1.【教材P51例2变式】某景区要建一个游乐场(如图26－4－4所示)，其中AD，CD分别靠现有墙DM，DN(墙DM长为27米，墙DN足够长)，其余用篱笆围成.篱笆DE将游乐场隔成等腰直角三角形CED和长方形ADEB两部分，并在三处各留2米宽的大门.已知篱笆总长为54米，设AB的长为x米.
(1)BE的长为米；(用含x的代数式表示)
(2)当AB为多长时，游乐场的面积为320平方米？
(3)当AB为多少米时，游乐场的面积达到最大？最大值为多少平方米？

图26－4－4

解:(1)$(60-3x)$
(2)由题意得 $x(60-3x)+\frac{1}{2}x^2=320$,
解得 $x_1=8,x_2=16$.
$\because \begin{cases} x＞2,\\ 60-3x≤ 27,\\ 60-3x＞2, \end{cases}$解得 $11≤ x＜\frac{58}{3}$,
$\therefore x=16$.
故当AB为16米时,游乐场的面积是320平方米.
(3)设游乐场的面积为y平方米,由题意得
$y=x(60-3x)+\frac{1}{2}x^2=-\frac{5}{2}x^2+60x=-\frac{5}{2}(x-12)^2+360$.
$\because 11≤ x＜\frac{58}{3}$,$\therefore$当$x=12$时,y有最大值,最大值为360.
$\therefore$当AB为12米时,游乐场的面积达到最大,最大值为360平方米.

【分析】
(1) 首先梳理图形边的关系：长方形ADEB中AB=DE=x，AD=BE；等腰直角△CED中∠EDC=90°，故DE=CD=x。已知篱笆总长54米，三处大门各宽2米，因此包含大门的总围合长度为54+3×2=60米，结合篱笆边的长度和即可推导BE的表达式。
(2) 游乐场总面积为长方形与三角形面积之和，据此列一元二次方程求解，再结合墙的长度限制、大门宽度要求得到x的取值范围，舍去不符合题意的解即可。
(3) 将面积表示为关于x的二次函数，通过配方得到顶点式，结合二次函数开口方向和x的取值范围，即可求出面积最大值及对应x的值。
【解析】
(1) 由总围合长度为$54+2×3=60$米，结合各边数量关系，可得$BE=60-3x$。
(2) 根据题意列面积方程：
$x(60-3x)+\frac{1}{2}x^2=320$
整理得$x^2-24x+128=0$，解得$x_1=8,x_2=16$。
结合实际限制列不等式组：
$\begin{cases} x＞2,\\ 60-3x≤ 27,\\ 60-3x＞2, \end{cases}$
解得$11≤ x＜\frac{58}{3}$，故$x=8$不符合范围舍去，得$x=16$。
(3) 设游乐场面积为y平方米，由题意得：
$y=x(60-3x)+\frac{1}{2}x^2=-\frac{5}{2}x^2+60x$
配方得$y=-\frac{5}{2}(x-12)^2+360$，
∵$-\frac{5}{2}＜0$，函数开口向下，且$x=12$在$11≤ x＜\frac{58}{3}$范围内，
∴当$x=12$时，y取最大值360。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(60-3x)}$
(2) 当AB为16米时，游乐场的面积为320平方米。
(3) 当AB为12米时，游乐场的面积达到最大，最大值为360平方米。
【知识点】
列代数式，一元二次方程的应用，二次函数的最值
【点评】
本题结合几何图形考查方程与二次函数的实际应用，解题时需注意结合实际限制确定自变量取值范围，避免出现增根，同时要熟练掌握配方法求二次函数最值的方法。
【难度系数】
0.6

2.把一边长为40 cm的正方形硬纸板进行适当的剪裁，折成一个长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).
(1)如图26－4－5，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子.

