登录
3. 下列计算正确的是(
A.$a^2 + a^3 = a^5$
B.$a^2 · a^3 = a^5$
C.$(2a - b)(2a + b) = 2a^2 - b^2$
D.$3a^3 + 3a^3 = 5a^5$
B
)A.$a^2 + a^3 = a^5$
B.$a^2 · a^3 = a^5$
C.$(2a - b)(2a + b) = 2a^2 - b^2$
D.$3a^3 + 3a^3 = 5a^5$
答案
3. B
解析
【分析】
这是一道整式运算的正误判断题，解题时需逐个分析选项，结合对应的整式运算法则判断对错，最终选出正确选项。首先回忆同类项合并规则、同底数幂乘法法则、平方差公式，逐一排除错误选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：$a^2$和$a^3$不是同类项（相同字母的指数不同），无法直接合并，因此A计算错误；
选项B：根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$a^2 · a^3 = a^{2+3}=a^5$，因此B计算正确；
选项C：根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，代入$m=2a、n=b$，可得$(2a - b)(2a + b)=(2a)^2 - b^2=4a^2 - b^2≠2a^2 - b^2$，因此C计算错误；
选项D：合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变，可得$3a^3 + 3a^3=(3+3)a^3=6a^3≠5a^5$，因此D计算错误。
综上，正确的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法、合并同类项、平方差公式
【点评】
本题考查整式运算的基础应用，属于常规基础题，解题的核心是准确掌握各类整式运算的法则，避免混淆不同运算的计算规则。
【难度系数】
0.8
这是一道整式运算的正误判断题，解题时需逐个分析选项，结合对应的整式运算法则判断对错，最终选出正确选项。首先回忆同类项合并规则、同底数幂乘法法则、平方差公式，逐一排除错误选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：$a^2$和$a^3$不是同类项（相同字母的指数不同），无法直接合并，因此A计算错误；
选项B：根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$a^2 · a^3 = a^{2+3}=a^5$，因此B计算正确；
选项C：根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，代入$m=2a、n=b$，可得$(2a - b)(2a + b)=(2a)^2 - b^2=4a^2 - b^2≠2a^2 - b^2$，因此C计算错误；
选项D：合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变，可得$3a^3 + 3a^3=(3+3)a^3=6a^3≠5a^5$，因此D计算错误。
综上，正确的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法、合并同类项、平方差公式
【点评】
本题考查整式运算的基础应用，属于常规基础题，解题的核心是准确掌握各类整式运算的法则，避免混淆不同运算的计算规则。
【难度系数】
0.8
4. 从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙)，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为(
A.$(a-b)^2=a^2-b^2$
B.$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
C.$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
D.$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
D
)A.$(a-b)^2=a^2-b^2$
B.$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
C.$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
D.$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
答案
4. D
解析
【分析】
这道题利用“等面积法”验证乘法公式，解题思路如下：首先明确裁剪拼接前后，阴影部分的总面积保持不变，只需要分别求出图甲、图乙中阴影部分的面积，令两个面积相等，就能得到对应的验证公式。先算甲的阴影面积：甲是边长为a的大正方形挖去边长为b的小正方形，直接用正方形面积公式作差即可。再算乙的阴影面积：乙是平行四边形，先确定它的底和高，再用平行四边形面积公式计算。最后让两个面积相等，对应选项即可。
【解析】
1. 计算图甲阴影部分的面积：
