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18.(6分)如图,根据小孔成像的科学原理,当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰的高度)不变时,火焰的像高$y$(单位:cm)是关于物距(小孔到蜡烛的距离)$x$(单位:cm)的反比例函数.当$x=6$时,$y=3$,请你解答下列问题.
(1)求$y$关于$x$的函数解析式;
(2)若火焰的像高为9 cm,求小孔到蜡烛的距离.
第18小题图
(1)求$y$关于$x$的函数解析式;
(2)若火焰的像高为9 cm,求小孔到蜡烛的距离.
第18小题图
答案
解：
(1) 由题意，设$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0, x＞0)$。
将$x=6$，$y=3$代入解析式，得：
$3=\frac{k}{6}$
解得$k=18$。
因此$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{18}{x}(x＞0)$。
(2) 将$y=9$代入$y=\frac{18}{x}$，得：
$9=\frac{18}{x}$
解得$x=2$。
答：小孔到蜡烛的距离为2 cm。
(1) 由题意，设$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0, x＞0)$。
将$x=6$，$y=3$代入解析式，得：
$3=\frac{k}{6}$
解得$k=18$。
因此$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{18}{x}(x＞0)$。
(2) 将$y=9$代入$y=\frac{18}{x}$，得：
$9=\frac{18}{x}$
解得$x=2$。
答：小孔到蜡烛的距离为2 cm。
解析
【分析】
本题考查反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：(1)题目明确说明y是x的反比例函数，因此先设出反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再将已知的x、y对应值代入求出常数k，同时结合实际意义明确自变量x的取值范围，即可得到函数解析式；(2)已知像高y的值，将其代入第一问求出的函数解析式中，解关于x的方程，即可得到对应的小孔到蜡烛的距离。
【解析】
(1) 由题意，设$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0, x＞0)$。
将$x=6$，$y=3$代入解析式，得：
$3=\frac{k}{6}$
解得$k=18$。
因此$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{18}{x}(x＞0)$。
(2) 将$y=9$代入$y=\frac{18}{x}$，得：
$9=\frac{18}{x}$
解得$x=2$。
【答案】
(1) $y=\frac{18}{x}(x＞0)$；(2) $\boldsymbol{2\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
反比例函数的概念；待定系数法求解析式；反比例函数的应用
【点评】
本题结合小孔成像的物理常识考查反比例函数的实际应用，属于基础题型，解题的关键是准确把握反比例函数的形式，熟练运用待定系数法求解析式，同时注意实际问题中自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.8
本题考查反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：(1)题目明确说明y是x的反比例函数，因此先设出反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再将已知的x、y对应值代入求出常数k，同时结合实际意义明确自变量x的取值范围，即可得到函数解析式；(2)已知像高y的值，将其代入第一问求出的函数解析式中，解关于x的方程，即可得到对应的小孔到蜡烛的距离。
【解析】
(1) 由题意，设$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0, x＞0)$。
将$x=6$，$y=3$代入解析式，得：
$3=\frac{k}{6}$
解得$k=18$。
因此$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{18}{x}(x＞0)$。
(2) 将$y=9$代入$y=\frac{18}{x}$，得：
$9=\frac{18}{x}$
解得$x=2$。
【答案】
(1) $y=\frac{18}{x}(x＞0)$；(2) $\boldsymbol{2\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
反比例函数的概念；待定系数法求解析式；反比例函数的应用
【点评】
本题结合小孔成像的物理常识考查反比例函数的实际应用，属于基础题型，解题的关键是准确把握反比例函数的形式，熟练运用待定系数法求解析式，同时注意实际问题中自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.8
19.(6分)如图1，某校准备修建一个矩形花圃ABCD，其中一面利用墙，其余三面用篱笆围成.已知旧墙可利用的最大长度为13 m，篱笆长为24 m，设垂直于墙的AB边长为x m.
