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二、填空题
1. 计算：$(x+2y)^2 =$
1. 计算：$(x+2y)^2 =$
$x^2+4xy+4y^2$
.答案
1.$x^2+4xy+4y^2$
解析
【分析】
本题考查完全平方和公式的应用，解题思路如下：第一步，先回忆完全平方和公式的结构：两个数的和的平方，等于这两个数的平方和加上它们乘积的2倍，即$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；第二步，确定本题中公式对应的a和b，这里a是$x$，b是$2y$；第三步，将a、b代入公式展开，分别计算每一项后合并即可得到结果。
【解析】
根据完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将$a=x$，$b=2y$代入公式计算：
$\begin{aligned}(x+2y)^2&=x^2 + 2· x· 2y + (2y)^2\\&=x^2 + 4xy + 4y^2\end{aligned}$
【答案】
$x^2+4xy+4y^2$
【知识点】
完全平方公式、整式乘法
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对完全平方公式结构的掌握，解题时要注意准确对应公式中的两项，尤其不要遗漏中间项的系数运算，避免出现$(x+2y)^2=x^2+4y^2$这类常见错误，熟练掌握公式即可快速解答。
【难度系数】
0.9
本题考查完全平方和公式的应用，解题思路如下：第一步，先回忆完全平方和公式的结构：两个数的和的平方，等于这两个数的平方和加上它们乘积的2倍，即$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；第二步，确定本题中公式对应的a和b，这里a是$x$，b是$2y$；第三步，将a、b代入公式展开，分别计算每一项后合并即可得到结果。
【解析】
根据完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将$a=x$，$b=2y$代入公式计算：
$\begin{aligned}(x+2y)^2&=x^2 + 2· x· 2y + (2y)^2\\&=x^2 + 4xy + 4y^2\end{aligned}$
【答案】
$x^2+4xy+4y^2$
【知识点】
完全平方公式、整式乘法
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对完全平方公式结构的掌握，解题时要注意准确对应公式中的两项，尤其不要遗漏中间项的系数运算，避免出现$(x+2y)^2=x^2+4y^2$这类常见错误，熟练掌握公式即可快速解答。
【难度系数】
0.9
2. 计算：$(-a + 2)^2 =$
$a^2-4a+4$
.答案
2.$a^2-4a+4$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先观察算式$(-a+2)^2$，可先将其变形为便于套用公式的形式，比如转化为$(2 - a)^2$（或$[(-a)+2]^2$），再回忆完全平方公式：$(m\pm n)^2 = m^2\pm2mn +n^2$，确定公式中对应的$m$、$n$，代入公式计算即可，计算过程中要重点注意符号和中间项的运算，避免出错。
【解析】
我们可以利用完全平方公式求解：
方法1：将原式变形为$(2 - a)^2$，根据完全平方差公式$(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$，令$A=2$，$B=a$，代入得：
$\begin{aligned}(2 - a)^2 &= 2^2 - 2×2× a + a^2\\&= 4 - 4a + a^2\\&=a^2 -4a +4\end{aligned}$
方法2：将原式看作$[(-a) + 2]^2$，根据完全平方和公式$(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$，令$A=-a$，$B=2$，代入得：
$\begin{aligned}[(-a) + 2]^2 &= (-a)^2 + 2×(-a)×2 + 2^2\\&= a^2 -4a +4\end{aligned}$
【答案】
$a^2-4a+4$
【知识点】
1.完全平方公式 2.整式乘法运算
【点评】
本题属于完全平方公式的基础应用题型，解题的关键是准确匹配公式中的两项，注意符号运算，避免出现漏算中间项、符号错误的常见失误。
【难度系数】
0.9
本题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先观察算式$(-a+2)^2$，可先将其变形为便于套用公式的形式，比如转化为$(2 - a)^2$（或$[(-a)+2]^2$），再回忆完全平方公式：$(m\pm n)^2 = m^2\pm2mn +n^2$，确定公式中对应的$m$、$n$，代入公式计算即可，计算过程中要重点注意符号和中间项的运算，避免出错。
【解析】
我们可以利用完全平方公式求解：
