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9.两条抛物线$y=x^2$和$y=-x^2$在同一平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（
A.顶点相同
B.对称轴相同
C.开口方向相反
D.都有最小值
D
）。A.顶点相同
B.对称轴相同
C.开口方向相反
D.都有最小值
答案
9.D
解析
【分析】
解题时需先回忆二次函数$y=ax^2$的基本性质，再分别分析$y=x^2$和$y=-x^2$的顶点、对称轴、开口方向、最值情况，最后逐一比对选项，选出说法错误的选项即可。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$的性质：
1. 顶点坐标均为$(0,0)$，对称轴均为$y$轴（直线$x=0$），因此$y=x^2$和$y=-x^2$的顶点、对称轴都相同，A、B选项说法正确；
2. $a$的符号决定开口方向：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下，$y=x^2$中$a=1＞0$开口向上，$y=-x^2$中$a=-1＜0$开口向下，二者开口方向相反，C选项说法正确；
3. 最值规律：开口向上的抛物线有最小值，开口向下的抛物线有最大值，因此$y=x^2$有最小值，$y=-x^2$只有最大值、没有最小值，D选项说法错误。
本题要求选择不正确的选项，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的开口方向；二次函数的最值
【点评】
本题是基础类题型，重点考查二次函数$y=ax^2$的图象与性质，熟练掌握参数$a$对二次函数开口方向、最值的影响是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时需先回忆二次函数$y=ax^2$的基本性质，再分别分析$y=x^2$和$y=-x^2$的顶点、对称轴、开口方向、最值情况，最后逐一比对选项，选出说法错误的选项即可。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$的性质：
1. 顶点坐标均为$(0,0)$，对称轴均为$y$轴（直线$x=0$），因此$y=x^2$和$y=-x^2$的顶点、对称轴都相同，A、B选项说法正确；
2. $a$的符号决定开口方向：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下，$y=x^2$中$a=1＞0$开口向上，$y=-x^2$中$a=-1＜0$开口向下，二者开口方向相反，C选项说法正确；
3. 最值规律：开口向上的抛物线有最小值，开口向下的抛物线有最大值，因此$y=x^2$有最小值，$y=-x^2$只有最大值、没有最小值，D选项说法错误。
本题要求选择不正确的选项，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的开口方向；二次函数的最值
【点评】
本题是基础类题型，重点考查二次函数$y=ax^2$的图象与性质，熟练掌握参数$a$对二次函数开口方向、最值的影响是解题的关键。
【难度系数】
0.9
10.已知点$(2,y_1),(3,y_2),(-1,y_3)$都在函数$y=x^2$的图象上,则(
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_1＜y_3＜y_2$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_3＜y_1＜y_2$
D
)。A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_1＜y_3＜y_2$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_3＜y_1＜y_2$
答案
10.D
解析
【分析】
要比较三个函数值的大小，有两种常用解题思路：一是直接代入法，已知三个点都在函数$y=x^2$的图象上，点的坐标满足函数解析式，将各点横坐标分别代入解析式，算出对应的$y$值后直接比较大小即可；二是性质法，先回忆二次函数$y=x^2$的图象特征：开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，且图象上的点离对称轴越远，函数值越大，可先将横坐标为负的点转化为对称轴右侧的对称点，再根据横坐标的大小关系判断函数值大小。
【解析】
方法一：代入求值法
将各点横坐标代入函数解析式$y=x^2$：
当$x=2$时，$y_1=2^2=4$；
当$x=3$时，$y_2=3^2=9$；
当$x=-1$时，$y_3=(-1)^2=1$；
因为$1＜4＜9$，所以$y_3＜y_1＜y_2$。
方法二：利用二次函数性质判断
