登录
1. 化简:
(1) $\sqrt{25 × 49} =$
(2) $\sqrt{16 × 3} =$
(3) $\sqrt{\dfrac{5}{64}} = \dfrac{(\quad)}{(\quad)} =$
(1) $\sqrt{25 × 49} =$
$\sqrt{25}$
$×$ $\sqrt{49}$
$=$ $5$
$×$ $7$
$=$ $35$
$·$(2) $\sqrt{16 × 3} =$
$\sqrt{16}$
$×$ $\sqrt{3}$
$=$ $4$
$×$ $\sqrt{3}$
$=$ $4\sqrt{3}$
$·$(3) $\sqrt{\dfrac{5}{64}} = \dfrac{(\quad)}{(\quad)} =$
$\dfrac{\sqrt{5}}{8}$
$·$答案
1.(1) $\sqrt{25} × \sqrt{49} =5 ×7 =35$
(2) $\sqrt{16} ×\sqrt{3} =4 ×\sqrt{3} =4\sqrt{3}$
(3) $\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{64}} =\dfrac{\sqrt{5}}{8}$
(2) $\sqrt{16} ×\sqrt{3} =4 ×\sqrt{3} =4\sqrt{3}$
(3) $\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{64}} =\dfrac{\sqrt{5}}{8}$
解析
【分析】
本题考查二次根式的基础化简，解题核心是运用二次根式的两个基本性质：1.积的算术平方根等于各因式算术平方根的积，即$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$；2.商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ (a≥0,b＞0)$。
解题思路：
(1) 遇到根号下两数乘积的形式，先按积的算术平方根性质拆分为两个二次根式相乘，再分别计算完全平方数的算术平方根，最后相乘得结果；
(2) 根号下的乘积中16是能开尽方的因数，拆分后将16开方为整数，无法开方的$\sqrt{3}$保留，合并得结果；
(3) 遇到根号下的分数，按商的算术平方根性质拆分为分子、分母的二次根式相除，分母64是完全平方数，开方为整数，分子保留根号形式即可。
【解析】
(1) 依据积的算术平方根性质计算：
$\sqrt{25 × 49} = \sqrt{25} × \sqrt{49} = 5 ×7 =35$
(2) 拆分后提取可开尽方的因数计算：
$\sqrt{16 × 3} = \sqrt{16} × \sqrt{3} = 4 ×\sqrt{3} =4\sqrt{3}$
(3) 依据商的算术平方根性质计算：
$\sqrt{\dfrac{5}{64}} = \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{64}} = \dfrac{\sqrt{5}}{8}$
【答案】
(1) $\sqrt{25}$，$\sqrt{49}$，$5$，$7$，$35$
(2) $\sqrt{16}$，$\sqrt{3}$，$4$，$\sqrt{3}$，$4\sqrt{3}$
(3) $\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{64}}$，$\dfrac{\sqrt{5}}{8}$
【知识点】
二次根式化简，积的算术平方根性质，商的算术平方根性质
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，主要考察二次根式基本化简规则的运用，熟练掌握积和商的算术平方根性质即可快速解题，注意根号内能开尽方的因数要全部开方，是后续复杂二次根式运算的重要基础。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的基础化简，解题核心是运用二次根式的两个基本性质：1.积的算术平方根等于各因式算术平方根的积，即$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$；2.商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ (a≥0,b＞0)$。
解题思路：
(1) 遇到根号下两数乘积的形式，先按积的算术平方根性质拆分为两个二次根式相乘，再分别计算完全平方数的算术平方根，最后相乘得结果；
(2) 根号下的乘积中16是能开尽方的因数，拆分后将16开方为整数，无法开方的$\sqrt{3}$保留，合并得结果；
(3) 遇到根号下的分数，按商的算术平方根性质拆分为分子、分母的二次根式相除，分母64是完全平方数，开方为整数，分子保留根号形式即可。
【解析】
(1) 依据积的算术平方根性质计算：
$\sqrt{25 × 49} = \sqrt{25} × \sqrt{49} = 5 ×7 =35$
(2) 拆分后提取可开尽方的因数计算：
$\sqrt{16 × 3} = \sqrt{16} × \sqrt{3} = 4 ×\sqrt{3} =4\sqrt{3}$
(3) 依据商的算术平方根性质计算：
$\sqrt{\dfrac{5}{64}} = \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{64}} = \dfrac{\sqrt{5}}{8}$
【答案】
(1) $\sqrt{25}$，$\sqrt{49}$，$5$，$7$，$35$
(2) $\sqrt{16}$，$\sqrt{3}$，$4$，$\sqrt{3}$，$4\sqrt{3}$
(3) $\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{64}}$，$\dfrac{\sqrt{5}}{8}$
【知识点】
二次根式化简，积的算术平方根性质，商的算术平方根性质
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，主要考察二次根式基本化简规则的运用，熟练掌握积和商的算术平方根性质即可快速解题，注意根号内能开尽方的因数要全部开方，是后续复杂二次根式运算的重要基础。
