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3. 已知一个长方形的周长为80 cm，面积为36 cm²，试问以该长方形的长和宽为边长的两个正方形的面积之和是多少？
答案
3.$1528\ \mathrm{cm^2}$
解析
【分析】
首先明确所求问题是两个正方形的面积之和，即长方形长的平方加宽的平方。我们先从已知条件入手：长方形周长为80cm，可推出长与宽的和；面积为36cm²，可直接得到长与宽的乘积。此时不需要单独求解长和宽的具体值，可利用完全平方公式的变形：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，将已知的长与宽的和、长与宽的乘积整体代入计算，即可快速得到结果。
【解析】
设长方形的长为$a\ \mathrm{cm}$，宽为$b\ \mathrm{cm}$。
1. 根据长方形周长公式：$2(a+b)=80$，化简得：$a+b=40$。
2. 根据长方形面积公式：$ab=36$。
3. 两个正方形的面积之和为$a^2 + b^2$，利用完全平方公式变形可得：
$a^2 + b^2=(a+b)^2 - 2ab$
将$a+b=40$，$ab=36$代入上式：
$a^2 + b^2=40^2 - 2×36=1600 - 72=1528\ (\mathrm{cm^2})$
【答案】
$1528\ \mathrm{cm^2}$
【知识点】
完全平方公式变形；长方形周长与面积计算；正方形面积计算
【点评】
本题解题关键是熟练掌握完全平方公式的变形，运用整体代入的思想简化计算，无需单独求解长方形长和宽的具体数值，避免了不必要的运算，要注意积累公式变形的常用技巧。
【难度系数】
0.7
首先明确所求问题是两个正方形的面积之和，即长方形长的平方加宽的平方。我们先从已知条件入手：长方形周长为80cm，可推出长与宽的和；面积为36cm²，可直接得到长与宽的乘积。此时不需要单独求解长和宽的具体值，可利用完全平方公式的变形：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，将已知的长与宽的和、长与宽的乘积整体代入计算，即可快速得到结果。
【解析】
设长方形的长为$a\ \mathrm{cm}$，宽为$b\ \mathrm{cm}$。
1. 根据长方形周长公式：$2(a+b)=80$，化简得：$a+b=40$。
2. 根据长方形面积公式：$ab=36$。
3. 两个正方形的面积之和为$a^2 + b^2$，利用完全平方公式变形可得：
$a^2 + b^2=(a+b)^2 - 2ab$
将$a+b=40$，$ab=36$代入上式：
$a^2 + b^2=40^2 - 2×36=1600 - 72=1528\ (\mathrm{cm^2})$
【答案】
$1528\ \mathrm{cm^2}$
【知识点】
完全平方公式变形；长方形周长与面积计算；正方形面积计算
【点评】
本题解题关键是熟练掌握完全平方公式的变形，运用整体代入的思想简化计算，无需单独求解长方形长和宽的具体数值，避免了不必要的运算，要注意积累公式变形的常用技巧。
【难度系数】
0.7
【拓展思考】
某镇正在建造的文化广场工地上，有两种铺设广场地面的材料，一种是长为$a$，宽为$b$的长方形板材(如图2-1)，另一种是边长为$c$的正方形地砖(如图2-2).
(1)用几块如图2-2所示的正方形地砖能拼出一个新的正方形？并写出新正方形的面积(写出一个符合条件的答案即可).
(2)用如图2-1所示的四块长方形板材铺成如图2-3的大正方形或如图2-4的大长方形，中间分别空出一个小正方形或小长方形(即图中阴影部分).
①请用含$a$、$b$的代数式分别表示图2-3和图2-4中阴影部分的面积；
②图2-3和图2-4中阴影部分的面积哪个大？大多少？
某镇正在建造的文化广场工地上，有两种铺设广场地面的材料，一种是长为$a$，宽为$b$的长方形板材(如图2-1)，另一种是边长为$c$的正方形地砖(如图2-2).
(1)用几块如图2-2所示的正方形地砖能拼出一个新的正方形？并写出新正方形的面积(写出一个符合条件的答案即可).
