11. 改编题 (1)在平面直角坐标系中,将二次函数$y=(x+1)^2$的图象关于$x$轴对称后,再向下平移2个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为.
(2)将抛物线$y=(x-1)^2 -5$关于$y$轴对称,再向右平移3个单位长度后所得抛物线的顶点坐标是.
(3)在平面直角坐标系中,将抛物线$y=(x+1)^2 -2$先绕原点旋转$180°$,再向下平移5个单位长度,所得到的抛物线的顶点坐标是.

11. (1) $y=-(x+1)^2-2$ 解析:将二次函数$y=(x+1)^2$的图象关于$x$轴对称后,得抛物线表达式为$y=-(x+1)^2$,再向下平移2个单位长度所得抛物线对应的函数表达式是$y=-(x+1)^2-2$.
(2)$(2,-5)$ 解析:
∵抛物线$y=(x-1)^2-5$的顶点坐标是$(1,-5)$,将抛物线$y=(x-1)^2-5$关于$y$轴对称,
∴顶点坐标是$(-1,-5)$...再向右平移3个单位长度后的抛物线的顶点坐标为$(2,-5)$.
(3)$(1,-3)$ 解析:
∵抛物线$y=(x+1)^2-2$的顶点坐标是$(-1,-2)$,将抛物线$y=(x+1)^2-2$先绕原点旋转$180°$后,顶点坐标为$(1,2)$,再向下平移5个单位长度,
∴得到的抛物线的顶点坐标是$(1,-3)$.

12. 已知A,B两点的坐标分别为$(3,-4),(0,-2)$，线段AB上有一动点$M(m,n)$，过点M作x轴的平行线交抛物线$y=a(x-1)^2+2$于$P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$两点.若$x_1＜m≤x_2$恒成立，则a的取值范围为.

12. $-\frac{3}{2}≤a＜0$ 解析:如图,,
∵$y=a(x-1)^2+2$,
∴抛物线的顶点为$(1,2)$.又
∵线段AB上有一动点$M(m,n)$,过点M作x轴的平行线交抛物线$y=a(x-1)^2+2$于$P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$两点,
∴抛物线开口向下.
∴$a＜0$.当抛物线$y=a(x-1)^2+2$经过点$A(3,-4)$时,$-4=4a+2$,
∴$a=-\frac{3}{2}$.观察图象可知,当抛物线与线段AB没有交点或经过点A时,满足条件,
∴$-\frac{3}{2}≤a＜0$.

13. 如图,已知点$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$在二次函数$y=a(x-2)^2 -1(a＞0)$的图象上,且$x_2 -x_1=3$.
(1)若二次函数的图象经过点$(3,1)$.
①求这个二次函数的表达式;
②若$y_1=y_2$,求顶点到$MN$的距离.
(2)当$x_1≤ x≤ x_2$时,二次函数的最大值与最小值的差为1,点$M,N$在对称轴的异侧,求$a$的取值范围.

13. (1)①将点$(3,1)$代入$y=a(x-2)^2 -1(a＞0)$中,
∴$1=a(3-2)^2-1$,解得$a=2$,
∴二次函数的表达式为$y=2(x-2)^2-1=2x^2-8x+7$.
②当$y_1=y_2$时,此时$MN$为平行于x轴的直线,将$M(x_1,y_1)$代入二次函数中,得$y_1=2x_1^2-8x_1+7$,将$N(x_2,y_2)$代入二次函数中,得$y_2=2x_2^2-8x_2+7$,
∵$y_1=y_2$,
∴$2x_1^2-8x_1+7=2x_2^2-8x_2+7$,整理,得$(x_1+x_2)(x_1-x_2)-4(x_1-x_2)=0$.又
∵$x_2-x_1=3$,代入上式,得$x_2+x_1=4$,解出$x_1=\frac{1}{2}$,$x_2=\frac{7}{2}$,
∴$y_2=y_1=2×(\frac{1}{2})^2-8×\frac{1}{2}+7=\frac{7}{2}$,即直线$MN$为$y=\frac{7}{2}$.又
∵二次函数的顶点坐标为$(2,-1)$,
∴顶点$(2,-1)$到$MN$的距离为$\frac{7}{2}+1=\frac{9}{2}$.
(2)若$M,N$在对称轴的异侧,$y_1≥y_2$,
∴$x_1+3＞2$,$\frac{x_1+x_2}{2}≤2$,
∴$x_1＞-1$.
∵$x_2-x_1=3$,
∴$x_1≤\frac{1}{2}$,
∴$-1＜x_1≤\frac{1}{2}$.
∵函数的最大值为$y_1=a(x_1-2)^2-1$,最小值为$-1$,
∴$y_1-(-1)=1$,
∴$a=\frac{1}{(x_1-2)^2}$.
∵$\frac{9}{4}≤(x_1-2)^2＜9$,
∴$\frac{1}{9}＜a≤\frac{4}{9}$.
若$M,N$在对称轴的异侧,$y_1＜y_2$,
∴$x_1＜2$,$\frac{x_1+x_2}{2}＞2$.
∵$x_2-x_1=3$,
∴$x_1＞\frac{1}{2}$,
∴$\frac{1}{2}＜x_1＜2$.
∵函数的最大值为$y_2=a(x_2-2)^2-1$,最小值为$-1$,
∴$y_2-(-1)=1$,
∴$y_2=0$,
∴$a=\frac{1}{(x_2-2)^2}=\frac{1}{(x_1+1)^2}$.
∵$\frac{9}{4}＜(x_1+1)^2＜9$,
∴$\frac{1}{9}＜a＜\frac{4}{9}$.
综上所述,$a$的取值范围为$\frac{1}{9}＜a≤\frac{4}{9}$.