(1)若围成的花圃面积为70 m²，求BC的长；
(2)如图2，若计划将花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为78 m²，请你判断能否围成这样的花圃.如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由.
第19小题图
(1)若围成的花圃面积为70 m²，求BC的长；
(2)如图2，若计划将花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为78 m²，请你判断能否围成这样的花圃.如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由.
第19小题图
答案
解析
【分析】
(1) 先明确边长关系：垂直于墙的AB边长为x m，平行于墙的BC边长为篱笆总长减去2段AB的长度，即(24-2x)m，结合矩形面积公式列方程求解，最后验证BC长度是否不超过旧墙最大可用长度13m，舍去不符合实际的解。
(2) 中间加一道垂直于墙的篱笆后，垂直于墙的篱笆共3段，因此BC长为(24-3x)m，按面积公式列一元二次方程，通过根的判别式判断方程是否有实数根，即可判断能否围成符合要求的花圃。
【解析】
(1) 由题意可知：AB=x m，BC=(24-2x)m，其中BC的长度需满足$0＜24-2x≤13$，即$5.5≤x＜12$。
根据花圃面积为70$\mathrm{m}^2$列方程：
$x(24-2x)=70$
整理得：$x^2-12x+35=0$
因式分解得：$(x-5)(x-7)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=7$。
当$x=5$时，$BC=24-2×5=14\ \mathrm{m}$，$14＞13$，不符合墙的长度限制，舍去；
当$x=7$时，$BC=24-2×7=10\ \mathrm{m}$，$10≤13$，符合题意。
(2) 不能围成这样的花圃，理由如下：
中间加一道篱笆后，垂直于墙的篱笆共3段，因此$BC=(24-3x)\mathrm{m}$，需满足$0＜24-3x≤13$，即$\frac{11}{3}≤x＜8$。
根据面积为78$\mathrm{m}^2$列方程：
$x(24-3x)=78$
整理得：$x^2-8x+26=0$
该方程的判别式$\Delta=(-8)^2-4×1×26=64-104=-40＜0$，因此一元二次方程无实数根，故不能围成这样的花圃。
【答案】
(1) BC的长为$\boxed{10\ \mathrm{m}}$；
(2) 不能围成，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题结合实际场景考查一元二次方程的应用，解题时需注意结合实际限制条件对解进行验证，避免得出不符合实际的结果，熟练运用根的判别式判断方程解的情况是解决第二问的核心。
【难度系数】
0.7
(1) 先明确边长关系：垂直于墙的AB边长为x m，平行于墙的BC边长为篱笆总长减去2段AB的长度，即(24-2x)m，结合矩形面积公式列方程求解，最后验证BC长度是否不超过旧墙最大可用长度13m，舍去不符合实际的解。
(2) 中间加一道垂直于墙的篱笆后，垂直于墙的篱笆共3段，因此BC长为(24-3x)m，按面积公式列一元二次方程，通过根的判别式判断方程是否有实数根，即可判断能否围成符合要求的花圃。
【解析】
(1) 由题意可知：AB=x m，BC=(24-2x)m，其中BC的长度需满足$0＜24-2x≤13$，即$5.5≤x＜12$。
根据花圃面积为70$\mathrm{m}^2$列方程：
$x(24-2x)=70$
整理得：$x^2-12x+35=0$
因式分解得：$(x-5)(x-7)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=7$。
当$x=5$时，$BC=24-2×5=14\ \mathrm{m}$，$14＞13$，不符合墙的长度限制，舍去；
当$x=7$时，$BC=24-2×7=10\ \mathrm{m}$，$10≤13$，符合题意。
(2) 不能围成这样的花圃，理由如下：
中间加一道篱笆后，垂直于墙的篱笆共3段，因此$BC=(24-3x)\mathrm{m}$，需满足$0＜24-3x≤13$，即$\frac{11}{3}≤x＜8$。
根据面积为78$\mathrm{m}^2$列方程：
$x(24-3x)=78$
整理得：$x^2-8x+26=0$
该方程的判别式$\Delta=(-8)^2-4×1×26=64-104=-40＜0$，因此一元二次方程无实数根，故不能围成这样的花圃。
【答案】
(1) BC的长为$\boxed{10\ \mathrm{m}}$；
(2) 不能围成，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题结合实际场景考查一元二次方程的应用，解题时需注意结合实际限制条件对解进行验证，避免得出不符合实际的结果，熟练运用根的判别式判断方程解的情况是解决第二问的核心。
【难度系数】
0.7
20. (7分)已知函数$y=-x^2+2x+k$($k$为常数).
