登录
例 如图,小明将一张长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠(F在BC边上,不与B,C重合),使得C点落在长方形ABCD的内部的E处,FH平分∠BFE,则∠GFH的度数α满足()
A.$90°＜α＜180°$
B.$α=90°$
C.$0°＜α＜90°$
D.$α$随着折痕位置的变化而变化
【解析】因为长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠,所以$∠GFC=∠GFE=\frac{1}{2}∠CFE$,又根据FH平分∠BFE,所以$∠EFH=∠BFH=\frac{1}{2}∠BFE$,所以$∠GFH=∠GFE+∠EFH=\frac{1}{2}(∠CFE+∠BFE)=\frac{1}{2}×180°=90°$.
【答案】B
A.$90°＜α＜180°$
B.$α=90°$
C.$0°＜α＜90°$
D.$α$随着折痕位置的变化而变化
【解析】因为长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠,所以$∠GFC=∠GFE=\frac{1}{2}∠CFE$,又根据FH平分∠BFE,所以$∠EFH=∠BFH=\frac{1}{2}∠BFE$,所以$∠GFH=∠GFE+∠EFH=\frac{1}{2}(∠CFE+∠BFE)=\frac{1}{2}×180°=90°$.
【答案】B
答案
B
解析
【分析】
遇到折叠类的角度计算问题，首先回忆折叠的性质：折叠前后对应角相等，因此可得∠GFC=∠GFE；再结合角平分线的定义，FH平分∠BFE，所以∠EFH=∠BFH。观察待求的∠GFH，可拆分为∠GFE与∠EFH的和，而∠CFE+∠BFE恰好是BC边上的平角，大小为180°，通过整体代入即可求出∠GFH的度数，且该度数不受F的位置影响。
【解析】
由折叠的性质可得：$∠ GFC=∠ GFE=\frac{1}{2}∠ CFE$，
因为FH平分$∠ BFE$，根据角平分线的定义可得：$∠ EFH=∠ BFH=\frac{1}{2}∠ BFE$，
又因为$∠ CFE+∠ BFE=180°$（平角的定义），
所以$∠ GFH=∠ GFE+∠ EFH=\frac{1}{2}(∠ CFE+∠ BFE)=\frac{1}{2}×180°=90°$，即$α=90°$。
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质；角平分线的定义；平角的定义
【点评】
本题是角度计算的典型题型，结合了折叠变换与角平分线的性质，解题的关键是抓住折叠前后对应角相等的特征，利用整体思想结合平角的性质进行推导，无需计算单个角的度数即可得到固定结果。
【难度系数】
0.7
遇到折叠类的角度计算问题，首先回忆折叠的性质：折叠前后对应角相等，因此可得∠GFC=∠GFE；再结合角平分线的定义，FH平分∠BFE，所以∠EFH=∠BFH。观察待求的∠GFH，可拆分为∠GFE与∠EFH的和，而∠CFE+∠BFE恰好是BC边上的平角，大小为180°，通过整体代入即可求出∠GFH的度数，且该度数不受F的位置影响。
【解析】
由折叠的性质可得：$∠ GFC=∠ GFE=\frac{1}{2}∠ CFE$，
因为FH平分$∠ BFE$，根据角平分线的定义可得：$∠ EFH=∠ BFH=\frac{1}{2}∠ BFE$，
又因为$∠ CFE+∠ BFE=180°$（平角的定义），
所以$∠ GFH=∠ GFE+∠ EFH=\frac{1}{2}(∠ CFE+∠ BFE)=\frac{1}{2}×180°=90°$，即$α=90°$。
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质；角平分线的定义；平角的定义
【点评】
本题是角度计算的典型题型，结合了折叠变换与角平分线的性质，解题的关键是抓住折叠前后对应角相等的特征，利用整体思想结合平角的性质进行推导，无需计算单个角的度数即可得到固定结果。
【难度系数】
0.7
练习三
1. 如图，把一张长方形纸片的一角任意折向长方形内，使点B落在点$B'$的位置，折痕为$EF$，再把$CF$折叠，使点C落在点$C'$的位置，折痕为$GF$，$C'F$与$FB'$在同一条直线上.
(1)分别直接写出$∠ 1$与$∠ CFE$、$∠ 2$与$∠ BFG$之间所满足的等量关系；
(2)直接写出$∠ 1$与$∠ 2$之间的数量关系；
(3)直接写出$∠ EFG$是什么角.
2. 如图，$∠ AOC=100°$，$∠ BOD=40°$，射线$OM$在$∠ AOB$内部，射线$ON$在$∠ COD$内部，$∠ AOB = 4 ∠ AOM$，$∠ COD = 4∠ CON$，求$∠ MON$的度数.
1. 如图，把一张长方形纸片的一角任意折向长方形内，使点B落在点$B'$的位置，折痕为$EF$，再把$CF$折叠，使点C落在点$C'$的位置，折痕为$GF$，$C'F$与$FB'$在同一条直线上.
