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例 如图，已知$∠ AOC = ∠ BOD = 100°$，且$∠ AOB : ∠ AOD = 2 : 7$，求$∠ BOD$和$∠ COD$的度数.
解:设$∠ AOB$的度数为$2x$，则$∠ AOD$的度数为$7x$.
由$∠ AOD = ∠ AOB + ∠ BOD$及$∠ BOD = 100°$，
可得$7x = 2x + 100°$.
解得$x = 20°$，所以$∠ AOB = 2x = 40°$.
所以$∠ BOC = ∠ AOC - ∠ AOB = 100° - 40° = 60°$，
$∠ COD = ∠ BOD - ∠ BOC = 100° - 60° = 40°$.
解:设$∠ AOB$的度数为$2x$，则$∠ AOD$的度数为$7x$.
由$∠ AOD = ∠ AOB + ∠ BOD$及$∠ BOD = 100°$，
可得$7x = 2x + 100°$.
解得$x = 20°$，所以$∠ AOB = 2x = 40°$.
所以$∠ BOC = ∠ AOC - ∠ AOB = 100° - 40° = 60°$，
$∠ COD = ∠ BOD - ∠ BOC = 100° - 60° = 40°$.
答案
解：设$∠ AOB$的度数为$2x$，则$∠ AOD$的度数为$7x$。
由$∠ AOD = ∠ AOB + ∠ BOD$，且$∠ BOD = 100°$，
可得$7x = 2x + 100°$，
解得$x = 20°$，
所以$∠ AOB = 2x = 40°$。
因为$∠ AOC = 100°$，
所以$∠ BOC = ∠ AOC - ∠ AOB = 100° - 40° = 60°$，
所以$∠ COD = ∠ BOD - ∠ BOC = 100° - 60° = 40°$。
答：$∠ BOD$的度数为$100°$，$∠ COD$的度数为$40°$。
由$∠ AOD = ∠ AOB + ∠ BOD$，且$∠ BOD = 100°$，
可得$7x = 2x + 100°$，
解得$x = 20°$，
所以$∠ AOB = 2x = 40°$。
因为$∠ AOC = 100°$，
所以$∠ BOC = ∠ AOC - ∠ AOB = 100° - 40° = 60°$，
所以$∠ COD = ∠ BOD - ∠ BOC = 100° - 60° = 40°$。
答：$∠ BOD$的度数为$100°$，$∠ COD$的度数为$40°$。
解析
【分析】
遇到带比例关系的角度计算问题，通常采用设参数的方法简化运算：首先根据∠AOB:∠AOD=2:7，设∠AOB为2x，∠AOD为7x，结合∠AOD与∠AOB的差为已知的∠BOD，即可列方程求出参数x，得到∠AOB的度数；再利用角的和差关系，先求∠BOC的度数，最后用∠BOD减去∠BOC就能得到∠COD的度数，其中∠BOD题目已直接给出，可直接取用。
【解析】
设$∠AOB$的度数为$2x$，则$∠AOD$的度数为$7x$。
由$∠AOD = ∠AOB + ∠BOD$，且$∠BOD = 100°$，
可得$7x = 2x + 100°$，
解得$x = 20°$，
所以$∠AOB = 2x = 40°$。
因为$∠AOC = 100°$，
所以$∠BOC = ∠AOC - ∠AOB = 100° - 40° = 60°$，
所以$∠COD = ∠BOD - ∠BOC = 100° - 60° = 40°$。
【答案】
$∠BOD$的度数为$100°$，$∠COD$的度数为$40°$。
【知识点】
角的和差计算，比例的应用，一元一次方程求解
【点评】
本题属于角度计算的常规题型，解题核心是用方程思想处理角度的比例关系，再结合角的和差关系逐步计算待求角，解题时要准确识别图中角的组成关系，避免混淆角的和差。
【难度系数】
0.8
遇到带比例关系的角度计算问题，通常采用设参数的方法简化运算：首先根据∠AOB:∠AOD=2:7，设∠AOB为2x，∠AOD为7x，结合∠AOD与∠AOB的差为已知的∠BOD，即可列方程求出参数x，得到∠AOB的度数；再利用角的和差关系，先求∠BOC的度数，最后用∠BOD减去∠BOC就能得到∠COD的度数，其中∠BOD题目已直接给出，可直接取用。
【解析】
设$∠AOB$的度数为$2x$，则$∠AOD$的度数为$7x$。
由$∠AOD = ∠AOB + ∠BOD$，且$∠BOD = 100°$，
可得$7x = 2x + 100°$，
解得$x = 20°$，
所以$∠AOB = 2x = 40°$。
因为$∠AOC = 100°$，
所以$∠BOC = ∠AOC - ∠AOB = 100° - 40° = 60°$，
所以$∠COD = ∠BOD - ∠BOC = 100° - 60° = 40°$。
【答案】
$∠BOD$的度数为$100°$，$∠COD$的度数为$40°$。
【知识点】
角的和差计算，比例的应用，一元一次方程求解
【点评】
本题属于角度计算的常规题型，解题核心是用方程思想处理角度的比例关系，再结合角的和差关系逐步计算待求角，解题时要准确识别图中角的组成关系，避免混淆角的和差。
【难度系数】
0.8
1.如图,已知$2∠BOC=∠AOC,∠AOC$的余角比$∠BOC$小$30°$,作射线OD,使得$∠AOC=4∠AOD$,求$∠DOB$的度数.
