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6. 如图，在平面直角坐标系中，点$A(-4,2)$，$B(-2,-2)$。以坐标原点$O$为位似中心，把$△ AOB$缩小得到$△ A_1OB_1$，使$△ A_1OB_1$与$△ AOB$的相似比为$\frac{1}{2}$，则点$A_1$的坐标为
(-2,1)或(2,-1)
。答案
6.(-2,1)或(2,-1)
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似图形的坐标变化规律：当位似中心为坐标原点时，若相似比为k，则位似图形对应点的坐标等于原图形对应点的坐标乘以k或-k，两种情况分别对应位似图形在位似中心的同侧和异侧，解题时两种情况都要考虑，避免漏解。本题中相似比为$\frac{1}{2}$，我们只需将点A的坐标分别乘以$\frac{1}{2}$和$-\frac{1}{2}$，即可得到点$A_1$的坐标。
【解析】
已知位似中心为坐标原点$O$，$△ A_1OB_1$与$△ AOB$的相似比为$\frac{1}{2}$。
根据平面直角坐标系中位似变换的坐标规律：以原点为位似中心的位似图形，相似比为$k$时，对应点的坐标为原坐标乘$k$或$-k$。
点$A$的坐标为$(-4,2)$，分两种情况计算：
1. 当$△ A_1OB_1$与$△ AOB$在位似中心同侧时，点$A_1$的坐标为$(-4×\frac{1}{2},2×\frac{1}{2})$，即$(-2,1)$；
2. 当$△ A_1OB_1$与$△ AOB$在位似中心异侧时，点$A_1$的坐标为$(-4×(-\frac{1}{2}),2×(-\frac{1}{2}))$，即$(2,-1)$。
【答案】
$(-2,1)$或$(2,-1)$
【知识点】
位似的性质，平面直角坐标系中的位似变换
【点评】
本题考查位似变换的坐标规律，解题的关键是明确位似图形可分布在位似中心的两侧，两种情况都要考虑，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似图形的坐标变化规律：当位似中心为坐标原点时，若相似比为k，则位似图形对应点的坐标等于原图形对应点的坐标乘以k或-k，两种情况分别对应位似图形在位似中心的同侧和异侧，解题时两种情况都要考虑，避免漏解。本题中相似比为$\frac{1}{2}$，我们只需将点A的坐标分别乘以$\frac{1}{2}$和$-\frac{1}{2}$，即可得到点$A_1$的坐标。
【解析】
已知位似中心为坐标原点$O$，$△ A_1OB_1$与$△ AOB$的相似比为$\frac{1}{2}$。
根据平面直角坐标系中位似变换的坐标规律：以原点为位似中心的位似图形，相似比为$k$时，对应点的坐标为原坐标乘$k$或$-k$。
点$A$的坐标为$(-4,2)$，分两种情况计算：
1. 当$△ A_1OB_1$与$△ AOB$在位似中心同侧时，点$A_1$的坐标为$(-4×\frac{1}{2},2×\frac{1}{2})$，即$(-2,1)$；
2. 当$△ A_1OB_1$与$△ AOB$在位似中心异侧时，点$A_1$的坐标为$(-4×(-\frac{1}{2}),2×(-\frac{1}{2}))$，即$(2,-1)$。
【答案】
$(-2,1)$或$(2,-1)$
【知识点】
位似的性质，平面直角坐标系中的位似变换
【点评】
本题考查位似变换的坐标规律，解题的关键是明确位似图形可分布在位似中心的两侧，两种情况都要考虑，避免漏解。
【难度系数】
0.6
7. 如图,在平面直角坐标系中,矩形OEFG和矩形ABCD是位似图形,对应点C和F的坐标分别为$(-4,4),(2,1)$,则位似中心的坐标为
(0,2)
。答案
7.(0,2)
解析
【分析】