函数$y=x^2$的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线$x=0$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
点$(-1,y_3)$关于对称轴$x=0$的对称点为$(1,y_3)$，此时三个点的横坐标1、2、3均大于0，且$1＜2＜3$，根据单调性可得对应函数值$y_3＜y_1＜y_2$。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数$y=x^2$的性质
2. 函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数函数值的大小比较，两种解题方法都很常用，代入法直接易懂，性质法解题更快捷，熟练掌握二次函数的图象性质是解决此类题的核心。
【难度系数】
0.8
要比较三个函数值的大小，有两种常用解题思路：一是直接代入法，已知三个点都在函数$y=x^2$的图象上，点的坐标满足函数解析式，将各点横坐标分别代入解析式，算出对应的$y$值后直接比较大小即可；二是性质法，先回忆二次函数$y=x^2$的图象特征：开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，且图象上的点离对称轴越远，函数值越大，可先将横坐标为负的点转化为对称轴右侧的对称点，再根据横坐标的大小关系判断函数值大小。
【解析】
方法一：代入求值法
将各点横坐标代入函数解析式$y=x^2$：
当$x=2$时，$y_1=2^2=4$；
当$x=3$时，$y_2=3^2=9$；
当$x=-1$时，$y_3=(-1)^2=1$；
因为$1＜4＜9$，所以$y_3＜y_1＜y_2$。
方法二：利用二次函数性质判断
函数$y=x^2$的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线$x=0$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
点$(-1,y_3)$关于对称轴$x=0$的对称点为$(1,y_3)$，此时三个点的横坐标1、2、3均大于0，且$1＜2＜3$，根据单调性可得对应函数值$y_3＜y_1＜y_2$。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数$y=x^2$的性质
2. 函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数函数值的大小比较，两种解题方法都很常用，代入法直接易懂，性质法解题更快捷，熟练掌握二次函数的图象性质是解决此类题的核心。
【难度系数】
0.8
11.抛物线$y=x^2$与直线$y=kx+b$的两个交点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$分别位于第一、二象限。若$x_1+x_2＜0$，则直线$y=bx+k$一定经过（
A.第一、二、三象限
B.第二、三、四象限
C.第一、二、四象限
D.第一、三、四象限
D
）。A.第一、二、三象限
B.第二、三、四象限
C.第一、二、四象限
D.第一、三、四象限
答案
11.D
解析
【分析】
解题时先联立抛物线与直线的解析式，得到关于x的一元二次方程，再结合韦达定理（根与系数的关系）、交点的坐标特征推导k和b的正负，最后根据一次函数的图象性质判断直线经过的象限。具体思考路径：1.联立两个函数解析式，得到一元二次方程；2.利用韦达定理写出两根和、两根积与k、b的关系；3.根据交点分别在第一、二象限判断两根的正负，推导b的符号；4.结合两根之和小于0的条件推导k的符号；5.根据一次函数系数和图象的对应关系判断经过的象限。
【解析】
联立抛物线与直线的解析式：
$\begin{cases}y=x^2 \\ y=kx+b\end{cases}$
消去y整理得：$x^2 - kx - b = 0$
根据一元二次方程根与系数的关系，方程的两根$x_1、x_2$满足：
$x_1+x_2=k$，$x_1x_2=-b$
∵交点A在第一象限、B在第二象限，
∴$x_1＞0$，$x_2＜0$，因此$x_1x_2＜0$，即$-b＜0$，解得$b＞0$。
又
∵$x_1+x_2＜0$，
∴$k=x_1+x_2＜0$。
对于直线$y=bx+k$：
一次项系数$b＞0$，直线呈上升趋势，必经过第一、三象限；
常数项$k＜0$，直线与y轴交于负半轴，必经过第四象限。
因此直线$y=bx+k$经过第一、三、四象限。
【答案】
D
【知识点】
