(1,5)$，$B_1(1,0)$，$C_1(4,3)$，图略；(2) 图略。
【知识点】
关于y轴对称的坐标规律、最短路径问题、轴对称作图
【点评】
本题是轴对称的基础常考题，既考察了坐标轴对称下的坐标变化规则，又结合了最短路径的实际应用，熟练掌握轴对称性质和相关模型即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
(1) 要作与△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁，首先回忆关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标互为相反数，先求出三个顶点的对称点坐标，再描点连线即可得到对应图形。
(2) 要在x轴上找P使PA+PC最小，属于典型的“将军饮马”最短路径问题，利用轴对称的性质，将其中一个点转化为x轴另一侧的对称点，根据“两点之间线段最短”，连接对称点与另一个点，和x轴的交点就是所求的P点。
【解析】
(1) 根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数：
点A(-1,5)的对称点A₁横坐标为$-(-1)=1$，纵坐标为5，即$A_1(1,5)$；
点B(-1,0)的对称点B₁横坐标为$-(-1)=1$，纵坐标为0，即$B_1(1,0)$；
点C(-4,3)的对称点C₁横坐标为$-(-4)=4$，纵坐标为3，即$C_1(4,3)$；
在坐标系中描出A₁、B₁、C₁三个点，顺次连接即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 作点C关于x轴的对称点C'（或作点A关于x轴的对称点A'），连接AC'（或A'C），线段与x轴的交点即为点P，此时PA+PC的和最小。
【答案】
(1) $A_1(1,5)$，$B_1(1,0)$，$C_1(4,3)$，图略；(2) 图略。
【知识点】
关于y轴对称的坐标规律、最短路径问题、轴对称作图
【点评】
本题是轴对称的基础常考题，既考察了坐标轴对称下的坐标变化规则，又结合了最短路径的实际应用，熟练掌握轴对称性质和相关模型即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
12.如图，$△ ABC$中，$∠ ABC=90°$.
(1)用直尺和圆规按下列要求作图(保留作图痕迹，不写作法)：在边AC上求作点Q，使得$QB=QC$；
(2)在(1)的条件下，若$∠ C=60°$，$BQ=5$，求AC的长.
(1)用直尺和圆规按下列要求作图(保留作图痕迹，不写作法)：在边AC上求作点Q，使得$QB=QC$；
(2)在(1)的条件下，若$∠ C=60°$，$BQ=5$，求AC的长.
答案
12.解：(1)图略。(2)$AC=10$。
解析
【分析】
(1)要满足QB=QC，根据线段垂直平分线的性质可知点Q在BC的垂直平分线上，因此只需作出BC的垂直平分线，它与AC的交点即为所求的点Q。
(2)已知QB=QC且∠C=60°，可先判定△QBC为等边三角形，得到QC的长度，再结合直角三角形的内角特征推导得到AQ与BQ的等量关系，最后相加得到AC的长度。
【解析】
(1)作线段BC的垂直平分线，交AC于点Q，点Q即为所求（作图痕迹略）。
(2)解：
∵QB=QC，∠C=60°，
∴△QBC是等边三角形，
∴QC=QB=5，∠QBC=60°。
∵∠ABC=90°，
∴∠A=90°-∠C=30°，∠ABQ=∠ABC-∠QBC=90°-60°=30°，
∴∠A=∠ABQ，
∴AQ=QB=5，
∴AC=AQ+QC=5+5=10。
【答案】
(1)作图略；(2)$AC=10$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，等角对等边
【点评】
本题结合尺规作图和几何计算，既考查了基本作图的操作能力，也考查了特殊三角形的性质应用，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质以及等边、等腰三角形的相关性质进行推导。
【难度系数】
0.7
(1)要满足QB=QC，根据线段垂直平分线的性质可知点Q在BC的垂直平分线上，因此只需作出BC的垂直平分线，它与AC的交点即为所求的点Q。
(2)已知QB=QC且∠C=60°，可先判定△QBC为等边三角形，得到QC的长度，再结合直角三角形的内角特征推导得到AQ与BQ的等量关系，最后相加得到AC的长度。
【解析】
(1)作线段BC的垂直平分线，交AC于点Q，点Q即为所求（作图痕迹略）。
(2)解：
∵QB=QC，∠C=60°，
∴△QBC是等边三角形，
∴QC=QB=5，∠QBC=60°。
∵∠ABC=90°，
∴∠A=90°-∠C=30°，∠ABQ=∠ABC-∠QBC=90°-60°=30°，
∴∠A=∠ABQ，
∴AQ=QB=5，
∴AC=AQ+QC=5+5=10。
【答案】
(1)作图略；(2)$AC=10$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，等角对等边
【点评】
本题结合尺规作图和几何计算，既考查了基本作图的操作能力，也考查了特殊三角形的性质应用，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质以及等边、等腰三角形的相关性质进行推导。
【难度系数】
0.7
13.如图,在$△ ABC$中,$∠ A=90°$,$AB=15$,$AC=9$,点$P$从点$B$出发以每秒3个单位长度的速度向点$A$运动,同时点$Q$从点$A$出发以每秒2个单位长度的速度向点$C$运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为$t$ s.