【难度系数】
0.8
2. 若$\sqrt{\dfrac{x+1}{2-x}}=\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2-x}}$成立，则$x$的值可以是（
A.－2
B.0
C.2
D.3
B
）A.－2
B.0
C.2
D.3
答案
2.B
解析
【分析】
这道题考查二次根式除法法则的成立条件，解题思路如下：首先要明确商的算术平方根等于算术平方根的商这一规则成立的前提，一是分子的被开方数非负，保证分子的二次根式有意义；二是分母的被开方数为正，既保证分母的二次根式有意义，又满足分母不为0的要求。先根据这两个条件列出不等式组，求出x的取值范围，再逐一核对选项中的值是否在取值范围内即可得到答案。
【解析】
要使$\sqrt{\dfrac{x+1}{2-x}}=\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2-x}}$成立，需同时满足二次根式和分式有意义的条件，据此列不等式组：
$\begin{cases}x+1≥0 \quad ①\\2-x＞0 \quad ②\end{cases}$
解不等式①得：$x≥ -1$
解不等式②得：$x＜2$
因此x的取值范围是$\boldsymbol{-1≤ x＜2}$。
逐一核对选项：
A. $-2＜-1$，不符合取值范围，排除；
B. $-1≤ 0＜2$，符合取值范围，正确；
C. $2$不满足$2-x＞0$，排除；
D. $3＞2$，不符合取值范围，排除。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的除法法则；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是牢记二次根式的被开方数非负、分母不为0的限制，避免因忽略分母的被开方数不能等于0的要求错选答案。
【难度系数】
0.8
这道题考查二次根式除法法则的成立条件，解题思路如下：首先要明确商的算术平方根等于算术平方根的商这一规则成立的前提，一是分子的被开方数非负，保证分子的二次根式有意义；二是分母的被开方数为正，既保证分母的二次根式有意义，又满足分母不为0的要求。先根据这两个条件列出不等式组，求出x的取值范围，再逐一核对选项中的值是否在取值范围内即可得到答案。
【解析】
要使$\sqrt{\dfrac{x+1}{2-x}}=\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2-x}}$成立，需同时满足二次根式和分式有意义的条件，据此列不等式组：
$\begin{cases}x+1≥0 \quad ①\\2-x＞0 \quad ②\end{cases}$
解不等式①得：$x≥ -1$
解不等式②得：$x＜2$
因此x的取值范围是$\boldsymbol{-1≤ x＜2}$。
逐一核对选项：
A. $-2＜-1$，不符合取值范围，排除；
B. $-1≤ 0＜2$，符合取值范围，正确；
C. $2$不满足$2-x＞0$，排除；
D. $3＞2$，不符合取值范围，排除。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的除法法则；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是牢记二次根式的被开方数非负、分母不为0的限制，避免因忽略分母的被开方数不能等于0的要求错选答案。
【难度系数】
0.8
3. 下列式子成立的是（
A.$\sqrt{(-4)^2}=-4$
B.$\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}$
C.$\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
D.$\sqrt{(-4)×(-3)}=\sqrt{-4}×\sqrt{-3}$
B
）A.$\sqrt{(-4)^2}=-4$
B.$\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}$
C.$\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
D.$\sqrt{(-4)×(-3)}=\sqrt{-4}×\sqrt{-3}$
答案
3.B
解析
【分析】
本题考查二次根式的相关性质与运算法则，解题时需结合二次根式的非负性、积/商的算术平方根的运算规则，以及二次根式有意义的条件（被开方数非负），逐一判断每个选项是否成立。首先明确核心判断依据：①二次根式的计算结果为非负数；②积的算术平方根$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$成立的前提是$a≥0,b≥0$；③商的算术平方根$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$成立的前提是$a≥0,b＞0$。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：先计算被开方数$(-4)^2=16$，$\sqrt{16}=4$，二次根式结果非负，不可能为$-4$，因此A错误。
选项B：4和3均为非负数，符合积的算术平方根的适用条件，因此$\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}$，B正确。
选项C：根据商的算术平方根规则，$\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}≠\frac{\sqrt{3}}{4}$，因此C错误。
选项D：二次根式的被开方数必须为非负数，$\sqrt{-4}$和$\sqrt{-3}$的被开方数为负，无意义，等式不成立，因此D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的性质；二次根式乘除法则
【点评】