答案
解：设$∠ BOC = x$，则$∠ AOC = 2x$。
根据题意列方程：
$90° - 2x = x - 30°$
解得：$x = 40°$
因此$∠ BOC = 40°$，$∠ AOC = 80°$，$∠ AOB = ∠ AOC + ∠ BOC = 120°$。
由$∠ AOC = 4∠ AOD$，得$∠ AOD = 20°$，分两种情况讨论：
① 当射线$OD$在$∠ AOB$内部时：
$∠ DOB = ∠ AOB - ∠ AOD = 120° - 20° = 100°$；
② 当射线$OD$在$∠ AOB$外部，位于$OA$远离$OB$的一侧时：
$∠ DOB = ∠ AOB + ∠ AOD = 120° + 20° = 140°$。
综上，$∠ DOB$的度数为$100°$或$140°$。
根据题意列方程：
$90° - 2x = x - 30°$
解得：$x = 40°$
因此$∠ BOC = 40°$，$∠ AOC = 80°$，$∠ AOB = ∠ AOC + ∠ BOC = 120°$。
由$∠ AOC = 4∠ AOD$，得$∠ AOD = 20°$，分两种情况讨论：
① 当射线$OD$在$∠ AOB$内部时：
$∠ DOB = ∠ AOB - ∠ AOD = 120° - 20° = 100°$；
② 当射线$OD$在$∠ AOB$外部，位于$OA$远离$OB$的一侧时：
$∠ DOB = ∠ AOB + ∠ AOD = 120° + 20° = 140°$。
综上，$∠ DOB$的度数为$100°$或$140°$。
解析
【分析】
解题时首先根据已知的∠BOC和∠AOC的倍数关系，设未知数表示两个角，再根据“∠AOC的余角比∠BOC小30°”这一等量关系列方程，求解得到∠BOC、∠AOC、∠AOB的度数；再根据∠AOC和∠AOD的倍数关系求出∠AOD的度数，由于射线OD的位置没有明确给出，需要分OD在∠AOB内部、OD在∠AOB外部两种情况，分别利用角的和差计算∠DOB的度数即可。
【解析】
设$∠ BOC = x$，则$∠ AOC = 2x$。
根据题意列方程：
$90° - 2x = x - 30°$
移项得：$90°+30°=x+2x$
合并同类项得：$120°=3x$
解得：$x = 40°$
因此$∠ BOC = 40°$，$∠ AOC = 2×40°=80°$，$∠ AOB = ∠ AOC + ∠ BOC = 80°+40°=120°$。
由$∠ AOC = 4∠ AOD$，可得$∠ AOD = 80°÷4=20°$，分两种情况讨论：
① 当射线$OD$在$∠ AOB$内部时：
$∠ DOB = ∠ AOB - ∠ AOD = 120° - 20° = 100°$；
② 当射线$OD$在$∠ AOB$外部，位于$OA$远离$OB$的一侧时：
$∠ DOB = ∠ AOB + ∠ AOD = 120° + 20° = 140°$。
综上，$∠ DOB$的度数为$100°$或$140°$。
【答案】
$100°$或$140°$
【知识点】
余角的定义，角的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题主要考查角的相关计算，解题的关键是利用方程思想先求出各个基础角的度数，需注意当射线位置不明确时，要结合题意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据已知的∠BOC和∠AOC的倍数关系，设未知数表示两个角，再根据“∠AOC的余角比∠BOC小30°”这一等量关系列方程，求解得到∠BOC、∠AOC、∠AOB的度数；再根据∠AOC和∠AOD的倍数关系求出∠AOD的度数，由于射线OD的位置没有明确给出，需要分OD在∠AOB内部、OD在∠AOB外部两种情况，分别利用角的和差计算∠DOB的度数即可。
【解析】
设$∠ BOC = x$，则$∠ AOC = 2x$。
根据题意列方程：
$90° - 2x = x - 30°$
移项得：$90°+30°=x+2x$
合并同类项得：$120°=3x$
解得：$x = 40°$
因此$∠ BOC = 40°$，$∠ AOC = 2×40°=80°$，$∠ AOB = ∠ AOC + ∠ BOC = 80°+40°=120°$。
由$∠ AOC = 4∠ AOD$，可得$∠ AOD = 80°÷4=20°$，分两种情况讨论：
① 当射线$OD$在$∠ AOB$内部时：
$∠ DOB = ∠ AOB - ∠ AOD = 120° - 20° = 100°$；
② 当射线$OD$在$∠ AOB$外部，位于$OA$远离$OB$的一侧时：
$∠ DOB = ∠ AOB + ∠ AOD = 120° + 20° = 140°$。
综上，$∠ DOB$的度数为$100°$或$140°$。
【答案】
$100°$或$140°$
【知识点】
余角的定义，角的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题主要考查角的相关计算，解题的关键是利用方程思想先求出各个基础角的度数，需注意当射线位置不明确时，要结合题意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
2.如图，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，∠AOB:∠BOC = 3:2.若∠BOE=13°，求∠DOE的度数. 
第2题图
第2题图答案
解：
设∠AOB = 3x，由∠AOB:∠BOC = 3:2，得∠BOC = 2x。
所以∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 3x + 2x = 5x。
