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1. 关于$x$的一元二次方程$x^2 - ax - b = 0$的判别式是 （
A.$a^2 -4b$；
B.$a^2 +4b$；
C.$b^2 -4a$；
D.$b^2 +4a$。
B
）A.$a^2 -4b$；
B.$a^2 +4b$；
C.$b^2 -4a$；
D.$b^2 +4a$。
答案
1. B.
解析
【分析】
解决这道题首先要回忆一元二次方程判别式的相关知识：首先明确一元二次方程的一般形式为$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），其判别式为$\Delta = B^2-4AC$。解题时需要先把题目给出的方程和一般形式对应，找准二次项系数、一次项系数、常数项，尤其要注意系数的正负号，最后代入判别式公式计算即可，注意不要把题目中方程的参数字母和一般式里的系数字母混淆。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$Ax^2 + Bx + C = 0$（$A≠0$），对应的判别式公式为$\Delta = B^2 - 4AC$。
将方程$x^2 - ax - b = 0$与一般式对应，可得：
二次项系数$A=1$，一次项系数$B=-a$，常数项$C=-b$。
代入判别式公式计算：
$\Delta = (-a)^2 - 4×1×(-b) = a^2 + 4b$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 根的判别式计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程判别式的计算，解题的易错点是混淆方程参数与一般式系数、忽略系数的符号，计算时要注意先准确对应各项系数再代入计算。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要回忆一元二次方程判别式的相关知识：首先明确一元二次方程的一般形式为$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），其判别式为$\Delta = B^2-4AC$。解题时需要先把题目给出的方程和一般形式对应，找准二次项系数、一次项系数、常数项，尤其要注意系数的正负号，最后代入判别式公式计算即可，注意不要把题目中方程的参数字母和一般式里的系数字母混淆。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$Ax^2 + Bx + C = 0$（$A≠0$），对应的判别式公式为$\Delta = B^2 - 4AC$。
将方程$x^2 - ax - b = 0$与一般式对应，可得：
二次项系数$A=1$，一次项系数$B=-a$，常数项$C=-b$。
代入判别式公式计算：
$\Delta = (-a)^2 - 4×1×(-b) = a^2 + 4b$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 根的判别式计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程判别式的计算，解题的易错点是混淆方程参数与一般式系数、忽略系数的符号，计算时要注意先准确对应各项系数再代入计算。
【难度系数】
0.8
2. 不解方程，判断下列方程的实数根的情况：
(1) $x^2 - 4x - 4 = 0$；
(2) $\frac{1}{3}x^2 + 3x = 0$；
(3) $x^2 - 6x + 9 = 0$；
(4) $\sqrt{2}x^2 - 2x + 1 = 0$。
(1) $x^2 - 4x - 4 = 0$；
(2) $\frac{1}{3}x^2 + 3x = 0$；
(3) $x^2 - 6x + 9 = 0$；
(4) $\sqrt{2}x^2 - 2x + 1 = 0$。
答案
(1) 有两个不相等的实数根. (2) 有两个不相等的实数根. (3) 有两个相等的实数根. (4) 没有实数根.
解析
【分析】
要判断一元二次方程的实数根情况，我们可以用一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$来判断，解题思路为：①先确认每个方程是一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，准确找出对应系数$a$（二次项系数）、$b$（一次项系数）、$c$（常数项）；②代入判别式公式计算$\Delta$的值；③根据$\Delta$的符号判断根的情况：若$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根；若$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根；若$\Delta＜0$，方程没有实数根。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，分别计算如下：
(1) 方程$x^2 - 4x - 4 = 0$中，$a=1$，$b=-4$，$c=-4$
$\Delta=(-4)^2 - 4×1×(-4)=16+16=32＞0$
(2) 方程$\frac{1}{3}x^2 + 3x = 0$中，$a=\frac{1}{3}$，$b=3$，$c=0$
$\Delta=3^2 - 4×\frac{1}{3}×0=9＞0$
(3) 方程$x^2 - 6x + 9 = 0$中，$a=1$，$b=-6$，$c=9$
$\Delta=(-6)^2 - 4×1×9=36-36=0$
(4) 方程$\sqrt{2}x^2 - 2x + 1 = 0$中，$a=\sqrt{2}$，$b=-2$，$c=1$
$\Delta=(-2)^2 - 4×\sqrt{2}×1=4-4\sqrt{2}＜0$
【答案】
(1) 有两个不相等的实数根. (2) 有两个不相等的实数根. (3) 有两个相等的实数根. (4) 没有实数根.
