例 以$∠ AOB$的顶点$O$为端点作射线$OC$，使$∠ AOC:∠ BOC=5:4$。
(1)若$∠ AOB=18°$，求$∠ AOC$与$∠ BOC$的度数；
(2)若$∠ AOB=m$，求$∠ AOC$与$∠ BOC$的度数。
【解析】本题中的已知条件没有明确地说明$OC$在$∠ AOB$的内部或外部，所以两个问题都必须分情况讨论。
解:(1)分两种情况:
①$OC$在$∠ AOB$的外部，可设$∠ AOC=5x$，则$∠ BOC=4x$。
得$∠ AOB=x$，即$x=18°$。
所以$∠ AOC=90°$，$∠ BOC=72°$。
②$OC$在$∠ AOB$的内部，可设$∠ AOC=5x$，则$∠ BOC=4x$。
$∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC=9x$，
所以$9x=18°$，则$x=2°$。
所以$∠ AOC=10°$，$∠ BOC=8°$。
(2)同样有两种情况，可得$∠ AOC=5m$，$∠ BOC=4m$或$∠ AOC=\frac{5}{9}m$，$∠ BOC=\frac{4}{9}m$。

解：
(1) 分两种情况讨论：
① 当射线OC在∠AOB的外部时，设∠AOC=5x，则∠BOC=4x。
由题意得∠AOC - ∠BOC = ∠AOB，即5x - 4x = 18°，
解得x=18°，
所以∠AOC=90°，∠BOC=72°。
② 当射线OC在∠AOB的内部时，设∠AOC=5x，则∠BOC=4x。
由题意得∠AOC + ∠BOC = ∠AOB，即5x + 4x = 18°，
9x=18°，解得x=2°，
所以∠AOC=10°，∠BOC=8°。
综上，∠AOC为90°，∠BOC为72°，或∠AOC为10°，∠BOC为8°。
(2) 分两种情况讨论：
① 当射线OC在∠AOB的外部时，设∠AOC=5x，则∠BOC=4x。
由题意得5x - 4x = m，解得x=m，
所以∠AOC=5m，∠BOC=4m。
② 当射线OC在∠AOB的内部时，设∠AOC=5x，则∠BOC=4x。
由题意得5x + 4x = m，解得x=$\frac{m}{9}$，
所以∠AOC=$\frac{5}{9}m$，∠BOC=$\frac{4}{9}m$。
综上，∠AOC=5m，∠BOC=4m，或∠AOC=$\frac{5}{9}m$，∠BOC=$\frac{4}{9}m$。

【分析】
本题没有明确射线OC与∠AOB的位置关系，因此需要分两种情况讨论：①OC在∠AOB的内部；②OC在∠AOB的外部。解题时可根据∠AOC和∠BOC的比例关系，设∠AOC=5x，∠BOC=4x，再结合不同位置下两角与∠AOB的和差关系列方程，求解出x的值后代入即可得到对应角的度数。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当射线OC在∠AOB的外部时，设∠AOC=5x，则∠BOC=4x。
由题意得∠AOC - ∠BOC = ∠AOB，即5x - 4x = 18°，
解得x=18°，
所以∠AOC=5×18°=90°，∠BOC=4×18°=72°。
② 当射线OC在∠AOB的内部时，设∠AOC=5x，则∠BOC=4x。
由题意得∠AOC + ∠BOC = ∠AOB，即5x + 4x = 18°，
9x=18°，解得x=2°，
所以∠AOC=5×2°=10°，∠BOC=4×2°=8°。
综上，∠AOC为90°，∠BOC为72°，或∠AOC为10°，∠BOC为8°。
(2) 分两种情况讨论：
① 当射线OC在∠AOB的外部时，设∠AOC=5x，则∠BOC=4x。
由题意得5x - 4x = m，解得x=m，
所以∠AOC=5m，∠BOC=4m。
② 当射线OC在∠AOB的内部时，设∠AOC=5x，则∠BOC=4x。
由题意得5x + 4x = m，解得x=$\frac{m}{9}$，
所以∠AOC=$\frac{5}{9}m$，∠BOC=$\frac{4}{9}m$。
综上，∠AOC=5m，∠BOC=4m，或∠AOC=$\frac{5}{9}m$，∠BOC=$\frac{4}{9}m$。
【答案】
(1) $∠ AOC=90°,∠ BOC=72°$或$∠ AOC=10°,∠ BOC=8°$
(2) $∠ AOC=5m,∠ BOC=4m$或$∠ AOC=\frac{5}{9}m,∠ BOC=\frac{4}{9}m$
【知识点】
角的和差计算；分类讨论思想；按比例求角度
【点评】
本题的易错点是容易忽略射线OC在∠AOB外部的情况，仅考虑内部位置导致漏解。遇到未明确射线位置的角度计算问题时，应先梳理所有可能的位置情况，再结合角的和差关系列方程求解，可有效避免漏解。
【难度系数】
0.6

