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10. 在物理学中,物体做自由落体运动时,下落的高度$h$(单位:m)与下落的时间$t$(单位:s)的关系可以用公式$h=\frac{1}{2}gt^2$表示,其中重力加速度$g$取$10\ \mathrm{m/s}^2$.现有一个物体从一标杆顶端做自由落体运动,若该物体在最后1 s内下落的高度为20 m,则这个标杆高为（）
A.100 m
B.40 m
C.32.25 m
D.31.25 m
A.100 m
B.40 m
C.32.25 m
D.31.25 m
答案
解析
【分析】
首先将已知的重力加速度$g=10$代入自由落体高度公式，简化$h$与$t$的关系式。解题核心是找到等量关系：物体最后1s下落的高度 = 总下落高度 - 前$(t-1)\ \mathrm{s}$下落的高度，其中$t$为物体从标杆顶端下落到地面的总时间。我们先设总时间为$t$，根据等量关系列方程求解出$t$，再代入简化后的公式即可算出标杆总高度。
【解析】
第一步：将$g=10$代入公式$h=\frac{1}{2}gt^2$，得简化公式：
$h=\frac{1}{2}×10t^2=5t^2$
第二步：设物体从标杆顶端下落到地面的总时间为$t\ \mathrm{s}$，则前$(t-1)\ \mathrm{s}$物体下落的高度为$h_1=5(t-1)^2$。
根据“最后1s内下落的高度为20m”，可列方程：
$5t^2 - 5(t-1)^2 = 20$
第三步：解方程：
展开括号得：$5[t^2 - (t^2 - 2t + 1)] = 20$
化简得：$5(2t - 1) = 20$
两边同时除以5得：$2t - 1 = 4$
解得：$t = 2.5\ \mathrm{s}$
第四步：将$t=2.5$代入$h=5t^2$，计算标杆高度：
$h=5×(2.5)^2 = 5×6.25 = 31.25\ \mathrm{m}$
【答案】
D
【知识点】
1. 一元方程的实际应用
2. 代数式化简运算
【点评】
本题结合物理常见公式考查方程的实际应用，解题的关键是准确梳理不同时间段下落高度的等量关系，计算过程简单，只要理清时间逻辑就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
首先将已知的重力加速度$g=10$代入自由落体高度公式，简化$h$与$t$的关系式。解题核心是找到等量关系：物体最后1s下落的高度 = 总下落高度 - 前$(t-1)\ \mathrm{s}$下落的高度，其中$t$为物体从标杆顶端下落到地面的总时间。我们先设总时间为$t$，根据等量关系列方程求解出$t$，再代入简化后的公式即可算出标杆总高度。
【解析】
第一步：将$g=10$代入公式$h=\frac{1}{2}gt^2$，得简化公式：
$h=\frac{1}{2}×10t^2=5t^2$
第二步：设物体从标杆顶端下落到地面的总时间为$t\ \mathrm{s}$，则前$(t-1)\ \mathrm{s}$物体下落的高度为$h_1=5(t-1)^2$。
根据“最后1s内下落的高度为20m”，可列方程：
$5t^2 - 5(t-1)^2 = 20$
第三步：解方程：
展开括号得：$5[t^2 - (t^2 - 2t + 1)] = 20$
化简得：$5(2t - 1) = 20$
两边同时除以5得：$2t - 1 = 4$
解得：$t = 2.5\ \mathrm{s}$
第四步：将$t=2.5$代入$h=5t^2$，计算标杆高度：
$h=5×(2.5)^2 = 5×6.25 = 31.25\ \mathrm{m}$
【答案】
D
【知识点】
1. 一元方程的实际应用
2. 代数式化简运算
【点评】
本题结合物理常见公式考查方程的实际应用，解题的关键是准确梳理不同时间段下落高度的等量关系，计算过程简单，只要理清时间逻辑就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
11. 如图，$AB⊥ x$轴于点$B$，若$△ OAB$的面积等于$2$，则图象过点$A$的反比例函数的解析式是。
答案
解析
【分析】
要确定过点A的反比例函数解析式，首先明确反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，解题核心是求出常数$k$的值。已知$AB⊥ x$轴，$△ OAB$的面积为2，我们可以利用反比例函数的几何意义：过双曲线上任意一点向x轴作垂线，该点、垂足、原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，结合已知的面积值即可求出$k$，进而得到反比例函数解析式。
【解析】
设过点A的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，设点A的坐标为$(x,y)$。
因为$AB⊥ x$轴于点B，所以线段$OB$的长度为$|x|$，线段$AB$的长度为$|y|$。
根据三角形面积公式可得：$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}× OB× AB=\frac{1}{2}|x|·|y|=\frac{1}{2}|xy|=2$，整理得$|xy|=4$。
由于点A在反比例函数图象上，满足$xy=k$，因此$|k|=4$。
结合此类题型的常规图示（点A位于第一象限，$k＞0$），可得$k=4$。
所以所求反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}$。
【答案】
$\boldsymbol{y=\dfrac{4}{x}}$
【知识点】
