1. 计算$\sqrt{27} - \sqrt{8} × \sqrt{\frac{3}{2}}$的结果是（）

A.$\sqrt{3}$
B.$-\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$5\sqrt{3}$

A

【分析】
本题是二次根式的混合运算题，解题遵循“先乘除后加减”的运算顺序：第一步先计算乘法部分$\sqrt{8} × \sqrt{\frac{3}{2}}$，可利用二次根式的乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$计算并化简；第二步化简被减数$\sqrt{27}$为最简二次根式；第三步将两个化简后的结果做减法运算，合并同类二次根式即可得到最终结果。
【解析】
第一步：化简并计算各部分
1. 化简$\sqrt{27}$：$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$
2. 计算乘法部分：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{8} × \sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{8×\frac{3}{2}}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
第二步：做减法运算
原式=$3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}=\sqrt{3}$
【答案】
A
【知识点】
二次根式的乘法运算；二次根式的化简；二次根式的加减运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，解题关键是牢记二次根式的运算法则和运算顺序，运算过程中注意先将二次根式化为最简形式再合并，避免计算错误。
【难度系数】
0.8

2.老师设计了一个“接力游戏”，让同学们用合作的方式完成二次根式的混合运算.如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成运算.规则是每人只能看到前一人传过来的式子.接力中，自己负责的运算出现错误的是（）


A.小明和小丽
B.小丽和小红
C.小红和小亮
D.小丽和小亮

B

【分析】
解题时需按照接力顺序，结合二次根式的运算法则逐人核对运算步骤是否正确：首先回忆二次根式除法法则：$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$），且多项式除以单项式满足分配律。先核对小明的变形是否符合运算规则，再核对小丽对根号内除法的计算是否正确，接着核对小红对二次根式的变形是否正确，最后核对小亮对算术平方根的化简是否正确，即可确定出错的同学。
【解析】
我们按接力顺序逐一检查：
1. 检查小明的运算：
原式$(\sqrt{12}+\sqrt{\frac{1}{18}})÷\sqrt{3}$，根据除法分配律，可变形为$\sqrt{12}÷\sqrt{3}+\sqrt{\frac{1}{18}}÷\sqrt{3}$，再根据二次根式除法法则，可得$\sqrt{12÷3}+\sqrt{\frac{1}{18}÷3}$，小明的运算正确。
2. 检查小丽的运算：
计算根号内的除法：$\frac{1}{18}÷3=\frac{1}{18}×\frac{1}{3}=\frac{1}{54}$，因此小明的式子化简后应为$\sqrt{4}+\sqrt{\frac{1}{54}}$，但小丽写成了$\sqrt{4}+\sqrt{\frac{1}{6}}$，计算错误，所以小丽运算错误。
3. 检查小红的运算：
小丽给出的式子是$\sqrt{4}+\sqrt{\frac{1}{6}}$，其中$\sqrt{\frac{1}{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$，小红错误将$\sqrt{\frac{1}{6}}$变形为$\sqrt{\frac{1}{36}}$，二者不相等，所以小红运算错误。
4. 检查小亮的运算：
小红给出的式子是$2+\sqrt{\frac{1}{36}}$，其中$\sqrt{\frac{1}{36}}=\frac{1}{6}$，因此计算得$2+\frac{1}{6}=2\frac{1}{6}$，小亮的运算正确。
综上，运算出现错误的是小丽和小红，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的除法法则，二次根式的化简，二次根式的混合运算
【点评】
本题围绕二次根式的混合运算设置，重点考查对二次根式运算规则的掌握程度，解题时需逐步骤核对运算过程，避免因粗心或对法则掌握不牢出现错误。
【难度系数】
0.7

3.若$a+b=3$，$ab=1$，则式子$\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}$的值为（）

A.3
B.$-3$
C.$\sqrt{3}$
D.$-\sqrt{3}$

A

【分析】
解题时首先根据已知条件判断a、b的符号：由ab=1＞0可知a、b同号，结合a+b=3＞0可推出a、b均为正数，因此所求二次根式的结果为正数，可先排除负的选项；接下来将所求的二次根式通分化简，变形为含a+b和ab的形式，再整体代入已知条件计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$ab=1＞0$，
∴a、b同号，
又
∵$a+b=3＞0$，
∴$a＞0$，$b＞0$，
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$，
通分后得：
原式$=\frac{(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2}{\sqrt{a}·\sqrt{b}}=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}$，
将$a+b=3$，$ab=1$代入上式得：
原式$=\frac{3}{\sqrt{1}}=3$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的化简，整体代入求值，分式的通分
【点评】
本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是先判断字母的正负性，避免出现符号错误，再通过变形将所求式子转化为可直接代入已知条件的形式，整体代入法是代数式求值中的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7

