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4. 关于$x$的方程$(2a-1)x^2 -2ax +1=0$是否总有实数根？为什么？
答案
(1) 当2a-1=0时，即当a=1/2时，代入得-2·1/2 x +1=0，方程有实数根x=1；
(2) 当2a-1≠0时，即当a≠1/2时，Δ=(-2a)²-4(2a-1)=4(a-1)²≥0，原方程有实数根.
综上，该方程总有实数根.
(2) 当2a-1≠0时，即当a≠1/2时，Δ=(-2a)²-4(2a-1)=4(a-1)²≥0，原方程有实数根.
综上，该方程总有实数根.
解析
【分析】
题目未明确说明方程是一元二次方程，因此需分两种情况讨论：首先讨论二次项系数为0的情况，此时方程为一元一次方程，直接求解即可判断是否有实根；再讨论二次项系数不为0的情况，此时方程为一元二次方程，通过计算根的判别式Δ的符号，判断方程是否有实根，最后综合两种情况得出最终结论。
【解析】
解：分两种情况讨论：
（1）当$2a-1=0$，即$a=\frac{1}{2}$时，代入原方程得$-2×\frac{1}{2}x +1=0$，整理得$-x+1=0$，解得$x=1$，此时方程有实数根；
（2）当$2a-1≠0$，即$a≠\frac{1}{2}$时，原方程是一元二次方程，根的判别式$\Delta=(-2a)^2 -4(2a-1)×1=4a^2-8a+4=4(a-1)^2$。
根据平方的非负性可知，无论$a$取何值，$(a-1)^2≥0$，因此$\Delta≥0$，此时原方程有实数根。
综上可得，该方程总有实数根。
【答案】
该方程总有实数根，理由如下：
(1) 当$2a-1=0$即$a=\frac{1}{2}$时，方程化为$-x+1=0$，有实数根$x=1$；
(2) 当$2a-1≠0$即$a≠\frac{1}{2}$时，$\Delta=(-2a)^2-4(2a-1)=4(a-1)^2≥0$，原方程有实数根。
【知识点】
含参方程分类讨论；一元一次方程的解；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查含参数方程实根的判断，解题关键是未明确方程类型时，要先按二次项系数是否为0分类讨论，避免直接默认方程为一元二次方程导致漏解，能够有效锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
题目未明确说明方程是一元二次方程，因此需分两种情况讨论：首先讨论二次项系数为0的情况，此时方程为一元一次方程，直接求解即可判断是否有实根；再讨论二次项系数不为0的情况，此时方程为一元二次方程，通过计算根的判别式Δ的符号，判断方程是否有实根，最后综合两种情况得出最终结论。
【解析】
解：分两种情况讨论：
（1）当$2a-1=0$，即$a=\frac{1}{2}$时，代入原方程得$-2×\frac{1}{2}x +1=0$，整理得$-x+1=0$，解得$x=1$，此时方程有实数根；
（2）当$2a-1≠0$，即$a≠\frac{1}{2}$时，原方程是一元二次方程，根的判别式$\Delta=(-2a)^2 -4(2a-1)×1=4a^2-8a+4=4(a-1)^2$。
根据平方的非负性可知，无论$a$取何值，$(a-1)^2≥0$，因此$\Delta≥0$，此时原方程有实数根。
综上可得，该方程总有实数根。
【答案】
该方程总有实数根，理由如下：
(1) 当$2a-1=0$即$a=\frac{1}{2}$时，方程化为$-x+1=0$，有实数根$x=1$；
(2) 当$2a-1≠0$即$a≠\frac{1}{2}$时，$\Delta=(-2a)^2-4(2a-1)=4(a-1)^2≥0$，原方程有实数根。
【知识点】
含参方程分类讨论；一元一次方程的解；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查含参数方程实根的判断，解题关键是未明确方程类型时，要先按二次项系数是否为0分类讨论，避免直接默认方程为一元二次方程导致漏解，能够有效锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
（1）如果关于x的一元二次方程$2x^2 + 3x + k = 0$有两个不相等的实数根，那么k所满足的条件是
$k＜\dfrac{9}{8}$
；答案
(1) $k＜\dfrac{9}{8}$
解析
【分析】
要确定k的取值范围，首先回忆一元二次方程根的情况与根的判别式的对应关系：当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式Δ＞0。我们先找到方程中对应的a、b、c的值，代入判别式列出关于k的不等式，解不等式即可得到k的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。
本题中方程$2x^2 + 3x + k = 0$是一元二次方程，其中$a=2$，$b=3$，$c=k$，
因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta＞0$，即：
$3^2 - 4×2× k ＞ 0$
化简得：$9 - 8k ＞ 0$
移项得：$8k ＜ 9$
两边同时除以8得：$k ＜ \frac{9}{8}$
【答案】
$k＜\dfrac{9}{8}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时要准确代入系数计算判别式，解不等式时注意不等号的方向不要出错。
【难度系数】
0.8
要确定k的取值范围，首先回忆一元二次方程根的情况与根的判别式的对应关系：当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式Δ＞0。我们先找到方程中对应的a、b、c的值，代入判别式列出关于k的不等式，解不等式即可得到k的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。
本题中方程$2x^2 + 3x + k = 0$是一元二次方程，其中$a=2$，$b=3$，$c=k$，
因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta＞0$，即：
$3^2 - 4×2× k ＞ 0$
化简得：$9 - 8k ＞ 0$
移项得：$8k ＜ 9$
两边同时除以8得：$k ＜ \frac{9}{8}$
【答案】
$k＜\dfrac{9}{8}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时要准确代入系数计算判别式，解不等式时注意不等号的方向不要出错。
【难度系数】
0.8
（2）如果关于x的方程$\frac{1}{2}x^2 + m - 1 = 0$没有实数根，那么m所满足的条件是
$m＞1$
.答案
(2) $m＞1$
解析
【分析】