方法1：将原式变形为$(2 - a)^2$，根据完全平方差公式$(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$，令$A=2$，$B=a$，代入得：
$\begin{aligned}(2 - a)^2 &= 2^2 - 2×2× a + a^2\\&= 4 - 4a + a^2\\&=a^2 -4a +4\end{aligned}$
方法2：将原式看作$[(-a) + 2]^2$，根据完全平方和公式$(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$，令$A=-a$，$B=2$，代入得：
$\begin{aligned}[(-a) + 2]^2 &= (-a)^2 + 2×(-a)×2 + 2^2\\&= a^2 -4a +4\end{aligned}$
【答案】
$a^2-4a+4$
【知识点】
1.完全平方公式 2.整式乘法运算
【点评】
本题属于完全平方公式的基础应用题型，解题的关键是准确匹配公式中的两项，注意符号运算，避免出现漏算中间项、符号错误的常见失误。
【难度系数】
0.9
3. 已知$a + b = 3$，$ab = 2$，则$a - b =$
±1
.答案
3.±1
解析
【分析】
题目给出了a+b与ab的值，要求a-b，我们可以利用完全平方公式的变形来求解，不需要单独算出a、b的具体值。首先回忆完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将两个公式相减可推导得到$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，这个式子刚好把已知条件和所求的量关联起来。我们先代入已知值算出$(a-b)^2$的结果，再对结果开平方即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
解：根据完全平方公式的变形可得：
$\begin{aligned}(a-b)^2&=(a+b)^2-4ab \\\intertext{将$a+b=3$，$ab=2$代入上式：}(a-b)^2&=3^2-4×2 \\&=9-8 \\&=1 \\\intertext{对等式两边开平方：}a-b&=\pm\sqrt{1}=\pm1\end{aligned}$
【答案】
±1
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，平方根运算
【点评】
本题是整式乘法中的常考基础题型，核心考查完全平方公式的变形应用，解题的关键是熟练掌握$(a+b)^2$与$(a-b)^2$之间的转换关系，计算时注意开平方不要遗漏负根。
【难度系数】
0.7
题目给出了a+b与ab的值，要求a-b，我们可以利用完全平方公式的变形来求解，不需要单独算出a、b的具体值。首先回忆完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将两个公式相减可推导得到$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，这个式子刚好把已知条件和所求的量关联起来。我们先代入已知值算出$(a-b)^2$的结果，再对结果开平方即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
解：根据完全平方公式的变形可得：
$\begin{aligned}(a-b)^2&=(a+b)^2-4ab \\\intertext{将$a+b=3$，$ab=2$代入上式：}(a-b)^2&=3^2-4×2 \\&=9-8 \\&=1 \\\intertext{对等式两边开平方：}a-b&=\pm\sqrt{1}=\pm1\end{aligned}$
【答案】
±1
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，平方根运算
【点评】
本题是整式乘法中的常考基础题型，核心考查完全平方公式的变形应用，解题的关键是熟练掌握$(a+b)^2$与$(a-b)^2$之间的转换关系，计算时注意开平方不要遗漏负根。
【难度系数】
0.7
4.* 如果$x^2 - 12x + m^2$恰好是一个整式的平方，那么m的值是
±6
。答案
4.±6
解析
【分析】
解题时首先回忆完全平方式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子是完全平方式，可写成$(a\pm b)^2$的形式。我们先将给定的式子和完全平方式的结构做对应：首项$x^2$对应$a^2$，可得$a=x$；中间项$-12x$对应$-2ab$，代入$a=x$就能算出$b$的值；最后常数项$m^2$对应$b^2$，求解即可得到$m$的值，注意平方等于正数的数有两个互为相反数的根，不要漏解。
【解析】
解：因为$x^2 - 12x + m^2$是整式的平方，即它是完全平方式，符合完全平方公式$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$的结构。
对比式子可得：$a = x$，
