登录
10.解下列方程：
(1)$x^2 + 2x - 4 = 0$；
(2)$x^2 - 1 = 3x + 3$；
(3)$y^2 = 2(y - 1)$；
(4)$x^2 - \sqrt{6}x - \frac{9}{2} = 0$。
(1)$x^2 + 2x - 4 = 0$；
(2)$x^2 - 1 = 3x + 3$；
(3)$y^2 = 2(y - 1)$；
(4)$x^2 - \sqrt{6}x - \frac{9}{2} = 0$。
答案
10.(1)$x_1=-1+\sqrt{5},x_2=-1-\sqrt{5}$
(2)$x_1=-1,x_2=4$
(3)无实数根
(4)$x_1=\dfrac{3\sqrt{6}}{2},x_2=-\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
(2)$x_1=-1,x_2=4$
(3)无实数根
(4)$x_1=\dfrac{3\sqrt{6}}{2},x_2=-\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
解析
【分析】
解一元二次方程可根据方程特征灵活选择配方法、公式法、因式分解法等：(1)题一次项系数为偶数，适合用配方法或公式法求解；(2)题移项后可因式分解，优先选因式分解法简化计算；(3)题先整理为一般式，通过计算根的判别式判断根的情况；(4)题系数含根号，用公式法求解更简便，解题时先确认a、b、c的值，再代入判别式和求根公式计算即可。
【解析】
(1) 移项得：$x^2 + 2x = 4$
配方得：$x^2 + 2x + 1 = 4 + 1$，即$(x+1)^2 = 5$
开方得：$x + 1 = \pm\sqrt{5}$
解得：$x_1=-1+\sqrt{5},x_2=-1-\sqrt{5}$
(2) 移项整理得：$x^2 - 3x - 4 = 0$
因式分解得：$(x - 4)(x + 1) = 0$
则$x - 4 = 0$或$x + 1 = 0$
解得：$x_1=-1,x_2=4$
(3) 去括号移项整理得：$y^2 - 2y + 2 = 0$
这里$a=1,b=-2,c=2$
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×2 = 4 - 8 = -4 ＜ 0$
所以该方程无实数根
(4) 这里$a=1,b=-\sqrt{6},c=-\frac{9}{2}$
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-\sqrt{6})^2 - 4×1×(-\frac{9}{2}) = 6 + 18 = 24$
代入求根公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x = \frac{\sqrt{6} \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{\sqrt{6} \pm 2\sqrt{6}}{2}$
解得：$x_1=\frac{3\sqrt{6}}{2},x_2=-\frac{\sqrt{6}}{2}$
【答案】
(1)$x_1=-1+\sqrt{5},x_2=-1-\sqrt{5}$
(2)$x_1=-1,x_2=4$
(3)无实数根
(4)$x_1=\dfrac{3\sqrt{6}}{2},x_2=-\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
1.一元二次方程的解法 2.根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程的求解，解题时可根据方程的形式灵活选择最简便的解法，提升解题效率，同时要注意先将方程整理为一般形式，当判别式小于0时方程不存在实数根。
【难度系数】
0.7
解一元二次方程可根据方程特征灵活选择配方法、公式法、因式分解法等：(1)题一次项系数为偶数，适合用配方法或公式法求解；(2)题移项后可因式分解，优先选因式分解法简化计算；(3)题先整理为一般式，通过计算根的判别式判断根的情况；(4)题系数含根号，用公式法求解更简便，解题时先确认a、b、c的值，再代入判别式和求根公式计算即可。
【解析】
(1) 移项得：$x^2 + 2x = 4$
配方得：$x^2 + 2x + 1 = 4 + 1$，即$(x+1)^2 = 5$
开方得：$x + 1 = \pm\sqrt{5}$
解得：$x_1=-1+\sqrt{5},x_2=-1-\sqrt{5}$
(2) 移项整理得：$x^2 - 3x - 4 = 0$
因式分解得：$(x - 4)(x + 1) = 0$
则$x - 4 = 0$或$x + 1 = 0$
解得：$x_1=-1,x_2=4$
(3) 去括号移项整理得：$y^2 - 2y + 2 = 0$
这里$a=1,b=-2,c=2$
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×2 = 4 - 8 = -4 ＜ 0$
所以该方程无实数根
(4) 这里$a=1,b=-\sqrt{6},c=-\frac{9}{2}$
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-\sqrt{6})^2 - 4×1×(-\frac{9}{2}) = 6 + 18 = 24$
代入求根公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x = \frac{\sqrt{6} \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{\sqrt{6} \pm 2\sqrt{6}}{2}$
解得：$x_1=\frac{3\sqrt{6}}{2},x_2=-\frac{\sqrt{6}}{2}$
【答案】
(1)$x_1=-1+\sqrt{5},x_2=-1-\sqrt{5}$
(2)$x_1=-1,x_2=4$
(3)无实数根
(4)$x_1=\dfrac{3\sqrt{6}}{2},x_2=-\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
1.一元二次方程的解法 2.根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程的求解，解题时可根据方程的形式灵活选择最简便的解法，提升解题效率，同时要注意先将方程整理为一般形式，当判别式小于0时方程不存在实数根。
【难度系数】
0.7
11.已知关于$x$的一元二次方程$(a+2)x^2+3x+a^2-4=0$.