要确定位似图形的位似中心，需牢记位似中心是位似图形任意两组对应顶点连线的交点。解题思路如下：第一步，先找到两组已知对应点，除题目给出的C、F外，再结合矩形顶点的位置特征找到另一组对应点A、G；第二步，分别求出两组对应点所在直线的解析式；第三步，联立两个直线解析式，求解得到的交点就是位似中心的坐标。
【解析】
位似中心是位似图形两组对应点连线的交点，解题步骤如下：
1. 确定对应点：
已知对应点$C(-4,4)$、$F(2,1)$；
由矩形的性质得：矩形ABCD的顶点A在y轴上，纵坐标与点C的纵坐标相同，故$A(0,4)$；矩形OEFG的顶点G在y轴上，纵坐标与点F的纵坐标相同，故$G(0,1)$，A与G为另一组对应点。
2. 求直线CF的解析式：
设直线CF的解析式为$y=kx+b$，将$C(-4,4)$、$F(2,1)$代入得：
$\begin{cases}4=-4k+b\\1=2k+b\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$3=-6k$，解得$k=-\frac{1}{2}$；
将$k=-\frac{1}{2}$代入$1=2k+b$，得$1=2×(-\frac{1}{2})+b$，解得$b=2$；
因此直线CF的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+2$。
3. 求直线AG的解析式：
点$A(0,4)$、$G(0,1)$都在y轴上，故直线AG的解析式为$x=0$。
4. 求交点坐标：
联立$\begin{cases}x=0\\y=-\frac{1}{2}x+2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=0\\y=2\end{cases}$。
因此位似中心的坐标为$(0,2)$。
【答案】
$(0,2)$
【知识点】
位似图形的性质，一次函数的应用，平面直角坐标系坐标特征
【点评】
本题核心考查位似中心的求解方法，解题的关键是理解位似中心的定义，熟练运用待定系数法求一次函数解析式，再通过联立方程求直线交点得到结果，是位似与一次函数结合的基础题型。
【难度系数】
0.6
要确定位似图形的位似中心，需牢记位似中心是位似图形任意两组对应顶点连线的交点。解题思路如下：第一步，先找到两组已知对应点，除题目给出的C、F外，再结合矩形顶点的位置特征找到另一组对应点A、G；第二步，分别求出两组对应点所在直线的解析式；第三步，联立两个直线解析式，求解得到的交点就是位似中心的坐标。
【解析】
位似中心是位似图形两组对应点连线的交点，解题步骤如下：
1. 确定对应点：
已知对应点$C(-4,4)$、$F(2,1)$；
由矩形的性质得：矩形ABCD的顶点A在y轴上，纵坐标与点C的纵坐标相同，故$A(0,4)$；矩形OEFG的顶点G在y轴上，纵坐标与点F的纵坐标相同，故$G(0,1)$，A与G为另一组对应点。
2. 求直线CF的解析式：
设直线CF的解析式为$y=kx+b$，将$C(-4,4)$、$F(2,1)$代入得：
$\begin{cases}4=-4k+b\\1=2k+b\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$3=-6k$，解得$k=-\frac{1}{2}$；
将$k=-\frac{1}{2}$代入$1=2k+b$，得$1=2×(-\frac{1}{2})+b$，解得$b=2$；
因此直线CF的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+2$。
3. 求直线AG的解析式：
点$A(0,4)$、$G(0,1)$都在y轴上，故直线AG的解析式为$x=0$。
4. 求交点坐标：
联立$\begin{cases}x=0\\y=-\frac{1}{2}x+2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=0\\y=2\end{cases}$。
因此位似中心的坐标为$(0,2)$。
【答案】
$(0,2)$
