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1.根据下表中的对应值，判断关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)$的一个近似解$x$是(
A.3.35
B.3.45
C.3.55
D.3.65
B
)A.3.35
B.3.45
C.3.55
D.3.65
答案
1.B
解析
【分析】
要判断方程$ax^2+bx+c=0$的近似解，首先明确方程的解对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为0时自变量$x$的取值。由于二次函数图象是连续的曲线，当函数值由负变为正（或正变为负）时，中间必然存在一个点使得函数值为0，因此我们只需找到函数值正负交替对应的$x$的区间，再匹配区间内的选项即可。
【解析】
1. 方程$ax^2+bx+c=0$的根是二次函数$y=ax^2+bx+c$与$x$轴交点的横坐标，即$y=0$时$x$的取值。
2. 观察表格数据：
当$x=3.4$时，$ax^2+bx+c=-0.02＜0$；
当$x=3.5$时，$ax^2+bx+c=0.03＞0$。
3. 由于二次函数图象是连续的，因此在$3.4＜x＜3.5$的范围内，存在一个$x$使得$ax^2+bx+c=0$，即方程的根在3.4和3.5之间。
4. 对照选项，只有3.45在3.4~3.5的区间内，因此方程的一个近似解为3.45。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 估算一元二次方程的近似根
【点评】
本题核心是利用二次函数的函数值变化估算方程的近似根，解题关键是找准函数值正负交替对应的自变量区间，整体考查对基础概念的理解和应用，难度较低。
【难度系数】
0.7
要判断方程$ax^2+bx+c=0$的近似解，首先明确方程的解对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为0时自变量$x$的取值。由于二次函数图象是连续的曲线，当函数值由负变为正（或正变为负）时，中间必然存在一个点使得函数值为0，因此我们只需找到函数值正负交替对应的$x$的区间，再匹配区间内的选项即可。
【解析】
1. 方程$ax^2+bx+c=0$的根是二次函数$y=ax^2+bx+c$与$x$轴交点的横坐标，即$y=0$时$x$的取值。
2. 观察表格数据：
当$x=3.4$时，$ax^2+bx+c=-0.02＜0$；
当$x=3.5$时，$ax^2+bx+c=0.03＞0$。
3. 由于二次函数图象是连续的，因此在$3.4＜x＜3.5$的范围内，存在一个$x$使得$ax^2+bx+c=0$，即方程的根在3.4和3.5之间。
4. 对照选项，只有3.45在3.4~3.5的区间内，因此方程的一个近似解为3.45。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 估算一元二次方程的近似根
【点评】
本题核心是利用二次函数的函数值变化估算方程的近似根，解题关键是找准函数值正负交替对应的自变量区间，整体考查对基础概念的理解和应用，难度较低。
【难度系数】
0.7
2.二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图26－3－7所示，其对称轴为直线$x=1$，且与$x$轴的负半轴交于点$A$，则关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的正数解的取值范围是(
A.$2＜x＜3$
B.$3＜x＜4$
C.$4＜x＜5$
D.$5＜x＜6$
图26－3－7
图26－3－8
C
)A.$2＜x＜3$
B.$3＜x＜4$
C.$4＜x＜5$
D.$5＜x＜6$
图26－3－7
图26－3－8
答案
2.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与$x$轴交点的横坐标。已知二次函数对称轴为直线$x=1$，因此两个交点关于直线$x=1$对称，我们可以先从图象中得到$x$轴负半轴交点$A$的横坐标取值范围，再根据对称关系推导出正根的取值范围。
【解析】
设二次函数与$x$轴负半轴交点$A$的横坐标为$x_1$，正半轴交点的横坐标为$x_2$，$x_2$就是方程$ax^2+bx+c=0$的正数解。
根据二次函数的对称性，两个交点到对称轴$x=1$的距离相等，因此可得：
$1 - x_1 = x_2 - 1$，整理得$x_2 = 2 - x_1$。
从图象可知负半轴交点$A$的横坐标范围为$-3 ＜ x_1 ＜ -2$，将其代入$x_2 = 2 - x_1$计算：