本题属于二次根式的基础考查题，重点易错点在于忽略二次根式被开方数必须非负的隐含条件，以及记错商的算术平方根的运算规则，掌握核心性质即可快速判断。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的相关性质与运算法则，解题时需结合二次根式的非负性、积/商的算术平方根的运算规则，以及二次根式有意义的条件（被开方数非负），逐一判断每个选项是否成立。首先明确核心判断依据：①二次根式的计算结果为非负数；②积的算术平方根$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$成立的前提是$a≥0,b≥0$；③商的算术平方根$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$成立的前提是$a≥0,b＞0$。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：先计算被开方数$(-4)^2=16$，$\sqrt{16}=4$，二次根式结果非负，不可能为$-4$，因此A错误。
选项B：4和3均为非负数，符合积的算术平方根的适用条件，因此$\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}$，B正确。
选项C：根据商的算术平方根规则，$\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}≠\frac{\sqrt{3}}{4}$，因此C错误。
选项D：二次根式的被开方数必须为非负数，$\sqrt{-4}$和$\sqrt{-3}$的被开方数为负，无意义，等式不成立，因此D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的性质；二次根式乘除法则
【点评】
本题属于二次根式的基础考查题，重点易错点在于忽略二次根式被开方数必须非负的隐含条件，以及记错商的算术平方根的运算规则，掌握核心性质即可快速判断。
【难度系数】
0.8
4. 计算:
(1) $\sqrt{4 × 225}$.
(2) $\sqrt{81 × 7}$.
(3) $\sqrt{\dfrac{4 × 2}{25}}$.
(1) $\sqrt{4 × 225}$.
(2) $\sqrt{81 × 7}$.
(3) $\sqrt{\dfrac{4 × 2}{25}}$.
答案
4.解:(1)原式$=\sqrt{4}×\sqrt{225}=2×15=30.$
(2)原式$=\sqrt{81}×\sqrt{7}=9\sqrt{7}.$
(3)原式$=\dfrac{\sqrt{4×2}}{\sqrt{25}}=\dfrac{\sqrt{4}×\sqrt{2}}{5}=\dfrac{2\sqrt{2}}{5}.$
(2)原式$=\sqrt{81}×\sqrt{7}=9\sqrt{7}.$
(3)原式$=\dfrac{\sqrt{4×2}}{\sqrt{25}}=\dfrac{\sqrt{4}×\sqrt{2}}{5}=\dfrac{2\sqrt{2}}{5}.$
解析
【分析】
解决这道题需要用到二次根式的两个核心运算性质：①积的算术平方根等于各非负因数算术平方根的积，即$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$）；②商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以正除数的算术平方根，即$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0,b＞0$）。解题时先观察被开方数的结构，将被开方数拆分为完全平方数和其余因数的乘积/商的形式，再分别开方，把能开尽方的因数移出根号，最终得到最简结果即可。
【解析】
(1) 利用积的算术平方根性质拆分计算：
原式$=\sqrt{4}×\sqrt{225}=2×15=30$
(2) 利用积的算术平方根性质拆分，开不尽方的因数保留根号：
原式$=\sqrt{81}×\sqrt{7}=9\sqrt{7}$
(3) 先利用商的算术平方根性质拆分分子分母，再对分子用积的算术平方根性质计算：
原式$=\dfrac{\sqrt{4×2}}{\sqrt{25}}=\dfrac{\sqrt{4}×\sqrt{2}}{5}=\dfrac{2\sqrt{2}}{5}$
【答案】
(1)$30$；(2)$9\sqrt{7}$；(3)$\dfrac{2\sqrt{2}}{5}$
【知识点】
1.积的算术平方根性质
2.商的算术平方根性质
3.二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题型，重点考查对二次根式运算性质的理解与运用，解题时需注意正确拆分被开方数，确保所有能开尽方的因数都移出根号，熟练掌握此类运算可为后续二次根式的混合运算打好基础。
【难度系数】
0.9
解决这道题需要用到二次根式的两个核心运算性质：①积的算术平方根等于各非负因数算术平方根的积，即$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$）；②商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以正除数的算术平方根，即$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0,b＞0$）。解题时先观察被开方数的结构，将被开方数拆分为完全平方数和其余因数的乘积/商的形式，再分别开方，把能开尽方的因数移出根号，最终得到最简结果即可。
【解析】
(1) 利用积的算术平方根性质拆分计算：
原式$=\sqrt{4}×\sqrt{225}=2×15=30$
(2) 利用积的算术平方根性质拆分，开不尽方的因数保留根号：
原式$=\sqrt{81}×\sqrt{7}=9\sqrt{7}$
(3) 先利用商的算术平方根性质拆分分子分母，再对分子用积的算术平方根性质计算：
原式$=\dfrac{\sqrt{4×2}}{\sqrt{25}}=\dfrac{\sqrt{4}×\sqrt{2}}{5}=\dfrac{2\sqrt{2}}{5}$
【答案】
(1)$30$；(2)$9\sqrt{7}$；(3)$\dfrac{2\sqrt{2}}{5}$
【知识点】
1.积的算术平方根性质
2.商的算术平方根性质
