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1. (2026·甘孜州中考)对于抛物线$y=3(x-5)^2 -4$，以下说法正确的是（
A.开口向下
B.对称轴为直线$x=5$
C.顶点坐标为$(5,4)$
D.当$x＞5$时，$y$随$x$的增大而减小
B
）A.开口向下
B.对称轴为直线$x=5$
C.顶点坐标为$(5,4)$
D.当$x＞5$时，$y$随$x$的增大而减小
答案
1. B 解析:
∵抛物线表达式为$y=3(x-5)^2-4,a=3＞0$,
∴抛物线开口向上,故A选项错误;对称轴为直线$x=5$,故B选项正确;顶点坐标为$(5,-4)$,故C选项错误;
∵抛物线开口向上,对称轴为直线$x=5$,
∴当$x＞5$时,$y$随$x$的增大而增大,故D选项错误.故选B.
∵抛物线表达式为$y=3(x-5)^2-4,a=3＞0$,
∴抛物线开口向上,故A选项错误;对称轴为直线$x=5$,故B选项正确;顶点坐标为$(5,-4)$,故C选项错误;
∵抛物线开口向上,对称轴为直线$x=5$,
∴当$x＞5$时,$y$随$x$的增大而增大,故D选项错误.故选B.
2. (2026·廊坊期末)要将抛物线$y=2(x-2)^2+1$平移得到抛物线$y=2(x+1)^2-1$，可以（
A.左移3个单位长度，再上移2个单位长度
B.左移3个单位长度，再下移2个单位长度
C.右移3个单位长度，再上移2个单位长度
D.右移3个单位长度，再下移2个单位长度
B
）A.左移3个单位长度，再上移2个单位长度
B.左移3个单位长度，再下移2个单位长度
C.右移3个单位长度，再上移2个单位长度
D.右移3个单位长度，再下移2个单位长度
答案
2. B 解析:抛物线$y=2(x-2)^2+1$的顶点坐标为$(2,1)$,抛物线$y=2(x+1)^2-1$的顶点坐标为$(-1,-1)$,
∵点$(-1,-1)$是由点$(2,1)$向左平移$2-(-1)=3$(个)单位长度,向下平移$1-(-1)=2$(个)单位长度得到的,
∴将抛物线$y=2(x-2)^2+1$向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度可得到抛物线$y=2(x+1)^2-1$.故选B.
∵点$(-1,-1)$是由点$(2,1)$向左平移$2-(-1)=3$(个)单位长度,向下平移$1-(-1)=2$(个)单位长度得到的,
∴将抛物线$y=2(x-2)^2+1$向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度可得到抛物线$y=2(x+1)^2-1$.故选B.
3. (2026·南通校级月考)如图,已知二次函数$y=2(x+1)^2 -4$,当$-2≤ x≤2$时,则函数$y$的最小值和最大值分别为 (
A.-2 和 14
B.-4 和 14
C.-4 和-2
D.-1 和 2
B
)A.-2 和 14
B.-4 和 14
C.-4 和-2
D.-1 和 2
答案
3. B 解析:
∵二次函数$y=2(x+1)^2-4$,其图象对称轴为直线$x=-1$,又
∵$a=2＞0$,
∴$x＞-1$时,$y$随$x$的增大而增大,$x＜-1$时,$y$随$x$的增大而减小.由图象可知,在$-2≤x≤2$内,$x=2$时,$y$有最大值,最大值为$y=2×(2+1)^2-4=14$,$x=-1$时,$y$有最小值,最小值为$y=2×(-1+1)^2-4=-4$.故选B.
∵二次函数$y=2(x+1)^2-4$,其图象对称轴为直线$x=-1$,又
∵$a=2＞0$,
∴$x＞-1$时,$y$随$x$的增大而增大,$x＜-1$时,$y$随$x$的增大而减小.由图象可知,在$-2≤x≤2$内,$x=2$时,$y$有最大值,最大值为$y=2×(2+1)^2-4=14$,$x=-1$时,$y$有最小值,最小值为$y=2×(-1+1)^2-4=-4$.故选B.
4. 若抛物线$y=(x-m)^2 +1 -m$的顶点在第一象限，则$m$的取值范围是
0＜m＜1
.答案
4. 0＜m＜1 解析:抛物线的顶点坐标为$(m,1-m)$.
∵顶点在第一象限,
∴$m＞0$且$1-m＞0$,
∴$0＜m＜1$.
∵顶点在第一象限,
∴$m＞0$且$1-m＞0$,
∴$0＜m＜1$.
5. (2026·安阳期中)一条抛物线的对称轴是直线$x=3$,顶点到$x$轴的距离是2,开口向上,请写出一个符合条件的表达式:
$y=(x-3)^2+2$(答案不唯一)
.答案
5. $y=(x-3)^2+2$(答案不唯一) 解析:根据题意可知,二次项系数大于零,顶点坐标为$(3,2)$或$(3,-2)$,当顶点坐标为$(3,2)$时,符合题意的表达式可以为$y=(x-3)^2+2$.
