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1.已知二次函数$y=ax^2-2ax+c$中$x$和$y$的部分对应值如下表所示，则方程$ax^2-2ax+c=0$的一个较大的根的范围是(
A.$-0.5＜x＜-0.4$
B.$-0.6＜x＜-0.5$
C.$2.4＜x＜2.5$
D.$2.5＜x＜2.6$
C
)A.$-0.5＜x＜-0.4$
B.$-0.6＜x＜-0.5$
C.$2.4＜x＜2.5$
D.$2.5＜x＜2.6$
答案
1.C
解析
【分析】
要确定方程$ax^2-2ax+c=0$较大根的范围，首先明确方程的根就是对应二次函数与$x$轴交点的横坐标：
1. 先根据表格中$y$值的正负变化，判断出函数值由负变正的区间，得到其中一个根的范围；
2. 利用二次函数对称轴公式求出对称轴，再根据二次函数两根关于对称轴对称的性质，计算出另一个根（较大根）的范围即可。
【解析】
1. 判定其中一个根的范围：观察表格数据，当$x=-0.4$时，$y=-0.04＜0$；当$x=-0.5$时，$y=0.25＞0$，说明当$y=0$时，对应的一个根$x_1$满足$-0.5＜x_1＜-0.4$。
2. 求二次函数对称轴：对于二次函数$y=ax^2-2ax+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$b=-2a$得：$x=\frac{2a}{2a}=1$。
3. 求较大根的范围：二次函数与$x$轴的两个交点关于对称轴$x=1$对称，因此两个根满足$\frac{x_1+x_2}{2}=1$，即$x_2=2-x_1$。
将$x_1$的范围代入计算：
当$x_1=-0.5$时，$x_2=2-(-0.5)=2.5$；
当$x_1=-0.4$时，$x_2=2-(-0.4)=2.4$。
因此较大的根$x_2$的范围是$2.4＜x＜2.5$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的对称性；估算方程近似根
【点评】
本题解题的核心是利用二次函数的对称性简化计算，不需要求出函数的具体解析式，只需通过函数值的正负判断一个根的范围，再结合对称轴就能快速得到另一个根的范围，考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
要确定方程$ax^2-2ax+c=0$较大根的范围，首先明确方程的根就是对应二次函数与$x$轴交点的横坐标：
1. 先根据表格中$y$值的正负变化，判断出函数值由负变正的区间，得到其中一个根的范围；
2. 利用二次函数对称轴公式求出对称轴，再根据二次函数两根关于对称轴对称的性质，计算出另一个根（较大根）的范围即可。
【解析】
1. 判定其中一个根的范围：观察表格数据，当$x=-0.4$时，$y=-0.04＜0$；当$x=-0.5$时，$y=0.25＞0$，说明当$y=0$时，对应的一个根$x_1$满足$-0.5＜x_1＜-0.4$。
2. 求二次函数对称轴：对于二次函数$y=ax^2-2ax+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$b=-2a$得：$x=\frac{2a}{2a}=1$。
3. 求较大根的范围：二次函数与$x$轴的两个交点关于对称轴$x=1$对称，因此两个根满足$\frac{x_1+x_2}{2}=1$，即$x_2=2-x_1$。
将$x_1$的范围代入计算：
当$x_1=-0.5$时，$x_2=2-(-0.5)=2.5$；
当$x_1=-0.4$时，$x_2=2-(-0.4)=2.4$。
因此较大的根$x_2$的范围是$2.4＜x＜2.5$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的对称性；估算方程近似根
【点评】
本题解题的核心是利用二次函数的对称性简化计算，不需要求出函数的具体解析式，只需通过函数值的正负判断一个根的范围，再结合对称轴就能快速得到另一个根的范围，考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
2. 如图26－3－9，以(2,4)为顶点的二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的正数解的范围是(
A.$2＜x＜3$
B.$3＜x＜4$
C.$4＜x＜5$
D.$5＜x＜6$
D
)A.$2＜x＜3$
B.$3＜x＜4$
C.$4＜x＜5$
D.$5＜x＜6$
答案
2.D
解析
【分析】