3.二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题型，重点考查对二次根式运算性质的理解与运用，解题时需注意正确拆分被开方数，确保所有能开尽方的因数都移出根号，熟练掌握此类运算可为后续二次根式的混合运算打好基础。
【难度系数】
0.9
5. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（
A.$\sqrt{4}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
B
）A.$\sqrt{4}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
答案
5.B
解析
【分析】
要判断哪个选项是最简二次根式，首先要牢记最简二次根式的两个判定标准：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们只需按照这两个标准逐个验证选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：$\sqrt{4}$的被开方数4是$2^2$，属于能开得尽方的因数，$\sqrt{4}=2$，因此不是最简二次根式；
选项B：$\sqrt{5}$的被开方数5是整数，且不存在能开得尽方的因数，符合最简二次根式的所有要求；
选项C：$\sqrt{8}$的被开方数8可拆分为$4×2$，其中4是$2^2$，属于能开得尽方的因数，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，因此不是最简二次根式；
选项D：$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$的被开方数含有分母，不符合要求，化简后为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，因此不是最简二次根式。
综上，只有B选项属于最简二次根式。
【答案】B
【知识点】最简二次根式的判定；二次根式的化简
【点评】本题属于基础题，主要考查对最简二次根式定义的理解，只要熟练掌握最简二次根式的两个判断条件，就能快速完成解答。
【难度系数】0.9
要判断哪个选项是最简二次根式，首先要牢记最简二次根式的两个判定标准：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们只需按照这两个标准逐个验证选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：$\sqrt{4}$的被开方数4是$2^2$，属于能开得尽方的因数，$\sqrt{4}=2$，因此不是最简二次根式；
选项B：$\sqrt{5}$的被开方数5是整数，且不存在能开得尽方的因数，符合最简二次根式的所有要求；
选项C：$\sqrt{8}$的被开方数8可拆分为$4×2$，其中4是$2^2$，属于能开得尽方的因数，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，因此不是最简二次根式；
选项D：$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$的被开方数含有分母，不符合要求，化简后为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，因此不是最简二次根式。
综上，只有B选项属于最简二次根式。
【答案】B
【知识点】最简二次根式的判定；二次根式的化简
【点评】本题属于基础题，主要考查对最简二次根式定义的理解，只要熟练掌握最简二次根式的两个判断条件，就能快速完成解答。
【难度系数】0.9
6.(2024·包头)计算$\sqrt{9^2 - 6^2}$的结果是 （
A.3
B.$\sqrt{6}$
C.$3\sqrt{5}$
D.$\pm3\sqrt{5}$
C
）A.3
B.$\sqrt{6}$
C.$3\sqrt{5}$
D.$\pm3\sqrt{5}$
答案
6.C
解析
【分析】
解题时首先明确算术平方根的结果是非负数，可先排除带正负号的错误选项D；接下来先计算根号内的乘方运算，再求差得到被开方数，最后将二次根式化为最简二次根式即可得到结果，注意不要直接对根号内的两个数分别开方再相减，避免误选A。
【解析】
解：先计算被开方数的值：
$9^2 - 6^2 = 81 - 36 = 45$
因此原式$=\sqrt{45}$
再化简二次根式：$\sqrt{45}=\sqrt{9×5}=\sqrt{9}×\sqrt{5}=3\sqrt{5}$
又因为算术平方根的结果为非负数，所以最终结果为$3\sqrt{5}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.算术平方根的性质 2.二次根式的化简 3.有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，考查二次根式的相关计算，解题时要注意两点：一是算术平方根的结果恒为非负数，不存在负的结果；二是二次根式的运算中，不能直接对根号内的加减运算各项分别开方后再加减，计算被开方数时要先算乘方再算加减，化简时需将被开方数中能开尽方的因数全部开出来。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确算术平方根的结果是非负数，可先排除带正负号的错误选项D；接下来先计算根号内的乘方运算，再求差得到被开方数，最后将二次根式化为最简二次根式即可得到结果，注意不要直接对根号内的两个数分别开方再相减，避免误选A。
【解析】
解：先计算被开方数的值：
$9^2 - 6^2 = 81 - 36 = 45$
因此原式$=\sqrt{45}$
再化简二次根式：$\sqrt{45}=\sqrt{9×5}=\sqrt{9}×\sqrt{5}=3\sqrt{5}$
又因为算术平方根的结果为非负数，所以最终结果为$3\sqrt{5}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.算术平方根的性质 2.二次根式的化简 3.有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，考查二次根式的相关计算，解题时要注意两点：一是算术平方根的结果恒为非负数，不存在负的结果；二是二次根式的运算中，不能直接对根号内的加减运算各项分别开方后再加减，计算被开方数时要先算乘方再算加减，化简时需将被开方数中能开尽方的因数全部开出来。