中间项$-2ab = -12x$，把$a=x$代入得：$-2x·b = -12x$，
化简解得$b = 6$，
则常数项满足$m^2 = b^2 = 6^2 = 36$，
对$m^2=36$开平方得$m = ±\sqrt{36} = ±6$。
【答案】
±6
【知识点】
1.完全平方公式 2.平方根的性质
【点评】
本题考查完全平方式的应用，解题关键是找准完全平方式中各项的对应关系，易错点是求解$m$时容易忽略负根，导致漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆完全平方式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子是完全平方式，可写成$(a\pm b)^2$的形式。我们先将给定的式子和完全平方式的结构做对应：首项$x^2$对应$a^2$，可得$a=x$；中间项$-12x$对应$-2ab$，代入$a=x$就能算出$b$的值；最后常数项$m^2$对应$b^2$，求解即可得到$m$的值，注意平方等于正数的数有两个互为相反数的根，不要漏解。
【解析】
解：因为$x^2 - 12x + m^2$是整式的平方，即它是完全平方式，符合完全平方公式$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$的结构。
对比式子可得：$a = x$，
中间项$-2ab = -12x$，把$a=x$代入得：$-2x·b = -12x$，
化简解得$b = 6$，
则常数项满足$m^2 = b^2 = 6^2 = 36$，
对$m^2=36$开平方得$m = ±\sqrt{36} = ±6$。
【答案】
±6
【知识点】
1.完全平方公式 2.平方根的性质
【点评】
本题考查完全平方式的应用，解题关键是找准完全平方式中各项的对应关系，易错点是求解$m$时容易忽略负根，导致漏解。
【难度系数】
0.7
三、解答题
1. 计算下列各式:
(1) $(3a - b)^2$
(2) $(-\dfrac{1}{2}a + b)^2$
(3) $(\dfrac{1}{4}x + \dfrac{2}{3}y)^2$
(4) $(-3x - 2y)^2$
(5) $(x^2 + 1)^2$
(6) $(x^2 - \dfrac{1}{x^2})^2$
(7) $2024 × 2026 - 2025^2$
(8) $199^2$
1. 计算下列各式:
(1) $(3a - b)^2$
(2) $(-\dfrac{1}{2}a + b)^2$
(3) $(\dfrac{1}{4}x + \dfrac{2}{3}y)^2$
(4) $(-3x - 2y)^2$
(5) $(x^2 + 1)^2$
(6) $(x^2 - \dfrac{1}{x^2})^2$
(7) $2024 × 2026 - 2025^2$
(8) $199^2$
答案
1.(1)$9a^2-6ab+b^2$ (2)$\frac{1}{4}a^2-ab+b^2$ (3)$\frac{1}{16}x^2+\frac{1}{3}xy+\frac{4}{9}y^2$ (4)$9x^2+12xy+4y^2$ (5)$x^4+2x^2+1$ (6)$x^4-2+\frac{1}{x^4}$ (7)-1 (8)39 601
解析
【分析】
这组习题主要考查完全平方公式、平方差公式的应用，解题思路如下：1. 对于前6道整式平方的题目，先明确完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，解题时先找准每个式子中对应公式里的$a$和$b$，带负号的项可以整体作为$a$或$b$，也可以先提取负号利用平方的非负性简化计算，再代入公式展开化简即可。2. 第(7)题观察到两个乘数2024、2026均与2025相差1，可将其改写为$(2025-1)$和$(2025+1)$，利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$简化计算，避免大数相乘。3. 第(8)题199接近整百数200，可改写为$(200-1)$，再套用完全平方公式简便计算，降低计算量。
【解析】
根据乘法公式逐一计算：
(1) 代入完全平方差公式：
$(3a - b)^2=(3a)^2 - 2· 3a· b + b^2=9a^2-6ab+b^2$
(2) 代入完全平方和公式：
$(-\frac{1}{2}a + b)^2=(-\frac{1}{2}a)^2 + 2· (-\frac{1}{2}a)· b + b^2=\frac{1}{4}a^2 -ab + b^2$
(3) 代入完全平方和公式：
$(\frac{1}{4}x + \frac{2}{3}y)^2=(\frac{1}{4}x)^2 + 2· \frac{1}{4}x· \frac{2}{3}y + (\frac{2}{3}y)^2=\frac{1}{16}x^2 + \frac{1}{3}xy + \frac{4}{9}y^2$
(4) 先利用平方的非负性化简，再代入完全平方和公式：
$(-3x-2y)^2=[-(3x+2y)]^2=(3x+2y)^2=(3x)^2 + 2· 3x· 2y + (2y)^2=9x^2+12xy+4y^2$