因为OE是∠AOC的平分线，
所以∠AOE = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{5}{2}x$。
又因为∠AOE = ∠AOB - ∠BOE，且∠BOE = 13°，
所以 $\frac{5}{2}x = 3x - 13°$，
解得 $x = 26°$。
因为OD是∠BOC的平分线，
所以∠BOD = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2} × 2x = x = 26°$。
所以∠DOE = ∠BOD + ∠BOE = $26° + 13° = 39°$。
设∠AOB = 3x，由∠AOB:∠BOC = 3:2，得∠BOC = 2x。
所以∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 3x + 2x = 5x。
因为OE是∠AOC的平分线，
所以∠AOE = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{5}{2}x$。
又因为∠AOE = ∠AOB - ∠BOE，且∠BOE = 13°，
所以 $\frac{5}{2}x = 3x - 13°$，
解得 $x = 26°$。
因为OD是∠BOC的平分线，
所以∠BOD = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2} × 2x = x = 26°$。
所以∠DOE = ∠BOD + ∠BOE = $26° + 13° = 39°$。
解析
【分析】
本题已知角的比例关系、两条角平分线和一个已知角度，求未知角的度数，可按以下思路求解：第一步，根据∠AOB和∠BOC的比例关系设未知数，将两个角用含同一个未知数的式子表示；第二步，利用角的和差表示出∠AOC，再结合OE是∠AOC的平分线写出∠AOE的表达式，同时根据∠AOE与∠AOB、∠BOE的和差关系列方程，解出未知数的值；第三步，结合OD是∠BOC的平分线求出∠BOD的度数，最后利用角的和差关系求出∠DOE的度数。
【解析】
设∠AOB = 3x，由∠AOB:∠BOC = 3:2，可得∠BOC = 2x。
则∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 3x + 2x = 5x。
∵OE是∠AOC的平分线，
∴∠AOE = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{5}{2}x$。
又
∵∠AOE = ∠AOB - ∠BOE，且∠BOE = 13°，
∴$\frac{5}{2}x = 3x - 13°$，
解得x = 26°。
∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠BOD = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}×2x = x = 26°$。
∴∠DOE = ∠BOD + ∠BOE = 26° + 13° = 39°。
【答案】
39°
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题是角度计算的常规题型，解题的关键是结合角平分线的性质灵活转化角之间的和差关系，通过设未知数列方程的方法求解，这种用代数方法解决几何问题的思路要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
本题已知角的比例关系、两条角平分线和一个已知角度，求未知角的度数，可按以下思路求解：第一步，根据∠AOB和∠BOC的比例关系设未知数，将两个角用含同一个未知数的式子表示；第二步，利用角的和差表示出∠AOC，再结合OE是∠AOC的平分线写出∠AOE的表达式，同时根据∠AOE与∠AOB、∠BOE的和差关系列方程，解出未知数的值；第三步，结合OD是∠BOC的平分线求出∠BOD的度数，最后利用角的和差关系求出∠DOE的度数。
【解析】
设∠AOB = 3x，由∠AOB:∠BOC = 3:2，可得∠BOC = 2x。
则∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 3x + 2x = 5x。
∵OE是∠AOC的平分线，
∴∠AOE = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{5}{2}x$。
又
∵∠AOE = ∠AOB - ∠BOE，且∠BOE = 13°，
∴$\frac{5}{2}x = 3x - 13°$，
解得x = 26°。
∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠BOD = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}×2x = x = 26°$。
∴∠DOE = ∠BOD + ∠BOE = 26° + 13° = 39°。
【答案】
39°
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题是角度计算的常规题型，解题的关键是结合角平分线的性质灵活转化角之间的和差关系，通过设未知数列方程的方法求解，这种用代数方法解决几何问题的思路要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
3. 如图，$∠ AOC$与$∠ BOC$互余，OD平分$∠ BOC$，$∠ EOC=2∠ AOE$.