函数交点问题，韦达定理，一次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数与一次函数的综合基础题，核心考点是利用方程与函数的联系推导参数的符号，再结合一次函数的性质判断图象位置，熟练掌握根与系数的关系和一次函数图象与系数的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先联立抛物线与直线的解析式，得到关于x的一元二次方程，再结合韦达定理（根与系数的关系）、交点的坐标特征推导k和b的正负，最后根据一次函数的图象性质判断直线经过的象限。具体思考路径：1.联立两个函数解析式，得到一元二次方程；2.利用韦达定理写出两根和、两根积与k、b的关系；3.根据交点分别在第一、二象限判断两根的正负，推导b的符号；4.结合两根之和小于0的条件推导k的符号；5.根据一次函数系数和图象的对应关系判断经过的象限。
【解析】
联立抛物线与直线的解析式：
$\begin{cases}y=x^2 \\ y=kx+b\end{cases}$
消去y整理得：$x^2 - kx - b = 0$
根据一元二次方程根与系数的关系，方程的两根$x_1、x_2$满足：
$x_1+x_2=k$，$x_1x_2=-b$
∵交点A在第一象限、B在第二象限，
∴$x_1＞0$，$x_2＜0$，因此$x_1x_2＜0$，即$-b＜0$，解得$b＞0$。
又
∵$x_1+x_2＜0$，
∴$k=x_1+x_2＜0$。
对于直线$y=bx+k$：
一次项系数$b＞0$，直线呈上升趋势，必经过第一、三象限；
常数项$k＜0$，直线与y轴交于负半轴，必经过第四象限。
因此直线$y=bx+k$经过第一、三、四象限。
【答案】
D
【知识点】
函数交点问题，韦达定理，一次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数与一次函数的综合基础题，核心考点是利用方程与函数的联系推导参数的符号，再结合一次函数的性质判断图象位置，熟练掌握根与系数的关系和一次函数图象与系数的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
12.如图,边长为2的正方形ABCD的中心在平面直角坐标系的原点O处,AD//x轴,以O为顶点且过A,D两点的抛物线与以O为顶点且过B,C两点的抛物线将正方形分割成几部分,则图中阴影部分的面积是
2
。答案
12.2
解析
【分析】
本题可利用图形的对称性解题：首先正方形中心在原点，关于x轴、y轴均轴对称，两条以原点为顶点的抛物线也具备轴对称性，因此分散的阴影部分可通过割补、平移拼接为规则图形。解题时先计算正方形总面积，再根据对称性判断阴影面积与正方形面积的关系即可求解。
【解析】
解：已知正方形ABCD的边长为2，因此正方形的面积为：
$S_{正方形}=2×2=4$
观察图形特征：整个图形关于x轴、y轴对称，将分散的阴影部分通过平移、割补后，阴影部分的总面积恰好等于正方形面积的一半，因此：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}S_{正方形}=\frac{1}{2}×4=2$
【答案】
2
【知识点】
二次函数的对称性，割补法求面积，正方形面积计算
【点评】
本题通过对称性将不规则阴影的面积转化为规则图形的面积计算，巧妙避开了复杂的运算，重点考查对图形对称性的观察能力和转化思想的运用。
【难度系数】
0.7
本题可利用图形的对称性解题：首先正方形中心在原点，关于x轴、y轴均轴对称，两条以原点为顶点的抛物线也具备轴对称性，因此分散的阴影部分可通过割补、平移拼接为规则图形。解题时先计算正方形总面积，再根据对称性判断阴影面积与正方形面积的关系即可求解。
【解析】
解：已知正方形ABCD的边长为2，因此正方形的面积为：
$S_{正方形}=2×2=4$
观察图形特征：整个图形关于x轴、y轴对称，将分散的阴影部分通过平移、割补后，阴影部分的总面积恰好等于正方形面积的一半，因此：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}S_{正方形}=\frac{1}{2}×4=2$
【答案】
2
【知识点】
二次函数的对称性，割补法求面积，正方形面积计算
【点评】
本题通过对称性将不规则阴影的面积转化为规则图形的面积计算，巧妙避开了复杂的运算，重点考查对图形对称性的观察能力和转化思想的运用。
【难度系数】
0.7
13.已知点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$都在抛物线$y=-x^2$上,且$x_1＜x_2＜0$,则$y_1$
＜
$y_2$。(填“＞”“＜”或“=”)答案
13.＜
解析
【分析】
要比较两个点的函数值大小，首先需明确抛物线$y=-x^2$的图象性质：先判断开口方向、对称轴，再结合给定的$x_1、x_2$的取值范围，利用二次函数的增减性即可得出$y_1$和$y_2$的大小关系。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2$：
1. 二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=0$（y轴）；
2. 开口向下的抛物线，在对称轴左侧（$x＜0$时），$y$随$x$的增大而增大；
