1.【数学应用】如图，小明利用标杆CE测量一棵大树BD的高度，如果标杆CE的高为2 m，且$BC=2.5$ m，$AC=1$ m，那么树BD的高度为()。

A.6 m
B.7 m
C.8 m
D.12 m

1.B

【分析】
解题时首先观察图形特征：标杆CE和大树BD均垂直于地面AB，因此CE//BD，可得到△ACE和△ABD的两组角对应相等（公共角∠A，两个直角），从而判定两个三角形相似。再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知线段长度即可求出树高BD。
【解析】
解：
∵CE⊥AB，BD⊥AB，
∴∠ACE=∠ABD=90°，
又
∵∠A=∠A（公共角），
∴△ACE∽△ABD（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{CE}{BD}=\frac{AC}{AB}$。
由题意得，$AB=AC+BC=1+2.5=3.5\ \mathrm{m}$，$CE=2\ \mathrm{m}$，$AC=1\ \mathrm{m}$，
代入比例式得：$\frac{2}{BD}=\frac{1}{3.5}$，
解得：$BD=2×3.5=7\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测高中的基础应用，解题的核心是准确找到相似三角形，利用相似的性质建立比例式求解，掌握相似三角形的判定和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2.【数学应用】如图，小明同学利用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且点D，E与树的顶端B在同一直线上。已知纸板的两条边$DE=0.5\ \mathrm{m}$，$EF=0.4\ \mathrm{m}$，测得边DF离地面的高度$AC=1.5\ \mathrm{m}$，$CD=10\ \mathrm{m}$，则树高AB为（）。

A.$8\ \mathrm{m}$
B.$8.5\ \mathrm{m}$
C.$9.5\ \mathrm{m}$
D.$10.5\ \mathrm{m}$

2.C

【分析】
这是一道利用相似三角形测量物体高度的实际应用题，解题思路如下：首先观察图形可得，△DEF和△DBC均为直角三角形，且有公共角∠D，可判定两个三角形相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长求出BC的长度；最后将BC的长度与DF离地面的高度AC相加，即可得到树高AB。
【解析】
解：由题意可知，∠D为公共角，∠DEF=∠DCB=90°，
∴ △DEF∽△DCB（两角分别相等的两个三角形相似），
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{DE}{DC}=\frac{EF}{BC}$，
将$DE=0.5\ \mathrm{m}$，$EF=0.4\ \mathrm{m}$，$CD=10\ \mathrm{m}$代入得：
$\frac{0.5}{10}=\frac{0.4}{BC}$，
解得$BC=\frac{0.4×10}{0.5}=8\ \mathrm{m}$，
又
∵ $AC=1.5\ \mathrm{m}$，
∴ 树高$AB=AC+BC=1.5+8=9.5\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形实际应用
【点评】
本题考查相似三角形在实际测量中的应用，解题的关键是准确找到相似三角形，利用相似的性质建立比例式求解未知线段，是结合生活场景的基础类应用题。
【难度系数】
0.7

3.【数学应用】“计里画方”是中国古代按比例尺绘制地图的一种方法。制作地图时，人们会利用测杆、水准仪和照板来测量距离。如图所示的是测量距离的示意图，照板“内芯”的高度$EF=3\ \mathrm{cm}$，$EF// AB$，观测者的眼睛(点$C$)与$B,F$在同一水平线上。若$AB=1.2\ \mathrm{m}$，$CF=0.7\ \mathrm{m}$，则$B,C$两点之间的距离为()。


