2. 化简并求值:$(x+1)(x-1)-(x+1)(x-2)$,其中$x=\sqrt{2}-1$.

原式=$x+1$,其值为$\sqrt{2}$

【分析】
这是一道整式化简求值题，解题可分两步进行：第一步先化简整式，第二步代入数值计算。化简时可先观察式子结构：两项都含有公因式(x+1)，可以先提取公因式简化运算，也可以分别运用平方差公式、多项式乘多项式法则展开两个乘积项，再去括号、合并同类项得到最简式，最后将x的值代入最简式计算即可，避免直接代入原式计算导致运算量增大出错。
【解析】
解：方法一（提取公因式法）：
原式$=(x+1)[(x-1)-(x-2)]$
$=(x+1)(x-1-x+2)$
$=(x+1)×1$
$=x+1$
方法二（公式展开法）：
原式$=(x^2-1)-(x^2-2x+x-2)$
$=x^2-1-x^2+x+2$
$=x+1$
将$x=\sqrt{2}-1$代入化简后的式子，得：
原式$=\sqrt{2}-1+1=\sqrt{2}$
【答案】
原式化简为$x+1$，其值为$\sqrt{2}$
【知识点】
平方差公式、整式化简、代入求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，既可以通过提取公因式简化化简过程，也可以按照整式乘法法则逐步展开计算，解题时需注意去括号时的符号变化，代入二次根式计算时要正确合并同类项，熟练掌握整式运算的相关法则是解题关键。
【难度系数】
0.8

3. 计算:$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)(2^{64}+1)+1.$

$2^{128}$

【分析】
观察算式特征，每个因式都是2的幂次加1的形式，符合平方差公式中“两数和”的结构，缺少对应的“两数差”因式。由于$2-1=1$，给原式整体乘$(2-1)$不会改变计算结果，之后即可连续运用平方差公式逐步化简，最后加上常数1就能得到最终结果。
【解析】
解：给原式前添加因数$(2-1)$（$2-1=1$，乘积不变），再逐步运用平方差公式计算：
$\begin{aligned}&\quad(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)(2^{64}+1)+1\\&=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)(2^{64}+1)+1\\&=(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)(2^{64}+1)+1\\&=(2^8-1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)(2^{64}+1)+1\\&=(2^{16}-1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)(2^{64}+1)+1\\&=(2^{32}-1)(2^{32}+1)(2^{64}+1)+1\\&=(2^{64}-1)(2^{64}+1)+1\\&=2^{128}-1+1\\&=2^{128}\end{aligned}$
【答案】
$2^{128}$
【知识点】
平方差公式；整式乘法；简便运算
【点评】
本题是整式乘法巧算的典型题型，核心考查对平方差公式的灵活运用能力，解题关键是通过乘数值为1的$(2-1)$构造平方差公式的适用结构，避免了直接计算高次幂的繁琐，能很好地体现公式简化运算的作用。
【难度系数】
0.6

一、选择题
1. 下列各式运算正确的是()

A.$(x-1)^2 = x^2 - 1$
B.$(2x + 1)^2 = 4x^2 + 2x + 1$
C.$(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4$
D.$(x - 1)^2 = x^2 - 2x - 1$

1.C

【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题思路为：首先回忆完全平方公式的标准形式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，然后依次将每个选项中等式左侧的式子按照公式展开，再和等式右侧的式子对比，若完全一致则该选项运算正确。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，逐一验证选项：
选项A：$(x-1)^2=x^2-2× x×1+1^2=x^2-2x+1≠ x^2-1$，运算错误；
选项B：$(2x+1)^2=(2x)^2+2×2x×1+1^2=4x^2+4x+1≠4x^2+2x+1$，运算错误；
选项C：$(x+2)^2=x^2+2× x×2+2^2=x^2+4x+4$，和等式右侧一致，运算正确；
选项D：$(x-1)^2=x^2-2× x×1+1^2=x^2-2x+1≠ x^2-2x-1$，运算错误。
综上，运算正确的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式；整式乘法运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对完全平方公式展开形式的掌握，解题时需注意不要遗漏中间的2倍项，同时要注意符号的正误，熟练掌握公式即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8

2. 下列等式正确的是()

A.$(a - b)(a - b) = a^2 - b^2$
B.$(a - b)^2 = a^2 - ab + b^2$
C.$(a + b)^2 = a^2 + ab + b^2$
D.$(a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab$