阴影面积为大正方形面积减去小正方形面积，即
$S_甲 = a^2 - b^2$
2. 计算图乙平行四边形的面积：
观察图形可知，平行四边形的底边长为$a+b$，高为$a-b$，根据平行四边形面积=底×高，可得
$S_乙 = (a+b)(a-b)$
3. 由于裁剪拼接过程中阴影部分总面积不变，因此$S_甲 = S_乙$，即：
$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
因此该操作验证的是平方差公式，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，等面积法，图形拼接面积性质
【点评】
本题是平方差公式几何背景的典型题型，通过图形的裁剪拼接将抽象的代数公式直观化，解题的关键是抓住拼接前后阴影部分面积不变的特点，这类题目能很好地帮助理解乘法公式的几何含义。
【难度系数】
0.8
这道题利用“等面积法”验证乘法公式，解题思路如下：首先明确裁剪拼接前后，阴影部分的总面积保持不变，只需要分别求出图甲、图乙中阴影部分的面积，令两个面积相等，就能得到对应的验证公式。先算甲的阴影面积：甲是边长为a的大正方形挖去边长为b的小正方形，直接用正方形面积公式作差即可。再算乙的阴影面积：乙是平行四边形，先确定它的底和高，再用平行四边形面积公式计算。最后让两个面积相等，对应选项即可。
【解析】
1. 计算图甲阴影部分的面积：
阴影面积为大正方形面积减去小正方形面积，即
$S_甲 = a^2 - b^2$
2. 计算图乙平行四边形的面积：
观察图形可知，平行四边形的底边长为$a+b$，高为$a-b$，根据平行四边形面积=底×高，可得
$S_乙 = (a+b)(a-b)$
3. 由于裁剪拼接过程中阴影部分总面积不变，因此$S_甲 = S_乙$，即：
$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
因此该操作验证的是平方差公式，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，等面积法，图形拼接面积性质
【点评】
本题是平方差公式几何背景的典型题型，通过图形的裁剪拼接将抽象的代数公式直观化，解题的关键是抓住拼接前后阴影部分面积不变的特点，这类题目能很好地帮助理解乘法公式的几何含义。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1. 计算:$2(2x + 1)(2x - 1) = \underline{\hspace{5cm}}.$
1. 计算:$2(2x + 1)(2x - 1) = \underline{\hspace{5cm}}.$
答案
1. $8x^2-2$
解析
【分析】
本题考查整式乘法运算，解题时先观察式子结构，发现$(2x+1)(2x-1)$符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构特征，其中$a=2x$，$b=1$，因此可以先利用平方差公式计算两个二项式的乘积，再将所得结果乘以系数2即可，这种方法比直接按多项式乘多项式展开计算更简便，也能降低出错率。
【解析】
解：第一步，利用平方差公式计算$(2x+1)(2x-1)$：
$(2x+1)(2x-1)=(2x)^2-1^2=4x^2-1$
第二步，将上述结果乘以系数2，根据单项式乘多项式的法则计算：
$2(4x^2-1)=2×4x^2 - 2×1=8x^2-2$
【答案】
$8x^2-2$
【知识点】
平方差公式，单项式乘多项式
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查对平方差公式结构特征的识别与应用，解题时优先观察是否符合乘法公式的结构，利用公式简化运算可提升计算效率与准确率。
【难度系数】
0.8
本题考查整式乘法运算，解题时先观察式子结构，发现$(2x+1)(2x-1)$符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构特征，其中$a=2x$，$b=1$，因此可以先利用平方差公式计算两个二项式的乘积，再将所得结果乘以系数2即可，这种方法比直接按多项式乘多项式展开计算更简便，也能降低出错率。
【解析】
解：第一步，利用平方差公式计算$(2x+1)(2x-1)$：
$(2x+1)(2x-1)=(2x)^2-1^2=4x^2-1$
第二步，将上述结果乘以系数2，根据单项式乘多项式的法则计算：
$2(4x^2-1)=2×4x^2 - 2×1=8x^2-2$
【答案】
$8x^2-2$
【知识点】
平方差公式，单项式乘多项式
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查对平方差公式结构特征的识别与应用，解题时优先观察是否符合乘法公式的结构，利用公式简化运算可提升计算效率与准确率。
【难度系数】
0.8
2. 计算：$(-y + 2)(-y - 2) = \underline{\hspace{5cm}}.$
答案
2. $y^2-4$
解析
【分析】