练习二
1. 如图，已知OC是$∠ AOB$的平分线。
(1)当$∠ AOB=60°$时，求$∠ AOC$的度数；
(2)在(1)的条件下，若$∠ EOC=90°$，请在图中补全图形，并求$∠ AOE$的度数；
(3)当$∠ AOB=α$时，若$∠ EOC=90°$，请直接写出$∠ AOE$的度数(用含$α$的式子表示）。

解：
(1) 因为OC是∠AOB的平分线，
所以$∠ AOC = \frac{1}{2}∠ AOB$。
已知$∠ AOB=60°$，
所以$∠ AOC = \frac{1}{2} × 60° = 30°$。
(2) 分两种情况补全图形：
① 当射线OE在OC靠近OA的一侧时：
$∠ AOE = ∠ EOC - ∠ AOC = 90° - 30° = 60°$；
② 当射线OE在OC远离OA、位于∠AOB外侧的一侧时：
$∠ AOE = ∠ AOC + ∠ EOC = 30° + 90° = 120°$。
综上，$∠ AOE$的度数为$60°$或$120°$。
(3) $∠ AOE$的度数为$90° + \frac{α}{2}$或$90° - \frac{α}{2}$。

【分析】
本题围绕角的相关计算展开，解题思路清晰：(1)第一小问直接利用角平分线的定义，角平分线可将一个角分成两个相等的小角，因此∠AOC的度数是∠AOB的一半，代入已知角度即可计算。(2)第二小问仅给出∠EOC=90°，未指明射线OE的位置，因此需要分两种情况讨论：一种是OE在∠AOB内部、靠近OA的一侧，另一种是OE在∠AOB外部、OC远离OA的一侧，再根据角的和差关系分别计算∠AOE的度数。(3)第三小问是第二小问的一般化，将∠AOB的具体度数替换为α，沿用第二小问的分类计算方法，代入化简即可得到结果。
【解析】
(1) 因为OC是∠AOB的平分线，根据角平分线的定义可得：
$∠ AOC = \frac{1}{2}∠ AOB$
已知$∠ AOB=60°$，代入计算：
$∠ AOC = \frac{1}{2} × 60° = 30°$
(2) 分两种情况补全图形并计算：
① 当射线OE在OC靠近OA的一侧时：
$∠ AOE = ∠ EOC - ∠ AOC = 90° - 30° = 60°$
② 当射线OE在OC远离OA、位于∠AOB外侧的一侧时：
$∠ AOE = ∠ AOC + ∠ EOC = 30° + 90° = 120°$
综上，$∠ AOE$的度数为$60°$或$120°$。
(3) 当$∠ AOB=α$时，由角平分线定义得$∠AOC=\frac{1}{2}α$，沿用(2)的分类思路：
第一种情况：$∠AOE=90°-\frac{α}{2}$
第二种情况：$∠AOE=90°+\frac{α}{2}$
【答案】
(1) $30°$；(2) $60°$或$120°$；(3) $90°+\frac{α}{2}$或$90°-\frac{α}{2}$
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题核心考查角平分线性质的应用，解题关键是注意当射线位置没有明确限定时，要结合图形分情况讨论，避免因漏解导致失分，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7

2. 如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝50°.现将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OD与射线OB重合，如图②.

