登录
1.如果用长8 m的铝合金条制成如图26－4－1所示的矩形窗框，且使窗户的透光面积最大，那么这个窗户最大的透光面积是(
A.$\frac{64}{25}\ \mathrm{m}^2$
B.$\frac{4}{3}\ \mathrm{m}^2$
C.$\frac{8}{3}\ \mathrm{m}^2$
D.$4\ \mathrm{m}^2$
图26－4－1
图26－4－2
C
)A.$\frac{64}{25}\ \mathrm{m}^2$
B.$\frac{4}{3}\ \mathrm{m}^2$
C.$\frac{8}{3}\ \mathrm{m}^2$
D.$4\ \mathrm{m}^2$
图26－4－1
图26－4－2
答案
C
解析
【分析】本题是利用二次函数求最值的实际应用题，解题思路为：先根据窗框的铝合金总长度建立变量关系，再写出透光面积的表达式，最后利用二次函数的性质求最大值。第一步，确定窗框的边数，该矩形窗框有3条竖边、2条横边，设竖边长为$x$，横边长为$y$；第二步，根据铝合金总长度列等式，用含$x$的式子表示$y$，进而得到透光面积关于$x$的二次函数；第三步，利用二次函数顶点坐标公式求面积最大值，对比选项得出答案。
【解析】设矩形窗框的竖边长度为$x \, \mathrm{m}$，横边长度为$y \, \mathrm{m}$。根据铝合金条总长度为$8 \, \mathrm{m}$，可得：
$3x + 2y = 8$，整理得$y = \frac{8 - 3x}{2}$。
透光面积$S = x · y$，将$y = \frac{8 - 3x}{2}$代入得：
$S = x · \frac{8 - 3x}{2} = -\frac{3}{2}x^2 + 4x$。
该二次函数开口向下（$a = -\frac{3}{2} ＜ 0$），顶点处取得最大值。对于二次函数$ax^2 + bx + c$，顶点横坐标为$x = -\frac{b}{2a}$，代入$a = -\frac{3}{2}$、$b = 4$得：
$x = -\frac{4}{2 × (-\frac{3}{2})} = \frac{4}{3}$。
将$x = \frac{4}{3}$代入面积公式，得：
$S = -\frac{3}{2} × (\frac{4}{3})^2 + 4 × \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \, \mathrm{m}^2$。
【答案】C
【知识点】二次函数的应用、矩形面积计算
【点评】本题是二次函数在实际生活中的典型应用，关键是正确梳理窗框的边数，建立变量关系，利用二次函数的最值解决实际问题，需注意计算的准确性。
【难度系数】0.5
【解析】设矩形窗框的竖边长度为$x \, \mathrm{m}$，横边长度为$y \, \mathrm{m}$。根据铝合金条总长度为$8 \, \mathrm{m}$，可得：
$3x + 2y = 8$，整理得$y = \frac{8 - 3x}{2}$。
透光面积$S = x · y$，将$y = \frac{8 - 3x}{2}$代入得：
$S = x · \frac{8 - 3x}{2} = -\frac{3}{2}x^2 + 4x$。
该二次函数开口向下（$a = -\frac{3}{2} ＜ 0$），顶点处取得最大值。对于二次函数$ax^2 + bx + c$，顶点横坐标为$x = -\frac{b}{2a}$，代入$a = -\frac{3}{2}$、$b = 4$得：
$x = -\frac{4}{2 × (-\frac{3}{2})} = \frac{4}{3}$。
将$x = \frac{4}{3}$代入面积公式，得：
$S = -\frac{3}{2} × (\frac{4}{3})^2 + 4 × \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \, \mathrm{m}^2$。
【答案】C
【知识点】二次函数的应用、矩形面积计算
【点评】本题是二次函数在实际生活中的典型应用，关键是正确梳理窗框的边数，建立变量关系，利用二次函数的最值解决实际问题，需注意计算的准确性。
【难度系数】0.5
2.如图26－4－2，某广场有一喷水池，水从地面喷出，水在空中划出的曲线是抛物线$y=-x^2+4x$（单位：m）的一部分，则水喷出的最大高度是（
A.4 m
B.3 m
C.2 m
D.1 m
A
）A.4 m
B.3 m
C.2 m
D.1 m
答案
A
解析
【分析】
要解决水喷出的最大高度问题，需明确：水在空中的曲线是抛物线，最大高度对应抛物线的最高点（顶点）的纵坐标。由于抛物线开口向下，顶点处取得最大值，因此只需计算该抛物线顶点的纵坐标即可。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=-x^2 +4x$，其中二次项系数$a=-1＜0$，故抛物线开口向下，存在最高点。
用配方法将解析式转化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-x^2 +4x\\&=-(x^2 -4x)\\&=-(x^2 -4x +4 -4)\\&=-(x-2)^2 +4\end{aligned}$