(1)分别直接写出$∠ 1$与$∠ CFE$、$∠ 2$与$∠ BFG$之间所满足的等量关系；
(2)直接写出$∠ 1$与$∠ 2$之间的数量关系；
(3)直接写出$∠ EFG$是什么角.
2. 如图，$∠ AOC=100°$，$∠ BOD=40°$，射线$OM$在$∠ AOB$内部，射线$ON$在$∠ COD$内部，$∠ AOB = 4 ∠ AOM$，$∠ COD = 4∠ CON$，求$∠ MON$的度数.
答案
解：
1.
(1) 由折叠性质和平角定义可得：
$∠ 1 + ∠ CFE = 180°$，$∠ 2 + ∠ BFG = 180°$。
(2) 由折叠可知$∠ EFB'=∠ 1$，$∠ C'FG=∠ 2$，又$C'F$与$FB'$共线，因此：
$2∠ 1 + 2∠ 2 = 180°$，即$∠ 1 + ∠ 2 = 90°$。
(3) $∠ EFG = ∠ EFB' + ∠ C'FG = ∠ 1 + ∠ 2 = 90°$，因此$∠ EFG$是直角。
2.
由题意得：
$\because ∠ AOB = 4∠ AOM$，
$\therefore ∠ AOM = \frac{1}{4}∠ AOB$。
$\because ∠ COD = 4∠ CON$，
$\therefore ∠ CON = \frac{1}{4}∠ COD$。
又$\because ∠ AOB = ∠ AOC + ∠ COB$，$∠ COD = ∠ COB + ∠ BOD$，
$\therefore ∠ MON = ∠ AOC - ∠ AOM + ∠ CON$
$= 100° - \frac{1}{4}∠ AOB + \frac{1}{4}∠ COD$
$= 100° - \frac{1}{4}(∠ AOC + ∠ COB) + \frac{1}{4}(∠ COB + ∠ BOD)$
$= 100° - \frac{1}{4}∠ AOC + \frac{1}{4}∠ BOD$
$= 100° - \frac{1}{4}×100° + \frac{1}{4}×40°$
$= 85°$
答：$∠ MON$的度数为$85°$。
1.
(1) 由折叠性质和平角定义可得：
$∠ 1 + ∠ CFE = 180°$，$∠ 2 + ∠ BFG = 180°$。
(2) 由折叠可知$∠ EFB'=∠ 1$，$∠ C'FG=∠ 2$，又$C'F$与$FB'$共线，因此：
$2∠ 1 + 2∠ 2 = 180°$，即$∠ 1 + ∠ 2 = 90°$。
(3) $∠ EFG = ∠ EFB' + ∠ C'FG = ∠ 1 + ∠ 2 = 90°$，因此$∠ EFG$是直角。
2.
由题意得：
$\because ∠ AOB = 4∠ AOM$，
$\therefore ∠ AOM = \frac{1}{4}∠ AOB$。
$\because ∠ COD = 4∠ CON$，
$\therefore ∠ CON = \frac{1}{4}∠ COD$。
又$\because ∠ AOB = ∠ AOC + ∠ COB$，$∠ COD = ∠ COB + ∠ BOD$，
$\therefore ∠ MON = ∠ AOC - ∠ AOM + ∠ CON$
$= 100° - \frac{1}{4}∠ AOB + \frac{1}{4}∠ COD$
$= 100° - \frac{1}{4}(∠ AOC + ∠ COB) + \frac{1}{4}(∠ COB + ∠ BOD)$
$= 100° - \frac{1}{4}∠ AOC + \frac{1}{4}∠ BOD$
$= 100° - \frac{1}{4}×100° + \frac{1}{4}×40°$
$= 85°$
答：$∠ MON$的度数为$85°$。
解析
【分析】
第1题：首先利用折叠的性质，折叠前后对应角大小相等，再结合平角为180°的定义分析角的关系。（1）观察可得∠1和∠CFE组成平角、∠2和∠BFG组成平角，直接推导互补关系；（2）由折叠得∠1=∠EFB'，∠2=∠C'FG，结合C'F与FB'共线可知两个折叠角的2倍和为180°，推导得∠1和∠2的数量关系；（3）∠EFG等于∠EFB'与∠C'FG的和，代入（2）的结论即可判断角的类型。
第2题：先根据角的倍分关系，将∠AOM、∠CON分别用∠AOB、∠COD表示，再把∠AOB、∠COD拆分为已知角与公共角∠COB的和，代入∠MON的表达式时公共角会抵消，仅剩已知角，代入数值计算即可。
【解析】
1.
