登录
10. (2025·南通期中)已知二次函数$y=x^2 -2x$，当$a≤x≤b$时，其最小值为-1，最大值为3，则$b - a$的最大值是
4
。答案
10. 4 解析:
∵ 当y=-1时,$x^2-2x=-1$,解得$x_1=x_2=1$,当y=3时,$x^2-2x=3$,解得$x_1=-1$,$x_2=3$.又图象开口向上,对称轴为直线x=1,
∴ 当$-1≤x≤3$时,函数的最小值为-1,最大值为3,
∴ $b-a$的最大值是$3-(-1)=4$.
∵ 当y=-1时,$x^2-2x=-1$,解得$x_1=x_2=1$,当y=3时,$x^2-2x=3$,解得$x_1=-1$,$x_2=3$.又图象开口向上,对称轴为直线x=1,
∴ 当$-1≤x≤3$时,函数的最小值为-1,最大值为3,
∴ $b-a$的最大值是$3-(-1)=4$.
11. (2025·淮安中考)若$x^2 - 3x + 1 + y = 0$，则$2x + y$的最大值是
$\dfrac{21}{4}$
。答案
11. $\frac{21}{4}$ 解析:
∵ $x^2-3x+1+y=0$,
∴ $y=-x^2+3x-1$,
∴ $2x+y=2x-x^2+3x-1=-x^2+5x-1=-(x-\frac{5}{2})^2+\frac{21}{4}$,当$x=\frac{5}{2}$时,$2x+y$有最大值为$\frac{21}{4}$.
∵ $x^2-3x+1+y=0$,
∴ $y=-x^2+3x-1$,
∴ $2x+y=2x-x^2+3x-1=-x^2+5x-1=-(x-\frac{5}{2})^2+\frac{21}{4}$,当$x=\frac{5}{2}$时,$2x+y$有最大值为$\frac{21}{4}$.
12. (2025·资阳中考)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线 $y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)$ 与 y 轴相交于点 $A(0,2)$,且抛物线的对称轴为直线 $x=-1$.给出以下4个结论:①$abc＜0$;②对于任意实数 $m$, $am^2 + bm + c + a$ 的值不小于2;③若 P 是对称轴上的一点,则 $OP+AP$ 的最小值为 $2\sqrt{2}$;④若点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ 在抛物线上,满足 $x_1＜x_2$ 且 $x_1+x_2+2＞0$,则一定有 $y_1＜y_2$.其中所有正确结论的序号为
②③④
.答案
12. ②③④ 解析:由图象和题意可知:$a＞0$,$-\frac{b}{2a}=-1$,当x=0时,y=c=2,
∴ $b=2a＞0$,
∴ $2a-b=0$,$abc＞0$,故①错误. 当x=-1时,函数取得最小值为$a-b+c$,
∴ 对于任意实数m,$am^2+bm+c+a≥a-b+c+a=2a-b+c=c=2$,
∴ $am^2+bm+c+a$的值不小于2,故②正确. 如图,作点O关于对称轴的对称点O',连接O'A.
则$O'(-2,0)$,∴ 当点P在O'A上时,$OP+AP$的值最小为O'A的长.
∵ $A(0,2)$,
∴ $O'A=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$,
∴ $OP+AP$的最小值为$2\sqrt{2}$,故③正确.
∵ 抛物线的开口向上,
∴ 抛物线上的点离对称轴越远,函数值越大.
∵ 点$(x_1,y_1)$,$(x_2,y_2)$在抛物线上,满足$x_1＜x_2$且$x_1+x_2+2＞0$,
∴ $\frac{x_1+x_2}{2} ＞-1$,
∴ 点$(x_2,y_2)$离对称轴远,
∴ $y_1＜y_2$,故④正确.故答案为②③④.
13. (浙江中考)已知二次函数$y=x^2+bx+c$($b,c$为常数)的图象经过点$A(-2,5)$,对称轴为直线$x=-\dfrac{1}{2}$.
