登录
11. 若$\sqrt{24n}$是整数，则满足条件的最小正整数$n$的值为
$6$
。答案
11.6
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按照以下思路思考：首先，二次根式的计算结果为整数，说明被开方数一定是完全平方数。我们先把被开方数24n中的可开方因数先分离出来，再根据完全平方数的质因数特征（所有质因数的指数都是偶数），判断需要补充的最小正因数，就能得到n的最小值。
【解析】
解：先对二次根式进行化简：
$\sqrt{24n}=\sqrt{4×6n}=\sqrt{4}×\sqrt{6n}=2\sqrt{6n}$
已知$\sqrt{24n}$是整数，即$2\sqrt{6n}$是整数，因此$\sqrt{6n}$必须是整数，也就是$6n$是完全平方数。
将6分解质因数得$6=2×3$，完全平方数的所有质因数指数均为偶数，因此n至少需要补充质因数2和3各1个，才能让6n的所有质因数指数为偶数。
所以最小正整数$n=2×3=6$。
【答案】
6
【知识点】
1.二次根式的化简 2.完全平方数的性质
【点评】
本题属于二次根式相关的基础题型，解题关键是掌握二次根式为整数的条件：被开方数是完全平方数，通过分解质因数即可快速求出需要补充的最小因数。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以按照以下思路思考：首先，二次根式的计算结果为整数，说明被开方数一定是完全平方数。我们先把被开方数24n中的可开方因数先分离出来，再根据完全平方数的质因数特征（所有质因数的指数都是偶数），判断需要补充的最小正因数，就能得到n的最小值。
【解析】
解：先对二次根式进行化简：
$\sqrt{24n}=\sqrt{4×6n}=\sqrt{4}×\sqrt{6n}=2\sqrt{6n}$
已知$\sqrt{24n}$是整数，即$2\sqrt{6n}$是整数，因此$\sqrt{6n}$必须是整数，也就是$6n$是完全平方数。
将6分解质因数得$6=2×3$，完全平方数的所有质因数指数均为偶数，因此n至少需要补充质因数2和3各1个，才能让6n的所有质因数指数为偶数。
所以最小正整数$n=2×3=6$。
【答案】
6
【知识点】
1.二次根式的化简 2.完全平方数的性质
【点评】
本题属于二次根式相关的基础题型，解题关键是掌握二次根式为整数的条件：被开方数是完全平方数，通过分解质因数即可快速求出需要补充的最小因数。
【难度系数】
0.8
12. 要使算式 $3\sqrt{2} ◯ \sqrt{8}$ 的运算结果最小，则$◯$中应添加的运算符号是（
A.+
B.−
C.×
D.÷
B
）A.+
B.−
C.×
D.÷
答案
12.B
解析
【分析】
要确定添加哪个运算符号可使算式结果最小，解题思路是：先将算式中的非最简二次根式$\sqrt{8}$化简为最简形式，再分别将四个选项的运算符号代入计算出对应结果，最后比较四个结果的大小，数值最小的结果对应的运算符号即为正确答案。
【解析】
第一步：先化简$\sqrt{8}$：
$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$
第二步：分别代入四个运算符号计算结果：
A. 选择“$+$”时：$3\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}\approx7.07$
B. 选择“$-$”时：$3\sqrt{2}-\sqrt{8}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}\approx1.414$
C. 选择“$×$”时：$3\sqrt{2}×\sqrt{8}=3\sqrt{2}×2\sqrt{2}=6×(\sqrt{2})^2=6×2=12$
D. 选择“$÷$”时：$3\sqrt{2}÷\sqrt{8}=3\sqrt{2}÷2\sqrt{2}=\frac{3}{2}=1.5$
第三步：比较大小：$\sqrt{2}\approx1.414＜1.5＜5\sqrt{2}＜12$，因此添加“$-$”时运算结果最小。
【答案】
B
【知识点】
二次根式化简，二次根式运算，实数大小比较
【点评】
本题考查二次根式的基础运算，解题关键是先化简二次根式再计算不同运算的结果，整体解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
要确定添加哪个运算符号可使算式结果最小，解题思路是：先将算式中的非最简二次根式$\sqrt{8}$化简为最简形式，再分别将四个选项的运算符号代入计算出对应结果，最后比较四个结果的大小，数值最小的结果对应的运算符号即为正确答案。
【解析】
第一步：先化简$\sqrt{8}$：
$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$
第二步：分别代入四个运算符号计算结果：
A. 选择“$+$”时：$3\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}\approx7.07$