【知识点】
位似图形的性质，一次函数的应用，平面直角坐标系坐标特征
【点评】
本题核心考查位似中心的求解方法，解题的关键是理解位似中心的定义，熟练运用待定系数法求一次函数解析式，再通过联立方程求直线交点得到结果，是位似与一次函数结合的基础题型。
【难度系数】
0.6
8. 如图,在平面直角坐标系中,$A(3,6)$,$B(-3,0)$,$C(6,0)$。
(1)以原点$O$为位似中心,在$x$轴上方作$△ A_{1}B_{1}C_{1}$,使$△ A_{1}B_{1}C_{1}$与$△ ABC$位似,且相似比为$\frac{1}{3}$；
(2)在(1)中,点$A_{1}$的坐标为________, $△ ABC$边上任意一点$D(a,b)$的对应点$D_{1}$的坐标为________。
(1)以原点$O$为位似中心,在$x$轴上方作$△ A_{1}B_{1}C_{1}$,使$△ A_{1}B_{1}C_{1}$与$△ ABC$位似,且相似比为$\frac{1}{3}$；
(2)在(1)中,点$A_{1}$的坐标为________, $△ ABC$边上任意一点$D(a,b)$的对应点$D_{1}$的坐标为________。
答案
8.(1)解:如图,△A₁B₁C₁ 即为所求
。(2)$(1,2)$ $(\frac{1}{3}a,\frac{1}{3}b)$
解析
【分析】
本题考查位似图形的作图及坐标变换，解题思路如下：
1. 解决第(1)问：首先明确位似中心是原点O，相似比为$\frac{1}{3}$，且图形在x轴上方，根据以原点为位似中心的坐标变换规律，将△ABC三个顶点的横、纵坐标都乘以$\frac{1}{3}$，得到对应顶点$A_1,B_1,C_1$的坐标，再顺次连接三个点即可得到所求位似图形。
2. 解决第(2)问：直接应用上述坐标变换规律，代入点A的坐标计算得到$A_1$的坐标，再推广到任意点D的对应点坐标即可。
【解析】
(1) 计算对应点坐标：
点A(3,6)的对应点$A_1$坐标为$(3×\frac{1}{3},6×\frac{1}{3})=(1,2)$，
点B(-3,0)的对应点$B_1$坐标为$(-3×\frac{1}{3},0×\frac{1}{3})=(-1,0)$，
点C(6,0)的对应点$C_1$坐标为$(6×\frac{1}{3},0×\frac{1}{3})=(2,0)$，
在坐标系中描出$A_1,B_1,C_1$三点，顺次连接三点，得到的$△ A_1B_1C_1$即为所求。
(2) 由上述坐标变换规律可得：
点$A_1$的坐标为$(1,2)$；
若$△ ABC$边上任意一点D的坐标为$(a,b)$，则它的对应点$D_1$的坐标为$(\frac{1}{3}a,\frac{1}{3}b)$。
【答案】
(1)
(2) $(1,2)$；$(\frac{1}{3}a,\frac{1}{3}b)$
【知识点】
位似的性质，坐标与位似变换，位似作图
【点评】
本题是位似变换的基础应用题，重点考查以原点为位似中心时位似图形对应点的坐标变化规律，解题时需注意位似图形的位置要求，避免符号错误，熟练掌握坐标变换规则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
本题考查位似图形的作图及坐标变换，解题思路如下：
1. 解决第(1)问：首先明确位似中心是原点O，相似比为$\frac{1}{3}$，且图形在x轴上方，根据以原点为位似中心的坐标变换规律，将△ABC三个顶点的横、纵坐标都乘以$\frac{1}{3}$，得到对应顶点$A_1,B_1,C_1$的坐标，再顺次连接三个点即可得到所求位似图形。
2. 解决第(2)问：直接应用上述坐标变换规律，代入点A的坐标计算得到$A_1$的坐标，再推广到任意点D的对应点坐标即可。
【解析】
(1) 计算对应点坐标：
点A(3,6)的对应点$A_1$坐标为$(3×\frac{1}{3},6×\frac{1}{3})=(1,2)$，