【难度系数】
0.7
7. 化简:
(1) $\sqrt{12}$.
(2) $\sqrt{75}$.
(3) $\sqrt{2.5}$.
(4) $\frac{\sqrt{27}}{3}$.
(5) $\sqrt{\frac{8}{9}}$.
(6) $\sqrt{\frac{8}{5}}$.
(1) $\sqrt{12}$.
(2) $\sqrt{75}$.
(3) $\sqrt{2.5}$.
(4) $\frac{\sqrt{27}}{3}$.
(5) $\sqrt{\frac{8}{9}}$.
(6) $\sqrt{\frac{8}{5}}$.
答案
7.解:(1)原式$=2\sqrt{3}.$
(2)原式$=5\sqrt{3}.$
(3)原式$=\sqrt{\dfrac{5}{2}}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}.$
(4)原式$=\dfrac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}.$
(5)原式$=\dfrac{\sqrt{8}}{3}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}.$
(6)原式$=\dfrac{\sqrt{40}}{5}=\dfrac{2\sqrt{10}}{5}.$
(2)原式$=5\sqrt{3}.$
(3)原式$=\sqrt{\dfrac{5}{2}}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}.$
(4)原式$=\dfrac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}.$
(5)原式$=\dfrac{\sqrt{8}}{3}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}.$
(6)原式$=\dfrac{\sqrt{40}}{5}=\dfrac{2\sqrt{10}}{5}.$
解析
【分析】
二次根式化简的核心是将原式化为最简二次根式，满足两个要求：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母。解题思路：①若被开方数是整数，先将其拆分为完全平方数与剩余整数的乘积，再利用$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a\ge0,b\ge0)$开方化简；②若被开方数是小数或分数，先将其转化为分数形式，再给分子分母同乘适当的数使分母变为完全平方数，利用$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a\ge0,b＞0)$去掉分母的根号，最后拆分分子中能开尽方的因数即可。
【解析】
(1) 把12拆为完全平方数4和3的乘积：
原式$=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
(2) 把75拆为完全平方数25和3的乘积：
原式$=\sqrt{25×3}=\sqrt{25}×\sqrt{3}=5\sqrt{3}$
(3) 先将小数化为分数，再给分子分母同乘2使分母变为完全平方数：
原式$=\sqrt{\dfrac{5}{2}}=\sqrt{\dfrac{5×2}{2×2}}=\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{4}}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$
(4) 先化简分子的二次根式，再约分计算：
原式$=\dfrac{\sqrt{9×3}}{3}=\dfrac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$
(5) 分别对分子分母开方，再化简分子的二次根式：
原式$=\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}}=\dfrac{\sqrt{4×2}}{3}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
(6) 给分子分母同乘5使分母变为完全平方数，再化简分子的二次根式：
原式$=\sqrt{\dfrac{8×5}{5×5}}=\dfrac{\sqrt{40}}{\sqrt{25}}=\dfrac{\sqrt{4×10}}{5}=\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$
【答案】
(1) $2\sqrt{3}$；(2) $5\sqrt{3}$；(3) $\dfrac{\sqrt{10}}{2}$；(4) $\sqrt{3}$；(5) $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$；(6) $\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$
【知识点】
二次根式的性质、最简二次根式、二次根式化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础练习题，核心是掌握最简二次根式的判定标准，化简时要注意先消除被开方数的分母，再拆分被开方数中能开得尽方的因数，计算过程中注意约分避免出错。
【难度系数】
0.8
二次根式化简的核心是将原式化为最简二次根式，满足两个要求：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母。解题思路：①若被开方数是整数，先将其拆分为完全平方数与剩余整数的乘积，再利用$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a\ge0,b\ge0)$开方化简；②若被开方数是小数或分数，先将其转化为分数形式，再给分子分母同乘适当的数使分母变为完全平方数，利用$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a\ge0,b＞0)$去掉分母的根号，最后拆分分子中能开尽方的因数即可。