B. 选择“$-$”时：$3\sqrt{2}-\sqrt{8}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}\approx1.414$
C. 选择“$×$”时：$3\sqrt{2}×\sqrt{8}=3\sqrt{2}×2\sqrt{2}=6×(\sqrt{2})^2=6×2=12$
D. 选择“$÷$”时：$3\sqrt{2}÷\sqrt{8}=3\sqrt{2}÷2\sqrt{2}=\frac{3}{2}=1.5$
第三步：比较大小：$\sqrt{2}\approx1.414＜1.5＜5\sqrt{2}＜12$，因此添加“$-$”时运算结果最小。
【答案】
B
【知识点】
二次根式化简，二次根式运算，实数大小比较
【点评】
本题考查二次根式的基础运算，解题关键是先化简二次根式再计算不同运算的结果，整体解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
13. 如图,若$a+\sqrt{12}=\sqrt{27}$,则表示实数$a$的点会落在数轴的（
A.段①上
B.段②上
C.段③上
D.段④上
B
）A.段①上
B.段②上
C.段③上
D.段④上
答案
13.B
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步先通过移项得到a的表达式；第二步对表达式中的二次根式进行化简，合并同类二次根式得到a的最简形式；第三步估算a的取值范围，再对照数轴的区间判断a所在的段。首先将等式变形为a=√27-√12，化简后得到a=√3，再通过比较3和完全平方数1、4的大小，得出√3在1到2之间，即可对应找到数轴上的区间。
【解析】
已知$a+\sqrt{12}=\sqrt{27}$，移项得：
$a=\sqrt{27}-\sqrt{12}$
化简二次根式：
$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$
合并同类二次根式得：
$a=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}$
估算$\sqrt{3}$的范围：
$\because 1^2=1$，$2^2=4$，$1＜3＜4$
$\therefore \sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$
观察数轴可知，段②对应的区间是1~2，因此表示实数a的点落在段②上。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的化简，无理数的估算
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次根式的化简运算和无理数大小的估算，掌握二次根式的化简方法以及利用完全平方数估算无理数范围的技巧是解题的核心。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：第一步先通过移项得到a的表达式；第二步对表达式中的二次根式进行化简，合并同类二次根式得到a的最简形式；第三步估算a的取值范围，再对照数轴的区间判断a所在的段。首先将等式变形为a=√27-√12，化简后得到a=√3，再通过比较3和完全平方数1、4的大小，得出√3在1到2之间，即可对应找到数轴上的区间。
【解析】
已知$a+\sqrt{12}=\sqrt{27}$，移项得：
$a=\sqrt{27}-\sqrt{12}$
化简二次根式：
$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$
合并同类二次根式得：
$a=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}$
估算$\sqrt{3}$的范围：
$\because 1^2=1$，$2^2=4$，$1＜3＜4$
$\therefore \sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$
观察数轴可知，段②对应的区间是1~2，因此表示实数a的点落在段②上。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的化简，无理数的估算
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次根式的化简运算和无理数大小的估算，掌握二次根式的化简方法以及利用完全平方数估算无理数范围的技巧是解题的核心。
【难度系数】
0.7
14.若$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{8}$，则$a$和$b$的值不可能是（
A.$a=2,b=2$
B.$a=\frac{1}{2},b=\frac{9}{2}$
C.$a=0,b=8$
D.$a=4,b=2$
D
）A.$a=2,b=2$
B.$a=\frac{1}{2},b=\frac{9}{2}$
C.$a=0,b=8$
D.$a=4,b=2$
答案
14.D
解析
【分析】
