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1.(2025·常州溧阳期中)用配方法解一元二次方程$2x^2 - 4x - 1 = 0$时,配方正确的是 （
A.$(x-1)^2=\frac{3}{2}$
B.$(x-1)^2=\frac{1}{2}$
C.$(x-2)^2=3$
D.$(x-2)^2=5$
A
）A.$(x-1)^2=\frac{3}{2}$
B.$(x-1)^2=\frac{1}{2}$
C.$(x-2)^2=3$
D.$(x-2)^2=5$
答案
1.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆配方法解一元二次方程的通用步骤：①若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；②移项，把常数项移到等号右侧；③配方，等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧整理为完全平方式，最后对照选项选出正确结果即可。
【解析】
解：对于方程$2x^2 - 4x - 1 = 0$，
第一步：将二次项系数化为1，方程两边同时除以2，得：
$x^2 - 2x - \frac{1}{2} = 0$
第二步：移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 - 2x = \frac{1}{2}$
第三步：配方，一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(-1)^2=1$，等号两边同时加1，得：
$x^2 - 2x + 1 = \frac{1}{2} + 1$
左侧整理为完全平方式，右侧合并常数项，得：
$(x-1)^2 = \frac{3}{2}$
对比选项，A符合结果。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础应用，属于常规题型，解题时要注意必须先把二次项系数化为1再进行配方，牢记步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆配方法解一元二次方程的通用步骤：①若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；②移项，把常数项移到等号右侧；③配方，等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧整理为完全平方式，最后对照选项选出正确结果即可。
【解析】
解：对于方程$2x^2 - 4x - 1 = 0$，
第一步：将二次项系数化为1，方程两边同时除以2，得：
$x^2 - 2x - \frac{1}{2} = 0$
第二步：移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 - 2x = \frac{1}{2}$
第三步：配方，一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(-1)^2=1$，等号两边同时加1，得：
$x^2 - 2x + 1 = \frac{1}{2} + 1$
左侧整理为完全平方式，右侧合并常数项，得：
$(x-1)^2 = \frac{3}{2}$
对比选项，A符合结果。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础应用，属于常规题型，解题时要注意必须先把二次项系数化为1再进行配方，牢记步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.8
2.用配方法解下列方程，其中应在等号左、右两边同时加上4的是 （
A.$x^2 - 2x =5$
B.$2x^2 -4x=5$
C.$x^2 +4x=3$
D.$x^2 +2x=5$
C
）A.$x^2 - 2x =5$
B.$2x^2 -4x=5$
C.$x^2 +4x=3$
D.$x^2 +2x=5$
答案
2.C
解析
【分析】
解题核心是掌握配方法的操作规则：用配方法解一元二次方程时，首先要将二次项系数化为1，之后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，使左边凑成完全平方式。我们只需逐个计算每个选项按配方法要求需要添加的常数，即可选出符合要求的选项。
【解析】
我们逐个分析各选项：
选项A：方程$x^2 - 2x =5$，二次项系数已为1，一次项系数为$-2$，需添加的常数为$(-2÷2)^2=1$，即两边同时加1，不符合要求；
