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11.阅读材料:
我们知道 $4x - 2x + x = (4 - 2 + 1)x = 3x$，类似地，我们把 $a + b$ 看成一个整体，则 $4(a + b) - 2(a + b) + (a + b) = (4 - 2 + 1)(a + b) = 3(a + b)$。“整体思想”是解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛。
尝试应用:
(1) 把 $(a - b)^2$ 看成一个整体，合并 $3(a - b)^2 - 6(a - b)^2 + 2(a - b)^2$ 的结果是 ______。
(2) 已知 $x^2 - 2y = 4$，求 $3x^2 - 6y - 21$ 的值。
拓广探索:
(3) 已知 $a - 2b = 3, 2b - c = -5, c - d = 10$，求 $(a - c) + (2b - d) - (2b - c)$ 的值。
我们知道 $4x - 2x + x = (4 - 2 + 1)x = 3x$，类似地，我们把 $a + b$ 看成一个整体，则 $4(a + b) - 2(a + b) + (a + b) = (4 - 2 + 1)(a + b) = 3(a + b)$。“整体思想”是解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛。
尝试应用:
(1) 把 $(a - b)^2$ 看成一个整体，合并 $3(a - b)^2 - 6(a - b)^2 + 2(a - b)^2$ 的结果是 ______。
(2) 已知 $x^2 - 2y = 4$，求 $3x^2 - 6y - 21$ 的值。
拓广探索:
(3) 已知 $a - 2b = 3, 2b - c = -5, c - d = 10$，求 $(a - c) + (2b - d) - (2b - c)$ 的值。
答案
11.解:(1)$-(a-b)^2$
(2)$3x^2 -6y -21=3(x^2 -2y)-21=3×4 -21=-9$。
(3)$(a - c) + (2b - d) - (2b - c) =a -c +2b -d -2b +c=(a - 2b)+(2b -c)+(c -d)=3+(-5)+10=8$。
(2)$3x^2 -6y -21=3(x^2 -2y)-21=3×4 -21=-9$。
(3)$(a - c) + (2b - d) - (2b - c) =a -c +2b -d -2b +c=(a - 2b)+(2b -c)+(c -d)=3+(-5)+10=8$。
解析
【分析】
这道题主要运用整体思想求解：
(1) 把$(a-b)^2$看作一个整体，类比合并同类项的法则，只把系数相加减，整体部分保持不变，即可求出结果；
(2) 观察所求代数式$3x^2-6y-21$，发现前两项提取公因式3后可变形为$3(x^2-2y)$，而已知$x^2-2y=4$，将其整体代入即可计算出结果；
(3) 先对所求的代数式去括号，再重新合并整理，将其转化为含有已知的$a-2b$、$2b-c$、$c-d$的形式，最后将已知的值整体代入计算即可。
【解析】
(1) 将$(a-b)^2$看作整体合并系数：
$3(a-b)^2 - 6(a-b)^2 + 2(a-b)^2 = (3-6+2)(a-b)^2 = -(a-b)^2$；
(2) 先对所求代数式变形：
$3x^2 -6y -21 = 3(x^2 - 2y) -21$，
把$x^2 -2y=4$代入上式：
原式$=3×4 -21 = 12 -21 = -9$；
(3) 先对所求式子去括号化简：
$(a - c) + (2b - d) - (2b - c) = a -c +2b -d -2b +c$，
重新组合得：$a -2b +2b -c +c -d = (a-2b)+(2b -c)+(c -d)$，
把$a - 2b = 3, 2b - c = -5, c - d = 10$代入得：
原式$=3 + (-5) +10 = 8$。
【答案】
(1)$-(a-b)^2$；(2)$-9$；(3)$8$
【知识点】
整体代入思想，合并同类项，整式化简求值
【点评】
本题核心考查整体思想在整式运算及代数式求值中的应用，解题时无需单独求解每个未知数的值，只需将目标式子变形为与已知条件相关的整体形式，代入即可简化计算，是代数运算中常用的技巧类题型。
【难度系数】
0.7
这道题主要运用整体思想求解：
(1) 把$(a-b)^2$看作一个整体，类比合并同类项的法则，只把系数相加减，整体部分保持不变，即可求出结果；
(2) 观察所求代数式$3x^2-6y-21$，发现前两项提取公因式3后可变形为$3(x^2-2y)$，而已知$x^2-2y=4$，将其整体代入即可计算出结果；
(3) 先对所求的代数式去括号，再重新合并整理，将其转化为含有已知的$a-2b$、$2b-c$、$c-d$的形式，最后将已知的值整体代入计算即可。
【解析】
(1) 将$(a-b)^2$看作整体合并系数：
$3(a-b)^2 - 6(a-b)^2 + 2(a-b)^2 = (3-6+2)(a-b)^2 = -(a-b)^2$；
(2) 先对所求代数式变形：
$3x^2 -6y -21 = 3(x^2 - 2y) -21$，
把$x^2 -2y=4$代入上式：
原式$=3×4 -21 = 12 -21 = -9$；
(3) 先对所求式子去括号化简：
$(a - c) + (2b - d) - (2b - c) = a -c +2b -d -2b +c$，
重新组合得：$a -2b +2b -c +c -d = (a-2b)+(2b -c)+(c -d)$，
把$a - 2b = 3, 2b - c = -5, c - d = 10$代入得：