反比例函数的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，重点考查反比例函数中$k$的几何意义，熟练掌握该性质可以大幅提升解题效率，无需计算点A的具体坐标即可直接求出$k$的值。
【难度系数】
0.8
要确定过点A的反比例函数解析式，首先明确反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，解题核心是求出常数$k$的值。已知$AB⊥ x$轴，$△ OAB$的面积为2，我们可以利用反比例函数的几何意义：过双曲线上任意一点向x轴作垂线，该点、垂足、原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，结合已知的面积值即可求出$k$，进而得到反比例函数解析式。
【解析】
设过点A的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，设点A的坐标为$(x,y)$。
因为$AB⊥ x$轴于点B，所以线段$OB$的长度为$|x|$，线段$AB$的长度为$|y|$。
根据三角形面积公式可得：$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}× OB× AB=\frac{1}{2}|x|·|y|=\frac{1}{2}|xy|=2$，整理得$|xy|=4$。
由于点A在反比例函数图象上，满足$xy=k$，因此$|k|=4$。
结合此类题型的常规图示（点A位于第一象限，$k＞0$），可得$k=4$。
所以所求反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}$。
【答案】
$\boldsymbol{y=\dfrac{4}{x}}$
【知识点】
反比例函数的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，重点考查反比例函数中$k$的几何意义，熟练掌握该性质可以大幅提升解题效率，无需计算点A的具体坐标即可直接求出$k$的值。
【难度系数】
0.8
12. 关于x的一元二次方程$(a+2)x^2 -3x +1=0$有实数根，则a的取值范围是。
答案
解：
∵ 方程$(a+2)x^2 -3x +1=0$是关于$x$的一元二次方程且有实数根，
∴ 二次项系数不为0：$a+2 ≠ 0$，即$a ≠ -2$，
同时判别式满足$\Delta ≥ 0$：
$\begin{aligned}\Delta &= (-3)^2 - 4(a+2) × 1 ≥ 0 \\9 -4a -8 &≥ 0 \\1 -4a &≥ 0\end{aligned}$
解得$a ≤ \frac{1}{4}$。
综上，$a$的取值范围是$\boldsymbol{a ≤ \frac{1}{4}且a ≠ -2}$。
∵ 方程$(a+2)x^2 -3x +1=0$是关于$x$的一元二次方程且有实数根，
∴ 二次项系数不为0：$a+2 ≠ 0$，即$a ≠ -2$，
同时判别式满足$\Delta ≥ 0$：
$\begin{aligned}\Delta &= (-3)^2 - 4(a+2) × 1 ≥ 0 \\9 -4a -8 &≥ 0 \\1 -4a &≥ 0\end{aligned}$
解得$a ≤ \frac{1}{4}$。
综上，$a$的取值范围是$\boldsymbol{a ≤ \frac{1}{4}且a ≠ -2}$。
解析
【分析】
解题时首先关注题目明确说明是一元二次方程，因此第一步要满足一元二次方程的定义：二次项系数不为0，即$a+2≠0$；第二步结合方程有实数根的条件，根据一元二次方程根的判别式的性质，当$\Delta≥0$时方程存在实数根，代入系数计算判别式并列不等式求解，最后将两个条件的取值范围取交集，即可得到a的最终取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$(a+2)x^2 -3x +1=0$是关于$x$的一元二次方程且有实数根，
∴ 二次项系数不为0：$a+2 ≠ 0$，解得$a ≠ -2$；
同时判别式满足$\Delta ≥ 0$，将二次项系数$a+2$、一次项系数$-3$、常数项$1$代入$\Delta=b^2-4ac$得：
$\begin{aligned}\Delta &= (-3)^2 - 4(a+2) × 1 ≥ 0 \\9 -4a -8 &≥ 0 \\1 -4a &≥ 0\end{aligned}$
解得$a ≤ \frac{1}{4}$。
综上，$a$的取值范围是$a ≤ \frac{1}{4}$且$a ≠ -2$。
【答案】
$a ≤ \frac{1}{4}$且$a ≠ -2$
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程参数求解的基础常考题，易错点为忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提条件，解题时需先确认方程的类型限制，再结合根的情况列不等式求解，能考查学生审题的严谨性和对基础知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.7
解题时首先关注题目明确说明是一元二次方程，因此第一步要满足一元二次方程的定义：二次项系数不为0，即$a+2≠0$；第二步结合方程有实数根的条件，根据一元二次方程根的判别式的性质，当$\Delta≥0$时方程存在实数根，代入系数计算判别式并列不等式求解，最后将两个条件的取值范围取交集，即可得到a的最终取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$(a+2)x^2 -3x +1=0$是关于$x$的一元二次方程且有实数根，
∴ 二次项系数不为0：$a+2 ≠ 0$，解得$a ≠ -2$；
