12. 如图所示的是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数$x,y$的系数与相应的常数项.如图1所示的算筹图用方程组的形式表述出来，就是
$\begin{cases} 3x+2y=19, \\ x+4y=23. \end{cases}$
类似地，图2所示的算筹图可以表述为.

12.$\begin{cases} x+3y=18, \\ 2x+4y=26 \end{cases}$

【分析】
解题时首先结合题目给出的图1和对应的方程组，梳理算筹的计数规则：①每行从左到右的三个算筹，依次对应二元一次方程中x的系数、y的系数、常数项；②x、y的系数等于对应算筹的竖线根数；③常数项的计数规则为：算筹上方每根横线代表10，下方每根竖线代表1，两者相加即为常数项的数值。接下来按照该规则，分别数出图2两行算筹对应的x系数、y系数、常数项，即可列出对应的方程组。
【解析】
首先根据图1的对应关系明确计数规则：每行从左到右依次为x的系数、y的系数、常数项，1根竖线代表1，常数项中1根上方横线代表10。
1. 分析图2第一行：x的系数为1（1根竖线），y的系数为3（3根竖线），常数项为$1×10+8=18$，得到第一个方程：$x+3y=18$。
2. 分析图2第二行：x的系数为2（2根竖线），y的系数为4（4根竖线），常数项为$2×10+6=26$，得到第二个方程：$2x+4y=26$。
因此图2对应的方程组为$\begin{cases} x+3y=18, \\ 2x+4y=26 \end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} x+3y=18, \\ 2x+4y=26 \end{cases}$
【知识点】
列二元一次方程组，规律探究，算筹计数法
【点评】
本题以我国古代数学文化为背景，考查学生的信息提取和规律探究能力，只要准确梳理示例中的对应规则，细心计数即可正确解答。
【难度系数】
0.7

13. 小亮解出方程组$\begin{cases}2x+y=●, \\2x-y=12\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=5, \\y=★,\end{cases}$由于不小心，滴上了两滴墨水，恰好遮住了两个数●和★，请帮他找回●这个数：●= ______ 。

13.8

【分析】
本题需要利用二元一次方程组解的性质求解：方程组的解一定满足方程组中的每一个方程。已知解中的$x=5$，首先将$x=5$代入没有被遮盖的第二个方程，求出$y$的值（也就是★），再将$x$和$y$的值代入第一个方程，即可计算出被遮盖的●的值。
【解析】
第一步：将$x=5$代入方程$2x-y=12$，得：
$\begin{aligned}2×5 - y &= 12 \\10 - y &= 12 \\y &= -2\end{aligned}$
即★$=-2$。
第二步：将$x=5$，$y=-2$代入方程$2x+y=●$，得：
$●=2×5 + (-2)=10-2=8$
【答案】
8
【知识点】
二元一次方程组的解；代入求值
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解二元一次方程组的解的含义，即解能使方程组中每个方程的左右两边相等，解题时先利用已知条件求出未知的$y$值，再代入计算即可。
【难度系数】
0.85

14. 如果三角形的三个内角分别是$x°,y°,y°$,求:
(1)$x,y$满足的关系式.
(2)当$x=90$时,$y$的值.
(3)当$y=60$时,$x$的值.

解:(1)由三角形内角和定理,得$x+2y=180.$
(2)当$x=90$时,$90+2y=180$,解得$y=45.$
(3)当$y=60$时,$x+120=180$,解得$x=60.$

【分析】
本题核心依据三角形内角和定理解题：①第(1)问，利用“三角形三个内角之和为180°”，将三个内角相加列等式，化简即可得到x与y的关系式；②第(2)问，将已知的x值代入第(1)问得到的关系式，解一元一次方程即可求出y的值；③第(3)问，将已知的y值代入第(1)问得到的关系式，解一元一次方程即可求出x的值。
【解析】
(1) 根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，结合题中三个内角的度数可得：
$x + y + y = 180$
整理得：$x + 2y = 180$
(2) 把$x=90$代入$x + 2y = 180$中，得：
$90 + 2y = 180$
移项计算得$2y = 90$，系数化为1得$y = 45$
(3) 把$y=60$代入$x + 2y = 180$中，得：
$x + 2×60 = 180$
计算得$x + 120 = 180$，移项得$x = 60$
【答案】
(1)$x+2y=180$；(2)$45$；(3)$60$
【知识点】
三角形内角和定理；解一元一次方程；代入求值
【点评】
本题属于基础题型，重点考察基础定理的应用能力和简单方程的计算能力，只要熟练掌握三角形内角和定理及一元一次方程的解法就能顺利得分。
【难度系数】
0.9

15.某两位数，两个数位上的数字之和为11.这个两位数加上45，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，求原两位数.
(1)列一元一次方程求解.
(2)设原两位数的十位数字为$ x $，个位数字为$ y $，列二元一次方程组.
(3)检验(1)中求得的结果是否满足(2)中的方程组.

解:(1)设原两位数的个位数字为$m$,则十位数字为$(11-m)$.依题意,得$10×(11-m)+m+45=10m+(11-m)$,解得$m=8. \therefore 11-m=3. \therefore$原两位数为38.
(2)依题意列二元一次方程组,得$\begin{cases} x+y=11, \\ 10x+y+45=10y+x. \end{cases}$
(3)结合(1),可知$x=3,y=8, \therefore x+y=11,10x+y+45=83=10y+x. \therefore$(1)中求得的结果满足(2)中的方程组.