本题是一元二次方程无实根的求解问题，解题核心是利用一元二次方程根的判别式的性质。首先明确：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），当判别式$\Delta = b^2-4ac＜0$时，方程没有实数根。我们先将给定方程整理为标准一元二次方程形式，确定$a、b、c$的取值，再代入判别式令其小于0，解出对应的不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：将原方程整理为标准一元二次方程形式：$\frac{1}{2}x^2 + 0· x + (m - 1) = 0$
其中二次项系数$a=\frac{1}{2}$，一次项系数$b=0$，常数项$c = m - 1$
因为方程没有实数根，所以判别式$\Delta ＜ 0$，代入判别式公式得：
$\Delta = b^2 - 4ac = 0^2 - 4×\frac{1}{2}×(m - 1) ＜ 0$
化简得：$-2(m - 1) ＜ 0$
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$m - 1 ＞ 0$
解得：$m ＞ 1$
【答案】
$m＞1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，解题时需准确识别方程的各项系数，解不等式时注意乘除负数时不等号方向的变化即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
本题是一元二次方程无实根的求解问题，解题核心是利用一元二次方程根的判别式的性质。首先明确：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），当判别式$\Delta = b^2-4ac＜0$时，方程没有实数根。我们先将给定方程整理为标准一元二次方程形式，确定$a、b、c$的取值，再代入判别式令其小于0，解出对应的不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：将原方程整理为标准一元二次方程形式：$\frac{1}{2}x^2 + 0· x + (m - 1) = 0$
其中二次项系数$a=\frac{1}{2}$，一次项系数$b=0$，常数项$c = m - 1$
因为方程没有实数根，所以判别式$\Delta ＜ 0$，代入判别式公式得：
$\Delta = b^2 - 4ac = 0^2 - 4×\frac{1}{2}×(m - 1) ＜ 0$
化简得：$-2(m - 1) ＜ 0$
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$m - 1 ＞ 0$
解得：$m ＞ 1$
【答案】
$m＞1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，解题时需准确识别方程的各项系数，解不等式时注意乘除负数时不等号方向的变化即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
2. 如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 - 4ax + a + 3 = 0 $ 有两个相等的实数根，求 $ a $ 的值及方程的根.
答案
$\Delta=(-4a)^2-4· a·(a+3)=12a^2-12a$. 由 $\Delta=0$, 解得 $a=1$ 或 $a=0$(不符合题意，舍去), 将 $a=1$ 代入原方程, 得 $x^2-4x+4=0$, 解得 $x_1=x_2=2$.
解析
【分析】
解题首先要抓住两个核心条件：一是题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是容易忽略的隐含前提；二是方程有两个相等的实数根，对应根的判别式$\Delta=0$。我们先根据判别式公式列出关于$a$的方程，求解后排除不符合一元二次方程要求的$a$值，再将正确的$a$代入原方程即可求出方程的根。
【解析】
解：$\because$ 方程$ax^2 - 4ax + a + 3 = 0$是一元二次方程
$\therefore a≠0$
$\because$ 方程有两个相等的实数根
$\therefore$ 根的判别式$\Delta=b^2-4ac=0$
将$a=a$，$b=-4a$，$c=a+3$代入判别式得：
$\Delta=(-4a)^2-4· a·(a+3)=16a^2-4a^2-12a=12a^2-12a$
令$\Delta=0$，即$12a^2-12a=0$，化简得$12a(a-1)=0$
解得$a=1$或$a=0$
$\because a≠0$，$\therefore a=0$不符合题意，舍去，即$a=1$
将$a=1$代入原方程得：$x^2-4x+4=0$
因式分解得$(x-2)^2=0$，解得$x_1=x_2=2$
【答案】
$a$的值为$1$，方程的根为$x_1=x_2=2$
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程根的判别式的基础应用题型，解题的关键是牢记一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，避免出现增解，同时要熟练掌握判别式和根的个数的对应关系。
【难度系数】
0.7
解题首先要抓住两个核心条件：一是题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是容易忽略的隐含前提；二是方程有两个相等的实数根，对应根的判别式$\Delta=0$。我们先根据判别式公式列出关于$a$的方程，求解后排除不符合一元二次方程要求的$a$值，再将正确的$a$代入原方程即可求出方程的根。
【解析】
解：$\because$ 方程$ax^2 - 4ax + a + 3 = 0$是一元二次方程
$\therefore a≠0$
$\because$ 方程有两个相等的实数根
$\therefore$ 根的判别式$\Delta=b^2-4ac=0$
将$a=a$，$b=-4a$，$c=a+3$代入判别式得：
$\Delta=(-4a)^2-4· a·(a+3)=16a^2-4a^2-12a=12a^2-12a$
令$\Delta=0$，即$12a^2-12a=0$，化简得$12a(a-1)=0$
解得$a=1$或$a=0$
$\because a≠0$，$\therefore a=0$不符合题意，舍去，即$a=1$
将$a=1$代入原方程得：$x^2-4x+4=0$
因式分解得$(x-2)^2=0$，解得$x_1=x_2=2$
【答案】
$a$的值为$1$，方程的根为$x_1=x_2=2$
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程根的判别式的基础应用题型，解题的关键是牢记一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，避免出现增解，同时要熟练掌握判别式和根的个数的对应关系。
【难度系数】
0.7