同时判别式满足$\Delta ≥ 0$，将二次项系数$a+2$、一次项系数$-3$、常数项$1$代入$\Delta=b^2-4ac$得：
$\begin{aligned}\Delta &= (-3)^2 - 4(a+2) × 1 ≥ 0 \\9 -4a -8 &≥ 0 \\1 -4a &≥ 0\end{aligned}$
解得$a ≤ \frac{1}{4}$。
综上，$a$的取值范围是$a ≤ \frac{1}{4}$且$a ≠ -2$。
【答案】
$a ≤ \frac{1}{4}$且$a ≠ -2$
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程参数求解的基础常考题，易错点为忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提条件，解题时需先确认方程的类型限制，再结合根的情况列不等式求解，能考查学生审题的严谨性和对基础知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.7
13. 已知二次函数$y=x^2 - 2026x + 2$的图象上有两点$A(a,1)$和$B(b,1)$，则$a^2 - \frac{2026}{b} + 1$的值等于________。
第11小题图
第11小题图
答案
$\boldsymbol{0}$
解析
【分析】首先观察到点A、B的纵坐标均为1，说明这两点是二次函数图象与直线y=1的交点，因此它们的横坐标a、b是方程$x^2-2026x+2=1$的两个实数根。接下来先整理得到关于x的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到a+b和ab的值，再结合一元二次方程根的定义，将所求式子中的高次项$a^2$降次，最后整体代入化简即可得到结果，不需要求出a、b的具体值。
【解析】
∵ 点$A(a,1)$、$B(b,1)$在二次函数$y=x^2 - 2026x + 2$的图象上
∴ 令$y=1$，代入函数得：
$x^2 - 2026x + 2 = 1$
整理得：$x^2 - 2026x + 1 = 0$
∴ a、b是该一元二次方程的两个实数根
根据韦达定理可得：$a + b = 2026$，$ab = 1$
又
∵ a是方程$x^2 - 2026x + 1 = 0$的根
∴ $a^2 - 2026a + 1 = 0$，即$a^2 = 2026a - 1$
将$a^2 = 2026a - 1$代入$a^2 - \frac{2026}{b} + 1$得：
原式$= 2026a - 1 - \frac{2026}{b} + 1$
$= 2026a - \frac{2026}{b}$
$= \frac{2026ab - 2026}{b}$
把$ab=1$代入上式，分子$2026 × 1 - 2026 = 0$
∴ 原式$= \frac{0}{b} = 0$
【答案】
$\boldsymbol{0}$
【知识点】
二次函数图象性质，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的综合应用，解题的核心是将二次函数上纵坐标相同的点的横坐标转化为对应一元二次方程的根，借助韦达定理和根的定义进行整体代换，避免了求解根的复杂运算，体现了整体思想的应用。
【难度系数】
0.6
【解析】
∵ 点$A(a,1)$、$B(b,1)$在二次函数$y=x^2 - 2026x + 2$的图象上
∴ 令$y=1$，代入函数得：
$x^2 - 2026x + 2 = 1$
整理得：$x^2 - 2026x + 1 = 0$
∴ a、b是该一元二次方程的两个实数根
根据韦达定理可得：$a + b = 2026$，$ab = 1$
又
∵ a是方程$x^2 - 2026x + 1 = 0$的根
∴ $a^2 - 2026a + 1 = 0$，即$a^2 = 2026a - 1$
将$a^2 = 2026a - 1$代入$a^2 - \frac{2026}{b} + 1$得：
原式$= 2026a - 1 - \frac{2026}{b} + 1$
$= 2026a - \frac{2026}{b}$
$= \frac{2026ab - 2026}{b}$
把$ab=1$代入上式，分子$2026 × 1 - 2026 = 0$
∴ 原式$= \frac{0}{b} = 0$
【答案】
$\boldsymbol{0}$
【知识点】
二次函数图象性质，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的综合应用，解题的核心是将二次函数上纵坐标相同的点的横坐标转化为对应一元二次方程的根，借助韦达定理和根的定义进行整体代换，避免了求解根的复杂运算，体现了整体思想的应用。
【难度系数】
0.6
14.已知$α,β$是方程$x^2 - 2x + k = 0$的两个实数根，且$α^2 - α + β = 5$，则$k$的值为。
答案
解析
【分析】
解题时首先利用一元二次方程根的定义，得到α满足方程的关系式，再结合根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和，最后将两个结论代入题干给出的等式，消去α、β后即可解出k的值，最后验证判别式确保方程有实根即可。
【解析】
解：
∵α，β是方程$x^2 - 2x + k = 0$的两个实数根
1. 根据根的定义，将α代入方程得：
$α^2 - 2α + k = 0$，整理得$α^2 = 2α - k$ ①
2. 根据根与系数的关系，两根之和为：
$α + β = -\frac{-2}{1} = 2$ ②
3. 将①②代入等式$α^2 - α + β = 5$得：