点B(-3,0)的对应点$B_1$坐标为$(-3×\frac{1}{3},0×\frac{1}{3})=(-1,0)$，
点C(6,0)的对应点$C_1$坐标为$(6×\frac{1}{3},0×\frac{1}{3})=(2,0)$，
在坐标系中描出$A_1,B_1,C_1$三点，顺次连接三点，得到的$△ A_1B_1C_1$即为所求。
(2) 由上述坐标变换规律可得：
点$A_1$的坐标为$(1,2)$；
若$△ ABC$边上任意一点D的坐标为$(a,b)$，则它的对应点$D_1$的坐标为$(\frac{1}{3}a,\frac{1}{3}b)$。
【答案】
(1)
(2) $(1,2)$；$(\frac{1}{3}a,\frac{1}{3}b)$
【知识点】
位似的性质，坐标与位似变换，位似作图
【点评】
本题是位似变换的基础应用题，重点考查以原点为位似中心时位似图形对应点的坐标变化规律，解题时需注意位似图形的位置要求，避免符号错误，熟练掌握坐标变换规则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
9. 如图,在平面直角坐标系中,$A(2,1)$,$B(1,-2)$。
(1)以原点$O$为位似中心,在$y$轴右侧画$△ OAB$的一个位似三角形$OA_1B_1$,使它与$△ OAB$的相似比为$2$。
(2)$△ OA_1B_1$的面积为
(3)将$△ OAB$先向左平移$2$个单位长度,再向上平移$1$个单位长度后得到$△ O_2A_2B_2$,画出$△ O_2A_2B_2$。$△ OA_1B_1$与$△ O_2A_2B_2$是位似图形吗?若是,请在图中标出位似中心$M$,并直接写出点$M$的坐标。
(1)以原点$O$为位似中心,在$y$轴右侧画$△ OAB$的一个位似三角形$OA_1B_1$,使它与$△ OAB$的相似比为$2$。
(2)$△ OA_1B_1$的面积为
10
。(3)将$△ OAB$先向左平移$2$个单位长度,再向上平移$1$个单位长度后得到$△ O_2A_2B_2$,画出$△ O_2A_2B_2$。$△ OA_1B_1$与$△ O_2A_2B_2$是位似图形吗?若是,请在图中标出位似中心$M$,并直接写出点$M$的坐标。
答案
9.(1)解:如图,△OA₁B₁ 即为所求
。(2)10
(3)解:如图,△O₂A₂B₂ 即为所求。△OA₁B₁ 与△O₂A₂B₂ 是位似图形,位似中心 M 的坐标为(-4,2)。
解析
【分析】
(1) 以原点为位似中心的位似变换，若相似比为$k$，且图形在$y$轴右侧，则对应点坐标为原坐标乘正数$k$，先计算$A$、$B$的对应点坐标，再顺次连线即可画出位似图形。
(2) 可先求出原$△ OAB$的面积，再利用相似图形面积比等于相似比的平方，计算$△ OA_1B_1$的面积；也可直接通过割补法计算坐标已知的$△ OA_1B_1$的面积。
(3) 平移遵循“横坐标左减右加、纵坐标上加下减”的规则，据此计算平移后各对应点的坐标画出图形；再连接两个三角形的对应顶点，若连线交于同一点则为位似图形，该交点即为位似中心，计算交点坐标即可。
【解析】
(1) 位似比为2，且在$y$轴右侧，因此各对应点坐标为原坐标乘2：
$A(2,1)$的对应点$A_1$坐标为$(2×2,1×2)=(4,2)$，$B(1,-2)$的对应点$B_1$坐标为$(1×2,-2×2)=(2,-4)$，顺次连接$O$、$A_1$、$B_1$，得到$△ OA_1B_1$。
(2) 首先计算原$△ OAB$的面积：对于以原点为一个顶点的三角形，面积公式为$S=\frac{1}{2}\left|x_A y_B - x_B y_A\right|$，代入$A(2,1)$、$B(1,-2)$，得$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}\left|2×(-2)-1×1\right|=\frac{5}{2}$。
