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1.已知二次函数 $y=(m-1)x^2+(m-2)x-1$（$m$ 为实数）.
(1)当 $m$ 为何值时，函数图象与 $x$ 轴有两个交点？
(2)若抛物线与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点，且 $S_{△ ABC}=2$，试确定 $m$ 的值.
(1)当 $m$ 为何值时，函数图象与 $x$ 轴有两个交点？
(2)若抛物线与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点，且 $S_{△ ABC}=2$，试确定 $m$ 的值.
答案
1.解:(1)
∵抛物线$y=(m-1)x^2+(m-2)x-1$与x轴有两个交点，
∴$\Delta=(m-2)^2-4(m-1)×(-1)＞0$且$m-1≠0$，
故当$m≠0$且$m≠1$时，抛物线与x轴有两个交点.
(2)设A,B两点的坐标分别为$(x_1,0)$，$(x_2,0)$.
∵抛物线与y轴交于点C，
∴点C的坐标为$(0,-1)$，
∴$AB=|x_2-x_1|$,$OC=1$.
∵$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· OC=2$,
∴$\frac{1}{2}·|x_2-x_1|=2$,即有$|x_2-x_1|=4$.
由根与系数的关系，得
$|x_2-x_1|^2=(x_2+x_1)^2-4x_1x_2$
$=(-\frac{m-2}{m-1})^2-4·\frac{-1}{m-1}$
$=\frac{m^2}{(m-1)^2}$,
∴$\frac{m^2}{(m-1)^2}=16$,解得$m_1=\frac{4}{5},m_2=\frac{4}{3}$.
故$m$的值为$\frac{4}{5}$或$\frac{4}{3}$.
∵抛物线$y=(m-1)x^2+(m-2)x-1$与x轴有两个交点，
∴$\Delta=(m-2)^2-4(m-1)×(-1)＞0$且$m-1≠0$，
故当$m≠0$且$m≠1$时，抛物线与x轴有两个交点.
(2)设A,B两点的坐标分别为$(x_1,0)$，$(x_2,0)$.
∵抛物线与y轴交于点C，
∴点C的坐标为$(0,-1)$，
∴$AB=|x_2-x_1|$,$OC=1$.
∵$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· OC=2$,
∴$\frac{1}{2}·|x_2-x_1|=2$,即有$|x_2-x_1|=4$.
由根与系数的关系，得
$|x_2-x_1|^2=(x_2+x_1)^2-4x_1x_2$
$=(-\frac{m-2}{m-1})^2-4·\frac{-1}{m-1}$
$=\frac{m^2}{(m-1)^2}$,
∴$\frac{m^2}{(m-1)^2}=16$,解得$m_1=\frac{4}{5},m_2=\frac{4}{3}$.
故$m$的值为$\frac{4}{5}$或$\frac{4}{3}$.