【解析】
(1) 把12拆为完全平方数4和3的乘积：
原式$=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
(2) 把75拆为完全平方数25和3的乘积：
原式$=\sqrt{25×3}=\sqrt{25}×\sqrt{3}=5\sqrt{3}$
(3) 先将小数化为分数，再给分子分母同乘2使分母变为完全平方数：
原式$=\sqrt{\dfrac{5}{2}}=\sqrt{\dfrac{5×2}{2×2}}=\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{4}}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$
(4) 先化简分子的二次根式，再约分计算：
原式$=\dfrac{\sqrt{9×3}}{3}=\dfrac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$
(5) 分别对分子分母开方，再化简分子的二次根式：
原式$=\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}}=\dfrac{\sqrt{4×2}}{3}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
(6) 给分子分母同乘5使分母变为完全平方数，再化简分子的二次根式：
原式$=\sqrt{\dfrac{8×5}{5×5}}=\dfrac{\sqrt{40}}{\sqrt{25}}=\dfrac{\sqrt{4×10}}{5}=\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$
【答案】
(1) $2\sqrt{3}$；(2) $5\sqrt{3}$；(3) $\dfrac{\sqrt{10}}{2}$；(4) $\sqrt{3}$；(5) $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$；(6) $\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$
【知识点】
二次根式的性质、最简二次根式、二次根式化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础练习题，核心是掌握最简二次根式的判定标准，化简时要注意先消除被开方数的分母，再拆分被开方数中能开得尽方的因数，计算过程中注意约分避免出错。
【难度系数】
0.8
8. 下列二次根式中，不能与$\sqrt{5}$合并的是（
A.$2\sqrt{5}$
B.$\sqrt{15}$
C.$\sqrt{20}$
D.$\frac{1}{\sqrt{5}}$
B
）A.$2\sqrt{5}$
B.$\sqrt{15}$
C.$\sqrt{20}$
D.$\frac{1}{\sqrt{5}}$
答案
8.B
解析
【分析】
要判断二次根式能否与$\sqrt{5}$合并，核心是判断各选项的二次根式是否为$\sqrt{5}$的同类二次根式。解题思路为：先将每个选项的二次根式化为最简二次根式，再看化简后的被开方数是否为5，若被开方数不是5，则不能与$\sqrt{5}$合并。
【解析】
首先明确：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，就属于同类二次根式，同类二次根式可以合并。我们逐个分析选项：
选项A：$2\sqrt{5}$已是最简二次根式，被开方数为5，是$\sqrt{5}$的同类二次根式，可合并，不符合题意；
选项B：$\sqrt{15}$已是最简二次根式，被开方数为15，与5不相同，不是$\sqrt{5}$的同类二次根式，不能合并，符合题意；
选项C：先化简$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=\sqrt{4}×\sqrt{5}=2\sqrt{5}$，被开方数为5，是$\sqrt{5}$的同类二次根式，可合并，不符合题意；
选项D：先化简$\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，被开方数为5，是$\sqrt{5}$的同类二次根式，可合并，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
同类二次根式、二次根式化简、分母有理化
【点评】
本题考查同类二次根式的判断，是二次根式加减运算的基础题型，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简方法，准确判断化简后被开方数是否一致。
【难度系数】
0.8
要判断二次根式能否与$\sqrt{5}$合并，核心是判断各选项的二次根式是否为$\sqrt{5}$的同类二次根式。解题思路为：先将每个选项的二次根式化为最简二次根式，再看化简后的被开方数是否为5，若被开方数不是5，则不能与$\sqrt{5}$合并。
【解析】
首先明确：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，就属于同类二次根式，同类二次根式可以合并。我们逐个分析选项：
选项A：$2\sqrt{5}$已是最简二次根式，被开方数为5，是$\sqrt{5}$的同类二次根式，可合并，不符合题意；
选项B：$\sqrt{15}$已是最简二次根式，被开方数为15，与5不相同，不是$\sqrt{5}$的同类二次根式，不能合并，符合题意；
选项C：先化简$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=\sqrt{4}×\sqrt{5}=2\sqrt{5}$，被开方数为5，是$\sqrt{5}$的同类二次根式，可合并，不符合题意；
