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10.代数式$5x^2 + y^2 + 2x - 4xy + 7$的最小值为
6
.答案
10.6
解析
【分析】
要求二次代数式的最小值，可利用配方法将代数式转化为几个完全平方与常数的和的形式，根据完全平方的非负性（平方数≥0），当所有完全平方项都取0时，代数式取得最小值，即剩余的常数项。观察代数式各项，可将$5x^2$拆分为$4x^2$和$x^2$，分别与其余项组合配成完全平方即可求解。
【解析】
对代数式进行配方变形：
$\begin{aligned}5x^2 + y^2 + 2x - 4xy +7&=(4x^2 -4xy + y^2)+(x^2 +2x) +7\\&=(2x - y)^2 + (x^2 +2x +1 -1) +7\\&=(2x - y)^2 + (x+1)^2 -1 +7\\&=(2x - y)^2 + (x+1)^2 + 6\end{aligned}$
根据平方的非负性可知：$(2x-y)^2≥0$，$(x+1)^2≥0$，
因此当$2x-y=0$且$x+1=0$时，两个平方项同时取最小值0，此时代数式取得最小值为6。
【答案】
6
【知识点】
配方法的应用；完全平方公式；非负数的性质
【点评】
本题考查代数式最值的求解，解题的关键是合理拆分二次项，正确将代数式配成完全平方加常数的形式，再利用非负数的性质计算最值，是代数最值类的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
要求二次代数式的最小值，可利用配方法将代数式转化为几个完全平方与常数的和的形式，根据完全平方的非负性（平方数≥0），当所有完全平方项都取0时，代数式取得最小值，即剩余的常数项。观察代数式各项，可将$5x^2$拆分为$4x^2$和$x^2$，分别与其余项组合配成完全平方即可求解。
【解析】
对代数式进行配方变形：
$\begin{aligned}5x^2 + y^2 + 2x - 4xy +7&=(4x^2 -4xy + y^2)+(x^2 +2x) +7\\&=(2x - y)^2 + (x^2 +2x +1 -1) +7\\&=(2x - y)^2 + (x+1)^2 -1 +7\\&=(2x - y)^2 + (x+1)^2 + 6\end{aligned}$
根据平方的非负性可知：$(2x-y)^2≥0$，$(x+1)^2≥0$，
因此当$2x-y=0$且$x+1=0$时，两个平方项同时取最小值0，此时代数式取得最小值为6。
【答案】
6
【知识点】
配方法的应用；完全平方公式；非负数的性质
【点评】
本题考查代数式最值的求解，解题的关键是合理拆分二次项，正确将代数式配成完全平方加常数的形式，再利用非负数的性质计算最值，是代数最值类的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
11.(2025·淮安)若$x^2 - 3x + 1 + y = 0$，则$2x + y$的最大值是
$\frac{21}{4}$
。答案
11.$\frac{21}{4}$
解析
【分析】
要求$2x+y$的最大值，已知$x$和$y$满足的等式，我们可以先通过移项用含$x$的代数式表示$y$，再将其代入$2x+y$中，把所求式子转化为只关于$x$的二次函数，再根据二次函数的性质即可求出最大值。
【解析】
由已知等式$x^2 - 3x + 1 + y = 0$，移项可得：
$y = -x^2 + 3x - 1$
将$y = -x^2 + 3x - 1$代入$2x + y$得：
$2x + y = 2x + (-x^2 + 3x - 1) = -x^2 + 5x - 1$
该式是关于$x$的二次函数，其中二次项系数$a=-1＜0$，函数图象开口向下，存在最大值。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$、$b=5$得：
$x=-\frac{5}{2×(-1)}=\frac{5}{2}$
将$x=\frac{5}{2}$代入$-x^2 + 5x - 1$计算最大值：
$-(\frac{5}{2})^2 + 5×\frac{5}{2} - 1 = -\frac{25}{4} + \frac{25}{2} - 1 = \frac{21}{4}$
【答案】
$\frac{21}{4}$
【知识点】
代数式变形；代入消元；二次函数的最值
【点评】
本题考查代数式最值的求解，核心解题思路是通过消元将双变量代数式转化为单变量二次函数，再利用二次函数性质求最值，转化思想是解决这类问题的关键，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
要求$2x+y$的最大值，已知$x$和$y$满足的等式，我们可以先通过移项用含$x$的代数式表示$y$，再将其代入$2x+y$中，把所求式子转化为只关于$x$的二次函数，再根据二次函数的性质即可求出最大值。
【解析】