(2)用如图2-1所示的四块长方形板材铺成如图2-3的大正方形或如图2-4的大长方形，中间分别空出一个小正方形或小长方形(即图中阴影部分).
①请用含$a$、$b$的代数式分别表示图2-3和图2-4中阴影部分的面积；
②图2-3和图2-4中阴影部分的面积哪个大？大多少？
答案
(1)四块即可拼成一个边长的2c的正方形,则面积是$4c^2$.(答案不唯一)
(2)①图2-3中阴影部分的面积是:$(a-b)^2$,图2-4中阴影部分的面积是:$a(a-2b)$
②$\because (a-b)^2-a(a-2b)=a^2-2ab+b^2-a^2+2ab=b^2＞0, \therefore (a-b)^2＞a(a-2b)$. 故图2-3中阴影部分的面积较大,大$b^2$.
(2)①图2-3中阴影部分的面积是:$(a-b)^2$,图2-4中阴影部分的面积是:$a(a-2b)$
②$\because (a-b)^2-a(a-2b)=a^2-2ab+b^2-a^2+2ab=b^2＞0, \therefore (a-b)^2＞a(a-2b)$. 故图2-3中阴影部分的面积较大,大$b^2$.
解析
【分析】
(1) 要用边长为$c$的小正方形拼新的大正方形，需保证大正方形的边长是小正方形边长的正整数倍，取$n$行$n$列（$n$为大于1的正整数）个小正方形即可，例如取4块拼成边长为$2c$的大正方形，再根据正方形面积公式计算面积即可。
(2) ① 计算阴影面积可采用“整体面积减空白面积”的思路：图2-3中大正方形边长为$a+b$，空白是4块长$a$宽$b$的长方形，用大正方形面积减去4个长方形面积，化简即可得阴影面积；图2-4中阴影为长方形，观察得长为$a$，宽为$a-2b$，直接用长方形面积公式计算即可。
② 比较两个代数式大小采用作差法，将两个阴影面积的代数式相减，利用完全平方公式展开化简，根据结果的正负判断大小，同时求出差值即可。
【解析】
(1) 取4块边长为$c$的正方形地砖，可拼成边长为$2c$的新正方形，
新正方形的面积为：$(2c)^2=4c^2$（答案不唯一）。
(2) ① 图2-3中，大正方形边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$，4块长方形板材总面积为$4ab$，
阴影部分面积为：$(a+b)^2-4ab=a^2+2ab+b^2-4ab=(a-b)^2$。
图2-4中，阴影小长方形的长为$a$，宽为$a-2b$，
阴影部分面积为：$a(a-2b)$。
② 用作差法比较两个面积大小：
$(a-b)^2 - a(a-2b)$
$=a^2-2ab+b^2-a^2+2ab$
$=b^2$
$\because b$是长方形的宽度，$b＞0$，$\therefore b^2＞0$，即$(a-b)^2 - a(a-2b)＞0$，
因此$(a-b)^2＞a(a-2b)$。
【答案】
(1) 4块即可拼成边长为$2c$的正方形，面积是$4c^2$（答案不唯一）；
(2) ①图2-3阴影部分面积为$\boldsymbol{(a-b)^2}$，图2-4阴影部分面积为$\boldsymbol{a(a-2b)}$；
②图2-3中阴影部分的面积较大，大$\boldsymbol{b^2}$。
【知识点】
完全平方公式，面积计算，作差法比较大小
【点评】
本题结合几何图形考查整式运算，体现了数形结合的数学思想，解题时掌握“整体减空白”求面积的方法、作差法比较代数式大小的技巧即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 要用边长为$c$的小正方形拼新的大正方形，需保证大正方形的边长是小正方形边长的正整数倍，取$n$行$n$列（$n$为大于1的正整数）个小正方形即可，例如取4块拼成边长为$2c$的大正方形，再根据正方形面积公式计算面积即可。
(2) ① 计算阴影面积可采用“整体面积减空白面积”的思路：图2-3中大正方形边长为$a+b$，空白是4块长$a$宽$b$的长方形，用大正方形面积减去4个长方形面积，化简即可得阴影面积；图2-4中阴影为长方形，观察得长为$a$，宽为$a-2b$，直接用长方形面积公式计算即可。
② 比较两个代数式大小采用作差法，将两个阴影面积的代数式相减，利用完全平方公式展开化简，根据结果的正负判断大小，同时求出差值即可。
【解析】
(1) 取4块边长为$c$的正方形地砖，可拼成边长为$2c$的新正方形，
新正方形的面积为：$(2c)^2=4c^2$（答案不唯一）。
