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10.代数式$5x^2 + y^2 + 2x - 4xy + 7$的最小值为
6
.答案
10.6
11.(2025·淮安)若$x^2 - 3x + 1 + y = 0$，则$2x + y$的最大值是
$\frac{21}{4}$
。答案
11.$\frac{21}{4}$
12. 解下列方程：
(1) $3x^2 - 4x + 1 = 0$；
(2) $-3t^2 + 2t + 5 = 0$；
(3) $2y^2 - \sqrt{2}y - 2 = 0$；
(4) $6x - 1 = 5x^2$。
(1) $3x^2 - 4x + 1 = 0$；
(2) $-3t^2 + 2t + 5 = 0$；
(3) $2y^2 - \sqrt{2}y - 2 = 0$；
(4) $6x - 1 = 5x^2$。
答案
12.(1)$x_1=1,x_2=\frac{1}{3}$
(2)$t_1=-1,t_2=\frac{5}{3}$
(3)$y_1=\sqrt{2},y_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
(4)$x_1=1,x_2=\frac{1}{5}$
(2)$t_1=-1,t_2=\frac{5}{3}$
(3)$y_1=\sqrt{2},y_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
(4)$x_1=1,x_2=\frac{1}{5}$
13.求证:对于任意实数$m$,关于$x$的方程$(-2m^2 +8m -12)x^2 -5x +2=0$都是一元二次方程.
答案
13.证明:$\because -2m^2 +8m -12=-2(m-2)^2 -4$,且对于任意实数$m$,总有$(m-2)^2≥0$,
$\therefore -2(m-2)^2≤0,\therefore -2(m-2)^2 -4≤-4$,
$\therefore$对于任意实数$m$,代数式$-2m^2 +8m -12$的值总不等于0,
$\therefore$对于任意实数$m$,关于$x$的方程$(-2m^2 +8m -12)x^2 -5x +2=0$都是一元二次方程.
$\therefore -2(m-2)^2≤0,\therefore -2(m-2)^2 -4≤-4$,
$\therefore$对于任意实数$m$,代数式$-2m^2 +8m -12$的值总不等于0,
$\therefore$对于任意实数$m$,关于$x$的方程$(-2m^2 +8m -12)x^2 -5x +2=0$都是一元二次方程.
14.已知$A=2a^2 -a + \frac{9}{4}, B=2a+1.$
(1)当$a$为何值时，$A=2B$?
(2)对于任意实数$a$，试比较$A$与$B$的大小.
(1)当$a$为何值时，$A=2B$?
(2)对于任意实数$a$，试比较$A$与$B$的大小.
答案
14.解:(1)$\because A=2a^2 -a + \frac{9}{4},B=2a+1,A=2B$,
$\therefore 2a^2 -a + \frac{9}{4}=2(2a+1)$,
整理,得$2a^2 -5a + \frac{1}{4}=0$,
解得$a=\frac{5+\sqrt{23}}{4}$,或$a=\frac{5-\sqrt{23}}{4}$.
(2)$A-B=2a^2 -a + \frac{9}{4}-(2a+1)=2a^2 -3a + \frac{5}{4}=2(a-\frac{3}{4})^2 + \frac{1}{8}$,
$\because (a-\frac{3}{4})^2≥0,\therefore 2(a-\frac{3}{4})^2 + \frac{1}{8}＞0,\therefore A＞B$.
$\therefore 2a^2 -a + \frac{9}{4}=2(2a+1)$,
整理,得$2a^2 -5a + \frac{1}{4}=0$,
解得$a=\frac{5+\sqrt{23}}{4}$,或$a=\frac{5-\sqrt{23}}{4}$.
(2)$A-B=2a^2 -a + \frac{9}{4}-(2a+1)=2a^2 -3a + \frac{5}{4}=2(a-\frac{3}{4})^2 + \frac{1}{8}$,
$\because (a-\frac{3}{4})^2≥0,\therefore 2(a-\frac{3}{4})^2 + \frac{1}{8}＞0,\therefore A＞B$.
