2. 已知$a^{2x+y} ÷ a^3 = a$，$b^{5x-y} · b^3 = b^6$，求$x,y$的值.

2. $x=1,y=2$

【分析】
解题思路如下：首先回忆同底数幂的乘除运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减。由于等式两边底数相同（a、b作为底数不为0），因此等式两边的指数相等，可将两个幂运算的等式转化为关于x、y的整式方程，联立得到二元一次方程组，最后解方程组即可求出x、y的值。
【解析】
根据同底数幂的运算法则化简已知等式：
1. 化简$a^{2x+y} ÷ a^3 = a$：
根据同底数幂的除法法则，左边$=a^{(2x+y)-3}$，右边$=a^1$，
因此指数相等可得：$2x + y - 3 = 1$，整理得：$2x + y = 4$ ①
2. 化简$b^{5x-y} · b^3 = b^6$：
根据同底数幂的乘法法则，左边$=b^{(5x-y)+3}$，右边$=b^6$，
因此指数相等可得：$5x - y + 3 = 6$，整理得：$5x - y = 3$ ②
联立①②得到二元一次方程组：
$\begin{cases}2x + y = 4 \\5x - y = 3 \end{cases}$
将①+②消去y，得：$7x = 7$，解得$x=1$。
把$x=1$代入①，得：$2×1 + y = 4$，解得$y=2$。
【答案】
$x=1,y=2$
【知识点】
同底数幂的除法；同底数幂的乘法；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是整式运算与二元一次方程组的综合基础题，解题核心是利用“同底数幂相等时，对应指数相等”的性质，将幂的运算等式转化为常规的整式方程，熟练掌握同底数幂的运算法则是正确解题的前提。
【难度系数】
0.8

3. 化简并求值:$[(x-2y)^2 - x(x + 4y) + 3xy] ÷ (-2y)$,其中$x=-\dfrac{2}{3},y=\dfrac{2}{3}$.

3. 化简,原式=$\frac{5}{2}x-2y$,其值为-3

【分析】
本题是整式化简求值类题目，解题思路清晰可分为两步：第一步先化简原式，首先利用完全平方公式展开$(x-2y)^2$，利用单项式乘多项式法则计算$x(x+4y)$，再将中括号内的各项合并同类项，得到最简多项式后，再根据多项式除以单项式的法则完成除法运算，得到原式的最简形式；第二步将已知的$x$、$y$的值代入最简式计算结果即可，先化简再求值能大幅减少计算量，降低出错概率。
【解析】
解：先对原式进行化简：
1. 展开并合并中括号内的项：
根据完全平方公式得$(x-2y)^2 = x^2 - 4xy + 4y^2$，
根据单项式乘多项式法则得$x(x+4y) = x^2 + 4xy$，
因此中括号内的运算为：
$\begin{aligned}&(x^2 - 4xy + 4y^2) - (x^2 + 4xy) + 3xy \\=&x^2 - 4xy + 4y^2 - x^2 - 4xy + 3xy \\=&-5xy + 4y^2\end{aligned}$
2. 进行多项式除以单项式运算：
$\begin{aligned}&(-5xy + 4y^2) ÷ (-2y) \\=&-5xy ÷ (-2y) + 4y^2 ÷ (-2y) \\=&\frac{5}{2}x - 2y\end{aligned}$
3. 代入$x=-\dfrac{2}{3},y=\dfrac{2}{3}$求值：
$\begin{aligned}&\frac{5}{2} × (-\frac{2}{3}) - 2 × \frac{2}{3} \\=&-\frac{5}{3} - \frac{4}{3} \\=&-3\end{aligned}$
【答案】
化简得$\frac{5}{2}x-2y$，值为$-3$
【知识点】
完全平方公式；整式的混合运算；代数式求值
【点评】
本题重点考查整式运算的相关法则，解题核心是先化简后代入计算，可有效简化运算过程，运算时需注意符号的变化，避免因符号处理错误导致失分。
【难度系数】
0.8

4. 解不等式:$[2x^{3}(2x-3)-x^{2}]÷2x^{2}≥x(2x-1).$

4. $x≤-\frac{1}{4}$

【分析】
解题时先处理不等式左侧的整式除法，根据多项式除以单项式的法则，将多项式每一项分别除以单项式，再合并化简；同时将右侧的单项式乘多项式展开，之后通过移项、合并同类项将原式转化为一元一次不等式，最后求解，注意作为除数的$2x^2$恒为正（$x≠0$），化简时不等号方向无需改变，最终解集需保证除数有意义。
【解析】
解：首先化简不等式左右两边：
左侧：$[2x^{3}(2x-3)-x^{2}]÷2x^{2}$
根据多项式除以单项式法则计算：
$=2x^3(2x-3)÷2x^2 - x^2÷2x^2$
$=x(2x-3)-\frac{1}{2}$
$=2x^2-3x-\frac{1}{2}$
右侧：$x(2x-1)=2x^2-x$
原不等式可转化为：
$2x^2-3x-\frac{1}{2}≥2x^2-x$
两边同时减去$2x^2$，得：
$-3x-\frac{1}{2}≥ -x$
移项，将含$x$的项移到左侧，常数项移到右侧：
$-3x+x≥\frac{1}{2}$
合并同类项：
$-2x≥\frac{1}{2}$
两边同时除以$-2$，不等号方向改变：
$x≤-\frac{1}{4}$
此时$x≤-\frac{1}{4}$满足$x≠0$，除数$2x^2$有意义，解集成立。
【答案】
$x≤-\frac{1}{4}$
【知识点】
整式的除法运算；单项式乘多项式；一元一次不等式解法
【点评】
本题是整式运算与不等式求解的综合题，核心是先正确运用整式乘除法则化简不等式，再按一元一次不等式的步骤求解，需要特别注意不等式两边乘除负数时要改变不等号方向。
【难度系数】
0.7