选项B：方程$2x^2 -4x=5$，先将二次项系数化为1，两边同除以2得$x^2 -2x=\frac{5}{2}$，一次项系数为$-2$，需添加的常数为$(-2÷2)^2=1$，即两边同时加1，不符合要求；
选项C：方程$x^2 +4x=3$，二次项系数已为1，一次项系数为$4$，需添加的常数为$(4÷2)^2=4$，即两边同时加4，符合要求；
选项D：方程$x^2 +2x=5$，二次项系数已为1，一次项系数为$2$，需添加的常数为$(2÷2)^2=1$，即两边同时加1，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用，解题关键是牢记配方法的操作步骤，尤其要注意先将二次项系数化为1，再计算需要添加的常数，熟练掌握规则后可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题核心是掌握配方法的操作规则：用配方法解一元二次方程时，首先要将二次项系数化为1，之后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，使左边凑成完全平方式。我们只需逐个计算每个选项按配方法要求需要添加的常数，即可选出符合要求的选项。
【解析】
我们逐个分析各选项：
选项A：方程$x^2 - 2x =5$，二次项系数已为1，一次项系数为$-2$，需添加的常数为$(-2÷2)^2=1$，即两边同时加1，不符合要求；
选项B：方程$2x^2 -4x=5$，先将二次项系数化为1，两边同除以2得$x^2 -2x=\frac{5}{2}$，一次项系数为$-2$，需添加的常数为$(-2÷2)^2=1$，即两边同时加1，不符合要求；
选项C：方程$x^2 +4x=3$，二次项系数已为1，一次项系数为$4$，需添加的常数为$(4÷2)^2=4$，即两边同时加4，符合要求；
选项D：方程$x^2 +2x=5$，二次项系数已为1，一次项系数为$2$，需添加的常数为$(2÷2)^2=1$，即两边同时加1，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用，解题关键是牢记配方法的操作步骤，尤其要注意先将二次项系数化为1，再计算需要添加的常数，熟练掌握规则后可快速作答。
【难度系数】
0.8
3. 把方程$2x^2 - 9x - 4 = 0$配方成$(x + h)^2 = k$的形式：
$(x-\frac{9}{4})^2=\frac{113}{16}$
.答案
3.$(x-\frac{9}{4})^2=\frac{113}{16}$
解析
【分析】
要将一元二次方程配方成$(x+h)^2=k$的形式，需遵循配方法的固定步骤：首先将二次项系数化为1，再将常数项移到方程右边，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方形式，最后合并右边的常数即可。
【解析】
解：对原方程$2x^2 - 9x - 4 = 0$进行配方：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以2，得$x^2 - \frac{9}{2}x - 2 = 0$；
2. 移项：将常数项移到方程右边，得$x^2 - \frac{9}{2}x = 2$；
3. 配方：一次项系数为$-\frac{9}{2}$，其一半的平方为$(-\frac{9}{4})^2=\frac{81}{16}$，方程两边同时加$\frac{81}{16}$，得：
$x^2 - \frac{9}{2}x + \frac{81}{16} = 2 + \frac{81}{16}$
4. 整理：左边为完全平方式，右边合并常数项，即$(x - \frac{9}{4})^2 = \frac{32}{16} + \frac{81}{16} = \frac{113}{16}$。
【答案】
$(x-\frac{9}{4})^2=\frac{113}{16}$
【知识点】
配方法；完全平方公式；一元二次方程变形
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，注意二次项系数不为1时必须先化为1，配方时等式两边要同时加上相同的数，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.75
要将一元二次方程配方成$(x+h)^2=k$的形式，需遵循配方法的固定步骤：首先将二次项系数化为1，再将常数项移到方程右边，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方形式，最后合并右边的常数即可。
【解析】
解：对原方程$2x^2 - 9x - 4 = 0$进行配方：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以2，得$x^2 - \frac{9}{2}x - 2 = 0$；