当$x_1=-3$时，$x_2=2 - (-3)=5$；
当$x_1=-2$时，$x_2=2 - (-2)=4$。
因此正数解$x_2$的取值范围是$4 ＜ x ＜ 5$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数的对称性
2.二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题核心是利用二次函数的对称性求解方程根的范围，需要理解二次函数图象与对应一元二次方程解的对应关系，解题时只要找准对称轴和其中一个交点的范围就能快速推导另一个交点的范围。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与$x$轴交点的横坐标。已知二次函数对称轴为直线$x=1$，因此两个交点关于直线$x=1$对称，我们可以先从图象中得到$x$轴负半轴交点$A$的横坐标取值范围，再根据对称关系推导出正根的取值范围。
【解析】
设二次函数与$x$轴负半轴交点$A$的横坐标为$x_1$，正半轴交点的横坐标为$x_2$，$x_2$就是方程$ax^2+bx+c=0$的正数解。
根据二次函数的对称性，两个交点到对称轴$x=1$的距离相等，因此可得：
$1 - x_1 = x_2 - 1$，整理得$x_2 = 2 - x_1$。
从图象可知负半轴交点$A$的横坐标范围为$-3 ＜ x_1 ＜ -2$，将其代入$x_2 = 2 - x_1$计算：
当$x_1=-3$时，$x_2=2 - (-3)=5$；
当$x_1=-2$时，$x_2=2 - (-2)=4$。
因此正数解$x_2$的取值范围是$4 ＜ x ＜ 5$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数的对称性
2.二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题核心是利用二次函数的对称性求解方程根的范围，需要理解二次函数图象与对应一元二次方程解的对应关系，解题时只要找准对称轴和其中一个交点的范围就能快速推导另一个交点的范围。
【难度系数】
0.7
3.小颖用计算器探索方程$ax^2+bx+c=0$的根，作出如图26－3－8所示的图象，并求得一个近似根为－3.4，则方程的另一个近似根(结果保留小数点后一位)为(
A.4.4
B.3.4
C.2.4
D.1.4
D
)A.4.4
B.3.4
C.2.4
D.1.4
答案
3.D
解析
【分析】
解题时首先要明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标；其次二次函数的图象是抛物线，属于轴对称图形，它与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，即两个根的算术平均数等于抛物线对称轴的横坐标。因此我们先从图象中获取抛物线的对称轴为直线$x=-1$，再设另一个根为$x$，利用中点公式列方程求解即可。
【解析】
设方程的另一个近似根为$x$，
由二次函数的性质可知，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，从图象可得该抛物线的对称轴为直线$x=-1$，
因此两个根的平均值等于对称轴的横坐标，即：
$\frac{-3.4 + x}{2} = -1$
解方程得：
$-3.4 + x = -2$
$x = 3.4 - 2 = 1.4$
所以方程的另一个近似根为1.4。
【答案】D
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的对称性
【点评】
本题解题的核心是利用二次函数的对称性建立已知根和未知根的联系，熟练掌握二次函数图象性质与一元二次方程的对应关系，就能快速求解这类问题。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标；其次二次函数的图象是抛物线，属于轴对称图形，它与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，即两个根的算术平均数等于抛物线对称轴的横坐标。因此我们先从图象中获取抛物线的对称轴为直线$x=-1$，再设另一个根为$x$，利用中点公式列方程求解即可。
【解析】
设方程的另一个近似根为$x$，
由二次函数的性质可知，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，从图象可得该抛物线的对称轴为直线$x=-1$，
因此两个根的平均值等于对称轴的横坐标，即：
$\frac{-3.4 + x}{2} = -1$