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.一元二次方程系数识别
【点评】
本题考查利用根的判别式判断一元二次方程实数根的情况，解题核心是准确找到对应方程的各项系数，牢记判别式取值与根的三种对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程的实数根情况，我们可以用一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$来判断，解题思路为：①先确认每个方程是一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，准确找出对应系数$a$（二次项系数）、$b$（一次项系数）、$c$（常数项）；②代入判别式公式计算$\Delta$的值；③根据$\Delta$的符号判断根的情况：若$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根；若$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根；若$\Delta＜0$，方程没有实数根。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，分别计算如下：
(1) 方程$x^2 - 4x - 4 = 0$中，$a=1$，$b=-4$，$c=-4$
$\Delta=(-4)^2 - 4×1×(-4)=16+16=32＞0$
(2) 方程$\frac{1}{3}x^2 + 3x = 0$中，$a=\frac{1}{3}$，$b=3$，$c=0$
$\Delta=3^2 - 4×\frac{1}{3}×0=9＞0$
(3) 方程$x^2 - 6x + 9 = 0$中，$a=1$，$b=-6$，$c=9$
$\Delta=(-6)^2 - 4×1×9=36-36=0$
(4) 方程$\sqrt{2}x^2 - 2x + 1 = 0$中，$a=\sqrt{2}$，$b=-2$，$c=1$
$\Delta=(-2)^2 - 4×\sqrt{2}×1=4-4\sqrt{2}＜0$
【答案】
(1) 有两个不相等的实数根. (2) 有两个不相等的实数根. (3) 有两个相等的实数根. (4) 没有实数根.
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.一元二次方程系数识别
【点评】
本题考查利用根的判别式判断一元二次方程实数根的情况，解题核心是准确找到对应方程的各项系数，牢记判别式取值与根的三种对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - 2kx + k - \frac{1}{4}=0 $（$ k $ 为实数）一定有实数根吗？为什么？
答案
一定有实数根. 因为k为实数，Δ=(-2k)²-4(k-1/4)=(2k-1)²≥0.
解析
【分析】
要判断一元二次方程是否一定有实数根，核心依据是根的判别式Δ的符号：若Δ≥0，则方程一定有实数根。解题时首先确定方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再代入判别式公式Δ=b²-4ac计算，最后化简判别式，结合平方的非负性判断Δ的取值范围即可得出结论。
【解析】
解：对于关于x的一元二次方程$x^2 - 2kx + k - \frac{1}{4}=0$，
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2k$，常数项$c=k-\frac{1}{4}$，
代入根的判别式公式得：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2k)^2 - 4×1×(k-\frac{1}{4})$
$=4k^2 - 4k + 1$
$=(2k-1)^2$
∵k为实数，任意实数的平方都是非负数，
∴$(2k-1)^2 ≥ 0$，即$\Delta ≥ 0$，
因此该方程一定有实数根。
【答案】
一定有实数根. 因为k为实数，Δ=(-2k)²-4(k-1/4)=(2k-1)²≥0.
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 完全平方公式
3. 平方的非负性
【点评】
本题是判断一元二次方程根的情况的基础题型，解题核心是准确计算根的判别式，结合平方的非负性判断判别式的符号，是代数部分的常考基础题。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程是否一定有实数根，核心依据是根的判别式Δ的符号：若Δ≥0，则方程一定有实数根。解题时首先确定方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再代入判别式公式Δ=b²-4ac计算，最后化简判别式，结合平方的非负性判断Δ的取值范围即可得出结论。
【解析】
解：对于关于x的一元二次方程$x^2 - 2kx + k - \frac{1}{4}=0$，
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2k$，常数项$c=k-\frac{1}{4}$，
代入根的判别式公式得：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2k)^2 - 4×1×(k-\frac{1}{4})$
$=4k^2 - 4k + 1$
$=(2k-1)^2$
∵k为实数，任意实数的平方都是非负数，
∴$(2k-1)^2 ≥ 0$，即$\Delta ≥ 0$，
因此该方程一定有实数根。
【答案】
一定有实数根. 因为k为实数，Δ=(-2k)²-4(k-1/4)=(2k-1)²≥0.
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 完全平方公式
3. 平方的非负性
【点评】
本题是判断一元二次方程根的情况的基础题型，解题核心是准确计算根的判别式，结合平方的非负性判断判别式的符号，是代数部分的常考基础题。
【难度系数】
0.8