2. 移项：将常数项移到方程右边，得$x^2 - \frac{9}{2}x = 2$；
3. 配方：一次项系数为$-\frac{9}{2}$，其一半的平方为$(-\frac{9}{4})^2=\frac{81}{16}$，方程两边同时加$\frac{81}{16}$，得：
$x^2 - \frac{9}{2}x + \frac{81}{16} = 2 + \frac{81}{16}$
4. 整理：左边为完全平方式，右边合并常数项，即$(x - \frac{9}{4})^2 = \frac{32}{16} + \frac{81}{16} = \frac{113}{16}$。
【答案】
$(x-\frac{9}{4})^2=\frac{113}{16}$
【知识点】
配方法；完全平方公式；一元二次方程变形
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，注意二次项系数不为1时必须先化为1，配方时等式两边要同时加上相同的数，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.75
4.将代数式$\frac{1}{3}x^2 - 4x + 1$变形为$a(x+m)^2 + n$，则$m+n=$
-17
。答案
4.-17
解析
【分析】
本题需要将一般形式的二次三项式变形为顶点式，核心方法是配方法。解题思路如下：第一步先提取二次项系数，将二次项和一次项放在括号内；第二步在括号内加上一次项系数一半的平方，凑成完全平方式，同时减去相同的数保证代数式的值不变；第三步整理为$a(x+m)^2 + n$的标准形式，对应找到$m$、$n$的值，最后计算$m+n$即可。
【解析】
对代数式$\frac{1}{3}x^2 - 4x + 1$进行配方变形：
1. 提取二次项系数$\frac{1}{3}$：
$\frac{1}{3}x^2 - 4x + 1 = \frac{1}{3}(x^2 - 12x) + 1$
2. 括号内配方，加上并减去一次项系数一半的平方$(\frac{-12}{2})^2=36$：
$=\frac{1}{3}[(x^2 - 12x + 36) - 36] + 1$
3. 把括号内的完全平方式整理后展开计算：
$=\frac{1}{3}(x - 6)^2 - \frac{1}{3} × 36 + 1$
$=\frac{1}{3}(x - 6)^2 - 12 + 1$
$=\frac{1}{3}(x + (-6))^2 + (-11)$
对比$a(x+m)^2 + n$的形式，可得$m=-6$，$n=-11$，因此：
$m + n = -6 + (-11) = -17$
【答案】
$-17$
【知识点】
配方法；完全平方公式；代数式恒等变形
【点评】
本题考查二次三项式的配方变形，解题关键是熟练掌握配方法的步骤，注意提取二次项系数后配方时，要保证代数式变形前后值不变，同时注意$m$的符号不要出错。
【难度系数】
0.7
本题需要将一般形式的二次三项式变形为顶点式，核心方法是配方法。解题思路如下：第一步先提取二次项系数，将二次项和一次项放在括号内；第二步在括号内加上一次项系数一半的平方，凑成完全平方式，同时减去相同的数保证代数式的值不变；第三步整理为$a(x+m)^2 + n$的标准形式，对应找到$m$、$n$的值，最后计算$m+n$即可。
【解析】
对代数式$\frac{1}{3}x^2 - 4x + 1$进行配方变形：
1. 提取二次项系数$\frac{1}{3}$：
$\frac{1}{3}x^2 - 4x + 1 = \frac{1}{3}(x^2 - 12x) + 1$
2. 括号内配方，加上并减去一次项系数一半的平方$(\frac{-12}{2})^2=36$：
$=\frac{1}{3}[(x^2 - 12x + 36) - 36] + 1$
3. 把括号内的完全平方式整理后展开计算：
$=\frac{1}{3}(x - 6)^2 - \frac{1}{3} × 36 + 1$
$=\frac{1}{3}(x - 6)^2 - 12 + 1$
$=\frac{1}{3}(x + (-6))^2 + (-11)$
对比$a(x+m)^2 + n$的形式，可得$m=-6$，$n=-11$，因此：
$m + n = -6 + (-11) = -17$
【答案】
$-17$
【知识点】
配方法；完全平方公式；代数式恒等变形
【点评】
本题考查二次三项式的配方变形，解题关键是熟练掌握配方法的步骤，注意提取二次项系数后配方时，要保证代数式变形前后值不变，同时注意$m$的符号不要出错。
【难度系数】
0.7
5. 解下列方程：
(1)$2x^2 - 4x + 1 = 0$；
(2)$-x^2 + 2x + 4 = 0$；
