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1. (2026·南京校级月考)若二次函数$y=(x+2)^2+m$与$y=x^2+nx+3$的图象重合，则$m,n$的值为（
A.$m=1,n=4$
B.$m=1,n=-4$
C.$m=-1,n=-4$
D.$m=-1,n=4$
D
）A.$m=1,n=4$
B.$m=1,n=-4$
C.$m=-1,n=-4$
D.$m=-1,n=4$
答案
1. D 解析:
∵ y=(x+2)²+m=x²+4x+4+m,且与y=x²+nx+3的图象重合,
∴ $\begin{cases}4+m=3, \\n=4,\end{cases}$
∴ $\begin{cases}m=-1, \\n=4,\end{cases}$ 故选D.
∵ y=(x+2)²+m=x²+4x+4+m,且与y=x²+nx+3的图象重合,
∴ $\begin{cases}4+m=3, \\n=4,\end{cases}$
∴ $\begin{cases}m=-1, \\n=4,\end{cases}$ 故选D.
2. (2024·南通中考)将抛物线$y=x^2+2x-1$向右平移3个单位长度后得到新抛物线的顶点坐标为 （
A.$(-4,-1)$
B.$(-4,2)$
C.$(2,1)$
D.$(2,-2)$
D
）A.$(-4,-1)$
B.$(-4,2)$
C.$(2,1)$
D.$(2,-2)$
答案
2. D 解析:$y=x^2+2x-1=(x+1)^2-2$,原抛物线的顶点坐标为$(-1,-2)$.向右平移3个单位长度后,顶点坐标为$(2,-2)$.故选D.
3. 已知点$(1,y_1),(1-a,y_2),(1-2a,y_3)$在二次函数$y=ax^2+bx+c(a＜0)$的图象上，且当$x=0$和$x=2$时，函数值相等，则下列结论正确的是（
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_3＜y_1＜y_2$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_1＜y_3＜y_2$
C
）A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_3＜y_1＜y_2$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_1＜y_3＜y_2$
答案
3. C 解析:
∵ 当x=0和x=2时函数值相等,
∴ 抛物线的对称轴为直线x=1. 三点到对称轴的距离依次为0,$|a|$,$2|a|$.
∵ a＜0,抛物线开口向下,
∴ $y_3＜y_2＜y_1$.故选C.
∵ 当x=0和x=2时函数值相等,
∴ 抛物线的对称轴为直线x=1. 三点到对称轴的距离依次为0,$|a|$,$2|a|$.
∵ a＜0,抛物线开口向下,
∴ $y_3＜y_2＜y_1$.故选C.
4. (1) 二次函数 $ y = -2x^2 -4x +5 $ 的最大值是
(2) 若抛物线 $ y = 2x^2 +4mx +m $ 的对称轴为直线 $ x=2 $，则 $ m $ 的值为
7
.(2) 若抛物线 $ y = 2x^2 +4mx +m $ 的对称轴为直线 $ x=2 $，则 $ m $ 的值为
-2
，抛物线的顶点坐标为 (2,-10)
.答案
4. (1)7 解析:$y=-2x^2-4x+5=-2(x+1)^2+7$.
∵ $-2＜0$,
∴ 当x=-1时,函数有最大值7. (2)-2 (2,-10) 解析:
∵ 抛物线的对称轴为直线x=2,
∴ $-\frac{4m}{4}=2$,解得m=-2,则抛物线为$y=2x^2-8x-2$,当x=2时,y=-10,
∴ 抛物线的顶点坐标为$(2,-10)$.
∵ $-2＜0$,
∴ 当x=-1时,函数有最大值7. (2)-2 (2,-10) 解析:
∵ 抛物线的对称轴为直线x=2,
∴ $-\frac{4m}{4}=2$,解得m=-2,则抛物线为$y=2x^2-8x-2$,当x=2时,y=-10,
∴ 抛物线的顶点坐标为$(2,-10)$.