选项D：先化简$\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，被开方数为5，是$\sqrt{5}$的同类二次根式，可合并，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
同类二次根式、二次根式化简、分母有理化
【点评】
本题考查同类二次根式的判断，是二次根式加减运算的基础题型，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简方法，准确判断化简后被开方数是否一致。
【难度系数】
0.8
9. 计算:
(1)$\sqrt{8}+\sqrt{2}=$
(2)$(2024·长春)\sqrt{12}-\sqrt{3}=$
(3)$(2024·威海)\sqrt{12}-\sqrt{8}×\sqrt{6}=$
(1)$\sqrt{8}+\sqrt{2}=$
$3\sqrt{2}$
.(2)$(2024·长春)\sqrt{12}-\sqrt{3}=$
$\sqrt{3}$
.(3)$(2024·威海)\sqrt{12}-\sqrt{8}×\sqrt{6}=$
$-2\sqrt{3}$
.答案
9.(1)$3\sqrt{2}$ (2)$\sqrt{3}$ (3)$-2\sqrt{3}$
解析
【分析】
这三道题均属于二次根式的运算类题目，解题思路遵循二次根式运算的通用顺序：①先将算式中所有二次根式化为最简二次根式；②若算式中存在乘法运算，先按照二次根式乘法法则（$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，$a≥0$，$b≥0$）计算乘法部分；③最后合并同类二次根式（被开方数相同的二次根式），合并时仅将系数相加减，被开方数保持不变。
【解析】
(1) 先化简$\sqrt{8}$：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，
原式$=2\sqrt{2}+\sqrt{2}=(2+1)\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。
(2) 先化简$\sqrt{12}$：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，
原式$=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=(2-1)\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
(3) 先算乘法部分$\sqrt{8}×\sqrt{6}$，根据二次根式乘法法则：
$\sqrt{8}×\sqrt{6}=\sqrt{8×6}=\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$，
再化简$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
原式$=2\sqrt{3}-4\sqrt{3}=(2-4)\sqrt{3}=-2\sqrt{3}$。
【答案】
(1)$3\sqrt{2}$；(2)$\sqrt{3}$；(3)$-2\sqrt{3}$
【知识点】
最简二次根式化简；二次根式乘法运算；同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式运算的基础常规题型，核心考查二次根式的化简方法和运算法则的应用，解题时需注意先算乘除后算加减的运算顺序，合并同类二次根式时要注意系数符号的处理，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.85
这三道题均属于二次根式的运算类题目，解题思路遵循二次根式运算的通用顺序：①先将算式中所有二次根式化为最简二次根式；②若算式中存在乘法运算，先按照二次根式乘法法则（$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，$a≥0$，$b≥0$）计算乘法部分；③最后合并同类二次根式（被开方数相同的二次根式），合并时仅将系数相加减，被开方数保持不变。
【解析】
(1) 先化简$\sqrt{8}$：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，
原式$=2\sqrt{2}+\sqrt{2}=(2+1)\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。
(2) 先化简$\sqrt{12}$：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，
原式$=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=(2-1)\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
(3) 先算乘法部分$\sqrt{8}×\sqrt{6}$，根据二次根式乘法法则：
$\sqrt{8}×\sqrt{6}=\sqrt{8×6}=\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$，
再化简$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
原式$=2\sqrt{3}-4\sqrt{3}=(2-4)\sqrt{3}=-2\sqrt{3}$。
【答案】
(1)$3\sqrt{2}$；(2)$\sqrt{3}$；(3)$-2\sqrt{3}$
【知识点】
最简二次根式化简；二次根式乘法运算；同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式运算的基础常规题型，核心考查二次根式的化简方法和运算法则的应用，解题时需注意先算乘除后算加减的运算顺序，合并同类二次根式时要注意系数符号的处理，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.85
10.计算:
(1)$\sqrt{75}+\sqrt{48}$.