原式$=3 + (-5) +10 = 8$。
【答案】
(1)$-(a-b)^2$；(2)$-9$；(3)$8$
【知识点】
整体代入思想，合并同类项，整式化简求值
【点评】
本题核心考查整体思想在整式运算及代数式求值中的应用，解题时无需单独求解每个未知数的值，只需将目标式子变形为与已知条件相关的整体形式，代入即可简化计算，是代数运算中常用的技巧类题型。
【难度系数】
0.7
12.有理数$a,b,c$在数轴上对应点的位置如图所示。
(1)判断正负，用“＜”或“＞”填空：$a - c$
(2)化简：$|b + c| - |a - c| + |c - b|$。
(1)判断正负，用“＜”或“＞”填空：$a - c$
$＜$
$0$，$a + b$ $＜$
$0$，$c - b$ $＞$
$0$；(2)化简：$|b + c| - |a - c| + |c - b|$。
答案
12.解:(1)$＜$ $＜$ $＞$
(2)由题意得$b + c＞0,a - c＜0,c - b＞0$,
所以$|b + c| - |a - c| + |c - b| =b + c +a -c +c -b =a + c$。
(2)由题意得$b + c＞0,a - c＜0,c - b＞0$,
所以$|b + c| - |a - c| + |c - b| =b + c +a -c +c -b =a + c$。
解析
【分析】
解题首先从数轴信息入手，数轴上右边的数始终大于左边的数，因此可得$a＜0＜b＜c$，且$a$到原点的距离大于$b$到原点的距离，即$|a|＞|b|$。
解决第（1）问时：①判断$a-c$的正负：较小数减较大数结果为负；②判断$a+b$的正负：异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，$a$是负数且$|a|＞|b|$，因此和为负；③判断$c-b$的正负：较大数减较小数结果为正。
解决第（2）问时，先判断每个绝对值内代数式的正负：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值符号后再合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：由数轴可知：$a＜0＜b＜c$，且$|a|＞|b|$。
(1) 因为$a＜c$，所以$a - c ＜ 0$；
因为$a$为负数，$b$为正数，且$|a|＞|b|$，异号两数相加取绝对值较大的符号，所以$a + b ＜ 0$；
因为$c＞b$，所以$c - b ＞ 0$。
(2) 先判断绝对值内式子的正负：
因为$b$、$c$均为正数，所以$b + c ＞ 0$，则$|b+c|=b+c$；
由(1)知$a - c ＜ 0$，则$|a - c|=-(a - c)$；
由(1)知$c - b ＞ 0$，则$|c - b|=c - b$。
代入原式计算：
$\begin{aligned}|b + c| - |a - c| + |c - b|&= b + c - [-(a - c)] + c - b\\&=b + c +a -c +c -b\\&=a + c\end{aligned}$
【答案】
(1) $＜$；$＜$；$＞$
(2) $a + c$
【知识点】
1.数轴的应用 2.绝对值的性质 3.整式的加减
【点评】
本题结合数轴考查有理数性质与绝对值化简，解题核心是先通过数轴确定各数的大小关系，准确判断绝对值内代数式的正负，再根据绝对值的性质去符号化简，是有理数章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题首先从数轴信息入手，数轴上右边的数始终大于左边的数，因此可得$a＜0＜b＜c$，且$a$到原点的距离大于$b$到原点的距离，即$|a|＞|b|$。
解决第（1）问时：①判断$a-c$的正负：较小数减较大数结果为负；②判断$a+b$的正负：异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，$a$是负数且$|a|＞|b|$，因此和为负；③判断$c-b$的正负：较大数减较小数结果为正。
解决第（2）问时，先判断每个绝对值内代数式的正负：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值符号后再合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：由数轴可知：$a＜0＜b＜c$，且$|a|＞|b|$。
(1) 因为$a＜c$，所以$a - c ＜ 0$；
因为$a$为负数，$b$为正数，且$|a|＞|b|$，异号两数相加取绝对值较大的符号，所以$a + b ＜ 0$；
因为$c＞b$，所以$c - b ＞ 0$。
(2) 先判断绝对值内式子的正负：
因为$b$、$c$均为正数，所以$b + c ＞ 0$，则$|b+c|=b+c$；
由(1)知$a - c ＜ 0$，则$|a - c|=-(a - c)$；
由(1)知$c - b ＞ 0$，则$|c - b|=c - b$。
代入原式计算：
$\begin{aligned}|b + c| - |a - c| + |c - b|&= b + c - [-(a - c)] + c - b\\&=b + c +a -c +c -b\\&=a + c\end{aligned}$
【答案】
(1) $＜$；$＜$；$＞$
(2) $a + c$
【知识点】
1.数轴的应用 2.绝对值的性质 3.整式的加减
【点评】
本题结合数轴考查有理数性质与绝对值化简，解题核心是先通过数轴确定各数的大小关系，准确判断绝对值内代数式的正负，再根据绝对值的性质去符号化简，是有理数章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