6. (2026·天津期中)若抛物线$y=2(x-1)^2$经过$(m,n)$和$(m+4,n)$两点，则$m=$
-1
.答案
6. -1 解析:由题意得,抛物线$y=2(x-1)^2$的对称轴为直线$x=1$,
∵抛物线经过$(m,n)$和$(m+4,n)$两点,两点纵坐标相同,
∴根据抛物线的对称性可知,该两点为对称点,
∴$\frac{m+m+4}{2}=1$,解得$m=-1$.
∵抛物线经过$(m,n)$和$(m+4,n)$两点,两点纵坐标相同,
∴根据抛物线的对称性可知,该两点为对称点,
∴$\frac{m+m+4}{2}=1$,解得$m=-1$.
7. 改编题 将抛物线$y_1 = a(x - h)^2 + k$先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线$y_2 = -2(x + 3)^2 + 1$。
(1)确定$a,h,k$的值；
(2)写出抛物线$y_1$的对称轴和顶点坐标；
(3)当$-2＜x＜2$时，写出$y_1$和$y_2$的取值范围；
(4)若抛物线$y_1$不动，而把$x$轴向下平移2个单位长度，$y$轴向右平移3个单位长度，在新坐标系下得到抛物线$y_3$，求$y_3$的表达式。
(1)确定$a,h,k$的值；
(2)写出抛物线$y_1$的对称轴和顶点坐标；
(3)当$-2＜x＜2$时，写出$y_1$和$y_2$的取值范围；
(4)若抛物线$y_1$不动，而把$x$轴向下平移2个单位长度，$y$轴向右平移3个单位长度，在新坐标系下得到抛物线$y_3$，求$y_3$的表达式。
答案
7. (1)
∵将抛物线$y_1 = a(x - h)^2 + k$先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度,
∴$y_2=a(x-h+2)^2+k+3=-2(x+3)^2+1$,解得$a=-2,h=-1,k=-2$.
(2)
∵$y_1=a(x-h)^2+k=-2(x+1)^2-2$,
∴对称轴是直线$x=-1$,顶点坐标为$(-1,-2)$.
(3)
∵$y_1=-2(x+1)^2-2$的对称轴为直线$x=-1$,
∴当$x=-1$时,$y_1$取最大值-2,当$x=2$时,$y_1$取最小值-20,
∴$y_1$的取值范围为$-20＜y_1≤-2$.
∵抛物线$y_2=-2(x+3)^2+1$的对称轴为直线$x=-3$,
∴当$x=-2$时,$y_2$取最大值-1,当$x=2$时,$y_2$取最小值-49,
∴$y_2$的取值范围为$-49＜y_2＜-1$.
(4)$y_1=-2(x+1)^2-2$的顶点坐标为$(-1,-2)$,若把$x$轴向下平移2个单位长度,$y$轴向右平移3个单位长度,则在新坐标系中抛物线的顶点坐标为$(-4,0)$,
∴抛物线的表达式为$y_3=-2(x+4)^2$.
归纳总结 抛物线不动,把$x$轴向下(上)平移$n$个单位长度,相当于坐标轴不动,把抛物线向上(下)平移$n$个单位长度;抛物线不动,把$y$轴向左(右)平移$n$个单位长度,相当于坐标轴不动,把抛物线向右(左)平移$n$个单位长度.
∵将抛物线$y_1 = a(x - h)^2 + k$先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度,
∴$y_2=a(x-h+2)^2+k+3=-2(x+3)^2+1$,解得$a=-2,h=-1,k=-2$.
(2)
∵$y_1=a(x-h)^2+k=-2(x+1)^2-2$,
∴对称轴是直线$x=-1$,顶点坐标为$(-1,-2)$.
(3)
∵$y_1=-2(x+1)^2-2$的对称轴为直线$x=-1$,
∴当$x=-1$时,$y_1$取最大值-2,当$x=2$时,$y_1$取最小值-20,
∴$y_1$的取值范围为$-20＜y_1≤-2$.
∵抛物线$y_2=-2(x+3)^2+1$的对称轴为直线$x=-3$,
∴当$x=-2$时,$y_2$取最大值-1,当$x=2$时,$y_2$取最小值-49,
∴$y_2$的取值范围为$-49＜y_2＜-1$.
(4)$y_1=-2(x+1)^2-2$的顶点坐标为$(-1,-2)$,若把$x$轴向下平移2个单位长度,$y$轴向右平移3个单位长度,则在新坐标系中抛物线的顶点坐标为$(-4,0)$,
∴抛物线的表达式为$y_3=-2(x+4)^2$.
归纳总结 抛物线不动,把$x$轴向下(上)平移$n$个单位长度,相当于坐标轴不动,把抛物线向上(下)平移$n$个单位长度;抛物线不动,把$y$轴向左(右)平移$n$个单位长度,相当于坐标轴不动,把抛物线向右(左)平移$n$个单位长度.