(2)$\sqrt{8}-\sqrt{\frac{9}{2}}$.
(3)$( \sqrt{24}-\sqrt{\frac{8}{3}} )×\sqrt{3}.$
(1)$\sqrt{75}+\sqrt{48}$.
(2)$\sqrt{8}-\sqrt{\frac{9}{2}}$.
(3)$( \sqrt{24}-\sqrt{\frac{8}{3}} )×\sqrt{3}.$
答案
10.解:(1)原式$=5\sqrt{3}+4\sqrt{3}=9\sqrt{3}.$
(2)原式$=2\sqrt{2}-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
(3)原式$=\sqrt{24×3}-\sqrt{\dfrac{8}{3}×3}=\sqrt{72}-\sqrt{8}=6\sqrt{2}-2\sqrt{2}=4\sqrt{2}.$
(2)原式$=2\sqrt{2}-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
(3)原式$=\sqrt{24×3}-\sqrt{\dfrac{8}{3}×3}=\sqrt{72}-\sqrt{8}=6\sqrt{2}-2\sqrt{2}=4\sqrt{2}.$
解析
【分析】
这三道题均为二次根式的基础运算题，解题思路遵循二次根式运算的通用规则：1. 加减运算时，先把所有二次根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的同类二次根式；2. 带乘法的混合运算，可利用乘法分配律结合二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$简化计算。
具体到各小题：(1)先将$\sqrt{75}$、$\sqrt{48}$化简为最简二次根式，二者被开方数相同，直接合并系数即可；(2)先化简$\sqrt{8}$，再将$\sqrt{\frac{9}{2}}$分母有理化得到最简二次根式，再合并同类二次根式；(3)用乘法分配律将$\sqrt{3}$分别乘括号内的两个二次根式，按乘法法则计算后化简，再合并同类二次根式。
【解析】
(1)先化简二次根式：$\sqrt{75}=\sqrt{25×3}=5\sqrt{3}$，$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$，合并同类二次根式得：
原式$=5\sqrt{3}+4\sqrt{3}=9\sqrt{3}$
(2)先化简二次根式：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，合并同类二次根式得：
原式$=2\sqrt{2}-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
(3)利用乘法分配律展开，结合二次根式乘法法则计算：
原式$=\sqrt{24×3}-\sqrt{\dfrac{8}{3}×3}=\sqrt{72}-\sqrt{8}$
再化简得$\sqrt{72}=6\sqrt{2}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，合并得：
原式$=6\sqrt{2}-2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
【答案】
(1)$9\sqrt{3}$；(2)$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$；(3)$4\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的加减运算、二次根式的乘法运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考查最简二次根式的化简、同类二次根式的合并规则以及二次根式乘法法则的应用，熟练掌握运算规则、注意计算细节即可快速得分。
【难度系数】
0.8
这三道题均为二次根式的基础运算题，解题思路遵循二次根式运算的通用规则：1. 加减运算时，先把所有二次根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的同类二次根式；2. 带乘法的混合运算，可利用乘法分配律结合二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$简化计算。
具体到各小题：(1)先将$\sqrt{75}$、$\sqrt{48}$化简为最简二次根式，二者被开方数相同，直接合并系数即可；(2)先化简$\sqrt{8}$，再将$\sqrt{\frac{9}{2}}$分母有理化得到最简二次根式，再合并同类二次根式；(3)用乘法分配律将$\sqrt{3}$分别乘括号内的两个二次根式，按乘法法则计算后化简，再合并同类二次根式。
【解析】
(1)先化简二次根式：$\sqrt{75}=\sqrt{25×3}=5\sqrt{3}$，$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$，合并同类二次根式得：
原式$=5\sqrt{3}+4\sqrt{3}=9\sqrt{3}$
(2)先化简二次根式：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，合并同类二次根式得：
原式$=2\sqrt{2}-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
(3)利用乘法分配律展开，结合二次根式乘法法则计算：
原式$=\sqrt{24×3}-\sqrt{\dfrac{8}{3}×3}=\sqrt{72}-\sqrt{8}$
再化简得$\sqrt{72}=6\sqrt{2}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，合并得：
原式$=6\sqrt{2}-2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
【答案】
(1)$9\sqrt{3}$；(2)$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$；(3)$4\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的加减运算、二次根式的乘法运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考查最简二次根式的化简、同类二次根式的合并规则以及二次根式乘法法则的应用，熟练掌握运算规则、注意计算细节即可快速得分。
【难度系数】
0.8