首先明确二次函数的顶点坐标可直接确定抛物线的对称轴，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，两个交点到对称轴的距离相等。先观察图象得到x轴负半轴交点的横坐标范围，再利用对称性即可推导出正半轴交点（也就是一元二次方程正数解）的范围。
【解析】
解：
∵二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点为$(2,4)$，
∴抛物线的对称轴为直线$x=2$，抛物线与x轴的两个交点关于直线$x=2$对称。
由图象可知，抛物线与x轴负半轴交点的横坐标$x_1$满足$-2＜x_1＜-1$，
设正半轴交点的横坐标为$x_2$，根据对称性质可得$\frac{x_1+x_2}{2}=2$，即$x_2=4-x_1$。
当$x_1=-2$时，$x_2=4-(-2)=6$；当$x_1=-1$时，$x_2=4-(-1)=5$，
因此一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的正数解的范围是$5＜x＜6$。
【答案】D
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题解题核心是利用二次函数的对称性建立两个交点横坐标的关联，通过已知的左侧交点范围推导右侧交点范围，属于对二次函数图象性质的基础应用。
【难度系数】
0.7
首先明确二次函数的顶点坐标可直接确定抛物线的对称轴，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，两个交点到对称轴的距离相等。先观察图象得到x轴负半轴交点的横坐标范围，再利用对称性即可推导出正半轴交点（也就是一元二次方程正数解）的范围。
【解析】
解：
∵二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点为$(2,4)$，
∴抛物线的对称轴为直线$x=2$，抛物线与x轴的两个交点关于直线$x=2$对称。
由图象可知，抛物线与x轴负半轴交点的横坐标$x_1$满足$-2＜x_1＜-1$，
设正半轴交点的横坐标为$x_2$，根据对称性质可得$\frac{x_1+x_2}{2}=2$，即$x_2=4-x_1$。
当$x_1=-2$时，$x_2=4-(-2)=6$；当$x_1=-1$时，$x_2=4-(-1)=5$，
因此一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的正数解的范围是$5＜x＜6$。
【答案】D
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题解题核心是利用二次函数的对称性建立两个交点横坐标的关联，通过已知的左侧交点范围推导右侧交点范围，属于对二次函数图象性质的基础应用。
【难度系数】
0.7
3.已知$ m＞n＞0 $，若关于$ x $的方程$ x^2 + 2x - 3 - m = 0 $的解为$ x_1,x_2(x_1＜x_2) $，关于$ x $的方程$ x^2 + 2x - 3 - n = 0 $的解为$ x_3,x_4(x_3＜x_4) $。则下列结论正确的是(
A.$ x_3 ＜ x_1 ＜ x_2 ＜ x_4 $
B.$ x_1 ＜ x_3 ＜ x_4 ＜ x_2 $
C.$ x_1 ＜ x_2 ＜ x_3 ＜ x_4 $
D.$ x_3 ＜ x_4 ＜ x_1 ＜ x_2 $
B
)A.$ x_3 ＜ x_1 ＜ x_2 ＜ x_4 $
B.$ x_1 ＜ x_3 ＜ x_4 ＜ x_2 $
C.$ x_1 ＜ x_2 ＜ x_3 ＜ x_4 $
D.$ x_3 ＜ x_4 ＜ x_1 ＜ x_2 $
答案
3.B 点拨:关于$x$的方程$x^2+2x-3-m=0$的解为抛物线$y=x^2+2x-3$与直线$y=m$的交点的横坐标，关于$x$的方程$x^2+2x-3-n=0$的解为抛物线$y=x^2+2x-3$与直线$y=n$的交点的横坐标，如
，由图可知，$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$，故选B。解析
【分析】
我们可以通过“数转形”的思路解题：首先将两个一元二次方程变形为“二次函数=常数”的形式，此时方程的解就是二次函数图象与对应水平直线交点的横坐标。抛物线$y=x^2+2x-3$开口向上，当常数越大，对应的水平直线位置越高，它和抛物线的两个交点横坐标相距越远：左侧交点横坐标更小，右侧交点横坐标更大。结合$m＞n$的条件，对比两条直线与抛物线交点的横坐标，即可判断四个解的大小关系。
【解析】
1. 对两个方程做变形：