由此可知，抛物线顶点坐标为$(2,4)$，即最高点的纵坐标为4m，也就是水喷出的最大高度为4m。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的最值、二次函数的应用
【点评】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，核心是利用二次函数的性质求最值，属于基础题型，解题关键是理解抛物线顶点纵坐标的实际意义。
【难度系数】
0.7
要解决水喷出的最大高度问题，需明确：水在空中的曲线是抛物线，最大高度对应抛物线的最高点（顶点）的纵坐标。由于抛物线开口向下，顶点处取得最大值，因此只需计算该抛物线顶点的纵坐标即可。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=-x^2 +4x$，其中二次项系数$a=-1＜0$，故抛物线开口向下，存在最高点。
用配方法将解析式转化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-x^2 +4x\\&=-(x^2 -4x)\\&=-(x^2 -4x +4 -4)\\&=-(x-2)^2 +4\end{aligned}$
由此可知，抛物线顶点坐标为$(2,4)$，即最高点的纵坐标为4m，也就是水喷出的最大高度为4m。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的最值、二次函数的应用
【点评】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，核心是利用二次函数的性质求最值，属于基础题型，解题关键是理解抛物线顶点纵坐标的实际意义。
【难度系数】
0.7
3.某广场有一个长为20 m，宽为16 m的矩形花园，根据需要将它的长缩短x m，宽增加x m，要使修改后的花园面积达到最大，则x的值为(
A.1
B.1.5
C.2
D.4
C
)A.1
B.1.5
C.2
D.4
答案
C
解析
【分析】要解决这个问题，需先根据题意表示出修改后矩形花园的长和宽，进而建立面积的函数表达式；由于面积是关于x的二次函数，根据二次函数的性质（开口向下时顶点处取最大值），计算出使面积最大的x值即可。
【解析】
1. 表示修改后的长和宽：原长20m，缩短x m后，新长为$(20 - x)\ \mathrm{m}$；原宽16m，增加x m后，新宽为$(16 + x)\ \mathrm{m}$。
2. 建立面积函数：设修改后的花园面积为$S$，则$S = (20 - x)(16 + x)$。
3. 整理函数：展开并化简得$S = -x^2 + 4x + 320$，这是二次函数，其中$a=-1$，$b=4$。
4. 求最大值对应的x：因为$a=-1＜0$，函数图象开口向下，在顶点处取得最大值，顶点横坐标为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2×(-1)} = 2$。
因此，当$x=2$时，修改后的花园面积最大，对应选项C。
【答案】C
【知识点】二次函数的应用，矩形面积公式，二次函数的最值
【点评】本题是二次函数在实际场景的基础应用题，核心是建立面积的二次函数模型，利用二次函数顶点性质求最值，难度适中，需掌握二次函数最值的计算方法。
【难度系数】0.6
【解析】
1. 表示修改后的长和宽：原长20m，缩短x m后，新长为$(20 - x)\ \mathrm{m}$；原宽16m，增加x m后，新宽为$(16 + x)\ \mathrm{m}$。
2. 建立面积函数：设修改后的花园面积为$S$，则$S = (20 - x)(16 + x)$。
3. 整理函数：展开并化简得$S = -x^2 + 4x + 320$，这是二次函数，其中$a=-1$，$b=4$。
4. 求最大值对应的x：因为$a=-1＜0$，函数图象开口向下，在顶点处取得最大值，顶点横坐标为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2×(-1)} = 2$。
因此，当$x=2$时，修改后的花园面积最大，对应选项C。
【答案】C
【知识点】二次函数的应用，矩形面积公式，二次函数的最值
【点评】本题是二次函数在实际场景的基础应用题，核心是建立面积的二次函数模型，利用二次函数顶点性质求最值，难度适中，需掌握二次函数最值的计算方法。
【难度系数】0.6
4.【教材P51例1变式】某学校航模组设计制作的火箭升空高度$h$(m)与飞行时间$t$(s)的关系为$h=-t^2 +26t +1$. 若火箭在点火升空到最高点时打开降落伞,则火箭点火后
13
s降落伞打开,这时火箭的高度是170
m.答案
13 170
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确火箭高度$h$与飞行时间$t$的关系是二次函数，由于二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点即为火箭的最高点（打开降落伞的时刻）。因此需先求二次函数顶点对应的时间，再代入函数计算对应高度。
【解析】
对于二次函数$ h = -t^2 + 26t + 1 $，其中$a=-1$，$b=26$，$c=1$：