解方程得：
$-3.4 + x = -2$
$x = 3.4 - 2 = 1.4$
所以方程的另一个近似根为1.4。
【答案】D
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的对称性
【点评】
本题解题的核心是利用二次函数的对称性建立已知根和未知根的联系，熟练掌握二次函数图象性质与一元二次方程的对应关系，就能快速求解这类问题。
【难度系数】
0.7
4.一元二次方程$x^2+bx+c=3$的两个根分别为-2和4，若二次函数$y=x^2+bx+c$与x轴的交点为$x_1,x_2(x_1＜x_2)$，则对于$x_1,x_2$的范围描述正确的是(
A.$-2＜x_1＜4＜x_2$
B.$-2＜4＜x_1＜x_2$
C.$-2＜x_1＜x_2＜4$
D.$x_1＜-2＜4＜x_2$
C
)A.$-2＜x_1＜4＜x_2$
B.$-2＜4＜x_1＜x_2$
C.$-2＜x_1＜x_2＜4$
D.$x_1＜-2＜4＜x_2$
答案
4.C
解析
【分析】
解题时先将一元二次方程的根与二次函数的函数值关联起来：方程$x^2+bx+c=3$的根就是二次函数$y=x^2+bx+c$函数值为3时对应的自变量$x$的值，由此可知抛物线过$(-2,3)$和$(4,3)$两点。再结合二次项系数为正，可得抛物线开口向上。所求的与x轴交点对应函数值$y=0＜3$，根据开口向上抛物线的性质：函数值小于3时，自变量取值在$y=3$对应的两个$x$值之间，即可推出$x_1、x_2$的范围。
【解析】
1. 由题意可知：一元二次方程$x^2+bx+c=3$的两根为$x=-2$和$x=4$，即二次函数$y=x^2+bx+c$中，当$y=3$时，对应的$x$值为-2和4。
2. 二次函数$y=x^2+bx+c$的二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上。
3. 抛物线与x轴的交点对应函数值$y=0$，满足$0＜3$，结合开口向上抛物线的性质：当函数值小于3时，对应的自变量$x$的取值在$y=3$对应的两个$x$值之间，即$-2＜x＜4$。
4. 已知$x_1＜x_2$，因此可得$-2＜x_1＜x_2＜4$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的关系
2.二次函数的图象性质
【点评】
本题重点考查二次函数与一元二次方程的转化，需要结合抛物线开口方向判断函数值对应的自变量范围，是二次函数部分的经典题型，熟练运用数形结合思想可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先将一元二次方程的根与二次函数的函数值关联起来：方程$x^2+bx+c=3$的根就是二次函数$y=x^2+bx+c$函数值为3时对应的自变量$x$的值，由此可知抛物线过$(-2,3)$和$(4,3)$两点。再结合二次项系数为正，可得抛物线开口向上。所求的与x轴交点对应函数值$y=0＜3$，根据开口向上抛物线的性质：函数值小于3时，自变量取值在$y=3$对应的两个$x$值之间，即可推出$x_1、x_2$的范围。
【解析】
1. 由题意可知：一元二次方程$x^2+bx+c=3$的两根为$x=-2$和$x=4$，即二次函数$y=x^2+bx+c$中，当$y=3$时，对应的$x$值为-2和4。
2. 二次函数$y=x^2+bx+c$的二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上。
3. 抛物线与x轴的交点对应函数值$y=0$，满足$0＜3$，结合开口向上抛物线的性质：当函数值小于3时，对应的自变量$x$的取值在$y=3$对应的两个$x$值之间，即$-2＜x＜4$。
4. 已知$x_1＜x_2$，因此可得$-2＜x_1＜x_2＜4$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的关系
2.二次函数的图象性质
【点评】
本题重点考查二次函数与一元二次方程的转化，需要结合抛物线开口方向判断函数值对应的自变量范围，是二次函数部分的经典题型，熟练运用数形结合思想可快速求解。
【难度系数】
0.7
5.【教材 P49 练习变式】用函数图象求 $x^2 -4x -6=0$ 的实数根.(结果保留小数点后一位)
答案
5.解:对于函数$y=x^2-4x-6$,列表：
| $x$ | … | $-2$ | $0$ | $2$ | $4$ | $6$ | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | … | $6$ | $-6$ | $-10$ | $-6$ | $6$ | …