解析
【分析】
(1)要使二次函数图象与x轴有两个交点，首先需满足函数是二次函数，即二次项系数不为0；其次对应一元二次方程有两个不相等的实数根，即根的判别式Δ＞0，联立两个条件即可求出m的取值范围。
(2)先求出抛物线与y轴交点C的坐标，得到OC的长度；再根据三角形面积公式求出AB的长度，即A、B两点横坐标差的绝对值；最后利用根与系数的关系，将|x₁-x₂|转化为含m的表达式，列方程求解即可，注意结果要符合第一问中m的限制条件。
【解析】
(1)
∵抛物线$y=(m-1)x^2+(m-2)x-1$与x轴有两个交点，
∴$\Delta=(m-2)^2-4(m-1)×(-1)＞0$且$m-1≠0$，
化简Δ得$m^2＞0$，即$m≠0$，结合$m≠1$的条件，
故当$m≠0$且$m≠1$时，抛物线与x轴有两个交点。
(2)设A,B两点的坐标分别为$(x_1,0)$，$(x_2,0)$。
∵抛物线与y轴交于点C，
∴令$x=0$，得$y=-1$，即点C的坐标为$(0,-1)$，
∴$AB=|x_2-x_1|$,$OC=1$。
∵$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· OC=2$，
∴$\frac{1}{2}·|x_2-x_1|=2$，即有$|x_2-x_1|=4$。
由根与系数的关系，得
$|x_2-x_1|^2=(x_2+x_1)^2-4x_1x_2$
$=(-\frac{m-2}{m-1})^2-4·\frac{-1}{m-1}$
$=\frac{m^2}{(m-1)^2}$,
∴$\frac{m^2}{(m-1)^2}=16$，
两边开方得$\frac{m}{m-1}=±4$，分别解得$m_1=\frac{4}{5},m_2=\frac{4}{3}$，两个解均满足$m≠0$且$m≠1$的条件。
故$m$的值为$\frac{4}{5}$或$\frac{4}{3}$。
【答案】
(1)$m≠0$且$m≠1$；(2)$m$的值为$\frac{4}{5}$或$\frac{4}{3}$
【知识点】
二次函数的定义；二次函数与一元二次方程的关系；根与系数的关系
【点评】
本题是二次函数与方程结合的基础综合题，解题时容易遗漏二次项系数不为0的隐含条件，需格外注意；第二问中利用根与系数的关系转化两根差的绝对值是这类题型的常用技巧，要熟练掌握该变形公式。
【难度系数】
0.7
(1)要使二次函数图象与x轴有两个交点，首先需满足函数是二次函数，即二次项系数不为0；其次对应一元二次方程有两个不相等的实数根，即根的判别式Δ＞0，联立两个条件即可求出m的取值范围。
(2)先求出抛物线与y轴交点C的坐标，得到OC的长度；再根据三角形面积公式求出AB的长度，即A、B两点横坐标差的绝对值；最后利用根与系数的关系，将|x₁-x₂|转化为含m的表达式，列方程求解即可，注意结果要符合第一问中m的限制条件。
【解析】
(1)
∵抛物线$y=(m-1)x^2+(m-2)x-1$与x轴有两个交点，
∴$\Delta=(m-2)^2-4(m-1)×(-1)＞0$且$m-1≠0$，
化简Δ得$m^2＞0$，即$m≠0$，结合$m≠1$的条件，
故当$m≠0$且$m≠1$时，抛物线与x轴有两个交点。
(2)设A,B两点的坐标分别为$(x_1,0)$，$(x_2,0)$。
∵抛物线与y轴交于点C，
∴令$x=0$，得$y=-1$，即点C的坐标为$(0,-1)$，
∴$AB=|x_2-x_1|$,$OC=1$。
∵$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· OC=2$，
∴$\frac{1}{2}·|x_2-x_1|=2$，即有$|x_2-x_1|=4$。
由根与系数的关系，得
$|x_2-x_1|^2=(x_2+x_1)^2-4x_1x_2$
$=(-\frac{m-2}{m-1})^2-4·\frac{-1}{m-1}$
$=\frac{m^2}{(m-1)^2}$,
∴$\frac{m^2}{(m-1)^2}=16$，
两边开方得$\frac{m}{m-1}=±4$，分别解得$m_1=\frac{4}{5},m_2=\frac{4}{3}$，两个解均满足$m≠0$且$m≠1$的条件。
故$m$的值为$\frac{4}{5}$或$\frac{4}{3}$。
【答案】
(1)$m≠0$且$m≠1$；(2)$m$的值为$\frac{4}{5}$或$\frac{4}{3}$
【知识点】
二次函数的定义；二次函数与一元二次方程的关系；根与系数的关系
【点评】
本题是二次函数与方程结合的基础综合题，解题时容易遗漏二次项系数不为0的隐含条件，需格外注意；第二问中利用根与系数的关系转化两根差的绝对值是这类题型的常用技巧，要熟练掌握该变形公式。
【难度系数】
0.7
2. 如图26－3－6，直线$y_1=kx+2$与x轴交于点$A(m,0)(m＞4)$，与y轴交于点B，抛物线$y_2=ax^2-4ax+c(a＜0)$经过A，B两点，P为线段AB上一点，过点P作$PQ // y$轴交抛物线于点Q.