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点$B(1,7)$向上平移2个单位长度,向左平移$m(m＞0)$个单位长度后,恰好落在$y=x^2+bx+c$的图象上,求$m$的值；
(3)当$-2≤ x≤ n$时,二次函数$y=x^2+bx+c$的最大值与最小值的差为$\dfrac{9}{4}$,求$n$的取值范围.
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点$B(1,7)$向上平移2个单位长度,向左平移$m(m＞0)$个单位长度后,恰好落在$y=x^2+bx+c$的图象上,求$m$的值；
(3)当$-2≤ x≤ n$时,二次函数$y=x^2+bx+c$的最大值与最小值的差为$\dfrac{9}{4}$,求$n$的取值范围.
答案
13. (1)设二次函数的表达式为$y=(x+\frac{1}{2})^2 +k$,把点$A(-2,5)$代入,得$(-2+\frac{1}{2})^2 +k=5$,解得$k=\frac{11}{4}$,
∴ $y=(x+\frac{1}{2})^2 +\frac{11}{4} =x^2+x+3$. (2)点B平移后的点的坐标为$(1-m,9)$,则$9=(1-m)^2+(1-m)+3$,解得m=4或m=-1(舍去),
∴ m的值为4. (3)当$n＜-\frac{1}{2}$时,最大值与最小值的差为$5-[(n+\frac{1}{2})^2 +\frac{11}{4} ]=\frac{9}{4}$,解得$n_1=n_2=-\frac{1}{2}$,不符合题意,舍去;当$-\frac{1}{2}≤n≤1$时,最大值与最小值的差为$5-\frac{11}{4}=\frac{9}{4}$,符合题意;当$n＞1$时,最大值与最小值的差为$(n+\frac{1}{2})^2 +\frac{11}{4} -\frac{11}{4}=\frac{9}{4}$,解得$n_1=1$,$n_2=-2$,不符合题意.综上所述,n的取值范围为$-\frac{1}{2}≤n≤1$.
∴ $y=(x+\frac{1}{2})^2 +\frac{11}{4} =x^2+x+3$. (2)点B平移后的点的坐标为$(1-m,9)$,则$9=(1-m)^2+(1-m)+3$,解得m=4或m=-1(舍去),
∴ m的值为4. (3)当$n＜-\frac{1}{2}$时,最大值与最小值的差为$5-[(n+\frac{1}{2})^2 +\frac{11}{4} ]=\frac{9}{4}$,解得$n_1=n_2=-\frac{1}{2}$,不符合题意,舍去;当$-\frac{1}{2}≤n≤1$时,最大值与最小值的差为$5-\frac{11}{4}=\frac{9}{4}$,符合题意;当$n＞1$时,最大值与最小值的差为$(n+\frac{1}{2})^2 +\frac{11}{4} -\frac{11}{4}=\frac{9}{4}$,解得$n_1=1$,$n_2=-2$,不符合题意.综上所述,n的取值范围为$-\frac{1}{2}≤n≤1$.
14. (2026·扬州中考)在平面直角坐标系中,已知抛物线$y = ax^2 + bx + 1$经过点$(2,1)$和$(4,-7)$.
(1)求抛物线的函数表达式,并写出它的顶点坐标.
(2)抛物线上有两动点$M,N$,横坐标分别为$m,n(m＜n)$,记抛物线在$M,N$之间的部分(包括$M,N$两点)为图象$G$.过图象$G$的左右两端$M,N$分别作$x$轴的垂线,过图象$G$的最高点和最低点分别作$y$轴的垂线,四条直线围成的矩形记为矩形$R$.
①若$m=-2$,矩形$R$的垂直高度$h=9$,则矩形$R$的水平宽度$p$的取值范围是________;
②若矩形$R$的水平宽度$p=5$,则矩形$R$的垂直高度$h$的取值范围是________;
③若矩形$R$为正方形且边长为3,求点$M$的坐标.
(1)求抛物线的函数表达式,并写出它的顶点坐标.