(5) 代入完全平方和公式：
$(x^2 + 1)^2=(x^2)^2 + 2· x^2· 1 + 1^2=x^4+2x^2+1$
(6) 代入完全平方差公式：
$(x^2 - \frac{1}{x^2})^2=(x^2)^2 - 2· x^2· \frac{1}{x^2} + (\frac{1}{x^2})^2=x^4 -2 + \frac{1}{x^4}$
(7) 先利用平方差公式改写乘法项：
$2024×2026=(2025-1)(2025+1)=2025^2 -1$
代入原式得：$2025^2 -1 -2025^2=-1$
(8) 改写为完全平方差形式计算：
$199^2=(200-1)^2=200^2 - 2· 200· 1 + 1^2=40000 - 400 + 1=39601$
【答案】
(1)$9a^2-6ab+b^2$ (2)$\frac{1}{4}a^2-ab+b^2$ (3)$\frac{1}{16}x^2+\frac{1}{3}xy+\frac{4}{9}y^2$ (4)$9x^2+12xy+4y^2$ (5)$x^4+2x^2+1$ (6)$x^4-2+\frac{1}{x^4}$ (7)$-1$ (8)$39601$
【知识点】
完全平方公式；平方差公式；整式简便运算
【点评】
本题是乘法公式的基础应用习题，核心要求是熟练掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征，解题时要准确识别公式中的对应项，注意符号运算，遇到大数计算时优先考虑改写为符合公式的形式简化计算，能有效降低出错率。
【难度系数】
0.8
这组习题主要考查完全平方公式、平方差公式的应用，解题思路如下：1. 对于前6道整式平方的题目，先明确完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，解题时先找准每个式子中对应公式里的$a$和$b$，带负号的项可以整体作为$a$或$b$，也可以先提取负号利用平方的非负性简化计算，再代入公式展开化简即可。2. 第(7)题观察到两个乘数2024、2026均与2025相差1，可将其改写为$(2025-1)$和$(2025+1)$，利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$简化计算，避免大数相乘。3. 第(8)题199接近整百数200，可改写为$(200-1)$，再套用完全平方公式简便计算，降低计算量。
【解析】
根据乘法公式逐一计算：
(1) 代入完全平方差公式：
$(3a - b)^2=(3a)^2 - 2· 3a· b + b^2=9a^2-6ab+b^2$
(2) 代入完全平方和公式：
$(-\frac{1}{2}a + b)^2=(-\frac{1}{2}a)^2 + 2· (-\frac{1}{2}a)· b + b^2=\frac{1}{4}a^2 -ab + b^2$
(3) 代入完全平方和公式：
$(\frac{1}{4}x + \frac{2}{3}y)^2=(\frac{1}{4}x)^2 + 2· \frac{1}{4}x· \frac{2}{3}y + (\frac{2}{3}y)^2=\frac{1}{16}x^2 + \frac{1}{3}xy + \frac{4}{9}y^2$
(4) 先利用平方的非负性化简，再代入完全平方和公式：
$(-3x-2y)^2=[-(3x+2y)]^2=(3x+2y)^2=(3x)^2 + 2· 3x· 2y + (2y)^2=9x^2+12xy+4y^2$
(5) 代入完全平方和公式：
$(x^2 + 1)^2=(x^2)^2 + 2· x^2· 1 + 1^2=x^4+2x^2+1$
(6) 代入完全平方差公式：
$(x^2 - \frac{1}{x^2})^2=(x^2)^2 - 2· x^2· \frac{1}{x^2} + (\frac{1}{x^2})^2=x^4 -2 + \frac{1}{x^4}$
(7) 先利用平方差公式改写乘法项：
$2024×2026=(2025-1)(2025+1)=2025^2 -1$
代入原式得：$2025^2 -1 -2025^2=-1$
(8) 改写为完全平方差形式计算：
$199^2=(200-1)^2=200^2 - 2· 200· 1 + 1^2=40000 - 400 + 1=39601$
【答案】
(1)$9a^2-6ab+b^2$ (2)$\frac{1}{4}a^2-ab+b^2$ (3)$\frac{1}{16}x^2+\frac{1}{3}xy+\frac{4}{9}y^2$ (4)$9x^2+12xy+4y^2$ (5)$x^4+2x^2+1$ (6)$x^4-2+\frac{1}{x^4}$ (7)$-1$ (8)$39601$
【知识点】
完全平方公式；平方差公式；整式简便运算
【点评】
本题是乘法公式的基础应用习题，核心要求是熟练掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征，解题时要准确识别公式中的对应项，注意符号运算，遇到大数计算时优先考虑改写为符合公式的形式简化计算，能有效降低出错率。