1. 求最高点对应的时间：二次函数顶点横坐标（对应时间）公式为$ t = -\frac{b}{2a} $，代入得：
$ t = -\frac{26}{2×(-1)} = 13 \, \mathrm{s} $
2. 求最高点的高度：将$t=13$代入函数式计算：
$ h = -(13)^2 + 26×13 + 1 = -169 + 338 + 1 = 170 \, \mathrm{m} $
【答案】
13；170
【知识点】
二次函数的应用，二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数在实际问题中的基础变式题，核心考查利用二次函数顶点求最值的方法，只要掌握顶点坐标的计算规则即可正确解答，属于难度适中的基础题。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确火箭高度$h$与飞行时间$t$的关系是二次函数，由于二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点即为火箭的最高点（打开降落伞的时刻）。因此需先求二次函数顶点对应的时间，再代入函数计算对应高度。
【解析】
对于二次函数$ h = -t^2 + 26t + 1 $，其中$a=-1$，$b=26$，$c=1$：
1. 求最高点对应的时间：二次函数顶点横坐标（对应时间）公式为$ t = -\frac{b}{2a} $，代入得：
$ t = -\frac{26}{2×(-1)} = 13 \, \mathrm{s} $
2. 求最高点的高度：将$t=13$代入函数式计算：
$ h = -(13)^2 + 26×13 + 1 = -169 + 338 + 1 = 170 \, \mathrm{m} $
【答案】
13；170
【知识点】
二次函数的应用，二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数在实际问题中的基础变式题，核心考查利用二次函数顶点求最值的方法，只要掌握顶点坐标的计算规则即可正确解答，属于难度适中的基础题。
【难度系数】
0.7
1.有一个底角为$60°$,周长为40的等腰梯形,最大面积为(
A.20
B.$50\sqrt{3}$
C.100
D.$8\sqrt{3}$
B
)A.20
B.$50\sqrt{3}$
C.100
D.$8\sqrt{3}$
答案
B
解析
【分析】
要解决这个问题，我们通过设未知数表示等腰梯形的各边，结合其性质和周长建立关系，将面积转化为关于某一变量的二次函数，利用二次函数的最值求解。具体思路：1. 设等腰梯形的上底和腰长，利用底角60°的性质推导下底和高的表达式；2. 根据周长条件建立上底与腰长的等式，消元后得到面积的函数；3. 利用二次函数的顶点性质求最大值，得到最大面积。
【解析】
设等腰梯形的上底为$a$，腰长为$b$，底角为$60°$，则：
1. 下底与高的推导：底角为$60°$时，腰在上下底方向的投影为$b\cos60°=\frac{b}{2}$，因此下底$c=a + 2×\frac{b}{2}=a + b$；高$h = b\sin60°=\frac{\sqrt{3}b}{2}$；
2. 周长条件转化：周长为40，即$a + c + 2b = 40$，代入$c=a + b$得：$2a + 3b = 40$，解得$a=\frac{40 - 3b}{2}$（$a＞0$，故$b＜\frac{40}{3}$）；
3. 面积函数与最值：梯形面积$S=\frac{(a + c)}{2}× h$，代入$c=a + b$和$h=\frac{\sqrt{3}b}{2}$，结合$2a=40 - 3b$化简得：
$S=\frac{\sqrt{3}}{2}(-b^2 + 20b)$，这是开口向下的二次函数，顶点在$b=10$时取最大值：
$S_{max}=\frac{\sqrt{3}}{2}×(200 - 100)=50\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
等腰梯形的性质；二次函数的最值；梯形面积计算
【点评】
本题结合等腰梯形性质与二次函数应用，核心是通过设元建立面积的函数表达式，利用二次函数顶点求最值，需注意变量取值范围，属于中等难度的几何最值问题。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，我们通过设未知数表示等腰梯形的各边，结合其性质和周长建立关系，将面积转化为关于某一变量的二次函数，利用二次函数的最值求解。具体思路：1. 设等腰梯形的上底和腰长，利用底角60°的性质推导下底和高的表达式；2. 根据周长条件建立上底与腰长的等式，消元后得到面积的函数；3. 利用二次函数的顶点性质求最大值，得到最大面积。
【解析】
设等腰梯形的上底为$a$，腰长为$b$，底角为$60°$，则：
1. 下底与高的推导：底角为$60°$时，腰在上下底方向的投影为$b\cos60°=\frac{b}{2}$，因此下底$c=a + 2×\frac{b}{2}=a + b$；高$h = b\sin60°=\frac{\sqrt{3}b}{2}$；
2. 周长条件转化：周长为40，即$a + c + 2b = 40$，代入$c=a + b$得：$2a + 3b = 40$，解得$a=\frac{40 - 3b}{2}$（$a＞0$，故$b＜\frac{40}{3}$）；
