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10. 在平面直角坐标系中，点A,B,C,D,E,F,G,H均为格点。
(1)如图①，在第三象限内作△A'B'C'，使它与△ABC位似，位似中心为原点O，相似比为2，并直接写出点C'的坐标；
(2)如图②，在线段DE上求作点M，使$\frac{DM}{EM}=\frac{2}{3}$，并说明理由；
(3)如图③，在△GHF的边GH上求作一点N，使△GFN∽△GHF，请写出作法并证明。
(1)如图①，在第三象限内作△A'B'C'，使它与△ABC位似，位似中心为原点O，相似比为2，并直接写出点C'的坐标；
(2)如图②，在线段DE上求作点M，使$\frac{DM}{EM}=\frac{2}{3}$，并说明理由；
(3)如图③，在△GHF的边GH上求作一点N，使△GFN∽△GHF，请写出作法并证明。
答案
10. 解:(1)如图①,△A'B'C'即为所求
。点 C' 的坐标为(-4,-2)。
(2)如图②,点 M 即为所求
。理由如下：$\because ∠ DRE=∠ MKE=90°,∠ MEK=∠ DER$,
$\therefore △ DRE ∽ △ MKE$,
$\therefore \frac{DM}{ME}=\frac{RK}{KE}=\frac{2}{3}$。
(3)如图③,点 N 即为所求
。作法:(1)将边 GH 绕点 G 按逆时针方向旋转90°得到 GP；
(2)将线段 GP 平移,使点 G 与点 F 重合,此时点 P 的对应点为点 Q；
(3)FQ 交 GH 于点 N,则点 N 即为所求。
证明:
∵将边 GH 绕点 G 按逆时针方向旋转90°得到 GP,
$\therefore GH⊥ GP,∠ PGH=90°$。
由平移得 $GP// FQ$,
$\therefore ∠ PGH=∠ GNF=90°$。
设网格中每个小正方形的边长均为 1,
在 $△ GHF$ 中, $FG=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$ , $FH=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$ , $GH=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26}$ ,
$\therefore FG^2 + FH^2 = (2\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 = 26 = (\sqrt{26})^2 = GH^2$,
$\therefore △ GHF$ 为直角三角形, $∠ GFH=90°$。
在 $△ GFN$ 和 $△ GHF$ 中,
$\because ∠ G=∠ G,∠ GNF=∠ GFH=90°$,
$\therefore △ GFN ∽ △ GHF$。
解析
【分析】
(1) 第一问考查原点为位似中心的位似图形作图：已知位似中心为原点O，相似比为2，且所作图形在第三象限，只需将△ABC各顶点的横、纵坐标分别乘以-2，得到对应点坐标后依次连接即可，结合点C的原坐标即可直接写出C'的坐标。
(2) 第二问考查利用相似构造比例线段：要得到$\frac{DM}{EM}=\frac{2}{3}$，可构造共角的直角三角形相似，利用网格特点，作竖直垂线与DE相交得到点M，通过相似三角形对应边成比例即可验证比例关系。
(3) 第三问考查相似三角形的作图与证明：两个三角形已有公共角∠G，要使△GFN∽△GHF，只需再构造一组相等的角即可。首先通过勾股定理证明△GHF是直角三角形，∠GFH=90°，因此只需过F作GH的垂线，交点即为所求点N，可通过旋转和平移的方法构造垂线，再用两角对应相等证明相似。
【解析】
(1) 位似中心为原点O，相似比为2，所作△A'B'C'在第三象限，因此将△ABC的点A(1,0)、B(0,2)、C(2,1)的横、纵坐标均乘以-2，得到A'(-2,0)、B'(0,-4)、C'(-4,-2)，依次连接三个点即可得到所求△A'B'C'。
(2) 过横坐标为-1的格点K作x轴的垂线，交DE于点M，即为所求。
理由：由图可知$DR⊥RE$，$MK⊥RE$，因此$∠DRE=∠MKE=90°$，又$∠MEK=∠DER$（公共角），所以$△ DRE ∽ △ MKE$，可得$\frac{DM}{ME}=\frac{RK}{KE}$，其中$RK=2$，$KE=3$，因此$\frac{DM}{EM}=\frac{2}{3}$。
(3) 作法：①将边GH绕点G按逆时针方向旋转90°得到GP；②将线段GP平移，使点G与点F重合，此时点P的对应点为点Q；③连接FQ，FQ交GH于点N，点N即为所求。
证明：
∵将边GH绕点G按逆时针方向旋转90°得到GP，
∴$GH⊥GP$，$∠PGH=90°$。由平移的性质可得$GP// FQ$，
∴$∠PGH=∠GNF=90°$。