$2α - k - α + β = 5$
整理得$α + β - k = 5$
把$α + β = 2$代入上式：
$2 - k = 5$，解得$k = -3$
4. 验证判别式：$\Delta = (-2)^2 - 4×1× k = 4 + 12 = 16 ＞ 0$，符合方程有两个实根的条件。
【答案】
$-3$
【知识点】
一元二次方程根的定义、根与系数的关系、根的判别式
【点评】
本题属于一元二次方程根相关的常规题型，核心是通过根的性质和韦达定理对式子做降次、消元变形，把含两个未知数的等式转化为只含参数k的方程求解，解题时注意不要遗漏判别式的验证步骤。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用一元二次方程根的定义，得到α满足方程的关系式，再结合根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和，最后将两个结论代入题干给出的等式，消去α、β后即可解出k的值，最后验证判别式确保方程有实根即可。
【解析】
解：
∵α，β是方程$x^2 - 2x + k = 0$的两个实数根
1. 根据根的定义，将α代入方程得：
$α^2 - 2α + k = 0$，整理得$α^2 = 2α - k$ ①
2. 根据根与系数的关系，两根之和为：
$α + β = -\frac{-2}{1} = 2$ ②
3. 将①②代入等式$α^2 - α + β = 5$得：
$2α - k - α + β = 5$
整理得$α + β - k = 5$
把$α + β = 2$代入上式：
$2 - k = 5$，解得$k = -3$
4. 验证判别式：$\Delta = (-2)^2 - 4×1× k = 4 + 12 = 16 ＞ 0$，符合方程有两个实根的条件。
【答案】
$-3$
【知识点】
一元二次方程根的定义、根与系数的关系、根的判别式
【点评】
本题属于一元二次方程根相关的常规题型，核心是通过根的性质和韦达定理对式子做降次、消元变形，把含两个未知数的等式转化为只含参数k的方程求解，解题时注意不要遗漏判别式的验证步骤。
【难度系数】
0.7
15.已知抛物线$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$是常数），其图象经过点$A(2,0)$，坐标原点为$O$，则下列结论：
①若$b=-2a$，则抛物线必经过原点；②若$c≠4a$，则抛物线与$x$轴一定有两个不同的公共点；
③若抛物线与$x$轴交于点$B$（不与$A$重合），交$y$轴于点$C$，且$OB=OC$，则$a=-\frac{1}{2}$；④点$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$在抛物线上，若当$x_1＞x_2＞-1$时，总有$y_1＞y_2$，则$8a+c≤0$。其中正确的结论是（填序号）。
①若$b=-2a$，则抛物线必经过原点；②若$c≠4a$，则抛物线与$x$轴一定有两个不同的公共点；
③若抛物线与$x$轴交于点$B$（不与$A$重合），交$y$轴于点$C$，且$OB=OC$，则$a=-\frac{1}{2}$；④点$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$在抛物线上，若当$x_1＞x_2＞-1$时，总有$y_1＞y_2$，则$8a+c≤0$。其中正确的结论是（填序号）。
答案
解：已知抛物线$y=ax^2+bx+c$过点$A(2,0)$，代入得$4a+2b+c=0$，即$b=\frac{-4a-c}{2}$。
1. 判断结论①：
若$b=-2a$，代入$4a+2b+c=0$，得$4a+2×(-2a)+c=0$，解得$c=0$，此时抛物线为$y=ax^2+bx$，当$x=0$时$y=0$，必过原点，①正确。
2. 判断结论②：
抛物线判别式$\Delta=b^2-4ac$，将$b=\frac{-4a-c}{2}$代入得：
$\Delta=(\frac{-4a-c}{2})^2-4ac=\frac{(4a-c)^2}{4}$
若$c≠4a$，则$\Delta＞0$，抛物线与$x$轴一定有两个不同的公共点，②正确。
3. 判断结论③：
设点$C(0,c)$，则$OC=|c|$，由$OB=OC$得点$B$坐标为$(|c|,0)$或$(-|c|,0)$，代入抛物线解析式可解得$a$有多个取值，并非一定为$-\frac{1}{2}$，③错误。
4. 判断结论④：
当$x_1＞x_2＞-1$时总有$y_1＞y_2$，说明抛物线开口向上，且对称轴$x=-\frac{b}{2a}≤-1$，即$-b≤-2a$，$b≥2a$。
将$b=\frac{-4a-c}{2}$代入得：
$\frac{-4a-c}{2}≥2a$
整理得$8a+c≤0$，④正确。
综上，正确结论是$\boldsymbol{①②④}$。
1. 判断结论①：
若$b=-2a$，代入$4a+2b+c=0$，得$4a+2×(-2a)+c=0$，解得$c=0$，此时抛物线为$y=ax^2+bx$，当$x=0$时$y=0$，必过原点，①正确。
2. 判断结论②：
抛物线判别式$\Delta=b^2-4ac$，将$b=\frac{-4a-c}{2}$代入得：
$\Delta=(\frac{-4a-c}{2})^2-4ac=\frac{(4a-c)^2}{4}$
若$c≠4a$，则$\Delta＞0$，抛物线与$x$轴一定有两个不同的公共点，②正确。
3. 判断结论③：
设点$C(0,c)$，则$OC=|c|$，由$OB=OC$得点$B$坐标为$(|c|,0)$或$(-|c|,0)$，代入抛物线解析式可解得$a$有多个取值，并非一定为$-\frac{1}{2}$，③错误。
4. 判断结论④：