方程$x^2 + 2x - 3 - m = 0$可化为$x^2 + 2x - 3 = m$，它的解$x_1、x_2$是抛物线$y=x^2+2x-3$与直线$y=m$的交点横坐标，$x_1$为左交点横坐标，$x_2$为右交点横坐标；
方程$x^2 + 2x - 3 - n = 0$可化为$x^2 + 2x - 3 = n$，它的解$x_3、x_4$是抛物线$y=x^2+2x-3$与直线$y=n$的交点横坐标，$x_3$为左交点横坐标，$x_4$为右交点横坐标。
2. 已知$m＞n＞0$，因此直线$y=m$在直线$y=n$的上方，结合函数图象可得：左交点横坐标满足$x_1 ＜ x_3$，右交点横坐标满足$x_4 ＜ x_2$，因此四个解的大小关系为$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$，对应选项B。
【答案】
B
点拨:关于$x$的方程$x^2+2x-3-m=0$的解为抛物线$y=x^2+2x-3$与直线$y=m$的交点的横坐标，关于$x$的方程$x^2+2x-3-n=0$的解为抛物线$y=x^2+2x-3$与直线$y=n$的交点的横坐标，如，由图可知，$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$，故选B。
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；二次函数的图象性质；数形结合思想
【点评】
本题侧重考查数形结合思想的应用，将抽象的方程解的大小比较转化为直观的函数图象交点横坐标的比较，简化了计算过程，是二次函数相关题型的常用解题技巧。
【难度系数】
0.7
我们可以通过“数转形”的思路解题：首先将两个一元二次方程变形为“二次函数=常数”的形式，此时方程的解就是二次函数图象与对应水平直线交点的横坐标。抛物线$y=x^2+2x-3$开口向上，当常数越大，对应的水平直线位置越高，它和抛物线的两个交点横坐标相距越远：左侧交点横坐标更小，右侧交点横坐标更大。结合$m＞n$的条件，对比两条直线与抛物线交点的横坐标，即可判断四个解的大小关系。
【解析】
1. 对两个方程做变形：
方程$x^2 + 2x - 3 - m = 0$可化为$x^2 + 2x - 3 = m$，它的解$x_1、x_2$是抛物线$y=x^2+2x-3$与直线$y=m$的交点横坐标，$x_1$为左交点横坐标，$x_2$为右交点横坐标；
方程$x^2 + 2x - 3 - n = 0$可化为$x^2 + 2x - 3 = n$，它的解$x_3、x_4$是抛物线$y=x^2+2x-3$与直线$y=n$的交点横坐标，$x_3$为左交点横坐标，$x_4$为右交点横坐标。
2. 已知$m＞n＞0$，因此直线$y=m$在直线$y=n$的上方，结合函数图象可得：左交点横坐标满足$x_1 ＜ x_3$，右交点横坐标满足$x_4 ＜ x_2$，因此四个解的大小关系为$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$，对应选项B。
【答案】
B
点拨:关于$x$的方程$x^2+2x-3-m=0$的解为抛物线$y=x^2+2x-3$与直线$y=m$的交点的横坐标，关于$x$的方程$x^2+2x-3-n=0$的解为抛物线$y=x^2+2x-3$与直线$y=n$的交点的横坐标，如
，由图可知，$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$，故选B。【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；二次函数的图象性质；数形结合思想
【点评】
本题侧重考查数形结合思想的应用，将抽象的方程解的大小比较转化为直观的函数图象交点横坐标的比较，简化了计算过程，是二次函数相关题型的常用解题技巧。
【难度系数】
0.7
4. 画出函数 $y=x^2 -4x -5$ 的图象，根据图象回答下列问题：
(1) 图象与 $x$ 轴的交点坐标是什么？
(2) 方程 $x^2 -4x -5=0$ 的根是什么？
(3) 不等式 $x^2 -4x -5＞0$ 和 $x^2 -4x -5＜0$ 的解集分别是什么？
(1) 图象与 $x$ 轴的交点坐标是什么？
(2) 方程 $x^2 -4x -5=0$ 的根是什么？
(3) 不等式 $x^2 -4x -5＞0$ 和 $x^2 -4x -5＜0$ 的解集分别是什么？
答案
4.解:图象如
。(1)图象与$x$轴的交点坐标为$(-1,0),(5,0)$。
(2)$x_1=-1$，$x_2=5$。
(3)不等式$x^2-4x-5＞0$的解集为$x＜-1$或$x＞5$；