由已知等式$x^2 - 3x + 1 + y = 0$，移项可得：
$y = -x^2 + 3x - 1$
将$y = -x^2 + 3x - 1$代入$2x + y$得：
$2x + y = 2x + (-x^2 + 3x - 1) = -x^2 + 5x - 1$
该式是关于$x$的二次函数，其中二次项系数$a=-1＜0$，函数图象开口向下，存在最大值。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$、$b=5$得：
$x=-\frac{5}{2×(-1)}=\frac{5}{2}$
将$x=\frac{5}{2}$代入$-x^2 + 5x - 1$计算最大值：
$-(\frac{5}{2})^2 + 5×\frac{5}{2} - 1 = -\frac{25}{4} + \frac{25}{2} - 1 = \frac{21}{4}$
【答案】
$\frac{21}{4}$
【知识点】
代数式变形；代入消元；二次函数的最值
【点评】
本题考查代数式最值的求解，核心解题思路是通过消元将双变量代数式转化为单变量二次函数，再利用二次函数性质求最值，转化思想是解决这类问题的关键，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
12. 解下列方程：
(1) $3x^2 - 4x + 1 = 0$；
(2) $-3t^2 + 2t + 5 = 0$；
(3) $2y^2 - \sqrt{2}y - 2 = 0$；
(4) $6x - 1 = 5x^2$。
(1) $3x^2 - 4x + 1 = 0$；
(2) $-3t^2 + 2t + 5 = 0$；
(3) $2y^2 - \sqrt{2}y - 2 = 0$；
(4) $6x - 1 = 5x^2$。
答案
12.(1)$x_1=1,x_2=\frac{1}{3}$
(2)$t_1=-1,t_2=\frac{5}{3}$
(3)$y_1=\sqrt{2},y_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
(4)$x_1=1,x_2=\frac{1}{5}$
(2)$t_1=-1,t_2=\frac{5}{3}$
(3)$y_1=\sqrt{2},y_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
(4)$x_1=1,x_2=\frac{1}{5}$
解析
【分析】
要解这几个一元二次方程，首先需将每个方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，优先观察是否可以用十字相乘法因式分解求解，若不易因式分解则使用求根公式法：先计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程是否有实根，若$\Delta≥0$，再代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$计算根即可，计算时注意符号和根式的化简。
【解析】
(1) 对于方程$3x^2 - 4x + 1 = 0$，
十字相乘因式分解得：$(3x-1)(x-1)=0$，
令$3x-1=0$，解得$x_2=\frac{1}{3}$；令$x-1=0$，解得$x_1=1$。
(2) 对于方程$-3t^2 + 2t + 5 = 0$，
方程两边同乘$-1$整理得：$3t^2 - 2t - 5 = 0$，
十字相乘因式分解得：$(3t-5)(t+1)=0$，
令$3t-5=0$，解得$t_2=\frac{5}{3}$；令$t+1=0$，解得$t_1=-1$。
(3) 对于方程$2y^2 - \sqrt{2}y - 2 = 0$，
这里$a=2$，$b=-\sqrt{2}$，$c=-2$，
先计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-\sqrt{2})^2 - 4×2×(-2) = 2 + 16 = 18＞0$，
代入求根公式得：$y=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{\sqrt{2}±3\sqrt{2}}{4}$，
所以$y_1=\frac{\sqrt{2}+3\sqrt{2}}{4}=\sqrt{2}$，$y_2=\frac{\sqrt{2}-3\sqrt{2}}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(4) 对于方程$6x - 1 = 5x^2$，
移项整理为一般式：$5x^2 - 6x + 1 = 0$，
十字相乘因式分解得：$(5x-1)(x-1)=0$，
令$5x-1=0$，解得$x_2=\frac{1}{5}$；令$x-1=0$，解得$x_1=1$。
【答案】
(1)$x_1=1,x_2=\frac{1}{3}$
(2)$t_1=-1,t_2=\frac{5}{3}$