(1)若$∠ AOD=75°$，求$∠ AOE$的度数；
(2)若$∠ DOE=54°$，求$∠ EOC$的度数.
(1)若$∠ AOD=75°$，求$∠ AOE$的度数；
(2)若$∠ DOE=54°$，求$∠ EOC$的度数.
答案
解：
(1) 因为∠AOC与∠BOC互余，
所以∠AOC + ∠BOC = 90°，即∠AOB = 90°。
因为∠AOD = 75°，
所以∠BOD = ∠AOB - ∠AOD = 90° - 75° = 15°。
因为OD平分∠BOC，
所以∠BOC = 2∠BOD = 30°，
所以∠AOC = 90° - ∠BOC = 90° - 30° = 60°。
又因为∠EOC = 2∠AOE，且∠AOC = ∠AOE + ∠EOC，
所以∠AOC = 3∠AOE，
所以∠AOE = $\frac{1}{3}$∠AOC = 20°。
(2) 设∠AOE = x，则∠EOC = 2x，
所以∠AOC = ∠AOE + ∠EOC = 3x。
因为∠AOC + ∠BOC = 90°，
所以∠BOC = 90° - 3x。
因为OD平分∠BOC，
所以∠COD = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}(90° - 3x)$。
又因为∠DOE = ∠EOC + ∠COD = 54°，
代入得：$2x + \frac{1}{2}(90° - 3x) = 54°$，
解得：$x = 18°$，
所以∠EOC = 2x = 36°。
(1) 因为∠AOC与∠BOC互余，
所以∠AOC + ∠BOC = 90°，即∠AOB = 90°。
因为∠AOD = 75°，
所以∠BOD = ∠AOB - ∠AOD = 90° - 75° = 15°。
因为OD平分∠BOC，
所以∠BOC = 2∠BOD = 30°，
所以∠AOC = 90° - ∠BOC = 90° - 30° = 60°。
又因为∠EOC = 2∠AOE，且∠AOC = ∠AOE + ∠EOC，
所以∠AOC = 3∠AOE，
所以∠AOE = $\frac{1}{3}$∠AOC = 20°。
(2) 设∠AOE = x，则∠EOC = 2x，
所以∠AOC = ∠AOE + ∠EOC = 3x。
因为∠AOC + ∠BOC = 90°，
所以∠BOC = 90° - 3x。
因为OD平分∠BOC，
所以∠COD = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}(90° - 3x)$。
又因为∠DOE = ∠EOC + ∠COD = 54°，
代入得：$2x + \frac{1}{2}(90° - 3x) = 54°$，
解得：$x = 18°$，
所以∠EOC = 2x = 36°。
解析
【分析】
(1) 首先根据∠AOC与∠BOC互余，可得出∠AOB=90°；结合已知的∠AOD的度数，先通过角的和差求出∠BOD的度数；再利用OD平分∠BOC的性质，求出∠BOC的度数，进而得到∠AOC的度数；最后根据∠EOC=2∠AOE，可知∠AOC是∠AOE的3倍，即可求出∠AOE的度数。
(2) 本题可采用设未知数列方程的方法求解：设∠AOE=x，用含x的式子依次表示出∠EOC、∠AOC，再根据互余的性质表示出∠BOC，结合角平分线的性质表示出∠COD；最后根据∠DOE=∠EOC+∠COD=54°列方程，解方程求出x的值后即可得到∠EOC的度数。
【解析】
(1) 因为∠AOC与∠BOC互余，
所以∠AOC + ∠BOC = 90°，即∠AOB = 90°。
因为∠AOD = 75°，
所以∠BOD = ∠AOB - ∠AOD = 90° - 75° = 15°。
因为OD平分∠BOC，
所以∠BOC = 2∠BOD = 30°，
所以∠AOC = 90° - ∠BOC = 90° - 30° = 60°。
又因为∠EOC = 2∠AOE，且∠AOC = ∠AOE + ∠EOC，
所以∠AOC = 3∠AOE，