设网格中每个小正方形的边长均为1，在$△ GHF$中，$FG=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$FH=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，$GH=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26}$，
∴$FG^2 + FH^2 = (2\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 = 8 + 18 = 26 = (\sqrt{26})^2 = GH^2$，
∴$△ GHF$为直角三角形，$∠GFH=90°$。
在$△ GFN$和$△ GHF$中，$\begin{cases} ∠G=∠G（公共角） \\ ∠GNF=∠GFH=90° \end{cases}$，
∴$△ GFN ∽ △ GHF$。
【答案】
(1)△A'B'C'即为所求。点C'的坐标为$\boldsymbol{(-4,-2)}$。
(2)点M即为所求。理由见解析。
(3)点N即为所求，作法及证明见解析。
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形的判定与性质；坐标与图形变换
【点评】
本题结合平面直角坐标系的网格背景，综合考查了位似作图、比例线段作图、相似三角形的作图与证明，需要熟练掌握位似、相似、平移旋转的相关性质，灵活运用网格特点构造辅助线，对作图能力和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.55
(1) 第一问考查原点为位似中心的位似图形作图：已知位似中心为原点O，相似比为2，且所作图形在第三象限，只需将△ABC各顶点的横、纵坐标分别乘以-2，得到对应点坐标后依次连接即可，结合点C的原坐标即可直接写出C'的坐标。
(2) 第二问考查利用相似构造比例线段：要得到$\frac{DM}{EM}=\frac{2}{3}$，可构造共角的直角三角形相似，利用网格特点，作竖直垂线与DE相交得到点M，通过相似三角形对应边成比例即可验证比例关系。
(3) 第三问考查相似三角形的作图与证明：两个三角形已有公共角∠G，要使△GFN∽△GHF，只需再构造一组相等的角即可。首先通过勾股定理证明△GHF是直角三角形，∠GFH=90°，因此只需过F作GH的垂线，交点即为所求点N，可通过旋转和平移的方法构造垂线，再用两角对应相等证明相似。
【解析】
(1) 位似中心为原点O，相似比为2，所作△A'B'C'在第三象限，因此将△ABC的点A(1,0)、B(0,2)、C(2,1)的横、纵坐标均乘以-2，得到A'(-2,0)、B'(0,-4)、C'(-4,-2)，依次连接三个点即可得到所求△A'B'C'。
(2) 过横坐标为-1的格点K作x轴的垂线，交DE于点M，即为所求。
理由：由图可知$DR⊥RE$，$MK⊥RE$，因此$∠DRE=∠MKE=90°$，又$∠MEK=∠DER$（公共角），所以$△ DRE ∽ △ MKE$，可得$\frac{DM}{ME}=\frac{RK}{KE}$，其中$RK=2$，$KE=3$，因此$\frac{DM}{EM}=\frac{2}{3}$。
(3) 作法：①将边GH绕点G按逆时针方向旋转90°得到GP；②将线段GP平移，使点G与点F重合，此时点P的对应点为点Q；③连接FQ，FQ交GH于点N，点N即为所求。
证明：
∵将边GH绕点G按逆时针方向旋转90°得到GP，
∴$GH⊥GP$，$∠PGH=90°$。由平移的性质可得$GP// FQ$，
∴$∠PGH=∠GNF=90°$。
设网格中每个小正方形的边长均为1，在$△ GHF$中，$FG=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$FH=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，$GH=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26}$，
∴$FG^2 + FH^2 = (2\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 = 8 + 18 = 26 = (\sqrt{26})^2 = GH^2$，
∴$△ GHF$为直角三角形，$∠GFH=90°$。
在$△ GFN$和$△ GHF$中，$\begin{cases} ∠G=∠G（公共角） \\ ∠GNF=∠GFH=90° \end{cases}$，
∴$△ GFN ∽ △ GHF$。
【答案】
(1)△A'B'C'即为所求
。点C'的坐标为$\boldsymbol{(-4,-2)}$。(2)点M即为所求
。理由见解析。(3)点N即为所求
，作法及证明见解析。【知识点】
位似图形的性质；相似三角形的判定与性质；坐标与图形变换
【点评】
本题结合平面直角坐标系的网格背景，综合考查了位似作图、比例线段作图、相似三角形的作图与证明，需要熟练掌握位似、相似、平移旋转的相关性质，灵活运用网格特点构造辅助线，对作图能力和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.55