(3)$y_1=\sqrt{2},y_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
(4)$x_1=1,x_2=\frac{1}{5}$
【知识点】
1.一元二次方程的解法
2.因式分解法解方程
3.求根公式的应用
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础练习题，解题时可根据方程特征灵活选择简便解法，能因式分解的优先选择因式分解法简化计算，使用公式法时要注意先把方程化为一般式，准确确定$a、b、c$的值，同时注意计算过程中符号和根式化简的准确性。
【难度系数】
0.8
要解这几个一元二次方程，首先需将每个方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，优先观察是否可以用十字相乘法因式分解求解，若不易因式分解则使用求根公式法：先计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程是否有实根，若$\Delta≥0$，再代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$计算根即可，计算时注意符号和根式的化简。
【解析】
(1) 对于方程$3x^2 - 4x + 1 = 0$，
十字相乘因式分解得：$(3x-1)(x-1)=0$，
令$3x-1=0$，解得$x_2=\frac{1}{3}$；令$x-1=0$，解得$x_1=1$。
(2) 对于方程$-3t^2 + 2t + 5 = 0$，
方程两边同乘$-1$整理得：$3t^2 - 2t - 5 = 0$，
十字相乘因式分解得：$(3t-5)(t+1)=0$，
令$3t-5=0$，解得$t_2=\frac{5}{3}$；令$t+1=0$，解得$t_1=-1$。
(3) 对于方程$2y^2 - \sqrt{2}y - 2 = 0$，
这里$a=2$，$b=-\sqrt{2}$，$c=-2$，
先计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-\sqrt{2})^2 - 4×2×(-2) = 2 + 16 = 18＞0$，
代入求根公式得：$y=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{\sqrt{2}±3\sqrt{2}}{4}$，
所以$y_1=\frac{\sqrt{2}+3\sqrt{2}}{4}=\sqrt{2}$，$y_2=\frac{\sqrt{2}-3\sqrt{2}}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(4) 对于方程$6x - 1 = 5x^2$，
移项整理为一般式：$5x^2 - 6x + 1 = 0$，
十字相乘因式分解得：$(5x-1)(x-1)=0$，
令$5x-1=0$，解得$x_2=\frac{1}{5}$；令$x-1=0$，解得$x_1=1$。
【答案】
(1)$x_1=1,x_2=\frac{1}{3}$
(2)$t_1=-1,t_2=\frac{5}{3}$
(3)$y_1=\sqrt{2},y_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
(4)$x_1=1,x_2=\frac{1}{5}$
【知识点】
1.一元二次方程的解法
2.因式分解法解方程
3.求根公式的应用
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础练习题，解题时可根据方程特征灵活选择简便解法，能因式分解的优先选择因式分解法简化计算，使用公式法时要注意先把方程化为一般式，准确确定$a、b、c$的值，同时注意计算过程中符号和根式化简的准确性。
【难度系数】
0.8
13.求证:对于任意实数$m$,关于$x$的方程$(-2m^2 +8m -12)x^2 -5x +2=0$都是一元二次方程.
答案
13.证明:$\because -2m^2 +8m -12=-2(m-2)^2 -4$,且对于任意实数$m$,总有$(m-2)^2≥0$,
$\therefore -2(m-2)^2≤0,\therefore -2(m-2)^2 -4≤-4$,
$\therefore$对于任意实数$m$,代数式$-2m^2 +8m -12$的值总不等于0,
$\therefore$对于任意实数$m$,关于$x$的方程$(-2m^2 +8m -12)x^2 -5x +2=0$都是一元二次方程.
$\therefore -2(m-2)^2≤0,\therefore -2(m-2)^2 -4≤-4$,
$\therefore$对于任意实数$m$,代数式$-2m^2 +8m -12$的值总不等于0,
$\therefore$对于任意实数$m$,关于$x$的方程$(-2m^2 +8m -12)x^2 -5x +2=0$都是一元二次方程.