5. 改编题 二次函数$y=ax^2+2x+c(a≠0)$的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
当$-2＜x＜2$时，y的取值范围是
当$-2＜x＜2$时，y的取值范围是
$-2≤y＜7$
。答案
5. $-2≤y＜7$ 解析:
∵ 当x=-2时,y=-1;当x=0时,y=-1,
∴ 二次函数图象的对称轴为直线x=-1.由表格数据可得,在对称轴右侧,y随x的增大而增大,
∴ 二次函数的图象开口向上.当-2＜x＜2时,结合表格可得,当x=-1时,y有最小值-2,y的最大值在取值范围的右边界取得,
∵ x=2时,y=7,
∴ 当-2＜x＜2时,$-2≤y＜7$.
∵ 当x=-2时,y=-1;当x=0时,y=-1,
∴ 二次函数图象的对称轴为直线x=-1.由表格数据可得,在对称轴右侧,y随x的增大而增大,
∴ 二次函数的图象开口向上.当-2＜x＜2时,结合表格可得,当x=-1时,y有最小值-2,y的最大值在取值范围的右边界取得,
∵ x=2时,y=7,
∴ 当-2＜x＜2时,$-2≤y＜7$.
6. (长春中考)已知二次函数$y=-x^2 -2x +3$，当$a≤ x≤ \frac{1}{2}$时，函数值$y$的最小值为1，则$a$的值为
$-1-\sqrt{3}$
.答案
6. $-1-\sqrt{3}$ 解析:
∵ $y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4$,
∴ 图象开口向下,顶点坐标为$(-1,4)$.
∵ 当$a≤x≤\frac{1}{2}$时,函数值y的最小值为1,
∴ $y=-(x+1)^2+4=1$,
∴ $x=-1±\sqrt{3}$.
∵ $-1+\sqrt{3}＞\frac{1}{2}$,
∴ 当$-1-\sqrt{3}≤x≤\frac{1}{2}$时,函数值y的最小值为1,
∴ $a=-1-\sqrt{3}$.
∵ $y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4$,
∴ 图象开口向下,顶点坐标为$(-1,4)$.
∵ 当$a≤x≤\frac{1}{2}$时,函数值y的最小值为1,
∴ $y=-(x+1)^2+4=1$,
∴ $x=-1±\sqrt{3}$.
∵ $-1+\sqrt{3}＞\frac{1}{2}$,
∴ 当$-1-\sqrt{3}≤x≤\frac{1}{2}$时,函数值y的最小值为1,
∴ $a=-1-\sqrt{3}$.
7. 已知二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2 +6x -10$.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中,画出函数图象,写出二次函数图象的对称轴和顶点坐标,并描述其图象与函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2$的图象的位置关系;
(2)该函数图象上有一点$P$,当点$P$到$y$轴的距离不大于3时,点$P$的纵坐标的最大值为__________;
(3)求函数图象与$x$轴、$y$轴的交点所组成的三角形的面积.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中,画出函数图象,写出二次函数图象的对称轴和顶点坐标,并描述其图象与函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2$的图象的位置关系;
(2)该函数图象上有一点$P$,当点$P$到$y$轴的距离不大于3时,点$P$的纵坐标的最大值为__________;
(3)求函数图象与$x$轴、$y$轴的交点所组成的三角形的面积.
答案
7. (1),$y=-\frac{1}{2}x^2+6x-10=-\frac{1}{2}(x-6)^2+8$,对称轴为直线x=6,顶点坐标为$(6,8)$.二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象先向右平移6个单位长度,再向上平移8个单位长度即可得到二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2+6x-10$的图象.(合理即可) (2)$\frac{7}{2}$ 解析:由题意得点P的横坐标$|x|≤3$,即$-3≤x≤3$,在此范围内,y随x的增大而增大.当x=3时,y有最大值$\frac{7}{2}$,
∴ 点P的纵坐标的最大值为$\frac{7}{2}$. (3)当x=0时,y=-10,当y=0时,$-\frac{1}{2}(x-6)^2+8=0$,解得$x_1=2$,$x_2=10$,
∴ 函数图象与坐标轴交于点$(2,0)$,$(10,0)$,$(0,-10)$,
∴ 函数图象与两坐标轴的交点所组成的三角形的面积为$\frac{1}{2}×(10-2)×10=40$.
∴ 点P的纵坐标的最大值为$\frac{7}{2}$. (3)当x=0时,y=-10,当y=0时,$-\frac{1}{2}(x-6)^2+8=0$,解得$x_1=2$,$x_2=10$,
∴ 函数图象与坐标轴交于点$(2,0)$,$(10,0)$,$(0,-10)$,
∴ 函数图象与两坐标轴的交点所组成的三角形的面积为$\frac{1}{2}×(10-2)×10=40$.