4. 计算：
(1) $\sqrt{24} - \sqrt{\dfrac{6}{5}} × \sqrt{45} =$ .
(2) $(-\sqrt{12} + \sqrt{\dfrac{1}{3}}) ÷ \sqrt{27} =$ .

(1)$-\sqrt{6}$ (2)$-\dfrac{5}{9}$

【分析】
这两道题均属于二次根式的混合运算，解题遵循先乘除后加减、有括号先算括号内的运算顺序：
(1) 先根据二次根式的乘法法则计算乘法部分，再将所有二次根式化简为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可得到结果；
(2) 先将括号内的二次根式全部化简为最简二次根式，合并同类二次根式后，再根据二次根式的除法法则计算除法，约去同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 先计算乘法运算：
$\sqrt{\dfrac{6}{5}} × \sqrt{45} = \sqrt{\dfrac{6}{5} × 45} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$
再化简$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，代入原式得：
原式$=2\sqrt{6} - 3\sqrt{6} = -\sqrt{6}$
(2) 先化简括号内的二次根式：
$-\sqrt{12} = -2\sqrt{3}$，$\sqrt{\dfrac{1}{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
合并括号内的同类二次根式：
$-\sqrt{12} + \sqrt{\dfrac{1}{3}} = -2\sqrt{3} + \dfrac{\sqrt{3}}{3} = -\dfrac{5\sqrt{3}}{3}$
再化简除数$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，计算除法：
原式$= (-\dfrac{5\sqrt{3}}{3}) ÷ 3\sqrt{3} = (-\dfrac{5\sqrt{3}}{3}) × \dfrac{1}{3\sqrt{3}} = -\dfrac{5}{9}$
【答案】
(1)$-\sqrt{6}$ (2)$-\dfrac{5}{9}$
【知识点】
1. 二次根式乘除运算
2. 最简二次根式化简
3. 同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式混合运算的基础题型，核心是熟练掌握二次根式的化简规则和运算顺序，运算时注意符号处理，化简完成后再进行加减或乘除运算，能有效降低出错率。
【难度系数】
0.7

5. 计算:
(1) $\sqrt{\frac{2}{5}} - \sqrt{\frac{5}{2}}$.
(2) $\sqrt{80} - \sqrt{20} + \sqrt{\frac{1}{5}}$.
(3) $\sqrt{\frac{9}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{8}$.
(4) $\frac{\sqrt{50} × \sqrt{32}}{\sqrt{8}} - \sqrt[3]{-8}$.
(5) $\sqrt{12} ÷ ( \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{2\sqrt{3}}{3} )$.

解:(1)原式=$\frac{\sqrt{10}}{5}-\frac{\sqrt{10}}{2}=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$.
(2)原式=$4\sqrt{5}-2\sqrt{5}+\frac{\sqrt{5}}{5}=2\sqrt{5}+\frac{1}{5}\sqrt{5}=\frac{11}{5}\sqrt{5}$.
(3)原式=$\frac{3}{2}\sqrt{2}-\frac{1}{2}\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$.
(4)原式=$\frac{5\sqrt{2}×4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}-(-2)=10\sqrt{2}+2$.
(5)原式=$\sqrt{12}÷(\frac{3\sqrt{3}}{12}+\frac{8\sqrt{3}}{12})=\sqrt{12}÷\frac{11\sqrt{3}}{12}=2\sqrt{3}×\frac{12}{11\sqrt{3}}=\frac{24}{11}$.