(3)$\frac{1}{2}x^2 - x - 4 = 0$；
(4)$-2x^2 + 10 = 8x$。
(1)$2x^2 - 4x + 1 = 0$；
(2)$-x^2 + 2x + 4 = 0$；
(3)$\frac{1}{2}x^2 - x - 4 = 0$；
(4)$-2x^2 + 10 = 8x$。
答案
5.(1)$x_1=1+\frac{\sqrt{2}}{2},x_2=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$
(2)$x_1=1-\sqrt{5},x_2=1+\sqrt{5}$
(3)$x_1=4,x_2=-2$
(4)$x_1=1,x_2=-5$
(2)$x_1=1-\sqrt{5},x_2=1+\sqrt{5}$
(3)$x_1=4,x_2=-2$
(4)$x_1=1,x_2=-5$
解析
【分析】
解一元二次方程首先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，可根据方程特征选择解法：若方程易因式分解则优先用因式分解法，否则可用公式法求解：先计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，$\Delta≥0$时，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$即可得到方程的根，每一步注意符号不要出错。
【解析】
(1) 对于方程$2x^2 - 4x + 1 = 0$，这里$a=2$，$b=-4$，$c=1$，
判别式$\Delta = b^2-4ac = (-4)^2 - 4×2×1 = 16-8=8＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{4\pm\sqrt{8}}{2×2}=\frac{4\pm2\sqrt{2}}{4}=1\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(2) 先将方程$-x^2 + 2x + 4 = 0$化为一般形式$x^2-2x-4=0$，这里$a=1$，$b=-2$，$c=-4$，
判别式$\Delta = (-2)^2 -4×1×(-4)=4+16=20＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{2\pm\sqrt{20}}{2×1}=\frac{2\pm2\sqrt{5}}{2}=1\pm\sqrt{5}$。
(3) 先将方程$\frac{1}{2}x^2 - x - 4 = 0$两边乘2消去分母，得$x^2-2x-8=0$，
因式分解得$(x-4)(x+2)=0$，
则$x-4=0$或$x+2=0$，即可得到方程的根。
(4) 先将方程$-2x^2 + 10 = 8x$移项整理为一般形式，两边除以$-2$得$x^2+4x-5=0$，
因式分解得$(x+5)(x-1)=0$，
则$x+5=0$或$x-1=0$，即可得到方程的根。
【答案】
(1)$x_1=1+\frac{\sqrt{2}}{2},x_2=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$
(2)$x_1=1-\sqrt{5},x_2=1+\sqrt{5}$
(3)$x_1=4,x_2=-2$
(4)$x_1=1,x_2=-5$
【知识点】
一元二次方程解法，求根公式法，因式分解法
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础训练题，解题时先将方程整理为一般形式，可根据方程特点选择简便的解法，计算过程中要注意符号处理，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.8
解一元二次方程首先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，可根据方程特征选择解法：若方程易因式分解则优先用因式分解法，否则可用公式法求解：先计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，$\Delta≥0$时，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$即可得到方程的根，每一步注意符号不要出错。
【解析】
(1) 对于方程$2x^2 - 4x + 1 = 0$，这里$a=2$，$b=-4$，$c=1$，