3. 已知$x_1＜x_2＜0$，即两点都在对称轴左侧，且$x_2$更大，因此对应的函数值$y_2＞y_1$，即$y_1＜y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数增减性的基础应用，解题核心是先确定抛物线的开口方向与对称轴，再结合自变量的取值范围判断函数值的大小关系，掌握二次函数的增减性规律是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要比较两个点的函数值大小，首先需明确抛物线$y=-x^2$的图象性质：先判断开口方向、对称轴，再结合给定的$x_1、x_2$的取值范围，利用二次函数的增减性即可得出$y_1$和$y_2$的大小关系。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2$：
1. 二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=0$（y轴）；
2. 开口向下的抛物线，在对称轴左侧（$x＜0$时），$y$随$x$的增大而增大；
3. 已知$x_1＜x_2＜0$，即两点都在对称轴左侧，且$x_2$更大，因此对应的函数值$y_2＞y_1$，即$y_1＜y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数增减性的基础应用，解题核心是先确定抛物线的开口方向与对称轴，再结合自变量的取值范围判断函数值的大小关系，掌握二次函数的增减性规律是解题的关键。
【难度系数】
0.8
14.已知直线$y_1=-2x+3$与抛物线$y_2=ax^2$相交于A,B两点,且点A的坐标为$(-3,m)$。
(1)求$a,m$的值；
(2)求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；
(3)求当$x$取何值时,二次函数$y_2=ax^2$中$y$的值随着$x$值的增大而减小；
(4)求点B的坐标及A,B两点与抛物线$y_2=ax^2$的顶点构成的三角形的面积$S$；
(5)直接写出$y_1＞y_2$时,$x$的取值范围。
(1)求$a,m$的值；
(2)求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；
(3)求当$x$取何值时,二次函数$y_2=ax^2$中$y$的值随着$x$值的增大而减小；
(4)求点B的坐标及A,B两点与抛物线$y_2=ax^2$的顶点构成的三角形的面积$S$；
(5)直接写出$y_1＞y_2$时,$x$的取值范围。
答案
14.解:(1)将点A的坐标$(-3,m)$代入$y_1=-2x+3$,得$m=(-2)×(-3)+3=9$。
$\therefore A(-3,9)$。
将$A(-3,9)$的坐标代入$y_2=ax^2$,得$9=a·(-3)^2$,解得$a=1$。
$\therefore a=1,m=9$。
(2)抛物线的表达式为$y=x^2$,对称轴为$y$轴,顶点坐标为$(0,0)$。
(3)当$x＜0$时,$y$的值随着$x$值的增大而减小。
(4)联立$\begin{cases}y_1=-2x+3,\\y_2=x^2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=-3,\\y=9\end{cases}$或$\begin{cases}x=1,\\y=1\end{cases}$。
$\therefore B(1,1)$。
$\therefore 易得 S=\frac{1}{2}×3×[1-(-3)]=6$。
(5)当$y_1＞y_2$时,$-3＜x＜1$。
$\therefore A(-3,9)$。
将$A(-3,9)$的坐标代入$y_2=ax^2$,得$9=a·(-3)^2$,解得$a=1$。
$\therefore a=1,m=9$。
(2)抛物线的表达式为$y=x^2$,对称轴为$y$轴,顶点坐标为$(0,0)$。
(3)当$x＜0$时,$y$的值随着$x$值的增大而减小。
(4)联立$\begin{cases}y_1=-2x+3,\\y_2=x^2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=-3,\\y=9\end{cases}$或$\begin{cases}x=1,\\y=1\end{cases}$。
$\therefore B(1,1)$。
$\therefore 易得 S=\frac{1}{2}×3×[1-(-3)]=6$。
(5)当$y_1＞y_2$时,$-3＜x＜1$。
解析
【分析】
本题是一次函数与二次函数的综合基础题，解题思路如下：
1. 求解a、m的值：点在函数图象上时，点的坐标满足函数解析式，先将点A的横坐标代入直线解析式求出m，得到点A的完整坐标，再将点A坐标代入抛物线解析式即可求出a。
2. 求抛物线的表达式、对称轴和顶点：将求出的a代入抛物线解析式，结合形如$y=ax^2$的二次函数的基本性质，直接得出对称轴和顶点坐标。