(1)若方程有一个根为0,求实数$a$的值;
(2)当$a=1$时,用配方法解方程.
(1)若方程有一个根为0,求实数$a$的值;
(2)当$a=1$时,用配方法解方程.
答案
11.解:(1)把$x=0$代入方程,得$a^2-4=0$,即$a^2=4$,直接开平方,得$a=2$或$a=-2$.
当$a=-2$时,方程为$3x=0$,不符合题意,舍去,
所以$a=2$.
(2)把$a=1$代入方程,得$3x^2+3x-3=0$,即$x^2+x=1$,
配方,得$x^2+x+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}$,即$(x+\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{5}{4}$,
直接开平方,得$x+\dfrac{1}{2}=\pm\dfrac{\sqrt{5}}{2}$,
解得$x_1=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{5}}{2},x_2=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
当$a=-2$时,方程为$3x=0$,不符合题意,舍去,
所以$a=2$.
(2)把$a=1$代入方程,得$3x^2+3x-3=0$,即$x^2+x=1$,
配方,得$x^2+x+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}$,即$(x+\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{5}{4}$,
直接开平方,得$x+\dfrac{1}{2}=\pm\dfrac{\sqrt{5}}{2}$,
解得$x_1=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{5}}{2},x_2=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
解析
【分析】
(1) 首先明确题目给出的是一元二次方程，隐含条件为二次项系数不为0，即$a+2≠0$；已知$x=0$是方程的根，将$x=0$代入原方程即可得到关于$a$的方程，求解后结合二次项系数不为0的条件排除不符合的取值即可。
(2) 先将$a=1$代入原方程得到具体的一元二次方程，配方法解方程需遵循步骤：先将二次项系数化为1，再把常数项移到等号右侧，接着在等号两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，最后开平方求解即可。
【解析】
(1) 把$x=0$代入原方程，得$a^2-4=0$，解得$a=2$或$a=-2$。
∵ 原方程为一元二次方程，
∴ 二次项系数$a+2≠0$，即$a≠-2$，
∴ 舍去$a=-2$，即$a=2$。
(2) 当$a=1$时，代入原方程得$3x^2+3x-3=0$，
两边同时除以3，将二次项系数化为1，得$x^2+x=1$，
配方，两边同时加$(\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$，得$x^2+x+\dfrac{1}{4}=1+\dfrac{1}{4}$，
即$(x+\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{5}{4}$，
开平方得$x+\dfrac{1}{2}=\pm\dfrac{\sqrt{5}}{2}$，
解得$x_1=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
(1) $a=2$；(2) $x_1=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，$x_2=\dfrac{-\sqrt{5}-1}{2}$
【知识点】
一元二次方程的定义，方程的根的意义，配方法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，第一小问容易遗漏“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件导致多解，做题时需注意挖掘题目隐含限制条件；第二小问考查配方法的基础操作，熟练掌握配方法的步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确题目给出的是一元二次方程，隐含条件为二次项系数不为0，即$a+2≠0$；已知$x=0$是方程的根，将$x=0$代入原方程即可得到关于$a$的方程，求解后结合二次项系数不为0的条件排除不符合的取值即可。
(2) 先将$a=1$代入原方程得到具体的一元二次方程，配方法解方程需遵循步骤：先将二次项系数化为1，再把常数项移到等号右侧，接着在等号两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，最后开平方求解即可。
【解析】
(1) 把$x=0$代入原方程，得$a^2-4=0$，解得$a=2$或$a=-2$。
∵ 原方程为一元二次方程，
∴ 二次项系数$a+2≠0$，即$a≠-2$，
∴ 舍去$a=-2$，即$a=2$。
(2) 当$a=1$时，代入原方程得$3x^2+3x-3=0$，
两边同时除以3，将二次项系数化为1，得$x^2+x=1$，
配方，两边同时加$(\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$，得$x^2+x+\dfrac{1}{4}=1+\dfrac{1}{4}$，
即$(x+\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{5}{4}$，
开平方得$x+\dfrac{1}{2}=\pm\dfrac{\sqrt{5}}{2}$，
解得$x_1=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
(1) $a=2$；(2) $x_1=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，$x_2=\dfrac{-\sqrt{5}-1}{2}$
【知识点】
一元二次方程的定义，方程的根的意义，配方法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，第一小问容易遗漏“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件导致多解，做题时需注意挖掘题目隐含限制条件；第二小问考查配方法的基础操作，熟练掌握配方法的步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
12.已知等腰$△ ABC$的三边长$a,b,c$都是正整数，且满足$2a^2 + b^2 -4a -6b +11=0$，求$△ ABC$的周长.