不等式$x^2-4x-5＜0$的解集为$-1＜x＜5$。
解析
【分析】
解题时需利用二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者的关联思考：①求函数与x轴的交点，只需令y=0，解对应一元二次方程，所得解就是交点的横坐标，即可写出交点坐标；②一元二次方程的根与二次函数和x轴交点的横坐标完全对应；③求不等式的解集本质是找函数值大于0/小于0时x的取值范围，结合二次函数开口方向，看图象在x轴上方/下方对应的x区间即可得到解集，也可直接从给出的图象直观读取结论。
【解析】
(1) 求图象与x轴的交点坐标，令$y=0$，可得方程：
$x^2-4x-5=0$
因式分解得$(x-5)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=5$，因此图象与x轴的交点坐标为$(-1,0)$、$(5,0)$。
(2) 一元二次方程$x^2-4x-5=0$的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标，因此方程的根为$x_1=-1$，$x_2=5$。
(3) 该二次函数开口向上，结合图象：
当图象位于x轴上方时，函数值$y＞0$，即$x^2-4x-5＞0$，对应x的取值范围为$x＜-1$或$x＞5$，就是该不等式的解集；
当图象位于x轴下方时，函数值$y＜0$，即$x^2-4x-5＜0$，对应x的取值范围为$-1＜x＜5$，就是该不等式的解集。
【答案】
图象如。
(1)图象与$x$轴的交点坐标为$(-1,0),(5,0)$。
(2)$x_1=-1$，$x_2=5$。
(3)不等式$x^2-4x-5＞0$的解集为$x＜-1$或$x＞5$；
不等式$x^2-4x-5＜0$的解集为$-1＜x＜5$。
【知识点】
1.二次函数的图象与性质
2.二次函数与一元二次方程的联系
3.二次函数与一元二次不等式的联系
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，核心是掌握二次函数图象与x轴交点横坐标、对应一元二次方程的根、对应一元二次不等式解集三者的对应关系，理清关联后即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时需利用二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者的关联思考：①求函数与x轴的交点，只需令y=0，解对应一元二次方程，所得解就是交点的横坐标，即可写出交点坐标；②一元二次方程的根与二次函数和x轴交点的横坐标完全对应；③求不等式的解集本质是找函数值大于0/小于0时x的取值范围，结合二次函数开口方向，看图象在x轴上方/下方对应的x区间即可得到解集，也可直接从给出的图象直观读取结论。
【解析】
(1) 求图象与x轴的交点坐标，令$y=0$，可得方程：
$x^2-4x-5=0$
因式分解得$(x-5)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=5$，因此图象与x轴的交点坐标为$(-1,0)$、$(5,0)$。
(2) 一元二次方程$x^2-4x-5=0$的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标，因此方程的根为$x_1=-1$，$x_2=5$。
(3) 该二次函数开口向上，结合图象：
当图象位于x轴上方时，函数值$y＞0$，即$x^2-4x-5＞0$，对应x的取值范围为$x＜-1$或$x＞5$，就是该不等式的解集；
当图象位于x轴下方时，函数值$y＜0$，即$x^2-4x-5＜0$，对应x的取值范围为$-1＜x＜5$，就是该不等式的解集。
【答案】
图象如
。(1)图象与$x$轴的交点坐标为$(-1,0),(5,0)$。
(2)$x_1=-1$，$x_2=5$。
(3)不等式$x^2-4x-5＞0$的解集为$x＜-1$或$x＞5$；
不等式$x^2-4x-5＜0$的解集为$-1＜x＜5$。
【知识点】
1.二次函数的图象与性质
2.二次函数与一元二次方程的联系
3.二次函数与一元二次不等式的联系
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，核心是掌握二次函数图象与x轴交点横坐标、对应一元二次方程的根、对应一元二次不等式解集三者的对应关系，理清关联后即可快速解题。
【难度系数】
0.8
1.【阅读理解】阅读下列材料：
我们通过下列步骤估计方程$2x^2+x-2=0$的根所在的范围.如图26－3－10.