(1)当$m=5$时，
①求抛物线对应的函数解析式；
②设点P的横坐标为$x$，用含$x$的代数式表示$PQ$的长，并求当$x$为何值时，$PQ=\frac{8}{5}$.
(2)若$PQ$的长的最大值为16，试讨论关于$x$的一元二次方程$ax^2-4ax-kx=h(h＞0)$的解的个数与$h$的取值范围的关系.
图26－3－6
(1)当$m=5$时，
①求抛物线对应的函数解析式；
②设点P的横坐标为$x$，用含$x$的代数式表示$PQ$的长，并求当$x$为何值时，$PQ=\frac{8}{5}$.
(2)若$PQ$的长的最大值为16，试讨论关于$x$的一元二次方程$ax^2-4ax-kx=h(h＞0)$的解的个数与$h$的取值范围的关系.
图26－3－6
答案
2.解:(1)①
∵$m=5$,
∴点A的坐标为$(5,0)$,
把$A(5,0)$的坐标代入$y_1=kx+2$得$5k+2=0$,
解得$k=-\frac{2}{5}$,
∴直线对应的函数解析式为$y_1=-\frac{2}{5}x+2$.
当$x=0$时,$y_1=2$,
∴点B的坐标为$(0,2)$.
将$A(5,0),B(0,2)$的坐标分别代入$y_2=ax^2-4ax+c$,
得$\begin{cases}25a-20a+c=0,\\c=2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-\frac{2}{5},\\c=2.\end{cases}$
∴抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{2}{5}x^2+\frac{8}{5}x+2$.
②设点P的坐标为$(x,-\frac{2}{5}x+2)$,
则点Q的坐标为$(x,-\frac{2}{5}x^2+\frac{8}{5}x+2)$,
∴$PQ=-\frac{2}{5}x^2+\frac{8}{5}x+2-(-\frac{2}{5}x+2)=-\frac{2}{5}x^2+2x$.
当$PQ=\frac{8}{5}$,即$-\frac{2}{5}x^2+2x=\frac{8}{5}$时，
解得$x_1=1,x_2=4$.
∴当$x=1$或$x=4$时，$PQ=\frac{8}{5}$.
(2)设$P(x,kx+2)$,则$Q(x,ax^2-4ax+2)$,$PQ$的长用$l$表示.
∴$l=ax^2-4ax+2-(kx+2)=ax^2-(4a+k)x$.
∵$PQ$的长的最大值为16，
∴当$h=16$时，一元二次方程$ax^2-4ax-kx=h$有两个相等的实数解；
当$h＞16$时，一元二次方程$ax^2-4ax-kx=h$没有实数解；
当$0＜h＜16$时，一元二次方程$ax^2-4ax-kx=h$有两个实数解.
∵$m=5$,
∴点A的坐标为$(5,0)$,
把$A(5,0)$的坐标代入$y_1=kx+2$得$5k+2=0$,
解得$k=-\frac{2}{5}$,
∴直线对应的函数解析式为$y_1=-\frac{2}{5}x+2$.
当$x=0$时,$y_1=2$,
∴点B的坐标为$(0,2)$.
将$A(5,0),B(0,2)$的坐标分别代入$y_2=ax^2-4ax+c$,
得$\begin{cases}25a-20a+c=0,\\c=2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-\frac{2}{5},\\c=2.\end{cases}$
∴抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{2}{5}x^2+\frac{8}{5}x+2$.
②设点P的坐标为$(x,-\frac{2}{5}x+2)$,
则点Q的坐标为$(x,-\frac{2}{5}x^2+\frac{8}{5}x+2)$,
∴$PQ=-\frac{2}{5}x^2+\frac{8}{5}x+2-(-\frac{2}{5}x+2)=-\frac{2}{5}x^2+2x$.