【分析】
这是二次根式混合运算的基础题，解题遵循通用步骤：①先把所有二次根式化为最简二次根式；②有括号先算括号内的运算，括号内异分母根式先通分再合并同类二次根式；③乘除运算按照二次根式乘除法则计算，可通过约分简化计算；④最后合并同类二次根式，同时注意立方根等特殊运算的符号规则，按顺序逐步计算即可得到结果。
【解析】
(1) 先化简两个根式，再合并同类二次根式：
原式=$\frac{\sqrt{10}}{5}-\frac{\sqrt{10}}{2}=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$
(2) 先化简各根式，再合并同类二次根式：
原式=$4\sqrt{5}-2\sqrt{5}+\frac{\sqrt{5}}{5}=2\sqrt{5}+\frac{1}{5}\sqrt{5}=\frac{11}{5}\sqrt{5}$
(3) 先化简各根式，再合并同类二次根式：
原式=$\frac{3}{2}\sqrt{2}-\frac{1}{2}\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
(4) 先化简各根式、计算立方根，再按运算顺序计算：
原式=$\frac{5\sqrt{2}×4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}-(-2)=10\sqrt{2}+2$
(5) 先通分计算括号内的和，再计算除法：
原式=$\sqrt{12}÷(\frac{3\sqrt{3}}{12}+\frac{8\sqrt{3}}{12})=\sqrt{12}÷\frac{11\sqrt{3}}{12}=2\sqrt{3}×\frac{12}{11\sqrt{3}}=\frac{24}{11}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-\frac{3\sqrt{10}}{10}}$
(2) $\boldsymbol{\frac{11\sqrt{5}}{5}}$
(3) $\boldsymbol{3\sqrt{2}}$
(4) $\boldsymbol{10\sqrt{2}+2}$
(5) $\boldsymbol{\frac{24}{11}}$
【知识点】
二次根式化简；二次根式混合运算；立方根运算
【点评】
本题主要考查二次根式的运算能力，解题关键是准确将二次根式化为最简形式，严格遵循运算顺序计算，注意通分、约分的准确性以及符号处理，熟练掌握基础规则后可快速准确求解。
【难度系数】
0.7

6. 新考向·过程性学习 在计算$(\sqrt{24}-\sqrt{\frac{1}{2}})-(\sqrt{\frac{1}{8}}+\sqrt{6})$时,小敏的解题过程如下:
解:原式$=(2\sqrt{6}-\frac{\sqrt{2}}{2})-(\frac{\sqrt{2}}{4}+\sqrt{6})···①$
$=2\sqrt{6}-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}+\sqrt{6}···②$
$=2\sqrt{6}+\sqrt{6}-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}···③$
$=3\sqrt{6}-\frac{\sqrt{2}}{4}.···④$
(1)老师判定小敏的解题过程错误,请指出小敏是从第步开始出错的.(填序号)
(2)请写出正确的解题过程.

解:(1)②
(2)原式=$(2\sqrt{6}-\frac{\sqrt{2}}{2})-(\frac{\sqrt{2}}{4}+\sqrt{6})=2\sqrt{6}-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}-\sqrt{6}=2\sqrt{6}-\sqrt{6}-(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4})=\sqrt{6}-\frac{3\sqrt{2}}{4}$.

【分析】
(1)判断错误步骤：二次根式加减运算时，去括号若括号前为负号，括号内每一项都要变号。观察小敏的解题过程，第②步去第二个带负号的括号时，括号内的+√6未变号，因此从第②步开始出错。
(2)正确解题思路：先将原式中所有二次根式化为最简二次根式，再按照去括号法则去掉括号，最后合并同类二次根式即可得到正确结果。
【解析】
(1) 步骤①化简各二次根式是正确的，步骤②去括号时，$-(\frac{\sqrt{2}}{4}+\sqrt{6})$去括号后应为$-\frac{\sqrt{2}}{4}-\sqrt{6}$，小敏错误写成$+\sqrt{6}$，因此从第②步开始出错。
(2) 正确解题过程：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(2\sqrt{6}-\frac{\sqrt{2}}{2})-(\frac{\sqrt{2}}{4}+\sqrt{6})\\&=2\sqrt{6}-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}-\sqrt{6}\\&=2\sqrt{6}-\sqrt{6}-(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4})\\&=\sqrt{6}-\frac{3\sqrt{2}}{4}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{②}$
(2) 正确结果为$\boldsymbol{\sqrt{6}-\frac{3\sqrt{2}}{4}}$，解题过程见解析。
【知识点】
二次根式化简、去括号法则、同类二次根式合并
【点评】
本题属于二次根式加减的基础运算题，解题的关键是熟练掌握二次根式化简方法和去括号的符号规则，去括号时的符号错误是此类题的高频失分点，运算时需注意核对。
【难度系数】
0.8