第一步:画出函数$y=2x^2+x-2$的图象,发现图象是一条连续不断的曲线.
第二步:∵当$x=0$时,$y=-2＜0$;当$x=1$时,$y=1＞0$,∴图象与$x$轴的一个公共点的横坐标在0,1之间.∴可确定方程$2x^2+x-2=0$的一个根$x_1$所在的范围是$0＜x_1＜1$.
第三步:通过取0和1的平均数缩小$x_1$所在的范围,取$x=\frac{0+1}{2}=0.5$,∵当$x=0.5$时,$y=-1＜0$;当$x=1$时,$y=1＞0$,∴$0.5＜x_1＜1$.
(1)请仿照第二步,通过运算验证$2x^2+x-2=0$的另一个根$x_2$所在的范围是$-2＜x_2＜-1$.
(2)小明在$-2＜x_2＜-1$的基础上,重复应用第三步中取平均数的方法,将$x_2$所在的范围缩小,得到的近似值约为－1.6,请问小明的这个结论是否正确?并说明理由.
我们通过下列步骤估计方程$2x^2+x-2=0$的根所在的范围.如图26－3－10.
第一步:画出函数$y=2x^2+x-2$的图象,发现图象是一条连续不断的曲线.
第二步:∵当$x=0$时,$y=-2＜0$;当$x=1$时,$y=1＞0$,∴图象与$x$轴的一个公共点的横坐标在0,1之间.∴可确定方程$2x^2+x-2=0$的一个根$x_1$所在的范围是$0＜x_1＜1$.
第三步:通过取0和1的平均数缩小$x_1$所在的范围,取$x=\frac{0+1}{2}=0.5$,∵当$x=0.5$时,$y=-1＜0$;当$x=1$时,$y=1＞0$,∴$0.5＜x_1＜1$.
(1)请仿照第二步,通过运算验证$2x^2+x-2=0$的另一个根$x_2$所在的范围是$-2＜x_2＜-1$.
(2)小明在$-2＜x_2＜-1$的基础上,重复应用第三步中取平均数的方法,将$x_2$所在的范围缩小,得到的近似值约为－1.6,请问小明的这个结论是否正确?并说明理由.