当$x_1＞x_2＞-1$时总有$y_1＞y_2$，说明抛物线开口向上，且对称轴$x=-\frac{b}{2a}≤-1$，即$-b≤-2a$，$b≥2a$。
将$b=\frac{-4a-c}{2}$代入得：
$\frac{-4a-c}{2}≥2a$
整理得$8a+c≤0$，④正确。
综上，正确结论是$\boldsymbol{①②④}$。
解析
【分析】
解题首先利用抛物线过点A(2,0)的条件，代入解析式得到核心关系式$4a+2b+c=0$，再围绕该关系式结合二次函数的性质逐一验证4个结论：①将$b=-2a$代入核心关系式求$c$，即可判断是否过原点；②计算抛物线与x轴交点的判别式，把$b$用含$a、c$的式子代换，结合$c≠4a$判断判别式正负；③$OB=OC$时B点坐标有两种情况（对应c的正负），代入后可验证a不是固定值；④根据给定的单调性判断抛物线开口方向和对称轴的取值范围，再代换$b$的表达式推导不等式即可验证。
【解析】
已知抛物线$y=ax^2+bx+c$过点$A(2,0)$，将$A(2,0)$代入解析式得$4a+2b+c=0$，即$b=\frac{-4a-c}{2}$。
1. 判断结论①：
若$b=-2a$，代入$4a+2b+c=0$，得$4a+2×(-2a)+c=0$，解得$c=0$，此时抛物线解析式为$y=ax^2+bx$，当$x=0$时$y=0$，因此抛物线必经过原点，①正确。
2. 判断结论②：
抛物线与x轴交点的判别式$\Delta=b^2-4ac$，将$b=\frac{-4a-c}{2}$代入得：
$\Delta=(\frac{-4a-c}{2})^2-4ac=\frac{(4a-c)^2}{4}$
若$c≠4a$，则$\Delta＞0$，因此抛物线与x轴一定有两个不同的公共点，②正确。
3. 判断结论③：
设抛物线与y轴交点$C(0,c)$，则$OC=|c|$，由$OB=OC$得点B坐标为$(|c|,0)$或$(-|c|,0)$，且B不与$A(2,0)$重合，代入解析式推导可知a的取值随c的变化有多种可能，并非一定为$-\frac{1}{2}$，③错误。
4. 判断结论④：
若当$x_1＞x_2＞-1$时总有$y_1＞y_2$，说明抛物线在$x＞-1$时y随x的增大而增大，因此抛物线开口向上，且对称轴$x=-\frac{b}{2a}≤-1$，整理得$b≥2a$。
将$b=\frac{-4a-c}{2}$代入$b≥2a$得：
$\frac{-4a-c}{2}≥2a$
整理得$8a+c≤0$，④正确。
【答案】
①②④
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴交点，一元二次方程判别式
【点评】
本题综合考查二次函数的相关性质，需要结合定点条件建立系数关系再逐一推导结论，易错点是判断结论③时容易忽略B点坐标的两种可能性，判断结论④时需准确根据单调性确定对称轴的取值范围。
【难度系数】
0.6
解题首先利用抛物线过点A(2,0)的条件，代入解析式得到核心关系式$4a+2b+c=0$，再围绕该关系式结合二次函数的性质逐一验证4个结论：①将$b=-2a$代入核心关系式求$c$，即可判断是否过原点；②计算抛物线与x轴交点的判别式，把$b$用含$a、c$的式子代换，结合$c≠4a$判断判别式正负；③$OB=OC$时B点坐标有两种情况（对应c的正负），代入后可验证a不是固定值；④根据给定的单调性判断抛物线开口方向和对称轴的取值范围，再代换$b$的表达式推导不等式即可验证。
【解析】
已知抛物线$y=ax^2+bx+c$过点$A(2,0)$，将$A(2,0)$代入解析式得$4a+2b+c=0$，即$b=\frac{-4a-c}{2}$。
1. 判断结论①：
若$b=-2a$，代入$4a+2b+c=0$，得$4a+2×(-2a)+c=0$，解得$c=0$，此时抛物线解析式为$y=ax^2+bx$，当$x=0$时$y=0$，因此抛物线必经过原点，①正确。
2. 判断结论②：
抛物线与x轴交点的判别式$\Delta=b^2-4ac$，将$b=\frac{-4a-c}{2}$代入得：
$\Delta=(\frac{-4a-c}{2})^2-4ac=\frac{(4a-c)^2}{4}$
若$c≠4a$，则$\Delta＞0$，因此抛物线与x轴一定有两个不同的公共点，②正确。
3. 判断结论③：
设抛物线与y轴交点$C(0,c)$，则$OC=|c|$，由$OB=OC$得点B坐标为$(|c|,0)$或$(-|c|,0)$，且B不与$A(2,0)$重合，代入解析式推导可知a的取值随c的变化有多种可能，并非一定为$-\frac{1}{2}$，③错误。
4. 判断结论④：
若当$x_1＞x_2＞-1$时总有$y_1＞y_2$，说明抛物线在$x＞-1$时y随x的增大而增大，因此抛物线开口向上，且对称轴$x=-\frac{b}{2a}≤-1$，整理得$b≥2a$。
将$b=\frac{-4a-c}{2}$代入$b≥2a$得：
$\frac{-4a-c}{2}≥2a$
整理得$8a+c≤0$，④正确。
【答案】
①②④
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴交点，一元二次方程判别式
【点评】
本题综合考查二次函数的相关性质，需要结合定点条件建立系数关系再逐一推导结论，易错点是判断结论③时容易忽略B点坐标的两种可能性，判断结论④时需准确根据单调性确定对称轴的取值范围。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共9小题,共75分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(9分)用适当的方法解方程:
(1)$x^2 -2x=5$;
(2)$2x^2 -5x +1=0$;
(3)$4(2x-3)^2=(3x-1)^2$.