3. 判断二次函数的增减性：根据抛物线的开口方向和对称轴，开口向上时，对称轴左侧y随x的增大而减小，右侧随x增大而增大，据此得出取值范围。
4. 求点B坐标和三角形面积：两个函数图象的交点坐标就是两个函数解析式联立组成的方程组的解，解方程组得到B点坐标；再利用割补法计算三个点（原点、A、B）构成的三角形面积。
5. 求$y_1＞y_2$的x范围：观察函数图象，直线在抛物线上方时对应的x的取值范围，就是两个交点横坐标之间的区间。
【解析】
(1)
∵点$A(-3,m)$在直线$y_1=-2x+3$上，
∴将$x=-3$代入$y_1=-2x+3$，得$m=(-2)×(-3)+3=9$，
∴点A的坐标为$(-3,9)$。
又
∵点$A(-3,9)$在抛物线$y_2=ax^2$上，
∴将$(-3,9)$代入$y_2=ax^2$，得$9=a·(-3)^2$，解得$a=1$。
(2) 由(1)得$a=1$，
∴抛物线的表达式为$y=x^2$；
根据二次函数$y=ax^2$的性质，可知其对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$。
(3) 对于抛物线$y=x^2$，
∵$a=1＞0$，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∴当$x＜0$时，y的值随着x值的增大而减小。
(4) 联立直线与抛物线的解析式得：
$\begin{cases}y=-2x+3\\y=x^2\end{cases}$
消去y得$x^2=-2x+3$，整理得$x^2+2x-3=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=1$，
将$x=1$代入$y=x^2$得$y=1$，
∴点B的坐标为$(1,1)$。
设直线AB与y轴交于点C，令$x=0$代入$y=-2x+3$得$y=3$，
∴$C(0,3)$，$OC=3$，
则$S_{△ AOB} = S_{△ AOC} + S_{△ BOC} = \frac{1}{2}×OC×|x_A| + \frac{1}{2}×OC×|x_B| = \frac{1}{2}×3×3 + \frac{1}{2}×3×1 = 6$。
(5) 观察函数图象，直线在抛物线上方的部分对应的x取值在两个交点的横坐标之间，
∴当$y_1＞y_2$时，x的取值范围是$-3＜x＜1$。
【答案】
(1) $a=1$，$m=9$；
(2) 抛物线表达式为$y=x^2$，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$；
(3) $x＜0$；
(4) 点B坐标为$(1,1)$，三角形面积$S=6$；
(5) $-3＜x＜1$
【知识点】
1. 二次函数的基本性质
2. 函数图象上点的坐标特征
3. 函数交点求解方法
【点评】
本题属于二次函数的基础综合题，围绕$y=ax^2$的性质展开，考查了解析式求解、增减性判断、交点计算、面积求解及函数值大小比较等内容，解题的关键是熟练掌握基础二次函数的性质，掌握联立方程求交点的方法，能结合图象判断函数值的大小关系。
【难度系数】
0.7
本题是一次函数与二次函数的综合基础题，解题思路如下：
1. 求解a、m的值：点在函数图象上时，点的坐标满足函数解析式，先将点A的横坐标代入直线解析式求出m，得到点A的完整坐标，再将点A坐标代入抛物线解析式即可求出a。
2. 求抛物线的表达式、对称轴和顶点：将求出的a代入抛物线解析式，结合形如$y=ax^2$的二次函数的基本性质，直接得出对称轴和顶点坐标。
3. 判断二次函数的增减性：根据抛物线的开口方向和对称轴，开口向上时，对称轴左侧y随x的增大而减小，右侧随x增大而增大，据此得出取值范围。
4. 求点B坐标和三角形面积：两个函数图象的交点坐标就是两个函数解析式联立组成的方程组的解，解方程组得到B点坐标；再利用割补法计算三个点（原点、A、B）构成的三角形面积。
5. 求$y_1＞y_2$的x范围：观察函数图象，直线在抛物线上方时对应的x的取值范围，就是两个交点横坐标之间的区间。
【解析】
(1)
∵点$A(-3,m)$在直线$y_1=-2x+3$上，
∴将$x=-3$代入$y_1=-2x+3$，得$m=(-2)×(-3)+3=9$，
∴点A的坐标为$(-3,9)$。
又
∵点$A(-3,9)$在抛物线$y_2=ax^2$上，
∴将$(-3,9)$代入$y_2=ax^2$，得$9=a·(-3)^2$，解得$a=1$。
(2) 由(1)得$a=1$，
∴抛物线的表达式为$y=x^2$；
根据二次函数$y=ax^2$的性质，可知其对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$。
(3) 对于抛物线$y=x^2$，
∵$a=1＞0$，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∴当$x＜0$时，y的值随着x值的增大而减小。
(4) 联立直线与抛物线的解析式得：
$\begin{cases}y=-2x+3\\y=x^2\end{cases}$
