1.若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1=-2,x_2=4$，则二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象的对称轴为()

A.直线$x=-3$
B.直线$x=3$
C.直线$x=1$
D.直线$x=-1$

1.C

【分析】
解题时可按以下思路推导：首先明确一元二次方程的根与二次函数图象的关联：一元二次方程的两个根就是对应二次函数图象与x轴两个交点的横坐标；其次回忆二次函数的对称性：抛物线与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴会经过两个交点的中点；最后代入两个根的数值计算中点的横坐标，即可得到对称轴的表达式。
【解析】
解：
∵关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1=-2,x_2=4$，
∴二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴的两个交点坐标为$(-2,0)$和$(4,0)$。
∵抛物线与$x$轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，
∴对称轴为直线$x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-2+4}{2}=1$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.二次函数的对称性
3.抛物线对称轴计算
【点评】
本题主要考察二次函数与一元二次方程的对应关系，结合二次函数的对称性质即可快速求出对称轴，解题的核心是理解方程的根与函数图象和x轴交点横坐标的对应关系，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

2. 如图26－3－3，一次函数$y_1＝kx＋n$与二次函数$y_2＝ax^2＋bx＋c$的图象相交于$A(-1,5)$，$B(9,2)$两点，则关于$x$的不等式$kx＋n≥ax^2＋bx＋c$的解集为()

A.$-1≤x≤9$
B.$-1≤x＜9$
C.$-1＜x≤9$
D.$x≤-1$或$x≥9$



图26－3－3
图26－3－4
图26－3－5

2.A

【分析】
要解不等式$kx+n≥ax^2+bx+c$，可结合函数图象的几何意义分析：不等式表示一次函数$y_1=kx+n$的函数值大于等于二次函数$y_2=ax^2+bx+c$的函数值，对应图象上就是一次函数图象在二次函数图象的上方（包括两点重合的交点位置）。已知两函数的交点横坐标分别为$-1$和$9$，我们只需要找到一次函数图象在二次函数上方的区域对应的$x$取值范围，再结合不等号含等号，包含两个端点即可得到解集。
【解析】
不等式$kx+n≥ax^2+bx+c$的几何意义是：一次函数$y_1=kx+n$的图象位于二次函数$y_2=ax^2+bx+c$图象的上方（含交点）时，自变量$x$的取值范围。
已知两函数图象交于$A(-1,5)$、$B(9,2)$两点，结合图象特征可知，在两个交点之间的区间内，一次函数图象在二次函数图象上方；又因为不等号为“≥”，所以端点$x=-1$和$x=9$都满足不等式。
因此不等式的解集为$-1≤x≤9$。
【答案】
A
【知识点】
1. 函数与不等式的转化
2. 一次函数与二次函数的交点
【点评】
本题考查数形结合思想在解函数不等式中的应用，解题的关键是准确理解不等式对应的函数图象位置关系，不需要复杂计算，结合图象就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8

3.已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的部分图象如图26－3－4所示，图象经过点$(0,2)$，其对称轴为直线$x=-1$.下列结论：①$3a+c＞0$；②若点$(-4,y_1),(3,y_2)$均在二次函数图象上，则$y_1＞y_2$；③关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=-1$有两个相等的实数根；④满足$ax^2+bx+c＞2$的$x$的取值范围为$-2＜x＜0$.其中正确结论的个数为()

A.1
B.2
C.3
D.4

3.B 点拨:
∵抛物线的对称轴为直线$x=-1$，
∴$-\frac{b}{2a}=-1$，
∴$b=2a$，
∵当$x=1$时，$y=a+b+c＜0$，
∴$3a+c＜0$，故①错误；
∵抛物线开口向下，
∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵$(-4,y_1)$关于直线$x=-1$对称的点为$(2,y_1)$，$2＜3$，
∴$y_1＞y_2$，故②正确；关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=-1$的解可看作抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=-1$的交点的横坐标，由图象可知抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=-1$有两个交点，
∴关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=-1$有两个不相等的实数根，故③错误；不等式$ax^2+bx+c＞2$的解集可看作抛物线$y=ax^2+bx+c$在直线$y=2$上方部分对应的点的横坐标，
∵抛物线经过点$(0,2)$，$(0,2)$关于直线$x=-1$对称的点为$(-2,2)$，
∴x的取值范围为$-2＜x＜0$，故④正确.故选 B.