8. 已知二次函数$y=a(x-m)^2+4(a＞0)$的图象经过$A(-1,p)$，$B(3,q)$两点，且$p＜q$，则$m$的值不可能是（
A.$-2$
B.$-\sqrt{2}$
C.$\frac{7}{8}$
D.$\frac{5}{2}$
D
）A.$-2$
B.$-\sqrt{2}$
C.$\frac{7}{8}$
D.$\frac{5}{2}$
答案
8. D 解析:
∵$y=a(x-m)^2+4(a＞0)$,
∴抛物线开口向上,对称轴为直线$x=m$,
∴抛物线上的点与直线$x=m$的距离越远,对应的$y$值就越大.
∵$A(-1,p)$,$B(3,q)$,且$p＜q$,
∴$B$点到直线$x=m$的距离大于$A$点到直线$x=m$的距离,
∴$m≤-1$或$m+1＜3-m$,即$m＜1$,
∴$m＜1$,而只有$\frac{5}{2}＞1$.故选D.
∵$y=a(x-m)^2+4(a＞0)$,
∴抛物线开口向上,对称轴为直线$x=m$,
∴抛物线上的点与直线$x=m$的距离越远,对应的$y$值就越大.
∵$A(-1,p)$,$B(3,q)$,且$p＜q$,
∴$B$点到直线$x=m$的距离大于$A$点到直线$x=m$的距离,
∴$m≤-1$或$m+1＜3-m$,即$m＜1$,
∴$m＜1$,而只有$\frac{5}{2}＞1$.故选D.
9. (2026·福州校级月考)如图，抛物线$y_1=(x-2)^2 -2$与y轴交于点A，过点A且平行于x轴的直线与抛物线$y_2=-(x-h)^2 +k$交于B，C两点，与抛物线$y_1$交于点D，抛物线$y_2$与x轴交于点E，F，连接BE，CF。若$AD=2BC$，$AB=CD$，则梯形BEFC的面积为 (
A.4
B.$2+2\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{5}-1$
D.$2\sqrt{3}+1$
B
)A.4
B.$2+2\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{5}-1$
D.$2\sqrt{3}+1$
答案
9. B 解析:抛物线$y_1=(x-2)^2-2$的对称轴为直线$x=2$,当$x=0$时,$y=2$,
∴$A(0,2)$,$D(4,2)$,$AD=4$.
∵$AD=2BC$,
∴$BC=2$.由题意可知,$B,C$两点关于直线$x=2$对称,
∴$B(1,2)$,$C(3,2)$,将$B(1,2)$代入$y_2=-(x-h)^2+k$,得$2=-(1-h)^2+k$.
∵抛物线$y_2$的对称轴是直线$x=2$,
∴$2=-(1-2)^2+k$,
∴$k=3$,
∴$y_2=-(x-2)^2+3$.令$y_2=0$,
∴$(x-2)^2=3$,
∴$x_1=2+\sqrt{3}$,$x_2=2-\sqrt{3}$,
∴$E(2-\sqrt{3},0)$,$F(2+\sqrt{3},0)$,
∴$EF=2\sqrt{3}$,
∴$S_{梯形BEFC}=\frac{1}{2}(BC+EF)·AO=\frac{1}{2}×(2+2\sqrt{3})×2=2+2\sqrt{3}$.故选B.
∴$A(0,2)$,$D(4,2)$,$AD=4$.
∵$AD=2BC$,
∴$BC=2$.由题意可知,$B,C$两点关于直线$x=2$对称,
∴$B(1,2)$,$C(3,2)$,将$B(1,2)$代入$y_2=-(x-h)^2+k$,得$2=-(1-h)^2+k$.
∵抛物线$y_2$的对称轴是直线$x=2$,
∴$2=-(1-2)^2+k$,
∴$k=3$,
∴$y_2=-(x-2)^2+3$.令$y_2=0$,
∴$(x-2)^2=3$,
∴$x_1=2+\sqrt{3}$,$x_2=2-\sqrt{3}$,
∴$E(2-\sqrt{3},0)$,$F(2+\sqrt{3},0)$,
∴$EF=2\sqrt{3}$,
∴$S_{梯形BEFC}=\frac{1}{2}(BC+EF)·AO=\frac{1}{2}×(2+2\sqrt{3})×2=2+2\sqrt{3}$.故选B.
10. 点$A(m-1,y_{1})$，$B(m,y_{2})$都在二次函数$y=(x-1)^2+n$的图象上.若$y_{1}＜y_{2}$，则$m$的取值范围为________.
答案
10. $m＞\frac{3}{2}$ 解析:
∵$y_1＜y_2$,对称轴为直线$x=1$,图象开口向上,
∴点$A$到对称轴的距离小于点$B$到对称轴的距离,即$|m-1-1|＜|m-1|$,
∴$m＞\frac{3}{2}$.
∵$y_1＜y_2$,对称轴为直线$x=1$,图象开口向上,
∴点$A$到对称轴的距离小于点$B$到对称轴的距离,即$|m-1-1|＜|m-1|$,
∴$m＞\frac{3}{2}$.