(1)∠EOC＝；
(2)如图②，将三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠EOB的平分线，求∠BOD的度数；
(3)将三角板DOE绕点O逆时针旋转，在OE与OA重合前，是否有某个时刻满足∠DOC＝$\frac{1}{3}$∠AOE？若满足，求此时∠BOD的度数.

$\boldsymbol{40°}$
(2) ∵OC是∠EOB的平分线，∠BOC=50°，
∴∠EOB=2∠BOC=100°，
又∵∠DOE=90°，
∴∠BOD=∠EOB - ∠DOE=100°-90°=10°。
(3) 设∠BOD=x，分两种情况讨论：
① 当OD在∠BOC内部时：
∠DOC=∠BOC - ∠BOD=50°-x，
∠AOE=180° - ∠DOE - ∠BOD=180°-90°-x=90°-x，
由$∠ DOC=\frac{1}{3}∠ AOE$，得：
$50 - x=\frac{1}{3}(90 - x)$，
解得$x=30°$。
② 当OC在∠BOD内部时：
∠DOC=∠BOD - ∠BOC=x - 50°，
∠AOE=90°-x，
由$∠ DOC=\frac{1}{3}∠ AOE$，得：
$x - 50=\frac{1}{3}(90 - x)$，
解得$x=60°$。
综上，满足条件的∠BOD的度数为$30°$或$60°$。

【分析】
(1) 首先明确直角三角板的∠DOE=90°，已知OD与OB重合、∠BOC=50°，根据角的和差关系，直接用∠DOE减去∠BOC即可求出∠EOC的度数。
(2) 先根据角平分线的定义求出∠EOB的度数，再结合∠DOE=90°，用∠EOB减去∠DOE就能得到∠BOD的度数。
(3) 三角板旋转时OD的位置有两种情况：OD在∠BOC内部、OC在∠BOD内部，因此需要分类讨论。设∠BOD=x，分别用含x的式子表示两种情况下的∠DOC和∠AOE，再根据∠DOC=$\frac{1}{3}$∠AOE列方程求解，验证解符合OE未与OA重合的条件即可。
【解析】
(1) 由题意得∠DOE=90°，∠BOC=50°，且OD与OB重合，
∴∠EOC=∠DOE - ∠BOC=90°-50°=40°。
(2)
∵OC是∠EOB的平分线，∠BOC=50°，
∴∠EOB=2∠BOC=100°，
又
∵∠DOE=90°，
∴∠BOD=∠EOB - ∠DOE=100°-90°=10°。
(3) 设∠BOD=x，分两种情况讨论：
① 当OD在∠BOC内部时：
∠DOC=∠BOC - ∠BOD=50°-x，
∠AOE=180° - ∠DOE - ∠BOD=180°-90°-x=90°-x，
由$∠DOC=\frac{1}{3}∠AOE$，得：
$50 - x=\frac{1}{3}(90 - x)$，
解得$x=30°$，符合题意。
② 当OC在∠BOD内部时：
∠DOC=∠BOD - ∠BOC=x - 50°，
∠AOE=90°-x，
由$∠DOC=\frac{1}{3}∠AOE$，得：
$x - 50=\frac{1}{3}(90 - x)$，
解得$x=60°$，符合题意。
综上，满足条件的∠BOD的度数为30°或60°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40°}$；(2) $\boldsymbol{10°}$；(3) $\boldsymbol{30°}$或$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
角的和差计算，角平分线的定义，分类讨论思想
【点评】
本题是角的动态旋转类常规题型，考查了角的相关性质的实际应用，解题关键是理清旋转过程中角的位置变化，避免漏解，合理运用方程思想可简化角度求解过程。
【难度系数】
0.6