16.(9分)用适当的方法解方程:
(1)$x^2 -2x=5$;
(2)$2x^2 -5x +1=0$;
(3)$4(2x-3)^2=(3x-1)^2$.
答案
解：
(1) 配方，得 $x^2 - 2x + 1 = 5 + 1$，
即 $(x-1)^2 = 6$，
两边开平方，得 $x-1 = \pm\sqrt{6}$，
解得 $x_1 = 1+\sqrt{6}$，$x_2 = 1-\sqrt{6}$。
(2) 对于方程 $2x^2 -5x +1=0$，
这里 $a=2$，$b=-5$，$c=1$，
判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×2×1 = 17 ＞ 0$，
由求根公式得 $x = \frac{5\pm\sqrt{17}}{2×2} = \frac{5\pm\sqrt{17}}{4}$，
解得 $x_1 = \frac{5+\sqrt{17}}{4}$，$x_2 = \frac{5-\sqrt{17}}{4}$。
(3) 移项，得 $4(2x-3)^2 - (3x-1)^2 = 0$，
由平方差公式因式分解，得 $[2(2x-3)+(3x-1)][2(2x-3)-(3x-1)] = 0$，
化简得 $(7x -7)(x -5) = 0$，
则 $7x-7=0$ 或 $x-5=0$，
解得 $x_1=1$，$x_2=5$。
(1) 配方，得 $x^2 - 2x + 1 = 5 + 1$，
即 $(x-1)^2 = 6$，
两边开平方，得 $x-1 = \pm\sqrt{6}$，
解得 $x_1 = 1+\sqrt{6}$，$x_2 = 1-\sqrt{6}$。
(2) 对于方程 $2x^2 -5x +1=0$，
这里 $a=2$，$b=-5$，$c=1$，
判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×2×1 = 17 ＞ 0$，
由求根公式得 $x = \frac{5\pm\sqrt{17}}{2×2} = \frac{5\pm\sqrt{17}}{4}$，
解得 $x_1 = \frac{5+\sqrt{17}}{4}$，$x_2 = \frac{5-\sqrt{17}}{4}$。
(3) 移项，得 $4(2x-3)^2 - (3x-1)^2 = 0$，
由平方差公式因式分解，得 $[2(2x-3)+(3x-1)][2(2x-3)-(3x-1)] = 0$，
化简得 $(7x -7)(x -5) = 0$，
则 $7x-7=0$ 或 $x-5=0$，
解得 $x_1=1$，$x_2=5$。
解析
【分析】
解一元二次方程时需根据方程特征灵活选择最优解法：
(1) 方程左侧含二次项和一次项，一次项系数为-2，便于配方，因此选配方法：先给方程两边加一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式，再开平方求解；
(2) 方程为一元二次方程一般形式，且无法直接因式分解，因此选通用的公式法：先确定a、b、c的取值，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算；
(3) 方程左右两侧均为完全平方形式，移项后符合平方差公式结构，因此选因式分解法：利用平方差公式分解为两个一次因式的乘积，分别令因式为0即可求解。
【解析】
(1) 配方，得 $x^2 - 2x + 1 = 5 + 1$，
即 $(x-1)^2 = 6$，
两边开平方，得 $x-1 = \pm\sqrt{6}$，
解得 $x_1 = 1+\sqrt{6}$，$x_2 = 1-\sqrt{6}$。
(2) 对于方程 $2x^2 -5x +1=0$，
这里 $a=2$，$b=-5$，$c=1$，
判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×2×1 = 17 ＞ 0$，
由求根公式得 $x = \frac{5\pm\sqrt{17}}{2×2} = \frac{5\pm\sqrt{17}}{4}$，
解得 $x_1 = \frac{5+\sqrt{17}}{4}$，$x_2 = \frac{5-\sqrt{17}}{4}$。
(3) 移项，得 $4(2x-3)^2 - (3x-1)^2 = 0$，
由平方差公式因式分解，得 $[2(2x-3)+(3x-1)][2(2x-3)-(3x-1)] = 0$，
化简得 $(7x -7)(x -5) = 0$，
则 $7x-7=0$ 或 $x-5=0$，
解得 $x_1=1$，$x_2=5$。
【答案】
(1) $x_1 = 1+\sqrt{6}$，$x_2 = 1-\sqrt{6}$；
(2) $x_1 = \frac{5+\sqrt{17}}{4}$，$x_2 = \frac{5-\sqrt{17}}{4}$；
(3) $x_1=1$，$x_2=5$
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 公式法解一元二次方程
3. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活运用，熟练掌握不同解法的适用场景，可有效减少计算量，提升解题准确率。
【难度系数】
0.8
解一元二次方程时需根据方程特征灵活选择最优解法：
(1) 方程左侧含二次项和一次项，一次项系数为-2，便于配方，因此选配方法：先给方程两边加一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式，再开平方求解；
(2) 方程为一元二次方程一般形式，且无法直接因式分解，因此选通用的公式法：先确定a、b、c的取值，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算；