(2) ① 图2-3中，大正方形边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$，4块长方形板材总面积为$4ab$，
阴影部分面积为：$(a+b)^2-4ab=a^2+2ab+b^2-4ab=(a-b)^2$。
图2-4中，阴影小长方形的长为$a$，宽为$a-2b$，
阴影部分面积为：$a(a-2b)$。
② 用作差法比较两个面积大小：
$(a-b)^2 - a(a-2b)$
$=a^2-2ab+b^2-a^2+2ab$
$=b^2$
$\because b$是长方形的宽度，$b＞0$，$\therefore b^2＞0$，即$(a-b)^2 - a(a-2b)＞0$，
因此$(a-b)^2＞a(a-2b)$。
【答案】
(1) 4块即可拼成边长为$2c$的正方形，面积是$4c^2$（答案不唯一）；
(2) ①图2-3阴影部分面积为$\boldsymbol{(a-b)^2}$，图2-4阴影部分面积为$\boldsymbol{a(a-2b)}$；
②图2-3中阴影部分的面积较大，大$\boldsymbol{b^2}$。
【知识点】
完全平方公式，面积计算，作差法比较大小
【点评】
本题结合几何图形考查整式运算，体现了数形结合的数学思想，解题时掌握“整体减空白”求面积的方法、作差法比较代数式大小的技巧即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
一、选择题
1. 计算$(a+b)(-a-b)$的结果是(
A.$a^2 - b^2$
B.$-a^2 - b^2$
C.$a^2 - 2ab + b^2$
D.$-a^2 -2ab -b^2$
1. 计算$(a+b)(-a-b)$的结果是(
D
)A.$a^2 - b^2$
B.$-a^2 - b^2$
C.$a^2 - 2ab + b^2$
D.$-a^2 -2ab -b^2$
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先观察两个因式的特征，发现第二个因式$-a-b$可提取负号转化为$-(a+b)$，此时原式可变形为$-(a+b)^2$，再利用完全平方公式展开即可。注意不要误将该式认作平方差公式的适用形式，要先明确因式的关系再选择对应公式计算。
【解析】
解：对原式中的第二个因式进行符号变形：
$\begin{aligned}(a+b)(-a-b)&=(a+b)[-(a+b)]\\&=-(a+b)^2\end{aligned}$
根据完全平方公式：$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，将$(a+b)^2$展开得：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
因此原式$=-(a^2+2ab+b^2)=-a^2-2ab-b^2$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式、整式乘法运算
【点评】
本题侧重考查乘法公式的正确使用，解题核心是先对因式做符号变形，判断出适用的运算公式，易错点是混淆完全平方公式与平方差公式，或者去括号时忽略符号变化。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察两个因式的特征，发现第二个因式$-a-b$可提取负号转化为$-(a+b)$，此时原式可变形为$-(a+b)^2$，再利用完全平方公式展开即可。注意不要误将该式认作平方差公式的适用形式，要先明确因式的关系再选择对应公式计算。
【解析】
解：对原式中的第二个因式进行符号变形：
$\begin{aligned}(a+b)(-a-b)&=(a+b)[-(a+b)]\\&=-(a+b)^2\end{aligned}$
根据完全平方公式：$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，将$(a+b)^2$展开得：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
因此原式$=-(a^2+2ab+b^2)=-a^2-2ab-b^2$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式、整式乘法运算
【点评】
本题侧重考查乘法公式的正确使用，解题核心是先对因式做符号变形，判断出适用的运算公式，易错点是混淆完全平方公式与平方差公式，或者去括号时忽略符号变化。
【难度系数】
0.7