要判断a和b的值不可能是哪个选项，可先将等式右边的$\sqrt{8}$化简为最简二次根式，再将四个选项中a、b的值分别代入$\sqrt{a}+\sqrt{b}$计算，将计算结果化简后与$\sqrt{8}$的最简形式对比，不相等的即为正确选项。
【解析】
首先化简$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，逐一验证选项：
选项A：当$a=2,b=2$时，$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}=\sqrt{8}$，符合等式，排除；
选项B：当$a=\frac{1}{2},b=\frac{9}{2}$时，$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}=\sqrt{8}$，符合等式，排除；
选项C：当$a=0,b=8$时，$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{0}+\sqrt{8}=0+2\sqrt{2}=\sqrt{8}$，符合等式，排除；
选项D：当$a=4,b=2$时，$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{4}+\sqrt{2}=2+\sqrt{2}$，$2+\sqrt{2}≠2\sqrt{2}$，不符合等式。
【答案】
D
【知识点】
二次根式化简，二次根式加减运算，代入法验证
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式的化简能力和同类二次根式的合并计算能力，采用代入排除法即可快速解题，计算时注意先将二次根式化为最简形式再计算，可减少失误。
【难度系数】
0.8
要判断a和b的值不可能是哪个选项，可先将等式右边的$\sqrt{8}$化简为最简二次根式，再将四个选项中a、b的值分别代入$\sqrt{a}+\sqrt{b}$计算，将计算结果化简后与$\sqrt{8}$的最简形式对比，不相等的即为正确选项。
【解析】
首先化简$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，逐一验证选项：
选项A：当$a=2,b=2$时，$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}=\sqrt{8}$，符合等式，排除；
选项B：当$a=\frac{1}{2},b=\frac{9}{2}$时，$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}=\sqrt{8}$，符合等式，排除；
选项C：当$a=0,b=8$时，$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{0}+\sqrt{8}=0+2\sqrt{2}=\sqrt{8}$，符合等式，排除；
选项D：当$a=4,b=2$时，$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{4}+\sqrt{2}=2+\sqrt{2}$，$2+\sqrt{2}≠2\sqrt{2}$，不符合等式。
【答案】
D
【知识点】
二次根式化简，二次根式加减运算，代入法验证
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式的化简能力和同类二次根式的合并计算能力，采用代入排除法即可快速解题，计算时注意先将二次根式化为最简形式再计算，可减少失误。
【难度系数】
0.8
15. 计算:
(1) $\sqrt{18} - 4\sqrt{\dfrac{1}{2}} - \sqrt{24} ÷ \sqrt{3}$.
(2) $\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} + \sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{12} - \sqrt{24}$.
(1) $\sqrt{18} - 4\sqrt{\dfrac{1}{2}} - \sqrt{24} ÷ \sqrt{3}$.
(2) $\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} + \sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{12} - \sqrt{24}$.
答案
15.解:(1)原式$=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}-\sqrt{24÷3}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=-\sqrt{2}.$
(2)原式$=\sqrt{48÷3}+\sqrt{\dfrac{1}{2}×12}-2\sqrt{6}=4+\sqrt{6}-2\sqrt{6}=4-\sqrt{6}.$
(2)原式$=\sqrt{48÷3}+\sqrt{\dfrac{1}{2}×12}-2\sqrt{6}=4+\sqrt{6}-2\sqrt{6}=4-\sqrt{6}.$
解析