解析
【分析】
要判定一个方程是一元二次方程，依据定义需满足：只含1个未知数，且未知数的最高次数为2，核心要求是二次项系数不为0。本题中方程显然只含x一个未知数，因此只需证明对任意实数m，二次项系数$-2m^2 +8m -12$恒不为0即可。我们可以通过配方法将这个关于m的二次式变形，结合平方的非负性判断它的取值范围，进而完成证明。
【解析】
证明：先对二次项系数进行配方变形：
$-2m^2 +8m -12=-2(m^2-4m)-12=-2(m^2-4m+4-4)-12=-2(m-2)^2+8-12=-2(m-2)^2-4$
∵ 对任意实数m，平方的结果具有非负性，总有$(m-2)^2≥0$
∴ 不等式两边同乘-2，不等号方向改变，得$-2(m-2)^2≤0$
∴ 两边同时减4，得$-2(m-2)^2 -4≤ -4 ＜ 0$
由此可知，对任意实数m，代数式$-2m^2 +8m -12$的值恒小于等于-4，永远不等于0
∴ 对于任意实数m，关于x的方程$(-2m^2 +8m -12)x^2 -5x +2=0$都满足一元二次方程的定义，都是一元二次方程。
【答案】
证明:$\because -2m^2 +8m -12=-2(m-2)^2 -4$,且对于任意实数$m$,总有$(m-2)^2≥0$,
$\therefore -2(m-2)^2≤0,\therefore -2(m-2)^2 -4≤-4$,
$\therefore$对于任意实数$m$,代数式$-2m^2 +8m -12$的值总不等于0,
$\therefore$对于任意实数$m$,关于$x$的方程$(-2m^2 +8m -12)x^2 -5x +2=0$都是一元二次方程.
【知识点】
一元二次方程的定义；配方法的应用；平方的非负性
【点评】
本题属于基础证明类题型，核心是抓住一元二次方程二次项系数不为0的判定条件，通过配方结合平方的非负性判断二次项系数的取值范围即可完成证明，熟练掌握配方技巧是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7
要判定一个方程是一元二次方程，依据定义需满足：只含1个未知数，且未知数的最高次数为2，核心要求是二次项系数不为0。本题中方程显然只含x一个未知数，因此只需证明对任意实数m，二次项系数$-2m^2 +8m -12$恒不为0即可。我们可以通过配方法将这个关于m的二次式变形，结合平方的非负性判断它的取值范围，进而完成证明。
【解析】
证明：先对二次项系数进行配方变形：
$-2m^2 +8m -12=-2(m^2-4m)-12=-2(m^2-4m+4-4)-12=-2(m-2)^2+8-12=-2(m-2)^2-4$
∵ 对任意实数m，平方的结果具有非负性，总有$(m-2)^2≥0$
∴ 不等式两边同乘-2，不等号方向改变，得$-2(m-2)^2≤0$
∴ 两边同时减4，得$-2(m-2)^2 -4≤ -4 ＜ 0$
由此可知，对任意实数m，代数式$-2m^2 +8m -12$的值恒小于等于-4，永远不等于0
∴ 对于任意实数m，关于x的方程$(-2m^2 +8m -12)x^2 -5x +2=0$都满足一元二次方程的定义，都是一元二次方程。
【答案】
证明:$\because -2m^2 +8m -12=-2(m-2)^2 -4$,且对于任意实数$m$,总有$(m-2)^2≥0$,
$\therefore -2(m-2)^2≤0,\therefore -2(m-2)^2 -4≤-4$,
$\therefore$对于任意实数$m$,代数式$-2m^2 +8m -12$的值总不等于0,
$\therefore$对于任意实数$m$,关于$x$的方程$(-2m^2 +8m -12)x^2 -5x +2=0$都是一元二次方程.
【知识点】
一元二次方程的定义；配方法的应用；平方的非负性
【点评】
本题属于基础证明类题型，核心是抓住一元二次方程二次项系数不为0的判定条件，通过配方结合平方的非负性判断二次项系数的取值范围即可完成证明，熟练掌握配方技巧是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7
14.已知$A=2a^2 -a + \frac{9}{4}, B=2a+1.$
(1)当$a$为何值时，$A=2B$?
(2)对于任意实数$a$，试比较$A$与$B$的大小.
(1)当$a$为何值时，$A=2B$?
(2)对于任意实数$a$，试比较$A$与$B$的大小.
答案
14.解:(1)$\because A=2a^2 -a + \frac{9}{4},B=2a+1,A=2B$,
$\therefore 2a^2 -a + \frac{9}{4}=2(2a+1)$,
整理,得$2a^2 -5a + \frac{1}{4}=0$,
解得$a=\frac{5+\sqrt{23}}{4}$,或$a=\frac{5-\sqrt{23}}{4}$.
(2)$A-B=2a^2 -a + \frac{9}{4}-(2a+1)=2a^2 -3a + \frac{5}{4}=2(a-\frac{3}{4})^2 + \frac{1}{8}$,
$\because (a-\frac{3}{4})^2≥0,\therefore 2(a-\frac{3}{4})^2 + \frac{1}{8}＞0,\therefore A＞B$.
