2. 对函数 $y=\frac{1}{6}x^3 -2x$ 的图象与性质进行探究，下面是探究的过程，请补充完整：
| $x$ | … | $-4$ | $-3.5$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $3.5$ | $4$ | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | … | $-\frac{8}{3}$ | $-\frac{7}{48}$ | $\frac{3}{2}$ | $\frac{8}{3}$ | $\frac{1}{6}$ | | $0$ | $-\frac{11}{6}$ | $-\frac{8}{3}$ | $m$ | $\frac{7}{48}$ | $\frac{8}{3}$ | … |
(1) $m$ 的值为 ；
(2) 如图23－3－11，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，并画出了图象的一部分，请补全此函数的图象；
(3) 方程 $\frac{1}{6}x^3 -2x = -2$ 的实数根有 个；
(4) 在图26－3－11中画出直线 $y=\frac{1}{2}x$，根据图象写出方程 $\frac{1}{6}x^3 -2x = \frac{1}{2}x$ 的一个正数根约为 .(结果精确到0.1)

图23－3－11

2.解:(1)$-\frac{3}{2}$ (2)如。
(3)3
(4)如。 3.9

【分析】
(1)求m的值时，m是x=3时对应的函数值，可直接将x=3代入函数表达式计算，也可利用奇函数性质$f(x)=-f(-x)$，结合x=-3时的函数值快速得到结果；
(2)补全函数图象时，按照表格给出的各点坐标，用平滑的曲线将未连接的点按横坐标从小到大的顺序顺次连接即可；
(3)求方程$\frac{1}{6}x^3 -2x = -2$的实数根个数，可转化为求函数$y=\frac{1}{6}x^3 -2x$与直线$y=-2$的交点个数，交点个数就是方程实根的个数；
(4)先画出直线$y=\frac{1}{2}x$，方程$\frac{1}{6}x^3 -2x = \frac{1}{2}x$的根就是两个函数图象交点的横坐标，观察x＞0区域除原点外的交点，读取横坐标的近似值，精确到0.1即可。
【解析】
(1)将x=3代入$y=\frac{1}{6}x^3 -2x$，得：
$y=\frac{1}{6}× 3^3 -2× 3=\frac{27}{6}-6=\frac{9}{2}-6=-\frac{3}{2}$，故$m=-\frac{3}{2}$；
(2)根据表格中的坐标点，用平滑曲线顺次连接各点，补全图象，结果如；
(3)方程$\frac{1}{6}x^3 -2x = -2$的实根对应函数$y=\frac{1}{6}x^3 -2x$与直线$y=-2$的交点横坐标，观察图象可得两个图象共有3个交点，因此方程的实数根有3个；
(4)在坐标系中画出直线$y=\frac{1}{2}x$，结果如，观察图象可得两个函数在正半轴除原点外的交点横坐标约为3.9，因此方程的一个正数根约为3.9。
【答案】
(1)$-\frac{3}{2}$
(2)如
(3)3
(4)如，3.9
【知识点】
函数值计算；函数与方程；图象法求根
【点评】
本题结合三次函数的图象探究函数性质，考查了数形结合思想的应用，要求学生能熟练完成函数与方程的转化，从图象中读取有效信息解决问题。
【难度系数】
0.7