【难度系数】
0.8
2. 先化简，再求值：
(1)$(2x-1)^2 + (x+2)(x-2) - 4x(x-1)$，其中$x=3$；
(2)$2a(a+b) - (a+b)^2$，其中$a=-5$，$b=\frac{1}{2}$。
(1)$(2x-1)^2 + (x+2)(x-2) - 4x(x-1)$，其中$x=3$；
(2)$2a(a+b) - (a+b)^2$，其中$a=-5$，$b=\frac{1}{2}$。
答案
2.(1)$x^2-3,6$ (2)$a^2-b^2,24\frac{3}{4}$
解析
【分析】
这两道题均为整式化简求值类题目，解题整体思路为先利用整式乘法公式（完全平方公式、平方差公式）及单项式乘多项式法则将原式展开，再合并同类项得到最简整式，最后将对应字母的取值代入最简式计算结果，该方法相较于直接代入原式计算，计算量更小、准确率更高。具体到(1)题，需分别展开完全平方式、平方差式、单项式乘多项式三项，再合并同类项；(2)题既可以通过展开式子合并同类项化简，也可通过提取公因式结合平方差公式快速化简。
【解析】
(1) 计算过程：
① 利用公式展开各项：
$(2x-1)^2=4x^2-4x+1$，
$(x+2)(x-2)=x^2-4$，
$4x(x-1)=4x^2-4x$。
② 代入原式去括号：
$\begin{aligned}原式&=4x^2-4x+1 + x^2 -4 - (4x^2-4x)\\&=4x^2-4x+1+x^2-4-4x^2+4x\end{aligned}$
③ 合并同类项得最简式：
$原式=(4x^2+x^2-4x^2)+(-4x+4x)+(1-4)=x^2-3$
④ 代入$x=3$求值：
当$x=3$时，$原式=3^2 -3=9-3=6$。
(2) 计算过程：
① 展开或因式分解化简：
方法1：展开合并法
$\begin{aligned}原式&=2a^2+2ab - (a^2+2ab+b^2)\\&=2a^2+2ab -a^2-2ab -b^2\\&=a^2 -b^2\end{aligned}$
方法2：提公因式法
$\begin{aligned}原式&=(a+b)[2a - (a+b)]\\&=(a+b)(a-b)\\&=a^2-b^2\end{aligned}$
② 代入$a=-5$，$b=\frac{1}{2}$求值：
$原式=(-5)^2 - (\frac{1}{2})^2=25 - \frac{1}{4}=24\frac{3}{4}$。
【答案】
(1) 化简得$x^2-3$，值为$6$；(2) 化简得$a^2-b^2$，值为$24\frac{3}{4}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查乘法公式的灵活运用能力，通过先化简后代入的思路能够大幅简化计算过程，解题时需注意去括号时的符号变化，避免因运算细节出错。
【难度系数】
0.8
这两道题均为整式化简求值类题目，解题整体思路为先利用整式乘法公式（完全平方公式、平方差公式）及单项式乘多项式法则将原式展开，再合并同类项得到最简整式，最后将对应字母的取值代入最简式计算结果，该方法相较于直接代入原式计算，计算量更小、准确率更高。具体到(1)题，需分别展开完全平方式、平方差式、单项式乘多项式三项，再合并同类项；(2)题既可以通过展开式子合并同类项化简，也可通过提取公因式结合平方差公式快速化简。
【解析】
(1) 计算过程：
① 利用公式展开各项：
$(2x-1)^2=4x^2-4x+1$，
$(x+2)(x-2)=x^2-4$，
$4x(x-1)=4x^2-4x$。
② 代入原式去括号：
$\begin{aligned}原式&=4x^2-4x+1 + x^2 -4 - (4x^2-4x)\\&=4x^2-4x+1+x^2-4-4x^2+4x\end{aligned}$
③ 合并同类项得最简式：
$原式=(4x^2+x^2-4x^2)+(-4x+4x)+(1-4)=x^2-3$
④ 代入$x=3$求值：
当$x=3$时，$原式=3^2 -3=9-3=6$。
(2) 计算过程：
① 展开或因式分解化简：
方法1：展开合并法
$\begin{aligned}原式&=2a^2+2ab - (a^2+2ab+b^2)\\&=2a^2+2ab -a^2-2ab -b^2\\&=a^2 -b^2\end{aligned}$
方法2：提公因式法
$\begin{aligned}原式&=(a+b)[2a - (a+b)]\\&=(a+b)(a-b)\\&=a^2-b^2\end{aligned}$
② 代入$a=-5$，$b=\frac{1}{2}$求值：
$原式=(-5)^2 - (\frac{1}{2})^2=25 - \frac{1}{4}=24\frac{3}{4}$。
【答案】
(1) 化简得$x^2-3$，值为$6$；(2) 化简得$a^2-b^2$，值为$24\frac{3}{4}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查乘法公式的灵活运用能力，通过先化简后代入的思路能够大幅简化计算过程，解题时需注意去括号时的符号变化，避免因运算细节出错。
【难度系数】
0.8