当$PQ=\frac{8}{5}$,即$-\frac{2}{5}x^2+2x=\frac{8}{5}$时，
解得$x_1=1,x_2=4$.
∴当$x=1$或$x=4$时，$PQ=\frac{8}{5}$.
(2)设$P(x,kx+2)$,则$Q(x,ax^2-4ax+2)$,$PQ$的长用$l$表示.
∴$l=ax^2-4ax+2-(kx+2)=ax^2-(4a+k)x$.
∵$PQ$的长的最大值为16，
∴当$h=16$时，一元二次方程$ax^2-4ax-kx=h$有两个相等的实数解；
当$h＞16$时，一元二次方程$ax^2-4ax-kx=h$没有实数解；
当$0＜h＜16$时，一元二次方程$ax^2-4ax-kx=h$有两个实数解.
解析
【分析】
(1)①当$m=5$时，先得到点A的坐标，将其代入直线解析式求出$k$的值，即可得到直线解析式，进一步求出点B的坐标；再将A、B两点坐标代入抛物线解析式，解关于$a$、$c$的方程组，就能得到抛物线的函数解析式。
②因为$PQ// y$轴，所以P、Q两点横坐标相同，设横坐标为$x$，分别用直线、抛物线解析式表示出P、Q的纵坐标，PQ的长度为Q点纵坐标减去P点纵坐标（Q在P上方），即可得到PQ关于$x$的代数式；令代数式等于$\frac{8}{5}$，解一元二次方程即可得到对应的$x$值。
(2)先将所给一元二次方程变形，可发现等号左边的表达式恰好是PQ的长度表达式，已知PQ的最大值为16，结合二次函数的图象性质，讨论$h$和16的大小关系，即可得到方程解的个数和$h$的对应关系。
【解析】
(1)①
∵$m=5$，
∴点A的坐标为$(5,0)$，
把$A(5,0)$代入$y_1=kx+2$得$5k+2=0$，
解得$k=-\frac{2}{5}$，
∴直线对应的函数解析式为$y_1=-\frac{2}{5}x+2$。
当$x=0$时，$y_1=2$，
∴点B的坐标为$(0,2)$。
将$A(5,0),B(0,2)$分别代入$y_2=ax^2-4ax+c$，
得$\begin{cases}25a-20a+c=0,\\c=2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-\frac{2}{5},\\c=2.\end{cases}$
∴抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{2}{5}x^2+\frac{8}{5}x+2$。
②设点P的坐标为$(x,-\frac{2}{5}x+2)$，
则点Q的坐标为$(x,-\frac{2}{5}x^2+\frac{8}{5}x+2)$，
∴$PQ=-\frac{2}{5}x^2+\frac{8}{5}x+2-(-\frac{2}{5}x+2)=-\frac{2}{5}x^2+2x$。
当$PQ=\frac{8}{5}$，即$-\frac{2}{5}x^2+2x=\frac{8}{5}$时，
解得$x_1=1,x_2=4$。
∴当$x=1$或$x=4$时，$PQ=\frac{8}{5}$。
(2)设$P(x,kx+2)$，则$Q(x,ax^2-4ax+2)$，$PQ$的长用$l$表示。
∴$l=ax^2-4ax+2-(kx+2)=ax^2-(4a+k)x$。
∵$PQ$的长的最大值为16，
∴当$h=16$时，一元二次方程$ax^2-4ax-kx=h$有两个相等的实数解；
当$h＞16$时，一元二次方程$ax^2-4ax-kx=h$没有实数解；
当$0＜h＜16$时，一元二次方程$ax^2-4ax-kx=h$有两个不相等的实数解。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{y=-\frac{2}{5}x^2+\frac{8}{5}x+2}$；
②$PQ=-\frac{2}{5}x^2+2x$，$\boldsymbol{x=1}$或$\boldsymbol{x=4}$；
(2)当$0＜h＜16$时，方程有两个不相等的实数解；当$h=16$时，方程有两个相等的实数解；当$h＞16$时，方程没有实数解。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数与一元二次方程，二次函数的最值