判别式$\Delta = b^2-4ac = (-4)^2 - 4×2×1 = 16-8=8＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{4\pm\sqrt{8}}{2×2}=\frac{4\pm2\sqrt{2}}{4}=1\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(2) 先将方程$-x^2 + 2x + 4 = 0$化为一般形式$x^2-2x-4=0$，这里$a=1$，$b=-2$，$c=-4$，
判别式$\Delta = (-2)^2 -4×1×(-4)=4+16=20＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{2\pm\sqrt{20}}{2×1}=\frac{2\pm2\sqrt{5}}{2}=1\pm\sqrt{5}$。
(3) 先将方程$\frac{1}{2}x^2 - x - 4 = 0$两边乘2消去分母，得$x^2-2x-8=0$，
因式分解得$(x-4)(x+2)=0$，
则$x-4=0$或$x+2=0$，即可得到方程的根。
(4) 先将方程$-2x^2 + 10 = 8x$移项整理为一般形式，两边除以$-2$得$x^2+4x-5=0$，
因式分解得$(x+5)(x-1)=0$，
则$x+5=0$或$x-1=0$，即可得到方程的根。
【答案】
(1)$x_1=1+\frac{\sqrt{2}}{2},x_2=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$
(2)$x_1=1-\sqrt{5},x_2=1+\sqrt{5}$
(3)$x_1=4,x_2=-2$
(4)$x_1=1,x_2=-5$
【知识点】
一元二次方程解法，求根公式法，因式分解法
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础训练题，解题时先将方程整理为一般形式，可根据方程特点选择简便的解法，计算过程中要注意符号处理，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.8
6.(2025·苏州吴中区期中)若关于$x$的一元二次方程$9x^2-(m-1)x+1=0$的左边可以写成一个完全平方式,则常数$m$的值为 （
A.7
B.7或$-5$
C.6
D.6或$-6$
B
）A.7
B.7或$-5$
C.6
D.6或$-6$
答案
6.B
解析
【分析】
解题核心是掌握完全平方式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子为完全平方式。首先观察方程左侧的二次项和常数项，$9x^2=(3x)^2$、$1=1^2$，因此一次项需对应$\pm2×3x×1=\pm6x$，再结合已知一次项系数为$-(m-1)$，列等式求解即可，注意完全平方式有和的平方、差的平方两种形式，避免漏解。
【解析】
解：
∵一元二次方程$9x^2-(m-1)x+1=0$的左边是完全平方式
∴$9x^2-(m-1)x+1=(3x\pm1)^2$
展开右侧得：$(3x\pm1)^2=9x^2\pm6x+1$
根据等式两边对应项系数相等，可得：$-(m-1)=\pm6$
分两种情况计算：
① 当$-(m-1)=6$时：
$-m+1=6$，解得$m=-5$
② 当$-(m-1)=-6$时：
$-m+1=-6$，解得$m=7$
综上，$m$的值为7或$-5$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方式；解一元一次方程
【点评】
本题主要考查完全平方式的结构特征，易错点是容易只考虑其中一种完全平方式的形式，导致漏解，解题时需全面考虑两种可能性。
【难度系数】
0.7
解题核心是掌握完全平方式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子为完全平方式。首先观察方程左侧的二次项和常数项，$9x^2=(3x)^2$、$1=1^2$，因此一次项需对应$\pm2×3x×1=\pm6x$，再结合已知一次项系数为$-(m-1)$，列等式求解即可，注意完全平方式有和的平方、差的平方两种形式，避免漏解。
【解析】
解：
∵一元二次方程$9x^2-(m-1)x+1=0$的左边是完全平方式
∴$9x^2-(m-1)x+1=(3x\pm1)^2$
展开右侧得：$(3x\pm1)^2=9x^2\pm6x+1$
根据等式两边对应项系数相等，可得：$-(m-1)=\pm6$
分两种情况计算：
① 当$-(m-1)=6$时：
$-m+1=6$，解得$m=-5$
② 当$-(m-1)=-6$时：
$-m+1=-6$，解得$m=7$
综上，$m$的值为7或$-5$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方式；解一元一次方程