3. 面积函数与最值：梯形面积$S=\frac{(a + c)}{2}× h$，代入$c=a + b$和$h=\frac{\sqrt{3}b}{2}$，结合$2a=40 - 3b$化简得：
$S=\frac{\sqrt{3}}{2}(-b^2 + 20b)$，这是开口向下的二次函数，顶点在$b=10$时取最大值：
$S_{max}=\frac{\sqrt{3}}{2}×(200 - 100)=50\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
等腰梯形的性质；二次函数的最值；梯形面积计算
【点评】
本题结合等腰梯形性质与二次函数应用，核心是通过设元建立面积的函数表达式，利用二次函数顶点求最值，需注意变量取值范围，属于中等难度的几何最值问题。
【难度系数】
0.5
2. 如图26－4－3，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，同时，点Q从点B出发，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，如果P，Q两点在分别到达B，C两点后就停止运动，设运动t秒时，五边形APQCD的面积为S cm²，在运动过程中，S最小为(
A.9
B.63
C.72
D.54
B
)A.9
B.63
C.72
D.54
答案
B
解析
【分析】
要解决该问题，需将五边形APQCD的面积转化为矩形面积减去三角形PBQ的面积，先根据动点的速度和时间t表示出相关线段长度，进而得到面积关于t的二次函数，再利用二次函数性质求最小值。
【解析】
1. 计算矩形ABCD的面积：
已知AB=6 cm，BC=12 cm，矩形面积为 $ S_{矩形ABCD}=AB×BC=6×12=72 \, \mathrm{cm}^2 $。
2. 表示动点对应的线段长度：
运动时间为t秒时，点P速度为1 cm/s，故 $ AP=t \, \mathrm{cm} $，则 $ PB=AB-AP=(6-t) \, \mathrm{cm} $；
点Q速度为2 cm/s，故 $ BQ=2t \, \mathrm{cm} $。
3. 计算三角形PBQ的面积：
$ S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}×PB×BQ=\frac{1}{2}(6-t)×2t=6t-t^2 \, \mathrm{cm}^2 $。
4. 得到五边形面积S的表达式：
$ S=S_{矩形ABCD}-S_{△ PBQ}=72-(6t-t^2)=t^2-6t+72 $。
5. 求二次函数的最小值：
对于二次函数 $ S=t^2-6t+72 $，其中 $ a=1＞0 $，函数开口向上，顶点处取得最小值。
顶点横坐标 $ t=-\frac{b}{2a}=\frac{6}{2×1}=3 $，代入得：
$ S_{最小值}=3^2-6×3+72=9-18+72=63 \, \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
B
【知识点】
二次函数最值、矩形面积计算、动点问题
【点评】
本题通过转化面积建立二次函数模型，结合二次函数性质求最值，是典型的动点最值问题，需掌握面积转化方法和二次函数的性质。
【难度系数】
0.5
要解决该问题，需将五边形APQCD的面积转化为矩形面积减去三角形PBQ的面积，先根据动点的速度和时间t表示出相关线段长度，进而得到面积关于t的二次函数，再利用二次函数性质求最小值。
【解析】
1. 计算矩形ABCD的面积：
已知AB=6 cm，BC=12 cm，矩形面积为 $ S_{矩形ABCD}=AB×BC=6×12=72 \, \mathrm{cm}^2 $。
2. 表示动点对应的线段长度：
运动时间为t秒时，点P速度为1 cm/s，故 $ AP=t \, \mathrm{cm} $，则 $ PB=AB-AP=(6-t) \, \mathrm{cm} $；
点Q速度为2 cm/s，故 $ BQ=2t \, \mathrm{cm} $。
3. 计算三角形PBQ的面积：
$ S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}×PB×BQ=\frac{1}{2}(6-t)×2t=6t-t^2 \, \mathrm{cm}^2 $。
4. 得到五边形面积S的表达式：
$ S=S_{矩形ABCD}-S_{△ PBQ}=72-(6t-t^2)=t^2-6t+72 $。
5. 求二次函数的最小值：
对于二次函数 $ S=t^2-6t+72 $，其中 $ a=1＞0 $，函数开口向上，顶点处取得最小值。
顶点横坐标 $ t=-\frac{b}{2a}=\frac{6}{2×1}=3 $，代入得：
$ S_{最小值}=3^2-6×3+72=9-18+72=63 \, \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
B
【知识点】
二次函数最值、矩形面积计算、动点问题
【点评】
本题通过转化面积建立二次函数模型，结合二次函数性质求最值，是典型的动点最值问题，需掌握面积转化方法和二次函数的性质。
【难度系数】
0.5