(1) 根据平角定义，两个角组成平角时和为180°，可得：
$∠ 1 + ∠ CFE = 180°$，$∠ 2 + ∠ BFG = 180°$。
(2) 由折叠性质可知$∠ EFB'=∠ 1$，$∠ C'FG=∠ 2$，又因为$C'F$与$FB'$在同一直线上，$∠ B'FC'=180°$，因此：
$2∠ 1 + 2∠ 2 = 180°$，即$∠ 1 + ∠ 2 = 90°$。
(3) $∠ EFG = ∠ EFB' + ∠ C'FG = ∠ 1 + ∠ 2 = 90°$，因此$∠ EFG$是直角。
2.
由题意得：
$\because ∠ AOB = 4∠ AOM$，
$\therefore ∠ AOM = \frac{1}{4}∠ AOB$。
$\because ∠ COD = 4∠ CON$，
$\therefore ∠ CON = \frac{1}{4}∠ COD$。
又$\because ∠ AOB = ∠ AOC + ∠ COB$，$∠ COD = ∠ COB + ∠ BOD$，
$\therefore ∠ MON = ∠ AOC - ∠ AOM + ∠ CON$
$= 100° - \frac{1}{4}∠ AOB + \frac{1}{4}∠ COD$
$= 100° - \frac{1}{4}(∠ AOC + ∠ COB) + \frac{1}{4}(∠ COB + ∠ BOD)$
$= 100° - \frac{1}{4}∠ AOC + \frac{1}{4}∠ BOD$
$= 100° - \frac{1}{4}×100° + \frac{1}{4}×40°$
$= 85°$
【答案】
1. (1) $∠ 1 + ∠ CFE = 180°$，$∠ 2 + ∠ BFG = 180°$；
(2) $∠ 1 + ∠ 2 = 90°$；
(3) 直角；
2. $∠ MON$的度数为$85°$。
【知识点】
折叠的性质，角的和差运算，整体代换思想
【点评】
该组题是角度计算的典型基础题，第一题结合折叠操作考查对应角相等的应用，第二题侧重整体代换的思路，消去未知的中间角即可求解，熟练掌握角的和差、等量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
第1题：首先利用折叠的性质，折叠前后对应角大小相等，再结合平角为180°的定义分析角的关系。（1）观察可得∠1和∠CFE组成平角、∠2和∠BFG组成平角，直接推导互补关系；（2）由折叠得∠1=∠EFB'，∠2=∠C'FG，结合C'F与FB'共线可知两个折叠角的2倍和为180°，推导得∠1和∠2的数量关系；（3）∠EFG等于∠EFB'与∠C'FG的和，代入（2）的结论即可判断角的类型。
第2题：先根据角的倍分关系，将∠AOM、∠CON分别用∠AOB、∠COD表示，再把∠AOB、∠COD拆分为已知角与公共角∠COB的和，代入∠MON的表达式时公共角会抵消，仅剩已知角，代入数值计算即可。
【解析】
1.
(1) 根据平角定义，两个角组成平角时和为180°，可得：
$∠ 1 + ∠ CFE = 180°$，$∠ 2 + ∠ BFG = 180°$。
(2) 由折叠性质可知$∠ EFB'=∠ 1$，$∠ C'FG=∠ 2$，又因为$C'F$与$FB'$在同一直线上，$∠ B'FC'=180°$，因此：
$2∠ 1 + 2∠ 2 = 180°$，即$∠ 1 + ∠ 2 = 90°$。
(3) $∠ EFG = ∠ EFB' + ∠ C'FG = ∠ 1 + ∠ 2 = 90°$，因此$∠ EFG$是直角。
2.
由题意得：
$\because ∠ AOB = 4∠ AOM$，
$\therefore ∠ AOM = \frac{1}{4}∠ AOB$。
$\because ∠ COD = 4∠ CON$，
$\therefore ∠ CON = \frac{1}{4}∠ COD$。
又$\because ∠ AOB = ∠ AOC + ∠ COB$，$∠ COD = ∠ COB + ∠ BOD$，
$\therefore ∠ MON = ∠ AOC - ∠ AOM + ∠ CON$
$= 100° - \frac{1}{4}∠ AOB + \frac{1}{4}∠ COD$
$= 100° - \frac{1}{4}(∠ AOC + ∠ COB) + \frac{1}{4}(∠ COB + ∠ BOD)$
$= 100° - \frac{1}{4}∠ AOC + \frac{1}{4}∠ BOD$
$= 100° - \frac{1}{4}×100° + \frac{1}{4}×40°$
$= 85°$
【答案】
1. (1) $∠ 1 + ∠ CFE = 180°$，$∠ 2 + ∠ BFG = 180°$；
(2) $∠ 1 + ∠ 2 = 90°$；
(3) 直角；
2. $∠ MON$的度数为$85°$。
【知识点】
折叠的性质，角的和差运算，整体代换思想
【点评】
该组题是角度计算的典型基础题，第一题结合折叠操作考查对应角相等的应用，第二题侧重整体代换的思路，消去未知的中间角即可求解，熟练掌握角的和差、等量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