【点评】
本题主要考查完全平方式的结构特征，易错点是容易只考虑其中一种完全平方式的形式，导致漏解，解题时需全面考虑两种可能性。
【难度系数】
0.7
7.(2025·苏州昆山期中)将一元二次方程$2x^2 -12x -1=0$配方成$(x+a)^2 =b$的形式，则$a,b$的值为（
A.$a=3,b=10$
B.$a=-3,b=10$
C.$a=3,b=\frac{19}{2}$
D.$a=-3,b=\frac{19}{2}$
D
）A.$a=3,b=10$
B.$a=-3,b=10$
C.$a=3,b=\frac{19}{2}$
D.$a=-3,b=\frac{19}{2}$
答案
7.D
解析
【分析】
要将给定的一元二次方程配方成指定形式，需按照配方法的标准步骤操作：首先将二次项系数化为1，再将常数项移到等号右侧，接着在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方形式，最后对比$(x+a)^2 =b$的结构即可确定$a$、$b$的值。
【解析】
解：对一元二次方程$2x^2 -12x -1=0$进行配方：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以2，得$x^2 -6x -\frac{1}{2}=0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 -6x =\frac{1}{2}$；
3. 配方：等号两边同时加上一次项系数$-6$一半的平方，即$(-3)^2=9$，得：
$x^2 -6x +9 =\frac{1}{2}+9$
左侧整理为完全平方形式，右侧合并常数项，得：
$(x-3)^2 =\frac{19}{2}$
对比$(x+a)^2 =b$的形式，可得$a=-3$，$b=\frac{19}{2}$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 配方法
2. 完全平方公式
【点评】
本题考查一元二次方程的配方变形，掌握配方法的操作步骤是解题的核心，注意配方前需先将二次项系数化为1，同时要注意完全平方式中常数项的符号，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.7
要将给定的一元二次方程配方成指定形式，需按照配方法的标准步骤操作：首先将二次项系数化为1，再将常数项移到等号右侧，接着在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方形式，最后对比$(x+a)^2 =b$的结构即可确定$a$、$b$的值。
【解析】
解：对一元二次方程$2x^2 -12x -1=0$进行配方：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以2，得$x^2 -6x -\frac{1}{2}=0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 -6x =\frac{1}{2}$；
3. 配方：等号两边同时加上一次项系数$-6$一半的平方，即$(-3)^2=9$，得：
$x^2 -6x +9 =\frac{1}{2}+9$
左侧整理为完全平方形式，右侧合并常数项，得：
$(x-3)^2 =\frac{19}{2}$
对比$(x+a)^2 =b$的形式，可得$a=-3$，$b=\frac{19}{2}$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 配方法
2. 完全平方公式
【点评】
本题考查一元二次方程的配方变形，掌握配方法的操作步骤是解题的核心，注意配方前需先将二次项系数化为1，同时要注意完全平方式中常数项的符号，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.7
8.已知实数$m,n$满足$m - n^2 = 2$，则代数式$m^2 + 2n^2 + 4m$的最小值为
12
.答案
8.12
解析
【分析】
首先观察已知条件和待求代数式的特征，二者均含有$n^2$，因此可采用消元法，将$n^2$用含$m$的式子表示，同时结合平方的非负性确定$m$的取值范围；再将$n^2$代入待求代数式，整理为关于$m$的二次式，通过配方转化为顶点式，最后结合二次函数的增减性和$m$的取值范围即可求出最小值。
【解析】
解：由已知$m - n^2 = 2$，可得$n^2 = m - 2$。
$\because n^2≥0$，
$\therefore m - 2≥0$，即$m≥2$。
将$n^2 = m - 2$代入代数式$m^2 + 2n^2 + 4m$，得：