①要使折成的长方体盒子的底面积为484 cm²，那么剪掉的正方形的边长为多少？
②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由.
(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上)，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子.若折成的长方体盒子的表面积为550 cm²，求此时长方体盒子的长、宽、高.(只需求出符合要求的一种情况)

解:(1)①设剪掉的正方形的边长为x cm,则$(40-2x)^2=484$,即$40-2x=\pm22$,
解得$x_1=31$(不合题意,舍去),$x_2=9$.
$\therefore$剪掉的正方形的边长为9 cm.
②侧面积有最大值.
设剪掉的正方形的边长为x cm,盒子的侧面积为$y\ \mathrm{cm}^2$,
则y与x的函数关系式为$y=4(40-2x)x$,
即$y=-8(x-10)^2+800$,
$\therefore x=10$时,$y_{\mathrm{最大}}=800$.
即当剪掉的正方形的边长为10 cm时,长方体盒子的侧面积最大,为$800\ \mathrm{cm}^2$.
(2)
设剪掉的正方形的边长为x cm,则剪掉的矩形的长为20 cm.
则$40^2-2x^2-2x·20=550$,
解得$x_1=-35$(不合题意,舍去),$x_2=15$.
$\therefore$剪掉的正方形的边长为15 cm.
此时长方体盒子的长为15 cm,宽为10 cm,高为5 cm.

【分析】
(1)①解决该问首先设剪掉的小正方形边长为x cm，剪掉小正方形后折成的无盖长方体底面为正方形，其边长为原正方形边长减去2倍的x，即(40-2x)cm，根据底面积为484 cm²列一元二次方程求解，注意x需满足40-2x＞0，舍去不符合实际的解即可。
②侧面积是4个完全相同的长方形的面积和，每个长方形的长为(40-2x)cm，宽为x cm，据此列出侧面积y关于x的二次函数关系式，通过配方法转化为顶点式，结合二次函数开口方向即可求出最大值及对应的x值。
(2)折有盖长方体时，剪掉的部分为2个边长为x的正方形和2个长为20cm、宽为x的矩形，长方体表面积等于原正方形面积减去剪掉部分的面积，据此列方程求解x，再计算对应长方体的长宽高即可。
【解析】
(1)①设剪掉的正方形的边长为x cm，则底面正方形的边长为(40-2x)cm，根据底面积公式列方程：
$(40-2x)^2=484$
开方得$40-2x=\pm22$，
当$40-2x=22$时，解得$x=9$；当$40-2x=-22$时，解得$x=31$，此时$40-2x=40-62=-22＜0$，不合题意，舍去。
$\therefore$剪掉的正方形的边长为9 cm。
②侧面积有最大值。
设剪掉的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为$y\ \mathrm{cm}^2$，
侧面积为4个侧面的面积和，因此y与x的函数关系式为：
$y=4(40-2x)x$
整理得$y=-8x^2+160x$，配方得$y=-8(x-10)^2+800$，
$\because$二次项系数$-8＜0$，函数图象开口向下，
$\therefore x=10$时，$y_{\mathrm{最大}}=800$。
即当剪掉的正方形的边长为10 cm时，长方体盒子的侧面积最大，为$800\ \mathrm{cm}^2$。
(2)剪裁示意图如下：

设剪掉的正方形的边长为x cm，则剪掉的矩形的长为20 cm。
根据长方体表面积为550 cm²，即原正方形面积减去剪掉部分的面积等于550，列方程：
$40^2-2x^2-2x·20=550$
整理得$x^2+20x-525=0$，
解得$x_1=-35$(不合题意，舍去)，$x_2=15$。
$\therefore$剪掉的正方形的边长为15 cm。
此时长方体盒子的长为15 cm，宽为10 cm，高为5 cm。
【答案】
(1)①剪掉的正方形的边长为9 cm；
②当剪掉的正方形的边长为10 cm时，长方体盒子的侧面积最大，为$800\ \mathrm{cm}^2$；
(2)
此时长方体盒子的长为15 cm，宽为10 cm，高为5 cm。
【知识点】
一元二次方程应用、二次函数最值、长方体表面积计算
【点评】
本题结合正方形纸板折长方体的实际操作，考查了方程与二次函数在几何面积问题中的应用，解题时需结合图形准确梳理各边的数量关系，同时要注意实际问题中自变量的取值范围，及时舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.7