【分析】
解题时首先结合题干给出的对称轴、过点$(0,2)$以及图象开口向下的特征，先推导系数关系，再利用二次函数的对称性、增减性，以及二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的对应关系，逐个判断4个结论的正误，最终统计正确结论的个数。具体思考路径：1. 由对称轴公式得到$b$和$a$的关系，再结合$x=1$时的函数值判断①；2. 利用二次函数的对称性，比较两点到对称轴的距离，结合开口向下的增减性判断②；3. 将方程解的个数转化为抛物线与直线$y=-1$的交点个数，结合图象判断③；4. 将不等式的解集转化为抛物线在直线$y=2$上方的$x$的范围，利用对称性找到$y=2$的另一个交点，结合开口方向判断④。
【解析】
解：
∵抛物线的对称轴为直线$x=-1$，
∴$-\frac{b}{2a}=-1$，解得$b=2a$。
①判断：由图象可知抛物线开口向下，且当$x=1$时，对应的函数值$y＜0$，将$x=1$代入解析式得$y=a+b+c=a+2a+c=3a+c＜0$，故①错误；
②判断：抛物线开口向下，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小。点$(-4,y_1)$关于对称轴$x=-1$的对称点为$(2,y_1)$，
∵$2＜3$，
∴$y_1＞y_2$，故②正确；
③判断：关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=-1$的解的个数，等价于抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=-1$的交点个数，由图象可知二者有2个交点，因此方程有两个不相等的实数根，故③错误；
④判断：不等式$ax^2+bx+c＞2$的解集，等价于抛物线$y=ax^2+bx+c$在直线$y=2$上方部分对应的$x$的取值范围。已知抛物线过点$(0,2)$，其关于对称轴$x=-1$的对称点为$(-2,2)$，结合抛物线开口向下，可得$x$的取值范围为$-2＜x＜0$，故④正确。
综上，正确的结论是②④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式
【点评】
本题综合性较强，解题核心是熟练掌握二次函数的对称性、增减性，以及利用数形结合思想，将方程根的问题、不等式解集问题转化为函数图象的交点问题、图象上下位置关系问题，是二次函数章节的典型考法。
【难度系数】
0.6

4.将二次函数$y=x^2-2x-3$的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，得到如图26－3－5所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是()

A.图象与y轴的交点坐标是$(0,-3)$
B.当$x=1$时，函数取得最大值
C.图象与x轴两个交点之间的距离为4
D.当$x＞1$时，y的值随x值的增大而增大

4.C

【分析】
解题时首先需要先求出原二次函数与x轴的交点、对称轴等基本性质，明确x轴下方部分翻折后新函数的分段特征，再逐一验证每个选项的正误。第一步先对原二次函数因式分解，得到与x轴的交点坐标；第二步确定翻折部分对应的x的取值范围及解析式；第三步结合二次函数的性质逐个分析四个选项。
【解析】
先处理原二次函数$y=x^2-2x-3$：
因式分解得$y=(x-3)(x+1)$，因此原函数与x轴的交点为$(-1,0)$、$(3,0)$，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$。
将x轴下方部分沿x轴翻折后，新函数为分段函数：
当$x≤-1$或$x≥3$时，函数解析式不变，仍为$y=x^2-2x-3$；
当$-1＜x＜3$时，翻折后解析式为$y=-(x^2-2x-3)=-x^2+2x+3$。
逐一分析选项：
A. 当$x=0$时，$0\in(-1,3)$，代入翻折后的解析式得$y=3$，即与y轴交点为$(0,3)$，A错误；
B. $x=1$时，翻折段的函数值为4，但当$x＞3$时，$y=x^2-2x-3$随x增大无限上升，因此$x=1$处不是整个函数的最大值，B错误；
C. 翻折不改变x轴上的点，新函数与x轴交点仍为$(-1,0)$、$(3,0)$，两点距离为$3-(-1)=4$，C正确；
D. 当$1＜x＜3$时，翻折段抛物线开口向下，对称轴为$x=1$，该段y随x增大而减小，仅当$x＞3$时y随x增大而增大，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象变换；二次函数的性质；二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题结合翻折变换考查二次函数的相关性质，解题核心是明确翻折后函数的分段区间，掌握二次函数增减性、最值、交点的判断方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7