$\begin{aligned}m^2 + 2(m - 2) + 4m &= m^2 + 2m - 4 + 4m \\&= m^2 + 6m - 4 \\&= (m + 3)^2 - 13\end{aligned}$
该二次式对应的抛物线开口向上，对称轴为直线$m=-3$，
$\because m≥2$在对称轴右侧，此时代数式的值随$m$的增大而增大，
$\therefore$当$m=2$时，代数式取得最小值，最小值为$(2 + 3)^2 - 13 = 25 - 13 = 12$。
【答案】
12
【知识点】
代数式消元化简；平方的非负性；二次函数最值
【点评】
本题核心考查转化思想的应用，解题关键是将二元代数式转化为一元二次式，需特别注意结合平方的非负性确定参数的取值范围，避免直接套用二次函数顶点坐标求最值导致错误。
【难度系数】
0.6
首先观察已知条件和待求代数式的特征，二者均含有$n^2$，因此可采用消元法，将$n^2$用含$m$的式子表示，同时结合平方的非负性确定$m$的取值范围；再将$n^2$代入待求代数式，整理为关于$m$的二次式，通过配方转化为顶点式，最后结合二次函数的增减性和$m$的取值范围即可求出最小值。
【解析】
解：由已知$m - n^2 = 2$，可得$n^2 = m - 2$。
$\because n^2≥0$，
$\therefore m - 2≥0$，即$m≥2$。
将$n^2 = m - 2$代入代数式$m^2 + 2n^2 + 4m$，得：
$\begin{aligned}m^2 + 2(m - 2) + 4m &= m^2 + 2m - 4 + 4m \\&= m^2 + 6m - 4 \\&= (m + 3)^2 - 13\end{aligned}$
该二次式对应的抛物线开口向上，对称轴为直线$m=-3$，
$\because m≥2$在对称轴右侧，此时代数式的值随$m$的增大而增大，
$\therefore$当$m=2$时，代数式取得最小值，最小值为$(2 + 3)^2 - 13 = 25 - 13 = 12$。
【答案】
12
【知识点】
代数式消元化简；平方的非负性；二次函数最值
【点评】
本题核心考查转化思想的应用，解题关键是将二元代数式转化为一元二次式，需特别注意结合平方的非负性确定参数的取值范围，避免直接套用二次函数顶点坐标求最值导致错误。
【难度系数】
0.6
9.若实数$x,y$使得等式$2x^2y^2 - 4xy - 6 = 0$成立，则$xy=$
3或-1
。答案
9.3或-1
解析
【分析】
观察已知等式可发现，式子中仅出现$ xy $的整体形式，无单独的$ x $、$ y $项，因此可以采用整体换元的思路：令$ t=xy $（t为实数），将原方程转化为关于t的一元二次方程，再解一元二次方程即可得到$ xy $的取值。
【解析】
设$ t = xy $，由于x、y是实数，因此t为实数，将其代入原方程得：
$ 2t^2 - 4t - 6 = 0 $
方程两边同时除以2化简，得：
$ t^2 - 2t - 3 = 0 $
对左侧用十字相乘法因式分解，得：
$ (t - 3)(t + 1) = 0 $
因此$ t - 3 = 0 $或$ t + 1 = 0 $，解得$ t_1=3 $，$ t_2=-1 $
即$ xy = 3 $或$ xy = -1 $
【答案】
3或-1
【知识点】
换元法，因式分解法解一元二次方程，整体思想
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础题型，核心考查整体代换的数学思想，通过换元将含双变量的方程转化为常规一元二次方程，简化了解题过程，属于得分率较高的题型。
【难度系数】
0.75
观察已知等式可发现，式子中仅出现$ xy $的整体形式，无单独的$ x $、$ y $项，因此可以采用整体换元的思路：令$ t=xy $（t为实数），将原方程转化为关于t的一元二次方程，再解一元二次方程即可得到$ xy $的取值。
【解析】
设$ t = xy $，由于x、y是实数，因此t为实数，将其代入原方程得：
$ 2t^2 - 4t - 6 = 0 $
方程两边同时除以2化简，得：
$ t^2 - 2t - 3 = 0 $
对左侧用十字相乘法因式分解，得：
$ (t - 3)(t + 1) = 0 $
因此$ t - 3 = 0 $或$ t + 1 = 0 $，解得$ t_1=3 $，$ t_2=-1 $
即$ xy = 3 $或$ xy = -1 $
【答案】
3或-1
【知识点】
换元法，因式分解法解一元二次方程，整体思想
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础题型，核心考查整体代换的数学思想，通过换元将含双变量的方程转化为常规一元二次方程，简化了解题过程，属于得分率较高的题型。
【难度系数】
0.75