拿到这道题先观察算式结构：两个二项式相乘，其中一项完全相同（均为$-y$），另一项互为相反数（$+2$和$-2$），刚好符合平方差公式的适用条件。我们先确定平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$中的对应项：相同项$-y$对应公式里的$a$，互为相反数的项的绝对值$2$对应公式里的$b$，再代入公式计算即可，计算时要注意负数平方的符号规则。
【解析】
解：算式符合平方差公式的运算特征，其中相同项$a=-y$，相反项的绝对值$b=2$，根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算：
$\begin{aligned}(-y + 2)(-y - 2)&=(-y)^2 - 2^2\\&=y^2 - 4\end{aligned}$
【答案】
$y^2-4$
【知识点】
平方差公式；乘方运算；整式乘法
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，解题核心是准确识别两个二项式中的相同项和相反项，代入公式计算时要注意负数的偶次幂为正，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.85
拿到这道题先观察算式结构：两个二项式相乘，其中一项完全相同（均为$-y$），另一项互为相反数（$+2$和$-2$），刚好符合平方差公式的适用条件。我们先确定平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$中的对应项：相同项$-y$对应公式里的$a$，互为相反数的项的绝对值$2$对应公式里的$b$，再代入公式计算即可，计算时要注意负数平方的符号规则。
【解析】
解：算式符合平方差公式的运算特征，其中相同项$a=-y$，相反项的绝对值$b=2$，根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算：
$\begin{aligned}(-y + 2)(-y - 2)&=(-y)^2 - 2^2\\&=y^2 - 4\end{aligned}$
【答案】
$y^2-4$
【知识点】
平方差公式；乘方运算；整式乘法
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，解题核心是准确识别两个二项式中的相同项和相反项，代入公式计算时要注意负数的偶次幂为正，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.85
4. 两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是
10
。答案
4. 10
解析
【分析】
首先，设较大正方形边长为a，较小正方形边长为b，所求的面积差为$a^2 - b^2$，刚好符合平方差公式的结构特征。题目已知$a+b=5$、$a-b=2$，无需解方程组求a、b的具体值，直接利用平方差公式将$a^2 - b^2$变形为$(a+b)(a-b)$，代入已知条件即可快速求出结果。
【解析】
设较大正方形的边长为$a$，较小正方形的边长为$b$，根据题意可得：
$a + b = 5$，$a - b = 2$
较大正方形面积减去较小正方形的面积为：
$a^2 - b^2$
根据平方差公式$m^2 - n^2 = (m+n)(m-n)$，可得：
$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
将$a + b = 5$、$a - b = 2$代入上式得：
$a^2 - b^2 = 5×2 = 10$
【答案】
10
【知识点】
1. 平方差公式
2. 正方形面积计算
【点评】
本题考查平方差公式的灵活应用，既可以通过解二元一次方程组求出边长再计算面积差，也可以直接利用平方差公式整体代入求解，后者能大幅简化运算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
首先，设较大正方形边长为a，较小正方形边长为b，所求的面积差为$a^2 - b^2$，刚好符合平方差公式的结构特征。题目已知$a+b=5$、$a-b=2$，无需解方程组求a、b的具体值，直接利用平方差公式将$a^2 - b^2$变形为$(a+b)(a-b)$，代入已知条件即可快速求出结果。
【解析】
设较大正方形的边长为$a$，较小正方形的边长为$b$，根据题意可得：
$a + b = 5$，$a - b = 2$
较大正方形面积减去较小正方形的面积为：
$a^2 - b^2$
根据平方差公式$m^2 - n^2 = (m+n)(m-n)$，可得：
$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
将$a + b = 5$、$a - b = 2$代入上式得：
$a^2 - b^2 = 5×2 = 10$
【答案】
10
【知识点】
1. 平方差公式
2. 正方形面积计算
【点评】
本题考查平方差公式的灵活应用，既可以通过解二元一次方程组求出边长再计算面积差，也可以直接利用平方差公式整体代入求解，后者能大幅简化运算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
5. 已知实数$a,b$满足$a^2=2b+7$,$b^2=2a+7$,且$a≠b$,则$a+b$的值为
-2
.答案
5. -2
解析
【分析】
