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1.【数学应用】如图,小明在A时测得某树的影长为8 m,在B时又测得该树的影长为2 m,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为(
A.2 m
B.3 m
C.4 m
D.6 m
C
)。A.2 m
B.3 m
C.4 m
D.6 m
答案
1.C
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确题中存在两个垂直关系：两次日照光线互相垂直、树与地面垂直，由此可构造出两个有公共直角边的直角三角形；接着利用“同角的余角相等”推导角相等，证明两个直角三角形相似；最后根据相似三角形对应边成比例的性质，建立树高与两个影长的等量关系，代入数值计算即可得到树高。
【解析】
设树的高度为$h\ \mathrm{m}$，记树的底部为点$C$、顶部为点$D$，A时影子端点为$E$，B时影子端点为$F$。
由题意得：$CE=2\ \mathrm{m}$，$CF=8\ \mathrm{m}$，$∠ EDF=90°$，$DC⊥ EF$。
$\therefore ∠ DCE=∠ DCF=90°$，
$\therefore ∠ DEC+∠ CDE=90°$，
又$\because ∠ CDE+∠ CDF=∠ EDF=90°$，
$\therefore ∠ DEC=∠ CDF$，
$\therefore △ DCE ∽ △ FCD\ \mathrm{（两角分别相等的两个三角形相似）}$，
$\therefore \frac{DC}{FC}=\frac{EC}{DC}$，即$DC^2=EC· FC$，
代入数值得$h^2=2×8=16$，
$\because h＞0$，$\therefore h=4$，即树的高度为$4\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形测高
【点评】
本题是相似三角形在实际测量问题中的典型应用，结合生活中的投影场景出题，解题核心是通过已知的垂直关系推导相似三角形，再利用相似的性质列等式求解，兼具知识性和实用性。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先明确题中存在两个垂直关系：两次日照光线互相垂直、树与地面垂直，由此可构造出两个有公共直角边的直角三角形；接着利用“同角的余角相等”推导角相等，证明两个直角三角形相似；最后根据相似三角形对应边成比例的性质，建立树高与两个影长的等量关系，代入数值计算即可得到树高。
【解析】
设树的高度为$h\ \mathrm{m}$，记树的底部为点$C$、顶部为点$D$，A时影子端点为$E$，B时影子端点为$F$。
由题意得：$CE=2\ \mathrm{m}$，$CF=8\ \mathrm{m}$，$∠ EDF=90°$，$DC⊥ EF$。
$\therefore ∠ DCE=∠ DCF=90°$，
$\therefore ∠ DEC+∠ CDE=90°$，
又$\because ∠ CDE+∠ CDF=∠ EDF=90°$，
$\therefore ∠ DEC=∠ CDF$，
$\therefore △ DCE ∽ △ FCD\ \mathrm{（两角分别相等的两个三角形相似）}$，
$\therefore \frac{DC}{FC}=\frac{EC}{DC}$，即$DC^2=EC· FC$，
代入数值得$h^2=2×8=16$，
$\because h＞0$，$\therefore h=4$，即树的高度为$4\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形测高
【点评】
本题是相似三角形在实际测量问题中的典型应用，结合生活中的投影场景出题，解题核心是通过已知的垂直关系推导相似三角形，再利用相似的性质列等式求解，兼具知识性和实用性。
【难度系数】
0.7
2.【数学文化】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，意思是把两条边呈直角的曲尺仰立放，可测量物体的高度。如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC=∠AQP=90°，AP与BC相交于点D。测得AB=40 cm，BD=20 cm，AQ=48 m，则树高PQ为(
A.24 m
B.36 m
C.48 m
D.60 m
A
)。A.24 m
B.36 m
C.48 m
D.60 m
答案
2.A
解析
【分析】
解题时先观察图形特征，首先找到公共角∠A，结合已知的两个直角，可判定△ABD和△AQP相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知数据即可求出树高PQ，注意同组对应边单位统一，比值不受单位差异影响可直接计算。
【解析】
解：
∵∠A是公共角，∠ABD=∠AQP=90°
∴△ABD∽△AQP（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{AB}{AQ}=\frac{BD}{PQ}$
将AB=40cm，BD=20cm，AQ=48m代入比例式得：
$\frac{40\mathrm{cm}}{48\mathrm{m}}=\frac{20\mathrm{cm}}{PQ}$
交叉相乘计算：
$40× PQ=20×48\mathrm{m}$
$PQ=\frac{20×48}{40}=24\mathrm{m}$
【答案】
A
【知识点】
相似三角形判定，相似三角形性质，相似三角形应用
【点评】
本题结合古代数学文化背景考查相似三角形的实际测量应用，解题关键是准确识别相似三角形，利用相似的性质建立比例关系求解，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形特征，首先找到公共角∠A，结合已知的两个直角，可判定△ABD和△AQP相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知数据即可求出树高PQ，注意同组对应边单位统一，比值不受单位差异影响可直接计算。
【解析】
解：
∵∠A是公共角，∠ABD=∠AQP=90°
∴△ABD∽△AQP（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{AB}{AQ}=\frac{BD}{PQ}$
将AB=40cm，BD=20cm，AQ=48m代入比例式得：
$\frac{40\mathrm{cm}}{48\mathrm{m}}=\frac{20\mathrm{cm}}{PQ}$
交叉相乘计算：
$40× PQ=20×48\mathrm{m}$
$PQ=\frac{20×48}{40}=24\mathrm{m}$
【答案】
A
【知识点】
相似三角形判定，相似三角形性质，相似三角形应用
【点评】
本题结合古代数学文化背景考查相似三角形的实际测量应用，解题关键是准确识别相似三角形，利用相似的性质建立比例关系求解，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