8. (2026·福建中考)已知抛物线$y=x^2 - 2nx$经过点$A(3,a)$，$B(5,b)$。若$a ＜ b$，且$ab ＜ 0$，则$n$的取值可以是（
A.0
B.1
C.2
D.3
C
）A.0
B.1
C.2
D.3
答案
8. C 解析:
∵ 抛物线$y=x^2-2nx$经过点$A(3,a)$,$B(5,b)$,
∴ 将x=3代入表达式,得$a=3^2-2n·3=9-6n$,将x=5代入表达式,得$b=5^2-2n·5=25-10n$.
∵ $a＜b$,且$ab＜0$,
∴ $a＜0＜b$,
∴ $\begin{cases}9-6n＜0, \\25-10n＞0,\end{cases}$ 解得$1.5＜n＜2.5$.观察选项,只有n=2符合该范围.故选C.
∵ 抛物线$y=x^2-2nx$经过点$A(3,a)$,$B(5,b)$,
∴ 将x=3代入表达式,得$a=3^2-2n·3=9-6n$,将x=5代入表达式,得$b=5^2-2n·5=25-10n$.
∵ $a＜b$,且$ab＜0$,
∴ $a＜0＜b$,
∴ $\begin{cases}9-6n＜0, \\25-10n＞0,\end{cases}$ 解得$1.5＜n＜2.5$.观察选项,只有n=2符合该范围.故选C.
9. (2026·广元中考)已知二次函数$y=x^2 -2x +3$，当$a≤x≤a+2$时，y的最小值为t，则下列t与a的函数关系图象正确的是（
A
）答案
9. A 解析:
∵ $y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2$,
∴ 抛物线开口向上,对称轴为直线x=1,顶点坐标为$(1,2)$.
∵ 当$a≤x≤a+2$时,y的最小值为t,
∴ 分三种情况讨论: ①当$a≤x≤a+2$在对称轴左侧,即$a+2＜1$时,解得$a＜-1$,y随x的增大而减小,
∴ 当$x=a+2$时,y取得最小值$t=(a+2-1)^2+2=(a+1)^2+2$; ②当$a≤x≤a+2$包含对称轴,即$a≤1≤a+2$时,解得$-1≤a≤1$,y的最小值为顶点的纵坐标,
∴ $t=2$; ③当$a≤x≤a+2$在对称轴右侧,即$a＞1$时,y随x的增大而增大,
∴ 当$x=a$时,y取得最小值$t=(a-1)^2+2$. 综上所述,t与a的函数关系式为$t=\begin{cases}(a+1)^2+2(a＜-1), \\2(-1≤a≤1), \\(a-1)^2+2(a＞1).\end{cases}$ 观察图象可知,当$-1≤a≤1$时,图象为平行于a轴的线段;当$a＞1$或$a＜-1$时,图象为开口向上的抛物线的一部分,故A符合题意.
∵ $y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2$,
∴ 抛物线开口向上,对称轴为直线x=1,顶点坐标为$(1,2)$.
∵ 当$a≤x≤a+2$时,y的最小值为t,
∴ 分三种情况讨论: ①当$a≤x≤a+2$在对称轴左侧,即$a+2＜1$时,解得$a＜-1$,y随x的增大而减小,
∴ 当$x=a+2$时,y取得最小值$t=(a+2-1)^2+2=(a+1)^2+2$; ②当$a≤x≤a+2$包含对称轴,即$a≤1≤a+2$时,解得$-1≤a≤1$,y的最小值为顶点的纵坐标,
∴ $t=2$; ③当$a≤x≤a+2$在对称轴右侧,即$a＞1$时,y随x的增大而增大,
∴ 当$x=a$时,y取得最小值$t=(a-1)^2+2$. 综上所述,t与a的函数关系式为$t=\begin{cases}(a+1)^2+2(a＜-1), \\2(-1≤a≤1), \\(a-1)^2+2(a＞1).\end{cases}$ 观察图象可知,当$-1≤a≤1$时,图象为平行于a轴的线段;当$a＞1$或$a＜-1$时,图象为开口向上的抛物线的一部分,故A符合题意.