因为$△ OA_1B_1$与$△ OAB$的相似比为2，所以面积比为$2^2=4$，因此$S_{△ OA_1B_1}=\frac{5}{2}×4=10$。
(3) 按照平移规则计算各点平移后坐标：
$O(0,0)$平移后为$O_2(0-2,0+1)=(-2,1)$，$A(2,1)$平移后为$A_2(2-2,1+1)=(0,2)$，$B(1,-2)$平移后为$B_2(1-2,-2+1)=(-1,-1)$，顺次连接三点得到$△ O_2A_2B_2$。
连接$O$与$O_2$、$A_1$与$A_2$、$B_1$与$B_2$，三条连线交于同一点，故两个三角形是位似图形，计算得该交点$M$的坐标为$(-4,2)$。
【答案】
(1) 如图，△OA₁B₁ 即为所求。
(2) 10
(3) 如图，△O₂A₂B₂ 即为所求。△OA₁B₁ 与△O₂A₂B₂ 是位似图形，位似中心 M 的坐标为(-4,2)。
【知识点】
位似图形的性质，坐标与平移变换，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了位似、平移两类图形变换的规律，以及三角形面积的计算方法，需要熟练掌握坐标变换的规则，能灵活运用相似的性质简化计算。
【难度系数】
0.7
(1) 以原点为位似中心的位似变换，若相似比为$k$，且图形在$y$轴右侧，则对应点坐标为原坐标乘正数$k$，先计算$A$、$B$的对应点坐标，再顺次连线即可画出位似图形。
(2) 可先求出原$△ OAB$的面积，再利用相似图形面积比等于相似比的平方，计算$△ OA_1B_1$的面积；也可直接通过割补法计算坐标已知的$△ OA_1B_1$的面积。
(3) 平移遵循“横坐标左减右加、纵坐标上加下减”的规则，据此计算平移后各对应点的坐标画出图形；再连接两个三角形的对应顶点，若连线交于同一点则为位似图形，该交点即为位似中心，计算交点坐标即可。
【解析】
(1) 位似比为2，且在$y$轴右侧，因此各对应点坐标为原坐标乘2：
$A(2,1)$的对应点$A_1$坐标为$(2×2,1×2)=(4,2)$，$B(1,-2)$的对应点$B_1$坐标为$(1×2,-2×2)=(2,-4)$，顺次连接$O$、$A_1$、$B_1$，得到$△ OA_1B_1$。
(2) 首先计算原$△ OAB$的面积：对于以原点为一个顶点的三角形，面积公式为$S=\frac{1}{2}\left|x_A y_B - x_B y_A\right|$，代入$A(2,1)$、$B(1,-2)$，得$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}\left|2×(-2)-1×1\right|=\frac{5}{2}$。
因为$△ OA_1B_1$与$△ OAB$的相似比为2，所以面积比为$2^2=4$，因此$S_{△ OA_1B_1}=\frac{5}{2}×4=10$。
(3) 按照平移规则计算各点平移后坐标：
$O(0,0)$平移后为$O_2(0-2,0+1)=(-2,1)$，$A(2,1)$平移后为$A_2(2-2,1+1)=(0,2)$，$B(1,-2)$平移后为$B_2(1-2,-2+1)=(-1,-1)$，顺次连接三点得到$△ O_2A_2B_2$。
连接$O$与$O_2$、$A_1$与$A_2$、$B_1$与$B_2$，三条连线交于同一点，故两个三角形是位似图形，计算得该交点$M$的坐标为$(-4,2)$。
【答案】
(1) 如图，△OA₁B₁ 即为所求
。(2) 10
(3) 如图，△O₂A₂B₂ 即为所求。△OA₁B₁ 与△O₂A₂B₂ 是位似图形，位似中心 M 的坐标为(-4,2)。
【知识点】
位似图形的性质，坐标与平移变换，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了位似、平移两类图形变换的规律，以及三角形面积的计算方法，需要熟练掌握坐标变换的规则，能灵活运用相似的性质简化计算。
【难度系数】
0.7