(1)当$t=1$时,$S_{△ APQ}=$
(2)当$△ APQ$为等腰三角形时,$AP=$
(1)当$t=1$时,$S_{△ APQ}=$
12
;(2)当$△ APQ$为等腰三角形时,$AP=$
6
.答案
13.(1)12 (2)6
解析
【分析】
解题前先根据动点的运动速度和时间，用含t的代数式表示出相关线段长度：点P从B向A运动，速度为每秒3个单位，故BP=3t，AP=AB-BP=15-3t；点Q从A向C运动，速度为每秒2个单位，故AQ=2t。
(1) 求t=1时△APQ的面积：已知∠A=90°，△APQ是直角三角形，代入t=1算出AP、AQ的长度，再用直角三角形面积公式计算即可。
(2) 求△APQ为等腰三角形时AP的长度：因为∠A是直角，等腰直角三角形的两条直角边相等，即AP=AQ，列方程求出t的值，再代入计算AP的长度即可。
【解析】
解：根据题意得，运动t秒时，BP=3t，AQ=2t，
∴AP=AB-BP=15-3t。
(1) 当t=1时，AP=15-3×1=12，AQ=2×1=2。
∵∠A=90°，
∴$S_{△APQ}=\frac{1}{2} × AP × AQ = \frac{1}{2} × 12 × 2 = 12$。
(2)
∵△APQ为等腰三角形，且∠A=90°，
∴AP=AQ（等腰直角三角形的两条直角边相等），
即15-3t=2t，
解得t=3，
∴AP=15-3×3=6。
【答案】
(1)12；(2)6
【知识点】
动点问题的线段表示，等腰三角形的性质，直角三角形面积计算
【点评】
本题是动点基础题，解题核心是先根据运动规律用代数式表示对应线段长度，再结合几何图形的性质列等式计算，掌握等腰直角三角形的特征是解决第二问的关键。
【难度系数】
0.8
解题前先根据动点的运动速度和时间，用含t的代数式表示出相关线段长度：点P从B向A运动，速度为每秒3个单位，故BP=3t，AP=AB-BP=15-3t；点Q从A向C运动，速度为每秒2个单位，故AQ=2t。
(1) 求t=1时△APQ的面积：已知∠A=90°，△APQ是直角三角形，代入t=1算出AP、AQ的长度，再用直角三角形面积公式计算即可。
(2) 求△APQ为等腰三角形时AP的长度：因为∠A是直角，等腰直角三角形的两条直角边相等，即AP=AQ，列方程求出t的值，再代入计算AP的长度即可。
【解析】
解：根据题意得，运动t秒时，BP=3t，AQ=2t，
∴AP=AB-BP=15-3t。
(1) 当t=1时，AP=15-3×1=12，AQ=2×1=2。
∵∠A=90°，
∴$S_{△APQ}=\frac{1}{2} × AP × AQ = \frac{1}{2} × 12 × 2 = 12$。
(2)
∵△APQ为等腰三角形，且∠A=90°，
∴AP=AQ（等腰直角三角形的两条直角边相等），
即15-3t=2t，
解得t=3，
∴AP=15-3×3=6。
【答案】
(1)12；(2)6
【知识点】
动点问题的线段表示，等腰三角形的性质，直角三角形面积计算
【点评】
本题是动点基础题，解题核心是先根据运动规律用代数式表示对应线段长度，再结合几何图形的性质列等式计算，掌握等腰直角三角形的特征是解决第二问的关键。
【难度系数】
0.8
14. [2026合肥期末]在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=BC$，点D是AB的中点，点E是线段AD上一点.$BF⊥ CE$于点F，BF交CD于点G.
(1) 如图①，求证: ①$∠ ACE=∠ CBG$；②$AE=CG$.
(2) 如图②，过点A作$AH⊥ CE$，AH交CE的延长线于点H，AH的延长线交CD的延长线于点M，请在图中找出与BE相等的线段，并证明.
(1) 如图①，求证: ①$∠ ACE=∠ CBG$；②$AE=CG$.
(2) 如图②，过点A作$AH⊥ CE$，AH交CE的延长线于点H，AH的延长线交CD的延长线于点M，请在图中找出与BE相等的线段，并证明.