14. (2026·江西中考改编)如果两条不共顶点的抛物线都经过对方的顶点,那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”.
(1)$y=(x-2)^2$与$y=-(x-1)^2+1$（填“是”或“不是”）互为“伴随对称抛物线”.
(2)如图①,若$C_1:y=a_1(x-h_1)^2+k_1$与$C_2:y=a_2(x-h_2)^2+k_2$互为“伴随对称抛物线”,顶点分别为$A_1,A_2$,记$C_1,C_2$组成的图形为$C$.
①试猜想$a_1$与$a_2$的数量关系,并证明;
②进一步探究可知$C$为中心对称图形,请确定$C$的对称中心的位置;(直接写出结果)
③如图②,若$C_1:y=x^2,h_2＞0,B_1,B_2$分别为$C_1,C_2$上的点,且四边形$A_1B_1A_2B_2$为正方形,求$(h_2-2)(h_2-1)(h_2+1)$的值.

14. (1)是 解析:$y=(x-2)^2$的顶点为$(2,0)$,将$x=2$代入$y=-(x-1)^2+1$中,得$y=-(2-1)^2+1=0$,即$y=-(x-1)^2+1$经过$(2,0)$.$y=-(x-1)^2+1$的顶点为$(1,1)$,将$x=1$代入$y=(x-2)^2$中,得$y=(1-2)^2=1$,即$y=(x-2)^2$经过$(1,1)$.故$y=(x-2)^2$与$y=-(x-1)^2+1$互为“伴随对称抛物线”.
(2)①$a_1+a_2=0$,证明如下:
∵$C_1:y=a_1(x-h_1)^2+k_1$与$C_2:y=a_2(x-h_2)^2+k_2$,
∴$A_1(h_1,k_1)$,$A_2(h_2,k_2)$.
∵$C_1:y=a_1(x-h_1)^2+k_1$与$C_2:y=a_2(x-h_2)^2+k_2$互为“伴随对称抛物线”,
∴$k_1=a_2(h_1-h_2)^2+k_2$,$k_2=a_1(h_2-h_1)^2+k_1$,两式相加得$(a_1+a_2)(h_1-h_2)^2=0$.
∵$h_1≠h_2$,
∴$a_1+a_2=0$.
②$C$的对称中心为线段$A_1A_2$的中点.
③
∵$C_1:y=x^2$,$a_1+a_2=0$,
∴$a_1=1$,$a_2=-a_1=-1$,
∴$C_2:y=-(x-h_2)^2+k_2$,
∴$A_1(0,0)$,$A_2(h_2,k_2)$,$k_2=h_2^2$,如图,连接$A_1A_2$,$B_1B_2$,设$A_1A_2$与$B_1B_2$相交于点P.
∵四边形$A_1B_1A_2B_2$为正方形,
∴$P$为$C$的对称中心,$A_1A_2⊥B_1B_2$,$B_1P=A_1P$,
∴$P(\frac{h_2}{2},\frac{k_2}{2})$.
过点$P$作直线$l⊥y$轴,垂足为$M$,过点$B_1$作$B_1N⊥l$,垂足为$N$.则$∠B_1NP=∠A_1MP$,$∠B_1PN=∠MA_1P=90°-∠MPA_1$,
∴$△PB_1N≌△A_1PM(AAS)$,
∴$PN=A_1M$,$B_1N=PM$.
设$B_1(x_1,y_1)$,则$\frac{h_2}{2}-x_1=\frac{k_2}{2}$,$y_1-\frac{k_2}{2}=\frac{h_2}{2}$,即$x_1=\frac{h_2-k_2}{2}$,$y_1=\frac{h_2+k_2}{2}$.
又
∵$k_2=h_2^2$,
∴$x_1=\frac{h_2-h_2^2}{2}$,$y_1=\frac{h_2+h_2^2}{2}$.
∵点$B_1$在$C_1$上,
∴$\frac{h_2+h_2^2}{2}=(\frac{h_2-h_2^2}{2})^2$,化简整理得$h_2^3-2h_2^2-h_2=2$,
∴$(h_2-2)(h_2-1)(h_2+1)=(h_2-2)(h_2^2-1)=h_2^3-2h_2^2-h_2+2=2+2=4$.