【分析】
本题考查二次根式的混合运算，解题遵循“先乘除、后加减”的运算顺序：第一步，根据二次根式乘除运算法则计算乘除项，同时将所有二次根式化为最简二次根式；第二步，合并同类二次根式即可得到结果。
(1)先分别化简$\sqrt{18}$、$4\sqrt{\dfrac{1}{2}}$，再计算$\sqrt{24} ÷ \sqrt{3}$，最后合并同类二次根式；
(2)先分别计算$\sqrt{48} ÷ \sqrt{3}$、$\sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{12}$，同时化简$\sqrt{24}$，最后合并同类二次根式。
【解析】
(1) 先化简各二次根式、计算除法：
$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$4\sqrt{\dfrac{1}{2}}=4×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{24}÷\sqrt{3}=\sqrt{24÷3}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}-2\sqrt{2}\\&=(3-2-2)\sqrt{2}\\&=-\sqrt{2}\end{aligned}$
(2) 先计算乘除、化简各二次根式：
$\sqrt{48}÷\sqrt{3}=\sqrt{48÷3}=\sqrt{16}=4$，$\sqrt{\dfrac{1}{2}}×\sqrt{12}=\sqrt{\dfrac{1}{2}×12}=\sqrt{6}$，$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4+\sqrt{6}-2\sqrt{6}\\&=4+(1-2)\sqrt{6}\\&=4-\sqrt{6}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-\sqrt{2}}$；(2) $\boldsymbol{4-\sqrt{6}}$
【知识点】
1. 二次根式乘除运算
2. 最简二次根式化简
3. 二次根式加减运算
【点评】
本题属于二次根式混合运算的基础题型，严格遵循运算顺序、正确掌握二次根式的化简规则和运算法则是解题核心，计算时需注意同类二次根式的合并规则，避免化简失误。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的混合运算，解题遵循“先乘除、后加减”的运算顺序：第一步，根据二次根式乘除运算法则计算乘除项，同时将所有二次根式化为最简二次根式；第二步，合并同类二次根式即可得到结果。
(1)先分别化简$\sqrt{18}$、$4\sqrt{\dfrac{1}{2}}$，再计算$\sqrt{24} ÷ \sqrt{3}$，最后合并同类二次根式；
(2)先分别计算$\sqrt{48} ÷ \sqrt{3}$、$\sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{12}$，同时化简$\sqrt{24}$，最后合并同类二次根式。
【解析】
(1) 先化简各二次根式、计算除法：
$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$4\sqrt{\dfrac{1}{2}}=4×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{24}÷\sqrt{3}=\sqrt{24÷3}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}-2\sqrt{2}\\&=(3-2-2)\sqrt{2}\\&=-\sqrt{2}\end{aligned}$
(2) 先计算乘除、化简各二次根式：
$\sqrt{48}÷\sqrt{3}=\sqrt{48÷3}=\sqrt{16}=4$，$\sqrt{\dfrac{1}{2}}×\sqrt{12}=\sqrt{\dfrac{1}{2}×12}=\sqrt{6}$，$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4+\sqrt{6}-2\sqrt{6}\\&=4+(1-2)\sqrt{6}\\&=4-\sqrt{6}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-\sqrt{2}}$；(2) $\boldsymbol{4-\sqrt{6}}$
【知识点】
1. 二次根式乘除运算
2. 最简二次根式化简
3. 二次根式加减运算
【点评】
本题属于二次根式混合运算的基础题型，严格遵循运算顺序、正确掌握二次根式的化简规则和运算法则是解题核心，计算时需注意同类二次根式的合并规则，避免化简失误。
【难度系数】
0.8
16.如图，这是某土楼的平面示意图，它可以看作由两个相同圆心的圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为763.02 m²和150.72 m²，求圆环的宽度$d$($π$取3.14).