观察已知给出的两个关于a、b的等式，结构相似，我们可以通过将两个等式作差，左边利用平方差公式进行因式分解，右边合并同类项化简，再结合a≠b的条件，消去不为0的因式，即可求出a+b的值。
【解析】
已知：
$a^2=2b+7$ ①
$b^2=2a+7$ ②
用①-②，得：
$a^2 - b^2 = 2b +7 - (2a +7)$
左边利用平方差公式因式分解，右边化简：
$(a-b)(a+b) = 2b - 2a$
将右边整理为含$(a-b)$的形式：
$(a-b)(a+b) = -2(a - b)$
移项提取公因式：
$(a-b)(a+b) + 2(a - b) = 0$
$(a-b)(a+b + 2) = 0$
∵ $a≠b$，
∴ $a - b ≠ 0$
∴ $a + b + 2 = 0$
解得 $a + b = -2$
【答案】
-2
【知识点】
平方差公式；因式分解的应用；等式的性质
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活运用，解题的突破口是对两个已知等式作差，构造出可因式分解的形式，再结合限定条件排除零因式即可得到结果，是代数式运算类的典型题型。
【难度系数】
0.7
观察已知给出的两个关于a、b的等式，结构相似，我们可以通过将两个等式作差，左边利用平方差公式进行因式分解，右边合并同类项化简，再结合a≠b的条件，消去不为0的因式，即可求出a+b的值。
【解析】
已知：
$a^2=2b+7$ ①
$b^2=2a+7$ ②
用①-②，得：
$a^2 - b^2 = 2b +7 - (2a +7)$
左边利用平方差公式因式分解，右边化简：
$(a-b)(a+b) = 2b - 2a$
将右边整理为含$(a-b)$的形式：
$(a-b)(a+b) = -2(a - b)$
移项提取公因式：
$(a-b)(a+b) + 2(a - b) = 0$
$(a-b)(a+b + 2) = 0$
∵ $a≠b$，
∴ $a - b ≠ 0$
∴ $a + b + 2 = 0$
解得 $a + b = -2$
【答案】
-2
【知识点】
平方差公式；因式分解的应用；等式的性质
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活运用，解题的突破口是对两个已知等式作差，构造出可因式分解的形式，再结合限定条件排除零因式即可得到结果，是代数式运算类的典型题型。
【难度系数】
0.7
三、解答题
1. 计算下列各式：
(1) $(2a + 3b)(2a - 3b)$
(2) $(x - 2y)(-x - 2y)$
(3) $(2xy - 1)(2xy + 1)$
(4) $(x + y)(x - y)(x^2 + y^2)$
(5) $(2a + b)(2a - b) - 3a^2$
(6) $(x + 1)(x - 2) - (x + 3)(x - 3)$
(7) $205 × 195$
(8) $(1993 × 1994 - 1) ÷ (1993 + 1992 × 1994)$
1. 计算下列各式：
(1) $(2a + 3b)(2a - 3b)$
(2) $(x - 2y)(-x - 2y)$
(3) $(2xy - 1)(2xy + 1)$
(4) $(x + y)(x - y)(x^2 + y^2)$
(5) $(2a + b)(2a - b) - 3a^2$
(6) $(x + 1)(x - 2) - (x + 3)(x - 3)$
(7) $205 × 195$
(8) $(1993 × 1994 - 1) ÷ (1993 + 1992 × 1994)$
答案
(1)$4a^2-9b^2$ (2)$4y^2-x^2$ (3)$4x^2y^2-1$ (4)$x^4-y^4$ (5)$a^2-b^2$ (6)$-x+7$ (7)$39975$ (8)$1$
解析
【分析】
本题所有题目均围绕平方差公式展开考查，解题核心是先明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，结果为相同项的平方减去相反项的平方，即$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。解题思路：1. 前3道直接识别式子中的相同项和相反项，套用公式计算即可；2. 第4题连续两次套用平方差公式逐步计算；3. 第5、6题为整式混合运算，先算乘法（符合平方差的套用公式），再合并同类项；4. 第7题是简便计算，将两个因数拆成同一个整百数加、减同一个数的形式，凑成平方差公式结构计算；5. 第8题可将分子中的较大数拆分为相邻的小整数加1的形式，展开后化简，就能发现分子和分母完全相等，直接得结果。
【解析】
(1) 观察式子，相同项为$2a$，相反项为$3b$和$-3b$，套用平方差公式：
原式$=(2a)^2 - (3b)^2 = 4a^2 - 9b^2$
(2) 调整式子顺序，相同项为$-2y$，相反项为$x$和$-x$，套用平方差公式：
原式$=(-2y + x)(-2y - x) = (-2y)^2 - x^2 = 4y^2 - x^2$
(3) 观察式子，相同项为$2xy$，相反项为$1$和$-1$，套用平方差公式：
原式$=(2xy)^2 - 1^2 = 4x^2y^2 - 1$
(4) 先对前两个因式套用平方差公式，再和第三个因式继续套用公式：