(2)抛物线上有两动点$M,N$,横坐标分别为$m,n(m＜n)$,记抛物线在$M,N$之间的部分(包括$M,N$两点)为图象$G$.过图象$G$的左右两端$M,N$分别作$x$轴的垂线,过图象$G$的最高点和最低点分别作$y$轴的垂线,四条直线围成的矩形记为矩形$R$.
①若$m=-2$,矩形$R$的垂直高度$h=9$,则矩形$R$的水平宽度$p$的取值范围是________;
②若矩形$R$的水平宽度$p=5$,则矩形$R$的垂直高度$h$的取值范围是________;
③若矩形$R$为正方形且边长为3,求点$M$的坐标.
答案
14. (1)将点$(2,1)$和$(4,-7)$分别代入$y=ax^2+bx+1$,得$\begin{cases}4a+2b+1=1, \\16a+4b+1=-7,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-1, \\b=2,\end{cases}$
∴ 抛物线的函数表达式为$y=-x^2+2x+1$.
∵ $y=-x^2+2x+1=-(x-1)^2+2$,
∴ 它的顶点坐标为$(1,2)$. (2)①$3≤p≤6$ 解析:根据题意知点$N(n,-n^2+2n+1)$,当m=-2时,$y=-x^2+2x+1=-(-2)^2+2×(-2)+1=-7$,
∴ $M(-2,-7)$.当点N在点M上方的抛物线上时,
∵ 矩形R的垂直高度h=9,
∴ $-7+9=2$,
∴ 点N的纵坐标为2,即$N(1,2)$,此时矩形宽度的最小值为$1-(-2)=3$; 当点N在点M下方的抛物线上时,
∵ 矩形R的垂直高度h=9,
∴ $2-9=-7$,当y=-7时,$-n^2+2n+1=-7$,解得n=-2(舍去)或n=4,
∴ $N(4,-7)$,此时矩形宽度的最大值为$4-(-2)=6$. 综上,矩形R的水平宽度p的取值范围是$3≤p≤6$. ②$h≥\frac{25}{4}$ 解析:根据题意知,矩形R的垂直高度h取最小值时,点M,N关于抛物线对称轴直线x=1对称,
∵ 矩形R的水平宽度p=5,
∴ $m=1-\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}$,当$m=-\frac{3}{2}$时,$y=-x^2+2x+1=-(-\frac{3}{2})^2+2×(-\frac{3}{2})+1=-\frac{17}{4}$,
∴ $M(-\frac{3}{2},-\frac{17}{4})$,
∴ $h=2-(-\frac{17}{4})=\frac{25}{4}$,
∴ 矩形R的垂直高度h的取值范围是$h≥\frac{25}{4}$. ③根据题意设$M(m,-m^2+2m+1)$,则$N(m+3,-m^2-4m-2)$. 第一种情况:当$m+3≤1$,即$m≤-2$时,$h=y_N-y_M=(-m^2-4m-2)-(-m^2+2m+1)=-6m-3=3$,
∴ m=-1(舍去); 第二种情况:当$\begin{cases}m＜1＜m+3, \\\frac{m+m+3}{2} ≤1,\end{cases}$ 即$-2＜m≤-\frac{1}{2}$时,$h=2-y_M=2-(-m^2+2m+1)=m^2-2m+1=3$,
∴ $m=1-\sqrt{3}$或$m=1+\sqrt{3}$(舍去),当$m=1-\sqrt{3}$时,$-m^2+2m+1=-(1-\sqrt{3})^2+2×(1-\sqrt{3})+1=-1$,
∴ $M(1-\sqrt{3},-1)$; 第三种情况:当$\begin{cases}m＜1＜m+3, \\\frac{m+m+3}{2} ＞1,\end{cases}$ 即$-\frac{1}{2}＜m＜1$时,$h=2-y_N=2-(-m^2-4m-2)=m^2+4m+4=3$,
∴ $m=-2+\sqrt{3}$或$m=-2-\sqrt{3}$(舍去),当$m=-2+\sqrt{3}$时,$-m^2+2m+1=-(-2+\sqrt{3})^2+2×(-2+\sqrt{3})+1=6\sqrt{3}-10$,
∴ $M(-2+\sqrt{3},6\sqrt{3}-10)$; 第四种情况:当$m≥1$时,$h=y_M-y_N=(-m^2+2m+1)-(-m^2-4m-2)=6m+3=3$,
∴ m=0(舍去). 综上,点M的坐标为$(1-\sqrt{3},-1)$或$(-2+\sqrt{3},6\sqrt{3}-10)$.