答案
12.解:$\because 2a^2+b^2-4a-6b+11=0$,
$\therefore 2a^2-4a+2+b^2-6b+9=0$,
$\therefore 2(a-1)^2+(b-3)^2=0$,
则$a-1=0,b-3=0$,解得$a=1,b=3$.
由三角形三边关系可知,等腰$△ ABC$的三边长分别为1,3,3,
$\therefore△ ABC$的周长为$1+3+3=7$.
$\therefore 2a^2-4a+2+b^2-6b+9=0$,
$\therefore 2(a-1)^2+(b-3)^2=0$,
则$a-1=0,b-3=0$,解得$a=1,b=3$.
由三角形三边关系可知,等腰$△ ABC$的三边长分别为1,3,3,
$\therefore△ ABC$的周长为$1+3+3=7$.
解析
【分析】
解题时首先观察已知等式的结构，含有关于a、b的二次项、一次项，优先考虑用配方法将等式变形为几个非负数相加等于0的形式，利用非负数的性质求出a、b的值；再结合等腰三角形的性质，分情况讨论腰长，同时根据三角形三边关系判断三边组合是否成立，最终计算符合条件的三角形周长。
【解析】
解：$\because 2a^2+b^2-4a-6b+11=0$,
$\therefore 2a^2-4a+2+b^2-6b+9=0$,
$\therefore 2(a-1)^2+(b-3)^2=0$,
∵平方数具有非负性，即$2(a-1)^2≥0$，$(b-3)^2≥0$，
$\therefore a-1=0,b-3=0$，解得$a=1,b=3$.
已知△ABC是等腰三角形，分两种情况讨论：
①若a为腰长，则三边长为1,1,3，此时$1+1=2＜3$，不符合三角形三边关系，舍去；
②若b为腰长，则三边长为3,3,1，此时$1+3＞3$，符合三角形三边关系。
$\therefore△ ABC$的周长为$1+3+3=7$.
【答案】
7
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题的核心是先通过配方求出a、b的取值，再结合等腰三角形的性质分类讨论，尤其要注意验证三边是否满足三角形的三边关系，避免忽略限制条件得到错误的边长组合。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知等式的结构，含有关于a、b的二次项、一次项，优先考虑用配方法将等式变形为几个非负数相加等于0的形式，利用非负数的性质求出a、b的值；再结合等腰三角形的性质，分情况讨论腰长，同时根据三角形三边关系判断三边组合是否成立，最终计算符合条件的三角形周长。
【解析】
解：$\because 2a^2+b^2-4a-6b+11=0$,
$\therefore 2a^2-4a+2+b^2-6b+9=0$,
$\therefore 2(a-1)^2+(b-3)^2=0$,
∵平方数具有非负性，即$2(a-1)^2≥0$，$(b-3)^2≥0$，
$\therefore a-1=0,b-3=0$，解得$a=1,b=3$.
已知△ABC是等腰三角形，分两种情况讨论：
①若a为腰长，则三边长为1,1,3，此时$1+1=2＜3$，不符合三角形三边关系，舍去；
②若b为腰长，则三边长为3,3,1，此时$1+3＞3$，符合三角形三边关系。
$\therefore△ ABC$的周长为$1+3+3=7$.
【答案】
7
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题的核心是先通过配方求出a、b的取值，再结合等腰三角形的性质分类讨论，尤其要注意验证三边是否满足三角形的三边关系，避免忽略限制条件得到错误的边长组合。
【难度系数】
0.7
13.(2025·常熟期中)【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题.下面是小明同学用配方法解一元二次方程$x^2 -2x -1=0$的过程.解:移项，得$x^2 -2x=1$；配方，得$x^2 -2x +1=2$，即$(x-1)^2=2$；直接开平方，得$x-1=\pm\sqrt{2}$，$\therefore x_1=1+\sqrt{2}$，$x_2=1-\sqrt{2}$.
【问题解决】(1)小明配方的依据是 （
A. 完全平方公式 B. 平方差公式 C. 多项式与多项式乘法法则
(2)用配方法解方程：$x^2 -6x +5=0$.
【拓展应用】(3)已知$x$是实数，求代数式$x^2 -2x +5$的最小值.
【问题解决】(1)小明配方的依据是 （
A
）A. 完全平方公式 B. 平方差公式 C. 多项式与多项式乘法法则
(2)用配方法解方程：$x^2 -6x +5=0$.