2.D

【分析】
本题考查乘法公式的应用，解题时首先回忆平方差公式、完全平方公式的展开形式，再逐一计算每个选项等式左右两边的结果，对比是否相等，即可选出正确选项。
【解析】
先明确初中阶段的两个核心乘法公式：
1. 平方差公式：$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$
2. 完全平方公式：$\boldsymbol{(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2}$
逐一验证选项：
选项A：左边$(a-b)(a-b)=(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，右边为$a^2-b^2$，左右两边不相等，A错误。
选项B：左边$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，右边为$a^2-ab+b^2$，中间项系数不符，B错误。
选项C：左边$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，右边为$a^2+ab+b^2$，中间项系数不符，C错误。
选项D：右边$(a-b)^2+4ab=(a^2-2ab+b^2)+4ab=a^2+2ab+b^2$，左边$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，左右两边相等，D正确。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题重点考查对乘法公式结构特征的掌握，做题时要注意完全平方公式的中间项系数为2，避免因记忆混淆出错，也可以通过展开等式两边验证是否相等的方法解题，降低错误率。
【难度系数】
0.8

3. 计算$(x+2y)(-x-2y)$的结果是()

A.$x^2 -4y^2$
B.$x^2 -2y^2$
C.$x^2 -4xy -4y^2$
D.$-x^2 -4xy -4y^2$

3.D

【分析】
解题时首先观察两个多项式因式的特点，发现第二个因式$-x-2y$可以提取负号变形为$-(x+2y)$，此时原式可转化为$-(x+2y)^2$，再利用完全平方公式展开计算即可；也可以直接按照多项式乘多项式的法则逐项相乘后合并同类项得到结果，计算时要重点注意符号不要出错。
【解析】
方法一：利用完全平方公式计算
第一步：对第二个因式提取负号变形：
$(x+2y)(-x-2y)=(x+2y)·[-(x+2y)]=-(x+2y)^2$
第二步：根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$展开，其中$a=x$，$b=2y$：
$(x+2y)^2=x^2+2· x·2y+(2y)^2=x^2+4xy+4y^2$
第三步：去括号得到最终结果：
$-(x^2+4xy+4y^2)=-x^2-4xy-4y^2$
方法二：直接用多项式乘多项式法则计算
逐项相乘后合并同类项：
$\begin{aligned}(x+2y)(-x-2y)&=x·(-x)+x·(-2y)+2y·(-x)+2y·(-2y)\\&=-x^2-2xy-2xy-4y^2\\&=-x^2-4xy-4y^2\end{aligned}$
因此计算结果为$-x^2-4xy-4y^2$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.完全平方公式 2.多项式乘多项式 3.整式符号化简
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，解题的核心是观察因式特征，灵活选择简便方法运算，要注意规避符号处理错误、完全平方公式展开漏项等常见问题。
【难度系数】
0.8

4. 如图1，根据标注可知该图所反映的乘法公式是()

A.$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
B.$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
C.$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
D.$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$

4.C

【分析】
解题时先利用“同一图形面积两种表示方法相等”的思路推导等式：①先直接计算阴影正方形的面积；②再用大正方形面积减去空白部分面积间接得到阴影面积；③联立两个面积表达式得到等式，再结合“乘法公式是整式乘法（从乘积形式到多项式形式）”的要求判断正确选项即可。
【解析】
1. 直接计算阴影部分面积：观察图形可知阴影部分是正方形，边长为$ a-b $，因此面积$ S=(a-b)^2 $。
2. 间接计算阴影部分面积：大正方形边长为$ a $，面积为$ a^2 $；空白部分是2个长为$ a $、宽为$ b $的长方形，两个长方形重叠了1个边长为$ b $的小正方形，因此空白部分总面积为$ ab+ab - b^2=2ab - b^2 $，因此阴影部分面积$ S=a^2 - (2ab - b^2)=a^2 - 2ab + b^2 $。
3. 联立两个面积表达式可得：$ (a-b)^2=a^2 - 2ab + b^2 $，该式是整式乘法形式的完全平方差公式，符合题目要求。
4. 排除D选项：D选项是从多项式转化为乘积形式，属于因式分解，不属于乘法公式，因此错误。
综上答案选C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方差公式；面积法验证代数公式；整式乘法与因式分解的区别
【点评】
本题考查数形结合思想在公式推导中的应用，解题时要注意明确乘法公式和因式分解的形式差异，避免混淆公式的变形方向。
【难度系数】
0.7