(3) 方程左右两侧均为完全平方形式，移项后符合平方差公式结构，因此选因式分解法：利用平方差公式分解为两个一次因式的乘积，分别令因式为0即可求解。
【解析】
(1) 配方，得 $x^2 - 2x + 1 = 5 + 1$，
即 $(x-1)^2 = 6$，
两边开平方，得 $x-1 = \pm\sqrt{6}$，
解得 $x_1 = 1+\sqrt{6}$，$x_2 = 1-\sqrt{6}$。
(2) 对于方程 $2x^2 -5x +1=0$，
这里 $a=2$，$b=-5$，$c=1$，
判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×2×1 = 17 ＞ 0$，
由求根公式得 $x = \frac{5\pm\sqrt{17}}{2×2} = \frac{5\pm\sqrt{17}}{4}$，
解得 $x_1 = \frac{5+\sqrt{17}}{4}$，$x_2 = \frac{5-\sqrt{17}}{4}$。
(3) 移项，得 $4(2x-3)^2 - (3x-1)^2 = 0$，
由平方差公式因式分解，得 $[2(2x-3)+(3x-1)][2(2x-3)-(3x-1)] = 0$，
化简得 $(7x -7)(x -5) = 0$，
则 $7x-7=0$ 或 $x-5=0$，
解得 $x_1=1$，$x_2=5$。
【答案】
(1) $x_1 = 1+\sqrt{6}$，$x_2 = 1-\sqrt{6}$；
(2) $x_1 = \frac{5+\sqrt{17}}{4}$，$x_2 = \frac{5-\sqrt{17}}{4}$；
(3) $x_1=1$，$x_2=5$
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 公式法解一元二次方程
3. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活运用，熟练掌握不同解法的适用场景，可有效减少计算量，提升解题准确率。
【难度系数】
0.8
17.(6分)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(m-1)x + m^2 = 0$有实数根.
(1)求$m$的取值范围；
(2)设此方程的两个根分别为$x_1,x_2$，若$x_1^2 + x_2^2 = 8 - 3x_1x_2$，求$m$的值.
(1)求$m$的取值范围；
(2)设此方程的两个根分别为$x_1,x_2$，若$x_1^2 + x_2^2 = 8 - 3x_1x_2$，求$m$的值.
答案
解：
(1) ∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(m-1)x + m^2 = 0$有实数根，
∴ 判别式$\Delta = [-2(m-1)]^2 - 4×1× m^2 ≥ 0$，
展开得：$4(m^2 - 2m + 1) - 4m^2 ≥ 0$，
化简得：$-8m + 4 ≥ 0$，
解得：$m ≤ \frac{1}{2}$。
(2) 由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = 2(m-1)$，$x_1x_2 = m^2$，
∵ $x_1^2 + x_2^2 = 8 - 3x_1x_2$，
又∵ $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，
代入得：$(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 8 - 3x_1x_2$，
整理得：$(x_1 + x_2)^2 + x_1x_2 = 8$，
将$x_1+x_2=2(m-1)$，$x_1x_2=m^2$代入上式：
$[2(m-1)]^2 + m^2 = 8$，
展开化简：$4(m^2 - 2m + 1) + m^2 = 8$，
即$5m^2 - 8m - 4 = 0$，
解得：$m_1 = 2$，$m_2 = -\frac{2}{5}$，
由(1)知$m ≤ \frac{1}{2}$，
∴ $m=2$不符合题意，舍去，
∴ $m$的值为$-\frac{2}{5}$。
(1) ∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(m-1)x + m^2 = 0$有实数根，
∴ 判别式$\Delta = [-2(m-1)]^2 - 4×1× m^2 ≥ 0$，
展开得：$4(m^2 - 2m + 1) - 4m^2 ≥ 0$，
化简得：$-8m + 4 ≥ 0$，
解得：$m ≤ \frac{1}{2}$。
(2) 由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = 2(m-1)$，$x_1x_2 = m^2$，
∵ $x_1^2 + x_2^2 = 8 - 3x_1x_2$，
又∵ $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，
代入得：$(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 8 - 3x_1x_2$，
整理得：$(x_1 + x_2)^2 + x_1x_2 = 8$，
将$x_1+x_2=2(m-1)$，$x_1x_2=m^2$代入上式：
$[2(m-1)]^2 + m^2 = 8$，
展开化简：$4(m^2 - 2m + 1) + m^2 = 8$，
即$5m^2 - 8m - 4 = 0$，
解得：$m_1 = 2$，$m_2 = -\frac{2}{5}$，
由(1)知$m ≤ \frac{1}{2}$，
∴ $m=2$不符合题意，舍去，
∴ $m$的值为$-\frac{2}{5}$。
解析
【分析】