3.【跨学科】如图①，将一块带有小孔的板遮挡在屏幕与物体之间，屏幕上就会形成物体的倒像，我们把这样的现象叫小孔成像。图②是小孔成像原理的示意图，已知$AB// CD$，光线$CB$，$DA$，$EF$交于点$O$，$EF⊥ AB$。若$OE=4\ \mathrm{cm}$，$OF=1.5\ \mathrm{cm}$，$CD=1.2\ \mathrm{cm}$，则$AB$的长为（
A.0.5 cm
B.3.2 cm
C.4.5 cm
D.6.8 cm
B
）。A.0.5 cm
B.3.2 cm
C.4.5 cm
D.6.8 cm
答案
3.B
解析
【分析】
由AB//CD可判定△AOB与△DOC相似，结合EF⊥AB、AB//CD可推出OE、OF分别是两个相似三角形对应边上的高，根据相似三角形对应高的比等于相似比，列出比例式即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵AB//CD，
∴∠OAB=∠ODC，∠OBA=∠OCD，
∴△AOB∽△DOC。
又
∵EF⊥AB，AB//CD，
∴EF⊥CD，即OE是△AOB中AB边上的高，OF是△DOC中CD边上的高。
根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{AB}{CD}=\frac{OE}{OF}$
将OE=4cm，OF=1.5cm，CD=1.2cm代入上式：
$\frac{AB}{1.2}=\frac{4}{1.5}$
解得$AB=\frac{4×1.2}{1.5}=3.2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题结合小孔成像的物理场景考查相似三角形的实际应用，解题关键是准确找到相似三角形，利用相似三角形的性质建立比例关系求解，体现了跨学科知识的综合运用。
【难度系数】
0.7
由AB//CD可判定△AOB与△DOC相似，结合EF⊥AB、AB//CD可推出OE、OF分别是两个相似三角形对应边上的高，根据相似三角形对应高的比等于相似比，列出比例式即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵AB//CD，
∴∠OAB=∠ODC，∠OBA=∠OCD，
∴△AOB∽△DOC。
又
∵EF⊥AB，AB//CD，
∴EF⊥CD，即OE是△AOB中AB边上的高，OF是△DOC中CD边上的高。
根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{AB}{CD}=\frac{OE}{OF}$
将OE=4cm，OF=1.5cm，CD=1.2cm代入上式：
$\frac{AB}{1.2}=\frac{4}{1.5}$
解得$AB=\frac{4×1.2}{1.5}=3.2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题结合小孔成像的物理场景考查相似三角形的实际应用，解题关键是准确找到相似三角形，利用相似三角形的性质建立比例关系求解，体现了跨学科知识的综合运用。
【难度系数】
0.7
4.【数学应用】如图，在数学活动课上，为测量学校旗杆的高度，小明在脚下水平放置一块平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端。已知小明的眼睛离地面的高度为1.6 m，量得小明与镜子的水平距离为2 m，镜子与旗杆的水平距离为15 m，则旗杆的高度为（
A.12 m
B.11.2 m
C.10.2 m
D.9.6 m
A
）。A.12 m
B.11.2 m
C.10.2 m
D.9.6 m
答案
4.A
解析
【分析】
首先根据光的反射定律可知，平面镜处的入射角等于反射角，由此可推出人视线与地面的夹角和旗杆顶端反射光线与地面的夹角相等；结合人和旗杆均垂直于地面，可得两个含直角的三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知数据即可求出旗杆高度。
【解析】
设旗杆的高度为$ h \, \mathrm{m} $。
根据光的反射定律，入射角等于反射角，因此二者的余角相等，即小明视线与水平地面的夹角等于旗杆顶端的反射光线与水平地面的夹角。
又因为小明的身高、旗杆均与水平地面垂直，所以由小明、小明到镜子的水平距离、视线构成的三角形，和由旗杆、镜子到旗杆的水平距离、反射光线构成的三角形有两组角对应相等，两个三角形相似。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{\mathrm{小明的身高}}{\mathrm{旗杆高度}} = \frac{\mathrm{小明到镜子的水平距离}}{\mathrm{镜子到旗杆的水平距离}}$
代入数据得$\frac{1.6}{h} = \frac{2}{15}$，
解得$ h = \frac{1.6 × 15}{2} = 12 $。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，相似三角形实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量场景中的典型应用，结合了光的反射的基本常识，解题核心是准确识别相似三角形，找准对应边的比例关系，属于基础类应用题，熟练掌握相似三角形的性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
首先根据光的反射定律可知，平面镜处的入射角等于反射角，由此可推出人视线与地面的夹角和旗杆顶端反射光线与地面的夹角相等；结合人和旗杆均垂直于地面，可得两个含直角的三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知数据即可求出旗杆高度。
【解析】
设旗杆的高度为$ h \, \mathrm{m} $。
根据光的反射定律，入射角等于反射角，因此二者的余角相等，即小明视线与水平地面的夹角等于旗杆顶端的反射光线与水平地面的夹角。
又因为小明的身高、旗杆均与水平地面垂直，所以由小明、小明到镜子的水平距离、视线构成的三角形，和由旗杆、镜子到旗杆的水平距离、反射光线构成的三角形有两组角对应相等，两个三角形相似。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{\mathrm{小明的身高}}{\mathrm{旗杆高度}} = \frac{\mathrm{小明到镜子的水平距离}}{\mathrm{镜子到旗杆的水平距离}}$
代入数据得$\frac{1.6}{h} = \frac{2}{15}$，
解得$ h = \frac{1.6 × 15}{2} = 12 $。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，相似三角形实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量场景中的典型应用，结合了光的反射的基本常识，解题核心是准确识别相似三角形，找准对应边的比例关系，属于基础类应用题，熟练掌握相似三角形的性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