【拓展应用】(3)已知$x$是实数，求代数式$x^2 -2x +5$的最小值.
答案
13.(1)A
(2)解:移项,得$x^2-6x=-5$,
配方,得$x^2-6x+9=-5+9$,即$(x-3)^2=4$,
直接开平方,得$x-3=\pm2$,
$\therefore x_1=1,x_2=5$.
(3)解:$\because x^2-2x+5=x^2-2x+1+4=(x-1)^2+4$,
又$\because (x-1)^2≥0$,从而$(x-1)^2+4≥4$,
$\therefore$代数式$x^2-2x+5$的最小值为4.
(2)解:移项,得$x^2-6x=-5$,
配方,得$x^2-6x+9=-5+9$,即$(x-3)^2=4$,
直接开平方,得$x-3=\pm2$,
$\therefore x_1=1,x_2=5$.
(3)解:$\because x^2-2x+5=x^2-2x+1+4=(x-1)^2+4$,
又$\because (x-1)^2≥0$,从而$(x-1)^2+4≥4$,
$\therefore$代数式$x^2-2x+5$的最小值为4.
解析
【分析】
（1）第一问考查配方法的理论依据，配方法的核心是将含未知数的二次项、一次项组合后加上合适的常数，凑成完全平方式，完全平方式的构造依据是完全平方公式，据此即可选出正确选项。
（2）第二问用配方法解一元二次方程，按标准步骤操作即可：第一步移项，把常数项移到方程右侧；第二步配方，左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧转化为完全平方式；第三步直接开平方，转化为两个一元一次方程后求解，即可得到原方程的根。
（3）第三问求二次三项式的最小值，同样利用配方法，将代数式变形为“完全平方式+常数”的形式，再根据平方的非负性（任意实数的平方≥0），可知完全平方式的最小值为0，进而求出整个代数式的最小值。
【解析】
(1) 配方是将式子凑成完全平方的形式，依据的是完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，故选A。
(2) 解：移项，得$x^2-6x=-5$，
配方，得$x^2-6x+9=-5+9$，即$(x-3)^2=4$，
直接开平方，得$x-3=\pm2$，
$\therefore x_1=3-2=1,x_2=3+2=5$。
(3) 解：对代数式配方可得：$x^2-2x+5=x^2-2x+1+4=(x-1)^2+4$，
$\because$ 对于任意实数$x$，都有$(x-1)^2≥0$，
$\therefore (x-1)^2+4≥4$，当$x=1$时等号成立，
$\therefore$ 代数式$x^2-2x+5$的最小值为4。
【答案】
(1)A
(2)$x_1=1,x_2=5$
(3)4
【知识点】
完全平方公式，配方法解一元二次方程，配方法求最值
【点评】
本题围绕配方法设置分层问题，既考查了配方法的基础概念，又考查了配方法在解方程、代数式最值求解中的应用，熟练掌握配方法的操作步骤和完全平方公式的特征是解题的核心。
【难度系数】
0.8
（1）第一问考查配方法的理论依据，配方法的核心是将含未知数的二次项、一次项组合后加上合适的常数，凑成完全平方式，完全平方式的构造依据是完全平方公式，据此即可选出正确选项。
（2）第二问用配方法解一元二次方程，按标准步骤操作即可：第一步移项，把常数项移到方程右侧；第二步配方，左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧转化为完全平方式；第三步直接开平方，转化为两个一元一次方程后求解，即可得到原方程的根。
（3）第三问求二次三项式的最小值，同样利用配方法，将代数式变形为“完全平方式+常数”的形式，再根据平方的非负性（任意实数的平方≥0），可知完全平方式的最小值为0，进而求出整个代数式的最小值。
【解析】
(1) 配方是将式子凑成完全平方的形式，依据的是完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，故选A。
(2) 解：移项，得$x^2-6x=-5$，
配方，得$x^2-6x+9=-5+9$，即$(x-3)^2=4$，
直接开平方，得$x-3=\pm2$，
$\therefore x_1=3-2=1,x_2=3+2=5$。
(3) 解：对代数式配方可得：$x^2-2x+5=x^2-2x+1+4=(x-1)^2+4$，
$\because$ 对于任意实数$x$，都有$(x-1)^2≥0$，
$\therefore (x-1)^2+4≥4$，当$x=1$时等号成立，
$\therefore$ 代数式$x^2-2x+5$的最小值为4。
【答案】
(1)A
(2)$x_1=1,x_2=5$
(3)4
【知识点】
完全平方公式，配方法解一元二次方程，配方法求最值
【点评】
本题围绕配方法设置分层问题，既考查了配方法的基础概念，又考查了配方法在解方程、代数式最值求解中的应用，熟练掌握配方法的操作步骤和完全平方公式的特征是解题的核心。
【难度系数】
0.8