所以∠AOE = $\frac{1}{3}$∠AOC = $\frac{1}{3}$×60° = 20°。
(2) 设∠AOE = x，则∠EOC = 2x，
所以∠AOC = ∠AOE + ∠EOC = 3x。
因为∠AOC + ∠BOC = 90°，
所以∠BOC = 90° - 3x。
因为OD平分∠BOC，
所以∠COD = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}(90° - 3x)$。
又因为∠DOE = ∠EOC + ∠COD = 54°，
代入得：$2x + \frac{1}{2}(90° - 3x) = 54°$，
去括号得：$2x + 45° - 1.5x = 54°$，
合并同类项得：$0.5x = 9°$，
解得：$x = 18°$，
所以∠EOC = 2x = 2×18° = 36°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{20°}$；(2) $\boldsymbol{36°}$
【知识点】
余角的定义、角平分线的定义、角的和差计算
【点评】
本题是角的计算的常规题型，综合考查了互余的性质、角平分线的性质，解题时要理清图中各角的数量关系，合理运用方程思想可以简化计算过程，熟练掌握这类题型能为后续几何学习打好基础。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据∠AOC与∠BOC互余，可得出∠AOB=90°；结合已知的∠AOD的度数，先通过角的和差求出∠BOD的度数；再利用OD平分∠BOC的性质，求出∠BOC的度数，进而得到∠AOC的度数；最后根据∠EOC=2∠AOE，可知∠AOC是∠AOE的3倍，即可求出∠AOE的度数。
(2) 本题可采用设未知数列方程的方法求解：设∠AOE=x，用含x的式子依次表示出∠EOC、∠AOC，再根据互余的性质表示出∠BOC，结合角平分线的性质表示出∠COD；最后根据∠DOE=∠EOC+∠COD=54°列方程，解方程求出x的值后即可得到∠EOC的度数。
【解析】
(1) 因为∠AOC与∠BOC互余，
所以∠AOC + ∠BOC = 90°，即∠AOB = 90°。
因为∠AOD = 75°，
所以∠BOD = ∠AOB - ∠AOD = 90° - 75° = 15°。
因为OD平分∠BOC，
所以∠BOC = 2∠BOD = 30°，
所以∠AOC = 90° - ∠BOC = 90° - 30° = 60°。
又因为∠EOC = 2∠AOE，且∠AOC = ∠AOE + ∠EOC，
所以∠AOC = 3∠AOE，
所以∠AOE = $\frac{1}{3}$∠AOC = $\frac{1}{3}$×60° = 20°。
(2) 设∠AOE = x，则∠EOC = 2x，
所以∠AOC = ∠AOE + ∠EOC = 3x。
因为∠AOC + ∠BOC = 90°，
所以∠BOC = 90° - 3x。
因为OD平分∠BOC，
所以∠COD = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}(90° - 3x)$。
又因为∠DOE = ∠EOC + ∠COD = 54°，
代入得：$2x + \frac{1}{2}(90° - 3x) = 54°$，
去括号得：$2x + 45° - 1.5x = 54°$，
合并同类项得：$0.5x = 9°$，
解得：$x = 18°$，
所以∠EOC = 2x = 2×18° = 36°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{20°}$；(2) $\boldsymbol{36°}$
【知识点】
余角的定义、角平分线的定义、角的和差计算
【点评】
本题是角的计算的常规题型，综合考查了互余的性质、角平分线的性质，解题时要理清图中各角的数量关系，合理运用方程思想可以简化计算过程，熟练掌握这类题型能为后续几何学习打好基础。
【难度系数】
0.7