【分析】
(1) 用一元一次方程求解时，首先明确两位数的表示规则：十位数字×10+个位数字。已知两个数位数字之和为11，可设其中一个数位的数字为未知数，另一个数位数字用含未知数的代数式表示，再根据“原两位数+45=数字交换位置后的两位数”的等量关系列方程，求解后即可得到原两位数。
(2) 列二元一次方程组时，题目已给出十位数字为$x$、个位数字为$y$，第一个等量关系是“两个数位数字之和为11”，可列第一个方程；第二个等量关系和(1)一致，即原数加45等于数字交换后的数，据此列第二个方程，联立即可得到方程组。
(3) 检验时，将(1)中求得的十位、个位数字对应代入(2)的两个方程，若两个方程左右两边均相等，就说明结果满足方程组。
【解析】
(1) 设原两位数的个位数字为$m$，则十位数字为$(11-m)$。
原两位数可表示为$10(11-m)+m$，数字交换位置后的两位数为$10m+(11-m)$。
依题意列方程：
$10×(11-m)+m+45=10m+(11-m)$
展开计算：$110-9m+45=9m+11$
移项合并：$18m=144$
解得$m=8$，则十位数字为$11-8=3$，因此原两位数为38。
(2) 设原两位数的十位数字为$x$，个位数字为$y$。
根据两数字之和为11得$x+y=11$；根据原数加45等于交换数位后的数得$10x+y+45=10y+x$。
联立得方程组：$\begin{cases} x+y=11 \\ 10x+y+45=10y+x \end{cases}$
(3) 由(1)可知$x=3$，$y=8$。
代入第一个方程：左边$=3+8=11=$右边，方程成立；
代入第二个方程：左边$=10×3+8+45=83$，右边$=10×8+3=83$，左边=右边，方程成立。
因此(1)中求得的结果满足(2)中的方程组。
【答案】
(1) 原两位数为38；
(2) 方程组为$\begin{cases} x+y=11 \\ 10x+y+45=10y+x \end{cases}$；
(3) (1)中求得的结果满足(2)中的方程组。
【知识点】
两位数的表示，一元一次方程应用，方程组的检验
【点评】
本题属于基础的数字类方程应用题，核心是掌握两位数的表示方法，准确梳理题目中的等量关系列方程（组），同时能帮助理解一元一次方程和二元一次方程组解决实际问题的关联，养成解后检验的良好习惯。
【难度系数】
0.7

1. 已知$\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$是二元一次方程$3x - ay = 1$的一个解，则$a$的值为 ______ 。

1.1

【分析】
本题可根据二元一次方程解的定义求解，已知一组数是方程的解，说明这组数代入方程后，方程左右两边相等。因此我们只需要将x=1、y=2代入给定的二元一次方程，就能得到一个只含有未知数a的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出a的值。
【解析】
解：
∵ $\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$是二元一次方程$3x - ay = 1$的一个解，
∴ 将$x=1$，$y=2$代入方程，得：
$3×1 - a×2 = 1$
整理得：$3 - 2a = 1$
移项，得：$-2a = 1 - 3$
合并同类项，得：$-2a = -2$
系数化为1，得：$a = 1$
【答案】
1
【知识点】
1.二元一次方程的解的定义 2.解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二元一次方程解的概念的应用，只要掌握“方程的解代入原方程等式成立”这一规律，结合一元一次方程的解法就能顺利解答，是这类知识点考查的典型基础题。
【难度系数】
0.9

2. 若关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax+y=2,\\x-by=3\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=2,\\y=-1,\end{cases}$则$2a-b$的值是 ______ 。

2.2

【分析】
二元一次方程组的解是能同时满足方程组中所有方程的未知数取值，因此解题思路如下：第一步，将已知的x、y的解代入原方程组，把原方程组转化为只含a、b的两个一元一次方程；第二步，分别求解两个一元一次方程，得到2a的值和b的值；第三步，将所求值代入2a - b计算即可得到结果。
【解析】
∵ $\begin{cases}x=2\\y=-1\end{cases}$是方程组$\begin{cases}ax+y=2\\x-by=3\end{cases}$的解
∴ 将解代入原方程组，两个方程均成立，可得：
$\begin{cases}2a + (-1) = 2 \\2 - b×(-1) = 3 \end{cases}$
解第一个方程：
$2a - 1 = 2$，移项得$2a = 3$
解第二个方程：
$2 + b = 3$，移项得$b = 1$
将$2a=3$，$b=1$代入$2a - b$得：
$2a - b = 3 - 1 = 2$
【答案】
2
【知识点】
二元一次方程组的解的定义，解一元一次方程，代数式求值
【点评】
本题为基础题，核心考查对二元一次方程组解的概念的理解，解题关键是牢记“方程组的解满足方程组内的每一个方程”，计算时注意符号处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8

3. 已知$\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$是方程$ax+by=3$的解，则代数式$2a+4b-5$的值为 ______ 。

3.1

【分析】
解题时首先回忆二元一次方程解的定义：如果一组数是二元一次方程的解，将这组数代入方程后等式一定成立。因此第一步先把已知的$\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$代入方程$ax+by=3$，得到$a$和$b$的数量关系。再观察待求代数式$2a+4b-5$的结构，发现$2a+4b$是$a+2b$的2倍，所以不需要单独求出$a$、$b$的具体值，用整体代入法计算即可。
【解析】
解：$\because \begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$是方程$ax+by=3$的解，
$\therefore$将$x=1$、$y=2$代入方程，得：
$a×1 + b×2 = 3$，即$a+2b=3$。
对代数式$2a+4b-5$变形可得：
$2a+4b-5=2(a+2b)-5$，
将$a+2b=3$代入上式，得：
$2×3 -5=6-5=1$。
【答案】
$1$
【知识点】
二元一次方程的解，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题是基础题型，核心考查二元一次方程解的概念的应用，解题关键是掌握方程解的定义，灵活运用整体代入思想简化运算，减少计算量。
【难度系数】
0.8