$\therefore 2a^2 -a + \frac{9}{4}=2(2a+1)$,
整理,得$2a^2 -5a + \frac{1}{4}=0$,
解得$a=\frac{5+\sqrt{23}}{4}$,或$a=\frac{5-\sqrt{23}}{4}$.
(2)$A-B=2a^2 -a + \frac{9}{4}-(2a+1)=2a^2 -3a + \frac{5}{4}=2(a-\frac{3}{4})^2 + \frac{1}{8}$,
$\because (a-\frac{3}{4})^2≥0,\therefore 2(a-\frac{3}{4})^2 + \frac{1}{8}＞0,\therefore A＞B$.
解析
【分析】
（1）第一问已知A、B的表达式以及A=2B的等量关系，解题时先将A、B代入该等式，可得到关于a的一元二次方程，整理为标准形式后，用一元二次方程的求根公式求解即可得到a的取值。
（2）第二问比较两个代数式的大小，优先选用作差法：计算A-B的结果，通过配方法将其转化为含完全平方式的形式，再结合平方的非负性判断A-B的正负，即可得出A和B的大小关系。
【解析】
(1) 已知$A=2a^2 -a + \frac{9}{4}, B=2a+1$，且$A=2B$，将表达式代入等量关系得：
$2a^2 -a + \frac{9}{4}=2(2a+1)$
去括号、移项整理为一元二次方程标准形式：
$2a^2 -5a + \frac{1}{4}=0$
由求根公式解得：
$a=\frac{5+\sqrt{23}}{4}$或$a=\frac{5-\sqrt{23}}{4}$
(2) 用作差法比较A和B的大小，计算$A-B$：
$A-B=2a^2 -a + \frac{9}{4}-(2a+1)=2a^2 -3a + \frac{5}{4}$
对式子配方得：
$A-B=2(a-\frac{3}{4})^2 + \frac{1}{8}$
根据平方的非负性可知$(a-\frac{3}{4})^2≥0$，因此$2(a-\frac{3}{4})^2 + \frac{1}{8}＞0$，即$A-B＞0$。
【答案】
(1) $a=\frac{5+\sqrt{23}}{4}$或$a=\frac{5-\sqrt{23}}{4}$
(2) $A＞B$
【知识点】
1. 一元二次方程求解
2. 作差法比较大小
3. 配方法应用
【点评】
本题属于基础常考题，综合考查了一元二次方程的解法与代数式大小比较的常用方法，解题的关键是准确代入等量关系、熟练掌握配方法对代数式变形，同时要注意完全平方式非负性的运用。
【难度系数】
0.7
（1）第一问已知A、B的表达式以及A=2B的等量关系，解题时先将A、B代入该等式，可得到关于a的一元二次方程，整理为标准形式后，用一元二次方程的求根公式求解即可得到a的取值。
（2）第二问比较两个代数式的大小，优先选用作差法：计算A-B的结果，通过配方法将其转化为含完全平方式的形式，再结合平方的非负性判断A-B的正负，即可得出A和B的大小关系。
【解析】
(1) 已知$A=2a^2 -a + \frac{9}{4}, B=2a+1$，且$A=2B$，将表达式代入等量关系得：
$2a^2 -a + \frac{9}{4}=2(2a+1)$
去括号、移项整理为一元二次方程标准形式：
$2a^2 -5a + \frac{1}{4}=0$
由求根公式解得：
$a=\frac{5+\sqrt{23}}{4}$或$a=\frac{5-\sqrt{23}}{4}$
(2) 用作差法比较A和B的大小，计算$A-B$：
$A-B=2a^2 -a + \frac{9}{4}-(2a+1)=2a^2 -3a + \frac{5}{4}$
对式子配方得：
$A-B=2(a-\frac{3}{4})^2 + \frac{1}{8}$
根据平方的非负性可知$(a-\frac{3}{4})^2≥0$，因此$2(a-\frac{3}{4})^2 + \frac{1}{8}＞0$，即$A-B＞0$。
【答案】
(1) $a=\frac{5+\sqrt{23}}{4}$或$a=\frac{5-\sqrt{23}}{4}$
(2) $A＞B$
【知识点】
1. 一元二次方程求解
2. 作差法比较大小
3. 配方法应用
【点评】
本题属于基础常考题，综合考查了一元二次方程的解法与代数式大小比较的常用方法，解题的关键是准确代入等量关系、熟练掌握配方法对代数式变形，同时要注意完全平方式非负性的运用。
【难度系数】
0.7