A.$14\ \mathrm{m}$
B.$14.7\ \mathrm{m}$
C.$26.8\ \mathrm{m}$
D.$28\ \mathrm{m}$

3.D

【分析】
首先观察图形可得$EF// AB$，结合点C、F、B在同一直线上，可根据“两角分别相等的两个三角形相似”判定$△ CEF$和$△ CAB$相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质列出比例式，代入已知数据计算即可，注意计算前需统一长度单位，避免单位不一致导致计算错误。
【解析】
$\because EF// AB$，
$\therefore ∠ CEF=∠ A$，$∠ CFE=∠ CBA$，
$\therefore △ CEF ∽ △ CAB$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{EF}{AB}=\frac{CF}{CB}$。
先统一单位：$EF=3\ \mathrm{cm}=0.03\ \mathrm{m}$，
将$EF=0.03\ \mathrm{m}$，$AB=1.2\ \mathrm{m}$，$CF=0.7\ \mathrm{m}$代入比例式得：
$\frac{0.03}{1.2}=\frac{0.7}{CB}$，
解得 $CB=\frac{1.2×0.7}{0.03}=28\ \mathrm{m}$，即B、C两点距离为28m。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；单位换算
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，解题的核心是从实际场景中抽象出相似三角形模型，利用相似的性质建立比例关系求解，解题时需格外注意单位统一，这是本题的易错点。
【难度系数】
0.7

4.【综合与实践】阅读下面的材料，完成学习任务。
数学活动:测量树的高度。
在物理学中我们学过光的反射定律，数学综合实践小组的同学想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度 AB。
测量步骤如下。
第一步:如图，在地面上的点 C 处放置了一块平面镜，小华站在 BC 的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶端 A 时，测得小华到平面镜的距离 DC=2 m，小华的眼睛 E 到地面的距离 ED =1.5 m。
第二步:将平面镜从点 C 沿 BC 的延长线移动 10 m 到点 F 处，小华向后移动到点 H 处时，小华的眼睛 G 又刚好在平面镜中看到树的顶端 A，这时测得小华到平面镜的距离 HF=3 m。
解:设 AB=x m，BC=y m。
∵∠ABC=∠EDC=90°，
∠ACB=∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
∴$\frac{AB}{ED}=\frac{BC}{DC}$。
……
任务:请你根据材料中的测量数据和计算步骤，将剩余的解答过程补充完整。

4.解:$\because ED=1.5\ \mathrm{m},DC=2\ \mathrm{m}$，
$\therefore \frac{x}{1.5}=\frac{y}{2}$。
$\because ∠ ABF=∠ GHF=90°,∠ AFB=∠ GFH$，
$\therefore △ ABF∽△ GHF$，
$\therefore \frac{AB}{GH}=\frac{BF}{HF},\therefore \frac{x}{1.5}=\frac{y+10}{3}$，
$\therefore \frac{y}{2}=\frac{y+10}{3}$，解得 $y=20$。
把 $y=20$ 代入 $\frac{x}{1.5}=\frac{y}{2}$ 中，得 $\frac{x}{1.5}=\frac{20}{2}$，
解得 $x=15$，
故树的高度 $AB$ 为 $15\ \mathrm{m}$。

【分析】
本题是利用相似三角形测量高度的实际问题，解题思路如下：首先结合光的反射定律可得两组相等的角，结合直角相等可分别证明两次测量对应的三角形相似；再根据相似三角形对应边成比例，列出两个关于AB、BC的比例式；最后联立两个比例式解方程，即可求出树高AB。
【解析】
$\because ED=1.5\ \mathrm{m},DC=2\ \mathrm{m}$，
$\therefore \frac{x}{1.5}=\frac{y}{2}$ ①。
$\because ∠ABF=∠GHF=90°,∠AFB=∠GFH$，
$\therefore △ABF∽△GHF$，
$\therefore \frac{AB}{GH}=\frac{BF}{HF}$。
$\because GH=ED=1.5\ \mathrm{m},HF=3\ \mathrm{m},BF=BC+CF=y+10$，
$\therefore \frac{x}{1.5}=\frac{y+10}{3}$ ②。
联立①②可得$\frac{y}{2}=\frac{y+10}{3}$，
交叉相乘得$3y=2(y+10)$，解得 $y=20$。
把 $y=20$ 代入①中，得 $\frac{x}{1.5}=\frac{20}{2}$，
解得 $x=15$。
【答案】
树的高度$AB$为$\boxed{15\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题结合物理光的反射定律，考查相似三角形在实际测量中的应用，需要学生从实际场景中抽象出几何模型，通过建立方程求解未知量，很好地体现了数学知识的实用性。
【难度系数】
0.6