答案
14.(1)证明：①略。②略。(2)解：$BE=CM$。证明略。
解析
【分析】
解题思路：首先利用等腰直角三角形的性质得到边相等、特殊45°角的条件，再结合垂直关系得到90°角，通过同角的余角相等推导角相等，进而构造全等三角形证明边或角相等。
(1)①要证∠ACE=∠CBG，可观察到两个角都与∠BCF互余：由∠ACB=90°得∠ACE+∠BCF=90°，由BF⊥CE得∠CBG+∠BCF=90°，利用同角的余角相等即可得证；②要证AE=CG，可证△ACE≌△CBG，已知AC=BC，∠A=∠BCG=45°，再结合①中得到的等角，用ASA即可证明全等，由全等对应边相等得AE=CG。
(2)先观察图形猜测CM=BE，再通过证明△ACM≌△CBE验证：先由AH⊥CE、∠ACB=90°推导∠CAM=∠BCE，再结合AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，用ASA证明全等，即可得到对应边BE=CM。
【解析】
(1)证明：
①$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ ACE + ∠ BCF = 90°$，
$\because BF⊥ CE$，$\therefore ∠ CFB=90°$，$\therefore ∠ CBG + ∠ BCF = 90°$，
$\therefore ∠ ACE=∠ CBG$（同角的余角相等）。
②$\because ∠ ACB=90°$，$AC=BC$，$\therefore ∠ A=∠ ABC=45°$，
$\because$点$D$是$AB$中点，$\therefore CD$平分$∠ ACB$，$\therefore ∠ BCG=∠ ACD=45°$，
$\therefore ∠ A=∠ BCG$，
在$△ ACE$和$△ CBG$中：
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ BCG \\AC=CB \\∠ ACE=∠ CBG\end{array} $
$\therefore △ ACE≌△ CBG$（ASA），
$\therefore AE=CG$。
(2)与$BE$相等的线段是$CM$，证明如下：
$\because AH⊥ CE$，$\therefore ∠ H=90°$，$\therefore ∠ CAM + ∠ ACH=90°$，
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ BCE + ∠ ACH=90°$，
$\therefore ∠ CAM=∠ BCE$（同角的余角相等），
又$\because AC=BC$，$∠ ACM=∠ CBE=45°$，
在$△ ACM$和$△ CBE$中：
$\{\begin{array}{l}∠ CAM=∠ BCE \\AC=CB \\∠ ACM=∠ CBE\end{array} $
$\therefore △ ACM≌△ CBE$（ASA），
$\therefore CM=BE$。
【答案】
(1)①$∠ ACE=∠ CBG$成立；②$AE=CG$成立；
(2)$BE=CM$
【知识点】
等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等
【点评】
本题是全等三角形与等腰直角三角形结合的典型题型，解题核心是通过垂直关系推导等角，结合等腰直角三角形的边角特性构造全等三角形，能有效考察学生的逻辑推理和图形分析能力。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先利用等腰直角三角形的性质得到边相等、特殊45°角的条件，再结合垂直关系得到90°角，通过同角的余角相等推导角相等，进而构造全等三角形证明边或角相等。
(1)①要证∠ACE=∠CBG，可观察到两个角都与∠BCF互余：由∠ACB=90°得∠ACE+∠BCF=90°，由BF⊥CE得∠CBG+∠BCF=90°，利用同角的余角相等即可得证；②要证AE=CG，可证△ACE≌△CBG，已知AC=BC，∠A=∠BCG=45°，再结合①中得到的等角，用ASA即可证明全等，由全等对应边相等得AE=CG。
(2)先观察图形猜测CM=BE，再通过证明△ACM≌△CBE验证：先由AH⊥CE、∠ACB=90°推导∠CAM=∠BCE，再结合AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，用ASA证明全等，即可得到对应边BE=CM。
【解析】
(1)证明：
①$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ ACE + ∠ BCF = 90°$，
$\because BF⊥ CE$，$\therefore ∠ CFB=90°$，$\therefore ∠ CBG + ∠ BCF = 90°$，
$\therefore ∠ ACE=∠ CBG$（同角的余角相等）。
②$\because ∠ ACB=90°$，$AC=BC$，$\therefore ∠ A=∠ ABC=45°$，
$\because$点$D$是$AB$中点，$\therefore CD$平分$∠ ACB$，$\therefore ∠ BCG=∠ ACD=45°$，
$\therefore ∠ A=∠ BCG$，
在$△ ACE$和$△ CBG$中：
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ BCG \\AC=CB \\∠ ACE=∠ CBG\end{array} $
$\therefore △ ACE≌△ CBG$（ASA），
$\therefore AE=CG$。
(2)与$BE$相等的线段是$CM$，证明如下：
$\because AH⊥ CE$，$\therefore ∠ H=90°$，$\therefore ∠ CAM + ∠ ACH=90°$，
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ BCE + ∠ ACH=90°$，
$\therefore ∠ CAM=∠ BCE$（同角的余角相等），
又$\because AC=BC$，$∠ ACM=∠ CBE=45°$，
在$△ ACM$和$△ CBE$中：
$\{\begin{array}{l}∠ CAM=∠ BCE \\AC=CB \\∠ ACM=∠ CBE\end{array} $
$\therefore △ ACM≌△ CBE$（ASA），
$\therefore CM=BE$。
【答案】
(1)①$∠ ACE=∠ CBG$成立；②$AE=CG$成立；
(2)$BE=CM$
【知识点】
等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等
【点评】
本题是全等三角形与等腰直角三角形结合的典型题型，解题核心是通过垂直关系推导等角，结合等腰直角三角形的边角特性构造全等三角形，能有效考察学生的逻辑推理和图形分析能力。
【难度系数】
0.7