原式$=(x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = (x^2)^2 - (y^2)^2 = x^4 - y^4$
(5) 先算乘法，再合并同类项：
原式$=(2a)^2 - b^2 - 3a^2 = 4a^2 - b^2 - 3a^2 = a^2 - b^2$
(6) 第一个乘积用多项式乘多项式法则计算，第二个乘积套用平方差公式，再去括号合并同类项：
原式$=(x^2 - 2x + x - 2) - (x^2 - 9) = x^2 - x - 2 - x^2 + 9 = -x + 7$
(7) 将因数拆分为平方差结构：$205=200+5$，$195=200-5$，套用公式计算：
原式$=(200 + 5)(200 - 5) = 200^2 - 5^2 = 40000 - 25 = 39975$
(8) 将分子中的$1993$拆为$1992+1$，展开化简：
分子$=(1992 + 1)×1994 - 1 = 1992×1994 + 1994 - 1 = 1992×1994 + 1993$
分母$=1993 + 1992×1994$，分子和分母完全相等，故原式$=1$
【答案】
(1)$4a^2-9b^2$ (2)$4y^2-x^2$ (3)$4x^2y^2-1$ (4)$x^4-y^4$ (5)$a^2-b^2$ (6)$-x+7$ (7)$39975$ (8)$1$
【知识点】
平方差公式，整式混合运算，简便计算
【点评】
本题核心考查平方差公式的灵活应用，解题关键是准确识别式子中符合公式的“相同项”和“相反项”，涉及混合运算时要注意运算顺序和去括号的符号规则，针对数值计算类题目要学会主动凑平方差的结构简化运算，熟练掌握公式能有效提升运算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
本题所有题目均围绕平方差公式展开考查，解题核心是先明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，结果为相同项的平方减去相反项的平方，即$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。解题思路：1. 前3道直接识别式子中的相同项和相反项，套用公式计算即可；2. 第4题连续两次套用平方差公式逐步计算；3. 第5、6题为整式混合运算，先算乘法（符合平方差的套用公式），再合并同类项；4. 第7题是简便计算，将两个因数拆成同一个整百数加、减同一个数的形式，凑成平方差公式结构计算；5. 第8题可将分子中的较大数拆分为相邻的小整数加1的形式，展开后化简，就能发现分子和分母完全相等，直接得结果。
【解析】
(1) 观察式子，相同项为$2a$，相反项为$3b$和$-3b$，套用平方差公式：
原式$=(2a)^2 - (3b)^2 = 4a^2 - 9b^2$
(2) 调整式子顺序，相同项为$-2y$，相反项为$x$和$-x$，套用平方差公式：
原式$=(-2y + x)(-2y - x) = (-2y)^2 - x^2 = 4y^2 - x^2$
(3) 观察式子，相同项为$2xy$，相反项为$1$和$-1$，套用平方差公式：
原式$=(2xy)^2 - 1^2 = 4x^2y^2 - 1$
(4) 先对前两个因式套用平方差公式，再和第三个因式继续套用公式：
原式$=(x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = (x^2)^2 - (y^2)^2 = x^4 - y^4$
(5) 先算乘法，再合并同类项：
原式$=(2a)^2 - b^2 - 3a^2 = 4a^2 - b^2 - 3a^2 = a^2 - b^2$
(6) 第一个乘积用多项式乘多项式法则计算，第二个乘积套用平方差公式，再去括号合并同类项：
原式$=(x^2 - 2x + x - 2) - (x^2 - 9) = x^2 - x - 2 - x^2 + 9 = -x + 7$
(7) 将因数拆分为平方差结构：$205=200+5$，$195=200-5$，套用公式计算：
原式$=(200 + 5)(200 - 5) = 200^2 - 5^2 = 40000 - 25 = 39975$
(8) 将分子中的$1993$拆为$1992+1$，展开化简：
分子$=(1992 + 1)×1994 - 1 = 1992×1994 + 1994 - 1 = 1992×1994 + 1993$
分母$=1993 + 1992×1994$，分子和分母完全相等，故原式$=1$
【答案】
(1)$4a^2-9b^2$ (2)$4y^2-x^2$ (3)$4x^2y^2-1$ (4)$x^4-y^4$ (5)$a^2-b^2$ (6)$-x+7$ (7)$39975$ (8)$1$
【知识点】
平方差公式，整式混合运算，简便计算
【点评】
本题核心考查平方差公式的灵活应用，解题关键是准确识别式子中符合公式的“相同项”和“相反项”，涉及混合运算时要注意运算顺序和去括号的符号规则，针对数值计算类题目要学会主动凑平方差的结构简化运算，熟练掌握公式能有效提升运算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