答案
16.解:设大圆和小圆的半径分别为$R,r$,面积分别为$S_1,S_2$.由$S_1=π R^2,S_2=π r^2$ 可知,$R=\sqrt{\dfrac{S_1}{π}},r=\sqrt{\dfrac{S_2}{π}},\therefore d=R-r=\sqrt{\dfrac{S_1}{π}}-\sqrt{\dfrac{S_2}{π}}\approx\sqrt{\dfrac{763.02}{3.14}}-\sqrt{\dfrac{150.72}{3.14}}=\sqrt{243}-\sqrt{48}=9\sqrt{3}-4\sqrt{3}=5\sqrt{3}(\mathrm{m}).$
解析
【分析】
要求圆环的宽度d，首先明确d是大圆半径R与小圆半径r的差，即d=R-r。我们可以先根据圆的面积公式$S=π R^2$、$S=π r^2$，分别推导出R、r的表达式，再代入已知的面积和π的取值，通过二次根式的化简与加减运算，最终求出d的值。
【解析】
解：设大圆的半径为R，小圆的半径为r，大圆面积为$S_1$，小圆面积为$S_2$。
根据圆的面积公式可得：
$S_1=π R^2$，$S_2=π r^2$
变形可得半径：$R=\sqrt{\dfrac{S_1}{π}}$，$r=\sqrt{\dfrac{S_2}{π}}$
因此圆环宽度$d=R-r=\sqrt{\dfrac{S_1}{π}}-\sqrt{\dfrac{S_2}{π}}$
代入已知数值$S_1=763.02\mathrm{m}^2$，$S_2=150.72\mathrm{m}^2$，$π=3.14$：
$d=\sqrt{\dfrac{763.02}{3.14}}-\sqrt{\dfrac{150.72}{3.14}}$
先计算根号内的除法：
$\dfrac{763.02}{3.14}=243$，$\dfrac{150.72}{3.14}=48$
化简二次根式：
$\sqrt{243}=\sqrt{81×3}=9\sqrt{3}$，$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$
合并同类二次根式：
$d=9\sqrt{3}-4\sqrt{3}=5\sqrt{3}(\mathrm{m})$
【答案】
$5\sqrt{3}\mathrm{m}$
【知识点】
圆的面积计算；二次根式化简；二次根式的加减运算
【点评】
本题结合生活中的土楼结构出题，将几何图形性质和二次根式运算结合，解题的核心是理清圆环宽度与两圆半径的关系，计算时要注意二次根式化简的准确性，最后合并同类二次根式得到结果。
【难度系数】
0.7
要求圆环的宽度d，首先明确d是大圆半径R与小圆半径r的差，即d=R-r。我们可以先根据圆的面积公式$S=π R^2$、$S=π r^2$，分别推导出R、r的表达式，再代入已知的面积和π的取值，通过二次根式的化简与加减运算，最终求出d的值。
【解析】
解：设大圆的半径为R，小圆的半径为r，大圆面积为$S_1$，小圆面积为$S_2$。
根据圆的面积公式可得：
$S_1=π R^2$，$S_2=π r^2$
变形可得半径：$R=\sqrt{\dfrac{S_1}{π}}$，$r=\sqrt{\dfrac{S_2}{π}}$
因此圆环宽度$d=R-r=\sqrt{\dfrac{S_1}{π}}-\sqrt{\dfrac{S_2}{π}}$
代入已知数值$S_1=763.02\mathrm{m}^2$，$S_2=150.72\mathrm{m}^2$，$π=3.14$：
$d=\sqrt{\dfrac{763.02}{3.14}}-\sqrt{\dfrac{150.72}{3.14}}$
先计算根号内的除法：
$\dfrac{763.02}{3.14}=243$，$\dfrac{150.72}{3.14}=48$
化简二次根式：
$\sqrt{243}=\sqrt{81×3}=9\sqrt{3}$，$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$
合并同类二次根式：
$d=9\sqrt{3}-4\sqrt{3}=5\sqrt{3}(\mathrm{m})$
【答案】
$5\sqrt{3}\mathrm{m}$
【知识点】
圆的面积计算；二次根式化简；二次根式的加减运算
【点评】
本题结合生活中的土楼结构出题，将几何图形性质和二次根式运算结合，解题的核心是理清圆环宽度与两圆半径的关系，计算时要注意二次根式化简的准确性，最后合并同类二次根式得到结果。
【难度系数】
0.7
17. NEW 新考向·推理能力 小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的思想探究下面二次根式的运算规律.下面是小强的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律：
特例1：$\sqrt{1+\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{3+1}{3}}=\sqrt{4×\frac{1}{3}}=2\sqrt{\frac{1}{3}}$；
特例2：$\sqrt{2+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{8+1}{4}}=\sqrt{9×\frac{1}{4}}=3\sqrt{\frac{1}{4}}$；
特例3：$\sqrt{3+\frac{1}{5}}=4\sqrt{\frac{1}{5}}$；
特例4：$\underline{\hspace{5cm}}$.（填写一个符合上述运算特征的例子）
(2)观察、归纳，得出猜想：
如果$n$为正整数，用含$n$的代数式表示上述特例的运算规律：$\underline{\hspace{8cm}}$.