(1) 对于一元二次方程，若有实数根，则判别式$\Delta ≥ 0$。首先确定方程$x^2 - 2(m-1)x + m^2 = 0$中$a=1$，$b=-2(m-1)$，$c=m^2$，代入判别式公式得到关于$m$的不等式，解不等式即可求出$m$的取值范围。
(2) 已知两根的平方和与两根乘积的等量关系，先利用完全平方公式变形$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，再结合一元二次方程根与系数的关系，求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$关于$m$的表达式，代入等量关系得到关于$m$的方程，解方程得到$m$的可能值后，结合第(1)问的$m$取值范围舍去不符合条件的解，即可得到最终$m$的值。
【解析】
(1)
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(m-1)x + m^2 = 0$有实数根，
∴ 判别式$\Delta = [-2(m-1)]^2 - 4×1× m^2 ≥ 0$，
展开得：$4(m^2 - 2m + 1) - 4m^2 ≥ 0$，
化简得：$-8m + 4 ≥ 0$，
解得：$m ≤ \frac{1}{2}$。
(2) 由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = 2(m-1)$，$x_1x_2 = m^2$，
∵ $x_1^2 + x_2^2 = 8 - 3x_1x_2$，
又
∵ $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，
代入得：$(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 8 - 3x_1x_2$，
整理得：$(x_1 + x_2)^2 + x_1x_2 = 8$，
将$x_1+x_2=2(m-1)$，$x_1x_2=m^2$代入上式：
$[2(m-1)]^2 + m^2 = 8$，
展开化简：$4(m^2 - 2m + 1) + m^2 = 8$，
即$5m^2 - 8m - 4 = 0$，
解得：$m_1 = 2$，$m_2 = -\frac{2}{5}$，
由(1)知$m ≤ \frac{1}{2}$，
∴ $m=2$不符合题意，舍去，
∴ $m$的值为$-\frac{2}{5}$。
【答案】
(1) $m ≤ \frac{1}{2}$；(2) $m = -\frac{2}{5}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 完全平方公式应用
【点评】
本题是一元二次方程的常规综合题型，核心考察根的判别式、根与系数关系的结合应用，解题的易错点是求出参数值后忽略结合判别式的范围进行取舍，容易出现增解，能够有效考察学生的运算能力和思维的严谨性。
【难度系数】
0.65
(1) 对于一元二次方程，若有实数根，则判别式$\Delta ≥ 0$。首先确定方程$x^2 - 2(m-1)x + m^2 = 0$中$a=1$，$b=-2(m-1)$，$c=m^2$，代入判别式公式得到关于$m$的不等式，解不等式即可求出$m$的取值范围。
(2) 已知两根的平方和与两根乘积的等量关系，先利用完全平方公式变形$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，再结合一元二次方程根与系数的关系，求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$关于$m$的表达式，代入等量关系得到关于$m$的方程，解方程得到$m$的可能值后，结合第(1)问的$m$取值范围舍去不符合条件的解，即可得到最终$m$的值。
【解析】
(1)
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(m-1)x + m^2 = 0$有实数根，
∴ 判别式$\Delta = [-2(m-1)]^2 - 4×1× m^2 ≥ 0$，
展开得：$4(m^2 - 2m + 1) - 4m^2 ≥ 0$，
化简得：$-8m + 4 ≥ 0$，
解得：$m ≤ \frac{1}{2}$。
(2) 由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = 2(m-1)$，$x_1x_2 = m^2$，
∵ $x_1^2 + x_2^2 = 8 - 3x_1x_2$，
又
∵ $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，
代入得：$(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 8 - 3x_1x_2$，
整理得：$(x_1 + x_2)^2 + x_1x_2 = 8$，
将$x_1+x_2=2(m-1)$，$x_1x_2=m^2$代入上式：
$[2(m-1)]^2 + m^2 = 8$，
展开化简：$4(m^2 - 2m + 1) + m^2 = 8$，
即$5m^2 - 8m - 4 = 0$，
解得：$m_1 = 2$，$m_2 = -\frac{2}{5}$，
由(1)知$m ≤ \frac{1}{2}$，
∴ $m=2$不符合题意，舍去，
∴ $m$的值为$-\frac{2}{5}$。
【答案】
(1) $m ≤ \frac{1}{2}$；(2) $m = -\frac{2}{5}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 完全平方公式应用
【点评】
本题是一元二次方程的常规综合题型，核心考察根的判别式、根与系数关系的结合应用，解题的易错点是求出参数值后忽略结合判别式的范围进行取舍，容易出现增解，能够有效考察学生的运算能力和思维的严谨性。
【难度系数】
0.65