∴ 抛物线的函数表达式为$y=-x^2+2x+1$.
∵ $y=-x^2+2x+1=-(x-1)^2+2$,
∴ 它的顶点坐标为$(1,2)$. (2)①$3≤p≤6$ 解析:根据题意知点$N(n,-n^2+2n+1)$,当m=-2时,$y=-x^2+2x+1=-(-2)^2+2×(-2)+1=-7$,
∴ $M(-2,-7)$.当点N在点M上方的抛物线上时,
∵ 矩形R的垂直高度h=9,
∴ $-7+9=2$,
∴ 点N的纵坐标为2,即$N(1,2)$,此时矩形宽度的最小值为$1-(-2)=3$; 当点N在点M下方的抛物线上时,
∵ 矩形R的垂直高度h=9,
∴ $2-9=-7$,当y=-7时,$-n^2+2n+1=-7$,解得n=-2(舍去)或n=4,
∴ $N(4,-7)$,此时矩形宽度的最大值为$4-(-2)=6$. 综上,矩形R的水平宽度p的取值范围是$3≤p≤6$. ②$h≥\frac{25}{4}$ 解析:根据题意知,矩形R的垂直高度h取最小值时,点M,N关于抛物线对称轴直线x=1对称,
∵ 矩形R的水平宽度p=5,
∴ $m=1-\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}$,当$m=-\frac{3}{2}$时,$y=-x^2+2x+1=-(-\frac{3}{2})^2+2×(-\frac{3}{2})+1=-\frac{17}{4}$,
∴ $M(-\frac{3}{2},-\frac{17}{4})$,
∴ $h=2-(-\frac{17}{4})=\frac{25}{4}$,
∴ 矩形R的垂直高度h的取值范围是$h≥\frac{25}{4}$. ③根据题意设$M(m,-m^2+2m+1)$,则$N(m+3,-m^2-4m-2)$. 第一种情况:当$m+3≤1$,即$m≤-2$时,$h=y_N-y_M=(-m^2-4m-2)-(-m^2+2m+1)=-6m-3=3$,
∴ m=-1(舍去); 第二种情况:当$\begin{cases}m＜1＜m+3, \\\frac{m+m+3}{2} ≤1,\end{cases}$ 即$-2＜m≤-\frac{1}{2}$时,$h=2-y_M=2-(-m^2+2m+1)=m^2-2m+1=3$,
∴ $m=1-\sqrt{3}$或$m=1+\sqrt{3}$(舍去),当$m=1-\sqrt{3}$时,$-m^2+2m+1=-(1-\sqrt{3})^2+2×(1-\sqrt{3})+1=-1$,
∴ $M(1-\sqrt{3},-1)$; 第三种情况:当$\begin{cases}m＜1＜m+3, \\\frac{m+m+3}{2} ＞1,\end{cases}$ 即$-\frac{1}{2}＜m＜1$时,$h=2-y_N=2-(-m^2-4m-2)=m^2+4m+4=3$,
∴ $m=-2+\sqrt{3}$或$m=-2-\sqrt{3}$(舍去),当$m=-2+\sqrt{3}$时,$-m^2+2m+1=-(-2+\sqrt{3})^2+2×(-2+\sqrt{3})+1=6\sqrt{3}-10$,
∴ $M(-2+\sqrt{3},6\sqrt{3}-10)$; 第四种情况:当$m≥1$时,$h=y_M-y_N=(-m^2+2m+1)-(-m^2-4m-2)=6m+3=3$,
∴ m=0(舍去). 综上,点M的坐标为$(1-\sqrt{3},-1)$或$(-2+\sqrt{3},6\sqrt{3}-10)$.