(3)请说明(2)中猜想的正确性.
(4)应用运算规律计算：$\sqrt{2024+\frac{1}{2026}}×\sqrt{4052}$.
(1)具体运算，发现规律：
特例1：$\sqrt{1+\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{3+1}{3}}=\sqrt{4×\frac{1}{3}}=2\sqrt{\frac{1}{3}}$；
特例2：$\sqrt{2+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{8+1}{4}}=\sqrt{9×\frac{1}{4}}=3\sqrt{\frac{1}{4}}$；
特例3：$\sqrt{3+\frac{1}{5}}=4\sqrt{\frac{1}{5}}$；
特例4：$\underline{\hspace{5cm}}$.（填写一个符合上述运算特征的例子）
(2)观察、归纳，得出猜想：
如果$n$为正整数，用含$n$的代数式表示上述特例的运算规律：$\underline{\hspace{8cm}}$.
(3)请说明(2)中猜想的正确性.
(4)应用运算规律计算：$\sqrt{2024+\frac{1}{2026}}×\sqrt{4052}$.
答案
17.解:(1)$\sqrt{4+\dfrac{1}{6}}=5\sqrt{\dfrac{1}{6}}$
(2) $\sqrt{n+\dfrac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\dfrac{1}{n+2}}$
(3)等式左边$=\sqrt{n+\dfrac{1}{n+2}}=\sqrt{\dfrac{n(n+2)+1}{n+2}}=\sqrt{\dfrac{n^2+2n+1}{n+2}}=\sqrt{\dfrac{(n+1)^2}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\dfrac{1}{n+2}}=$等式右边.
(4)原式$=2025\sqrt{\dfrac{1}{2026}}×\sqrt{2×2026}=2025\sqrt{2}.$
(2) $\sqrt{n+\dfrac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\dfrac{1}{n+2}}$
(3)等式左边$=\sqrt{n+\dfrac{1}{n+2}}=\sqrt{\dfrac{n(n+2)+1}{n+2}}=\sqrt{\dfrac{n^2+2n+1}{n+2}}=\sqrt{\dfrac{(n+1)^2}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\dfrac{1}{n+2}}=$等式右边.
(4)原式$=2025\sqrt{\dfrac{1}{2026}}×\sqrt{2×2026}=2025\sqrt{2}.$
解析
【分析】
本题是二次根式规律探究题，解题思路如下：
1. 第(1)问：观察前3个特例的结构：根号内整数依次为1、2、3，分数的分母为对应整数加2，化简结果的整数系数为对应整数加1，根号内分数与原式分数一致，据此写出n=4对应的特例即可。
2. 第(2)问：将特例中的整数替换为正整数n，对应写出左右两边的式子，即可得到通用运算规律。
3. 第(3)问：要证明猜想成立，只需将等式左边的二次根式通分，分子因式分解为完全平方形式，再根据二次根式的性质化简，验证与右边相等即可。
4. 第(4)问：先利用第(2)问的规律化简第一个二次根式，再将第二个根式分解出可与前式约分的因数，结合二次根式乘法法则计算即可得到结果。
【解析】
(1) 根据前3个特例的规律，取整数为4，分数分母为$4+2=6$，结果系数为$4+1=5$，可得：
$\sqrt{4+\dfrac{1}{6}}=\sqrt{\dfrac{24+1}{6}}=\sqrt{25×\dfrac{1}{6}}=5\sqrt{\dfrac{1}{6}}$
(2) 观察特例共性，将整数替换为正整数n，可得规律：
$\sqrt{n+\dfrac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\dfrac{1}{n+2}}$（n为正整数）
(3) 证明过程：
等式左边$=\sqrt{n+\dfrac{1}{n+2}}=\sqrt{\dfrac{n(n+2)+1}{n+2}}=\sqrt{\dfrac{n^2+2n+1}{n+2}}=\sqrt{\dfrac{(n+1)^2}{n+2}}$
因为n为正整数，所以$n+1＞0$，根据二次根式性质得：