5*. 用$a^2 - 2a + 1$去除一个整式，得商式$a^2 + 2a + 1$，余式为$a + 1$，求这个整式。

5. $(a^2-2a+1)(a^2+2a+1)+a+1=a^4-2a^2+a+2$

【分析】
要解决这道题，首先需要明确整式除法中各部分的数量关系：被除式=除式×商式+余式。本题中已知除式、商式和余式，直接将对应代数式代入该公式计算即可。计算乘积时可以观察到两个多项式符合平方差公式的结构特征，先利用平方差公式简化运算，再展开合并同类项，最后加上余式就能得到所求整式。
【解析】
根据整式除法的等量关系：$\mathrm{被除式} = \mathrm{除式} × \mathrm{商式} + \mathrm{余式}$，代入已知条件计算：
$\begin{aligned}\mathrm{所求整式}&=(a^2-2a+1)(a^2+2a+1)+a+1\\&=[(a^2+1)-2a][(a^2+1)+2a]+a+1\\&=(a^2+1)^2-(2a)^2+a+1\\&=a^4+2a^2+1-4a^2+a+1\\&=a^4-2a^2+a+2\end{aligned}$
【答案】
$a^4-2a^2+a+2$
【知识点】
整式除法各量关系、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题是整式运算的基础综合题，核心是牢记整式除法中四个量的等量关系，计算时合理运用乘法公式可以大幅简化运算过程，解题时要注意不要遗漏余式。
【难度系数】
0.7

一、选择题
1. 下列各式中能用平方差公式计算的是()

A.$(a+b)(-a-b)$
B.$(a-b)(-a+b)$
C.$(a-b)(-a-b)$
D.$(a-b)(b-a)$

1. C

【分析】
解题前首先要明确平方差公式的核心结构特征：两个二项式相乘时，两个因式中存在一组完全相同的项，同时另一组项互为相反数，满足该结构即可用平方差公式计算。解题时只需逐一分析每个选项的两个因式，判断是否符合上述结构特征即可得到答案。
【解析】
平方差公式的标准形式为：$\boldsymbol{(m+n)(m-n)=m^2-n^2}$，核心判断依据是两个因式中有一组相同项、一组互为相反数的项。
对各选项逐一分析：
A选项：$(a+b)(-a-b)=-(a+b)(a+b)$，两个因式的两项都互为相反数，不符合平方差公式结构，排除；
B选项：$(a-b)(-a+b)=-(a-b)(a-b)$，两个因式的两项都互为相反数，不符合平方差公式结构，排除；
C选项：$(a-b)(-a-b)=(-b+a)(-b-a)$，其中相同项为$-b$，互为相反数的项为$a$和$-a$，符合平方差公式结构，可以用平方差公式计算；
D选项：$(a-b)(b-a)=-(a-b)(a-b)$，两个因式的两项都互为相反数，不符合平方差公式结构，排除。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式的识别
【点评】
本题是平方差公式的基础考查题，解题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，准确区分两个因式中的相同项和相反项，牢记公式特征可快速完成这类题型的解答。
【难度系数】
0.8

2. 下列计算正确的是()

A.$(2x+y)(2x-y)=2x^2-y^2$
B.$(3m-n)(-3m+n)=9m^2-n^2$
C.$(3-5x)(3+5x)=9-25x^2$
D.$(-3x-2y)(3x+2y)=-9x^2-4y^2$

2. C

【分析】
本题考查平方差公式的应用，解题思路如下：首先回忆平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数，结果为相同项的平方减去相反项的平方。再逐一分析每个选项的式子结构，判断是否符合平方差公式的特征，再计算验证结果是否正确，最终选出正确选项。
【解析】
平方差公式为：$\boxed{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，其核心特征是两个因式中有一项完全相同，另一项互为相反数。我们逐一分析选项：
选项A：$(2x+y)(2x-y)$符合平方差公式特征，相同项为$2x$，相反项为$y$和$-y$，计算得$(2x)^2 - y^2=4x^2-y^2$，与选项给出的$2x^2-y^2$不符，A错误。
选项B：$(3m-n)(-3m+n)$的两个因式中，$3m$与$-3m$互为相反数，$-n$与$n$互为相反数，无相同项，不符合平方差公式特征，展开得$-(3m-n)^2=-9m^2+6mn-n^2$，与选项给出的$9m^2-n^2$不符，B错误。
选项C：$(3-5x)(3+5x)$符合平方差公式特征，相同项为$3$，相反项为$-5x$和$5x$，计算得$3^2-(5x)^2=9-25x^2$，与选项结果一致，C正确。
选项D：$(-3x-2y)(3x+2y)$的两个因式中两项均互为相反数，不符合平方差公式特征，展开得$-(3x+2y)^2=-9x^2-12xy-4y^2$，与选项给出的$-9x^2-4y^2$不符，D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式；整式乘法运算
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，重点考查对平方差公式结构的识别能力，解题时要注意区分平方差公式和完全平方公式的适用场景，计算时不要遗漏系数的平方。
【难度系数】
0.8