答案
1.解:(1)$\because$当$x=-2$时，$y=4＞0$；
当$x=-1$时，$y=-1＜0$，
$\therefore$方程$2x^2+x-2=0$的另一个根$x_2$所在的范围是$-2＜x_2＜-1$。
(2)小明的这个结论不正确.理由如下：
取$x=\frac{-2-1}{2}=-1.5$，
$\because$当$x=-1.5$时，$y=1＞0$，
又$\because$当$x=-1$时，$y=-1＜0$，
$\therefore -1.5＜x_2＜-1$。
$\therefore$小明的这个结论不正确。
当$x=-1$时，$y=-1＜0$，
$\therefore$方程$2x^2+x-2=0$的另一个根$x_2$所在的范围是$-2＜x_2＜-1$。
(2)小明的这个结论不正确.理由如下：
取$x=\frac{-2-1}{2}=-1.5$，
$\because$当$x=-1.5$时，$y=1＞0$，
又$\because$当$x=-1$时，$y=-1＜0$，
$\therefore -1.5＜x_2＜-1$。
$\therefore$小明的这个结论不正确。
解析
【分析】
(1) 要验证方程另一个根在$-2＜x_2＜-1$的范围，可参考材料第二步的方法：分别代入区间端点的$x$值计算对应二次函数的函数值，若两个函数值异号，结合连续函数的性质，即可判断区间内存在方程的根。
(2) 要判断小明的结论是否正确，参考材料第三步的取平均数缩小范围的方法，先计算$-2$和$-1$的平均数，代入计算函数值，进一步缩小根所在的区间，再判断$-1.6$是否在缩小后的区间内即可。
【解析】
(1) 把$x=-2$代入$y=2x^2+x-2$，得：
$y=2×(-2)^2+(-2)-2=8-2-2=4＞0$
把$x=-1$代入$y=2x^2+x-2$，得：
$y=2×(-1)^2+(-1)-2=2-1-2=-1＜0$
因为函数图象是连续不断的曲线，所以方程$2x^2+x-2=0$的另一个根$x_2$所在的范围是$-2＜x_2＜-1$。
(2) 小明的结论不正确，理由如下：
取$x=\frac{-2+(-1)}{2}=-1.5$，代入$y=2x^2+x-2$，得：
$y=2×(-1.5)^2+(-1.5)-2=4.5-1.5-2=1＞0$
又因为当$x=-1$时，$y=-1＜0$，所以可进一步缩小根的范围为$-1.5＜x_2＜-1$，而$-1.6$不在该区间内，因此小明的结论不正确。
【答案】
(1) 验证见解析，方程另一个根$x_2$的范围是$-2＜x_2＜-1$；
(2) 小明的结论不正确，理由见解析。
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系、函数值计算、近似根估算
【点评】
本题属于材料阅读类题目，解题核心是读懂材料给出的判断根的范围的方法，通过代入计算不同$x$对应的函数值，根据函数值的正负逐步缩小根所在的区间，是对基础方法应用的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 要验证方程另一个根在$-2＜x_2＜-1$的范围，可参考材料第二步的方法：分别代入区间端点的$x$值计算对应二次函数的函数值，若两个函数值异号，结合连续函数的性质，即可判断区间内存在方程的根。
(2) 要判断小明的结论是否正确，参考材料第三步的取平均数缩小范围的方法，先计算$-2$和$-1$的平均数，代入计算函数值，进一步缩小根所在的区间，再判断$-1.6$是否在缩小后的区间内即可。
【解析】
(1) 把$x=-2$代入$y=2x^2+x-2$，得：
$y=2×(-2)^2+(-2)-2=8-2-2=4＞0$
把$x=-1$代入$y=2x^2+x-2$，得：
$y=2×(-1)^2+(-1)-2=2-1-2=-1＜0$
因为函数图象是连续不断的曲线，所以方程$2x^2+x-2=0$的另一个根$x_2$所在的范围是$-2＜x_2＜-1$。
(2) 小明的结论不正确，理由如下：
取$x=\frac{-2+(-1)}{2}=-1.5$，代入$y=2x^2+x-2$，得：
$y=2×(-1.5)^2+(-1.5)-2=4.5-1.5-2=1＞0$
又因为当$x=-1$时，$y=-1＜0$，所以可进一步缩小根的范围为$-1.5＜x_2＜-1$，而$-1.6$不在该区间内，因此小明的结论不正确。
【答案】
(1) 验证见解析，方程另一个根$x_2$的范围是$-2＜x_2＜-1$；
(2) 小明的结论不正确，理由见解析。
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系、函数值计算、近似根估算
【点评】
本题属于材料阅读类题目，解题核心是读懂材料给出的判断根的范围的方法，通过代入计算不同$x$对应的函数值，根据函数值的正负逐步缩小根所在的区间，是对基础方法应用的考查。
【难度系数】
0.7