消去y得$x^2=-2x+3$，整理得$x^2+2x-3=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=1$，
将$x=1$代入$y=x^2$得$y=1$，
∴点B的坐标为$(1,1)$。
设直线AB与y轴交于点C，令$x=0$代入$y=-2x+3$得$y=3$，
∴$C(0,3)$，$OC=3$，
则$S_{△ AOB} = S_{△ AOC} + S_{△ BOC} = \frac{1}{2}×OC×|x_A| + \frac{1}{2}×OC×|x_B| = \frac{1}{2}×3×3 + \frac{1}{2}×3×1 = 6$。
(5) 观察函数图象，直线在抛物线上方的部分对应的x取值在两个交点的横坐标之间，
∴当$y_1＞y_2$时，x的取值范围是$-3＜x＜1$。
【答案】
(1) $a=1$，$m=9$；
(2) 抛物线表达式为$y=x^2$，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$；
(3) $x＜0$；
(4) 点B坐标为$(1,1)$，三角形面积$S=6$；
(5) $-3＜x＜1$
【知识点】
1. 二次函数的基本性质
2. 函数图象上点的坐标特征
3. 函数交点求解方法
【点评】
本题属于二次函数的基础综合题，围绕$y=ax^2$的性质展开，考查了解析式求解、增减性判断、交点计算、面积求解及函数值大小比较等内容，解题的关键是熟练掌握基础二次函数的性质，掌握联立方程求交点的方法，能结合图象判断函数值的大小关系。
【难度系数】
0.7
15.如图,有一抛物线形拱桥,此抛物线的表达式为$y=-x^2$,当水位线在AB位置时,水面的宽AB是6 m,求这时水面与拱桥顶部的距离OC。
答案
15.解:$\because AB=6\ \mathrm{m}$,$\therefore BC=3\ \mathrm{m}$。
$\therefore$ 点B的横坐标为3。
$\therefore$ 其纵坐标为$y=-3^2=-9$,
$\therefore OC=9\ \mathrm{m}$。
$\therefore$ 这时水面与拱桥顶部的距离OC是9 m。
$\therefore$ 点B的横坐标为3。
$\therefore$ 其纵坐标为$y=-3^2=-9$,
$\therefore OC=9\ \mathrm{m}$。
$\therefore$ 这时水面与拱桥顶部的距离OC是9 m。
解析
【分析】
解题时首先利用抛物线的对称性：抛物线$y=-x^2$的对称轴为y轴，因此水面宽AB的中点C在y轴上，已知AB长6m，即可求出B点的横坐标为3；接下来将B点横坐标代入抛物线解析式，求出对应的纵坐标，纵坐标的绝对值就是水面到拱桥顶部O的距离OC。
【解析】
解：
∵抛物线的解析式为$y=-x^2$，对称轴为y轴，
又
∵$AB=6\ \mathrm{m}$，
∴$BC=\frac{1}{2}AB=3\ \mathrm{m}$，即点B的横坐标为3，
将$x=3$代入$y=-x^2$，得$y=-3^2=-9$，
∴点B的纵坐标为$-9$，
∴水面与拱桥顶部的距离$OC=|{-9}|=9\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\boxed{9\ \mathrm{m}}$
【知识点】
1.二次函数的对称性；2.二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数在实际问题中的简单应用，解题核心是利用抛物线的轴对称性确定点的横坐标，再代入函数解析式求出对应点的坐标即可求解，解题难度低。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用抛物线的对称性：抛物线$y=-x^2$的对称轴为y轴，因此水面宽AB的中点C在y轴上，已知AB长6m，即可求出B点的横坐标为3；接下来将B点横坐标代入抛物线解析式，求出对应的纵坐标，纵坐标的绝对值就是水面到拱桥顶部O的距离OC。
【解析】
解：
∵抛物线的解析式为$y=-x^2$，对称轴为y轴，
又
∵$AB=6\ \mathrm{m}$，
∴$BC=\frac{1}{2}AB=3\ \mathrm{m}$，即点B的横坐标为3，
将$x=3$代入$y=-x^2$，得$y=-3^2=-9$，
∴点B的纵坐标为$-9$，
∴水面与拱桥顶部的距离$OC=|{-9}|=9\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\boxed{9\ \mathrm{m}}$
【知识点】
1.二次函数的对称性；2.二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数在实际问题中的简单应用，解题核心是利用抛物线的轴对称性确定点的横坐标，再代入函数解析式求出对应点的坐标即可求解，解题难度低。
【难度系数】
0.8