【点评】
本题综合了一次函数、二次函数的核心知识点，将动点线段长度计算、二次函数最值、一元二次方程根的判定结合起来，解题时需要灵活运用数形结合思想，理解竖直线段的长度计算逻辑，以及二次函数值与对应方程解的对应关系。
【难度系数】
0.6
(1)①当$m=5$时，先得到点A的坐标，将其代入直线解析式求出$k$的值，即可得到直线解析式，进一步求出点B的坐标；再将A、B两点坐标代入抛物线解析式，解关于$a$、$c$的方程组，就能得到抛物线的函数解析式。
②因为$PQ// y$轴，所以P、Q两点横坐标相同，设横坐标为$x$，分别用直线、抛物线解析式表示出P、Q的纵坐标，PQ的长度为Q点纵坐标减去P点纵坐标（Q在P上方），即可得到PQ关于$x$的代数式；令代数式等于$\frac{8}{5}$，解一元二次方程即可得到对应的$x$值。
(2)先将所给一元二次方程变形，可发现等号左边的表达式恰好是PQ的长度表达式，已知PQ的最大值为16，结合二次函数的图象性质，讨论$h$和16的大小关系，即可得到方程解的个数和$h$的对应关系。
【解析】
(1)①
∵$m=5$，
∴点A的坐标为$(5,0)$，
把$A(5,0)$代入$y_1=kx+2$得$5k+2=0$，
解得$k=-\frac{2}{5}$，
∴直线对应的函数解析式为$y_1=-\frac{2}{5}x+2$。
当$x=0$时，$y_1=2$，
∴点B的坐标为$(0,2)$。
将$A(5,0),B(0,2)$分别代入$y_2=ax^2-4ax+c$，
得$\begin{cases}25a-20a+c=0,\\c=2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-\frac{2}{5},\\c=2.\end{cases}$
∴抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{2}{5}x^2+\frac{8}{5}x+2$。
②设点P的坐标为$(x,-\frac{2}{5}x+2)$，
则点Q的坐标为$(x,-\frac{2}{5}x^2+\frac{8}{5}x+2)$，
∴$PQ=-\frac{2}{5}x^2+\frac{8}{5}x+2-(-\frac{2}{5}x+2)=-\frac{2}{5}x^2+2x$。
当$PQ=\frac{8}{5}$，即$-\frac{2}{5}x^2+2x=\frac{8}{5}$时，
解得$x_1=1,x_2=4$。
∴当$x=1$或$x=4$时，$PQ=\frac{8}{5}$。
(2)设$P(x,kx+2)$，则$Q(x,ax^2-4ax+2)$，$PQ$的长用$l$表示。
∴$l=ax^2-4ax+2-(kx+2)=ax^2-(4a+k)x$。
∵$PQ$的长的最大值为16，
∴当$h=16$时，一元二次方程$ax^2-4ax-kx=h$有两个相等的实数解；
当$h＞16$时，一元二次方程$ax^2-4ax-kx=h$没有实数解；
当$0＜h＜16$时，一元二次方程$ax^2-4ax-kx=h$有两个不相等的实数解。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{y=-\frac{2}{5}x^2+\frac{8}{5}x+2}$；
②$PQ=-\frac{2}{5}x^2+2x$，$\boldsymbol{x=1}$或$\boldsymbol{x=4}$；
(2)当$0＜h＜16$时，方程有两个不相等的实数解；当$h=16$时，方程有两个相等的实数解；当$h＞16$时，方程没有实数解。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数与一元二次方程，二次函数的最值
【点评】
本题综合了一次函数、二次函数的核心知识点，将动点线段长度计算、二次函数最值、一元二次方程根的判定结合起来，解题时需要灵活运用数形结合思想，理解竖直线段的长度计算逻辑，以及二次函数值与对应方程解的对应关系。
【难度系数】
0.6