$\sqrt{\dfrac{(n+1)^2}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\dfrac{1}{n+2}}=$等式右边，故猜想成立。
(4) 计算过程：
先根据规律化简$\sqrt{2024+\dfrac{1}{2026}}=2025\sqrt{\dfrac{1}{2026}}$，
再拆分$\sqrt{4052}=\sqrt{2×2026}$，
代入原式得：
原式$=2025\sqrt{\dfrac{1}{2026}}×\sqrt{2×2026}=2025×\sqrt{\dfrac{1}{2026}×2×2026}=2025\sqrt{2}$
【答案】
(1) $\sqrt{4+\dfrac{1}{6}}=5\sqrt{\dfrac{1}{6}}$（答案不唯一，符合规律即可）
(2) $\sqrt{n+\dfrac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\dfrac{1}{n+2}}$（n为正整数）
(3) 证明见解析
(4) $2025\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式的化简，数字规律探究，二次根式的运算
【点评】
本题围绕“由特殊到一般”的数学思想设计，既考查学生对规律的观察、归纳和推理能力，也考查二次根式基本性质和运算法则的应用，注重对数学核心素养的考查。
【难度系数】
0.7
本题是二次根式规律探究题，解题思路如下：
1. 第(1)问：观察前3个特例的结构：根号内整数依次为1、2、3，分数的分母为对应整数加2，化简结果的整数系数为对应整数加1，根号内分数与原式分数一致，据此写出n=4对应的特例即可。
2. 第(2)问：将特例中的整数替换为正整数n，对应写出左右两边的式子，即可得到通用运算规律。
3. 第(3)问：要证明猜想成立，只需将等式左边的二次根式通分，分子因式分解为完全平方形式，再根据二次根式的性质化简，验证与右边相等即可。
4. 第(4)问：先利用第(2)问的规律化简第一个二次根式，再将第二个根式分解出可与前式约分的因数，结合二次根式乘法法则计算即可得到结果。
【解析】
(1) 根据前3个特例的规律，取整数为4，分数分母为$4+2=6$，结果系数为$4+1=5$，可得：
$\sqrt{4+\dfrac{1}{6}}=\sqrt{\dfrac{24+1}{6}}=\sqrt{25×\dfrac{1}{6}}=5\sqrt{\dfrac{1}{6}}$
(2) 观察特例共性，将整数替换为正整数n，可得规律：
$\sqrt{n+\dfrac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\dfrac{1}{n+2}}$（n为正整数）
(3) 证明过程：
等式左边$=\sqrt{n+\dfrac{1}{n+2}}=\sqrt{\dfrac{n(n+2)+1}{n+2}}=\sqrt{\dfrac{n^2+2n+1}{n+2}}=\sqrt{\dfrac{(n+1)^2}{n+2}}$
因为n为正整数，所以$n+1＞0$，根据二次根式性质得：
$\sqrt{\dfrac{(n+1)^2}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\dfrac{1}{n+2}}=$等式右边，故猜想成立。
(4) 计算过程：
先根据规律化简$\sqrt{2024+\dfrac{1}{2026}}=2025\sqrt{\dfrac{1}{2026}}$，
再拆分$\sqrt{4052}=\sqrt{2×2026}$，
代入原式得：
原式$=2025\sqrt{\dfrac{1}{2026}}×\sqrt{2×2026}=2025×\sqrt{\dfrac{1}{2026}×2×2026}=2025\sqrt{2}$
【答案】
(1) $\sqrt{4+\dfrac{1}{6}}=5\sqrt{\dfrac{1}{6}}$（答案不唯一，符合规律即可）
(2) $\sqrt{n+\dfrac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\dfrac{1}{n+2}}$（n为正整数）
(3) 证明见解析
(4) $2025\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式的化简，数字规律探究，二次根式的运算
【点评】
本题围绕“由特殊到一般”的数学思想设计，既考查学生对规律的观察、归纳和推理能力，也考查二次根式基本性质和运算法则的应用，注重对数学核心素养的考查。
【难度系数】
0.7