描点画图,函数$y=x^2-4x-6$的图象如
所示：由图象可知方程$x^2-4x-6=0$有两个根，一个在$-2$和$-1$之间，另一个在$5$和$6$之间。
在函数$y=x^2-4x-6$中，
当$x=-1.1$时，$y=-0.39$，
当$x=-1.2$时，$y=0.24$，
当$x=-1.15$时，$y=-0.0775$，
因此，$x_1≈-1.2$是方程$x^2-4x-6=0$的一个实数根，
同理，$x_2≈5.2$是方程$x^2-4x-6=0$的另一个实数根。
故一元二次方程$x^2-4x-6=0$的实数根为$x_1≈-1.2$，$x_2≈5.2$。
解析
【分析】
一元二次方程的实数根与对应二次函数图象和x轴交点的横坐标相等，本题可按以下思路求解：①构造与方程对应的二次函数$y=x^2-4x-6$；②通过列表、描点、连线画出该二次函数的图象，确定图象与x轴交点所在的大致区间；③在交点区间内代入不同的x值计算对应的函数值，找到函数值最接近0时的x值，按保留一位小数的要求得到方程的近似根。
【解析】
解：对于函数$y=x^2-4x-6$，列表：
| $x$ | … | $-2$ | $0$ | $2$ | $4$ | $6$ | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | … | $6$ | $-6$ | $-10$ | $-6$ | $6$ | …
描点画图，函数$y=x^2-4x-6$的图象如所示：
由图象可知方程$x^2-4x-6=0$有两个根，一个在$-2$和$-1$之间，另一个在$5$和$6$之间。
在函数$y=x^2-4x-6$中代入数值计算：
当$x=-1.1$时，$y=-0.39$，
当$x=-1.2$时，$y=0.24$，
当$x=-1.15$时，$y=-0.0775$，
因此$x_1≈-1.2$是方程$x^2-4x-6=0$的一个实数根，
同理可得，$x_2≈5.2$是方程$x^2-4x-6=0$的另一个实数根。
【答案】
函数$y=x^2-4x-6$的图象如所示，方程的实数根为$\boldsymbol{x_1≈-1.2}$，$\boldsymbol{x_2≈5.2}$。
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；图象法求方程近似根；二次函数图象绘制
【点评】
本题考查利用二次函数图象求解一元二次方程近似根的方法，需要理解二次函数与对应一元二次方程的内在联系，掌握通过试值缩小根的范围的估算方法，对作图能力和估算能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
一元二次方程的实数根与对应二次函数图象和x轴交点的横坐标相等，本题可按以下思路求解：①构造与方程对应的二次函数$y=x^2-4x-6$；②通过列表、描点、连线画出该二次函数的图象，确定图象与x轴交点所在的大致区间；③在交点区间内代入不同的x值计算对应的函数值，找到函数值最接近0时的x值，按保留一位小数的要求得到方程的近似根。
【解析】
解：对于函数$y=x^2-4x-6$，列表：
| $x$ | … | $-2$ | $0$ | $2$ | $4$ | $6$ | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | … | $6$ | $-6$ | $-10$ | $-6$ | $6$ | …
描点画图，函数$y=x^2-4x-6$的图象如
所示：由图象可知方程$x^2-4x-6=0$有两个根，一个在$-2$和$-1$之间，另一个在$5$和$6$之间。
在函数$y=x^2-4x-6$中代入数值计算：
当$x=-1.1$时，$y=-0.39$，
当$x=-1.2$时，$y=0.24$，
当$x=-1.15$时，$y=-0.0775$，
因此$x_1≈-1.2$是方程$x^2-4x-6=0$的一个实数根，
同理可得，$x_2≈5.2$是方程$x^2-4x-6=0$的另一个实数根。
【答案】
函数$y=x^2-4x-6$的图象如
所示，方程的实数根为$\boldsymbol{x_1≈-1.2}$，$\boldsymbol{x_2≈5.2}$。【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；图象法求方程近似根；二次函数图象绘制
【点评】
本题考查利用二次函数图象求解一元二次方程近似根的方法，需要理解二次函数与对应一元二次方程的内在联系，掌握通过试值缩小根的范围的估算方法，对作图能力和估算能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
