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3. 已知关于$x$的方程$x^2+(2m+1)x+m^2+1=0$有实数根，求$m$所满足的条件及方程的根(用含$m$的代数式表示)。
答案
因为方程有实数根，所以 $\Delta=(2m+1)^2-4(m^2+1)=4m-3≥0$, 解得 $m≥\dfrac{3}{4}$. 方程的根是 $x_1=\dfrac{-(2m+1)+\sqrt{4m-3}}{2}$, $x_2=\dfrac{-(2m+1)-\sqrt{4m-3}}{2}$.
解析
【分析】
本题是一元二次方程实根条件及求根的基础题，解题思路如下：①首先明确对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，有实数根的前提是判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，先确定本题方程中$a=1$，$b=2m+1$，$c=m^2+1$；②代入判别式公式计算$\Delta$，再解不等式得到$m$的取值范围；③最后用一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，代入对应系数和化简后的判别式，即可写出方程的根。
【解析】
已知方程$x^2+(2m+1)x+m^2+1=0$是一元二次方程，且有实数根，因此判别式$\Delta ≥ 0$：
1. 计算判别式：
$\Delta = (2m+1)^2 - 4×1×(m^2+1)$
$=4m^2+4m+1 - 4m^2 -4$
$=4m - 3$
2. 解不等式求$m$的范围：
令$\Delta ≥ 0$，即$4m-3≥0$，解得$m≥\frac{3}{4}$。
3. 用求根公式求方程的根：
将$a=1$，$b=2m+1$，$\Delta=4m-3$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\frac{-(2m+1)\pm\sqrt{4m-3}}{2×1}$
即两个根分别为$x_1=\frac{-(2m+1)+\sqrt{4m-3}}{2}$，$x_2=\frac{-(2m+1)-\sqrt{4m-3}}{2}$。
【答案】
$m$满足的条件是$m≥\dfrac{3}{4}$；方程的根是$x_1=\dfrac{-(2m+1)+\sqrt{4m-3}}{2}$，$x_2=\dfrac{-(2m+1)-\sqrt{4m-3}}{2}$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程求根公式
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用类题目，核心是掌握根的判别式与实根存在性的关系，以及求根公式的正确使用，计算时要注意判别式展开化简的准确性，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
本题是一元二次方程实根条件及求根的基础题，解题思路如下：①首先明确对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，有实数根的前提是判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，先确定本题方程中$a=1$，$b=2m+1$，$c=m^2+1$；②代入判别式公式计算$\Delta$，再解不等式得到$m$的取值范围；③最后用一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，代入对应系数和化简后的判别式，即可写出方程的根。
【解析】
已知方程$x^2+(2m+1)x+m^2+1=0$是一元二次方程，且有实数根，因此判别式$\Delta ≥ 0$：
1. 计算判别式：
$\Delta = (2m+1)^2 - 4×1×(m^2+1)$
$=4m^2+4m+1 - 4m^2 -4$
$=4m - 3$
2. 解不等式求$m$的范围：
令$\Delta ≥ 0$，即$4m-3≥0$，解得$m≥\frac{3}{4}$。
3. 用求根公式求方程的根：
将$a=1$，$b=2m+1$，$\Delta=4m-3$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\frac{-(2m+1)\pm\sqrt{4m-3}}{2×1}$
即两个根分别为$x_1=\frac{-(2m+1)+\sqrt{4m-3}}{2}$，$x_2=\frac{-(2m+1)-\sqrt{4m-3}}{2}$。
【答案】
$m$满足的条件是$m≥\dfrac{3}{4}$；方程的根是$x_1=\dfrac{-(2m+1)+\sqrt{4m-3}}{2}$，$x_2=\dfrac{-(2m+1)-\sqrt{4m-3}}{2}$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程求根公式
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用类题目，核心是掌握根的判别式与实根存在性的关系，以及求根公式的正确使用，计算时要注意判别式展开化简的准确性，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
4. 已知关于$x$的一元二次方程$(k-1)x^2 -4x -2=0$($k$为实数).
（1）如果方程有两个相等的实数根，求$k$所满足的条件；
（2）如果方程没有实数根，求$k$所满足的条件；
（3）如果方程有实数根，求$k$所满足的条件.
（1）如果方程有两个相等的实数根，求$k$所满足的条件；
（2）如果方程没有实数根，求$k$所满足的条件；
（3）如果方程有实数根，求$k$所满足的条件.
答案
由题意，知 $k-1≠0$. $\Delta=(-4)^2-4·(k-1)·(-2)=8k+8$.
(1) 由 $\Delta=0$, 得 $k=-1$.
(2) 由 $\Delta＜0$, 得 $k＜-1$.
(3) 由 $\Delta≥0$, 得 $k≥-1$. 又 $k-1≠0$, 所以 $k≥-1$ 且 $k≠1$.
(1) 由 $\Delta=0$, 得 $k=-1$.
(2) 由 $\Delta＜0$, 得 $k＜-1$.
(3) 由 $\Delta≥0$, 得 $k≥-1$. 又 $k-1≠0$, 所以 $k≥-1$ 且 $k≠1$.
解析
【分析】
本题是一元二次方程根的判别式的应用类问题，解题思路如下：首先题目明确是一元二次方程，因此首先要满足二次项系数不为0，即$k-1≠0$，也就是$k≠1$，这是隐含前提不能忽略；其次回忆一元二次方程根的判别式规则：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，$\Delta=b^2-4ac$，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根，$\Delta≥0$时方程有实数根；接下来先计算出该方程的判别式$\Delta$，再分别结合三个小问的根的情况列等式或不等式求解，最后结合二次项系数不为0的条件得到最终结果。
【解析】
首先，因为方程是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即$k-1≠0$，得$k≠1$。
计算判别式$\Delta$：$\Delta=(-4)^2 - 4×(k-1)×(-2)=16 + 8(k-1)=8k+8$。
(1) 若方程有两个相等的实数根，则$\Delta=0$，
即$8k+8=0$，解得$k=-1$，满足$k≠1$的条件。
(2) 若方程没有实数根，则$\Delta＜0$，
即$8k+8＜0$，移项得$8k＜-8$，解得$k＜-1$，满足$k≠1$的条件。
(3) 若方程有实数根，则$\Delta≥0$，
即$8k+8≥0$，移项得$8k≥-8$，解得$k≥-1$，结合二次项系数不为0的条件$k≠1$，因此最终范围为$k≥-1$且$k≠1$。
【答案】
(1) $k=-1$；
(2) $k＜-1$；
(3) $k≥-1$且$k≠1$。
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于根的判别式的基础应用题型，解题的关键是牢记一元二次方程二次项系数不为0的隐含前提，避免第三小问漏写$k≠1$的限制条件导致出错。
【难度系数】
0.7
本题是一元二次方程根的判别式的应用类问题，解题思路如下：首先题目明确是一元二次方程，因此首先要满足二次项系数不为0，即$k-1≠0$，也就是$k≠1$，这是隐含前提不能忽略；其次回忆一元二次方程根的判别式规则：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，$\Delta=b^2-4ac$，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根，$\Delta≥0$时方程有实数根；接下来先计算出该方程的判别式$\Delta$，再分别结合三个小问的根的情况列等式或不等式求解，最后结合二次项系数不为0的条件得到最终结果。
【解析】
首先，因为方程是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即$k-1≠0$，得$k≠1$。
计算判别式$\Delta$：$\Delta=(-4)^2 - 4×(k-1)×(-2)=16 + 8(k-1)=8k+8$。
(1) 若方程有两个相等的实数根，则$\Delta=0$，
即$8k+8=0$，解得$k=-1$，满足$k≠1$的条件。
(2) 若方程没有实数根，则$\Delta＜0$，
即$8k+8＜0$，移项得$8k＜-8$，解得$k＜-1$，满足$k≠1$的条件。
(3) 若方程有实数根，则$\Delta≥0$，
即$8k+8≥0$，移项得$8k≥-8$，解得$k≥-1$，结合二次项系数不为0的条件$k≠1$，因此最终范围为$k≥-1$且$k≠1$。
【答案】
(1) $k=-1$；
(2) $k＜-1$；
(3) $k≥-1$且$k≠1$。
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于根的判别式的基础应用题型，解题的关键是牢记一元二次方程二次项系数不为0的隐含前提，避免第三小问漏写$k≠1$的限制条件导致出错。
【难度系数】
0.7