(1)若$x=3$，$y=-4$，求$k$的值；
(2)当$-1≤ x≤4$时，无论$k$为何实数，函数$y$的最大值与最小值的差是否恒为9？请说明理由.
(1)若$x=3$，$y=-4$，求$k$的值；
(2)当$-1≤ x≤4$时，无论$k$为何实数，函数$y$的最大值与最小值的差是否恒为9？请说明理由.
答案
解：
(1) 将$x=3$，$y=-4$代入$y=-x^2+2x+k$，得
$-4 = -3^2 + 2×3 +k$
化简得$-4 = -3 +k$，
解得 $k=-1$。
(2) 是，理由如下：
将函数解析式配方得：
$y = -x^2 + 2x +k = -(x-1)^2 + k +1$
$\because a=-1＜0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$。
$\because -1≤ x≤4$，对称轴$x=1$在该区间内，
$\therefore$ 当$x=1$时，$y$取得最大值，$y_{\mathrm{max}} = k+1$。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=-1$时，$y = -(-1)^2 + 2×(-1) +k = k-3$；
当$x=4$时，$y = -4^2 + 2×4 +k = k-8$。
$\because k-8 ＜ k-3$，
$\therefore$ 当$x=4$时，$y$取得最小值，$y_{\mathrm{min}} = k-8$。
$\therefore y_{\mathrm{max}} - y_{\mathrm{min}} = (k+1) - (k-8) = 9$，
因此当$-1≤ x≤4$时，无论$k$为何实数，函数$y$的最大值与最小值的差恒为9。
(1) 将$x=3$，$y=-4$代入$y=-x^2+2x+k$，得
$-4 = -3^2 + 2×3 +k$
化简得$-4 = -3 +k$，
解得 $k=-1$。
(2) 是，理由如下：
将函数解析式配方得：
$y = -x^2 + 2x +k = -(x-1)^2 + k +1$
$\because a=-1＜0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$。
$\because -1≤ x≤4$，对称轴$x=1$在该区间内，
$\therefore$ 当$x=1$时，$y$取得最大值，$y_{\mathrm{max}} = k+1$。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=-1$时，$y = -(-1)^2 + 2×(-1) +k = k-3$；
当$x=4$时，$y = -4^2 + 2×4 +k = k-8$。
$\because k-8 ＜ k-3$，
$\therefore$ 当$x=4$时，$y$取得最小值，$y_{\mathrm{min}} = k-8$。
$\therefore y_{\mathrm{max}} - y_{\mathrm{min}} = (k+1) - (k-8) = 9$，
因此当$-1≤ x≤4$时，无论$k$为何实数，函数$y$的最大值与最小值的差恒为9。
解析
【分析】
(1) 第一问已知函数解析式及对应的x、y值，直接用代入法将x=3、y=-4代入函数表达式，得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值。
(2) 第二问要判断定区间内函数最值差是否恒定，首先将二次函数一般式配方为顶点式，确定抛物线开口方向和对称轴；再判断对称轴是否在给定区间[-1,4]内，开口向下的抛物线在顶点处取最大值，随后计算区间两个端点的函数值，比较大小得到最小值；最后计算最值差，观察参数k是否被抵消，即可判断差值是否恒定。
【解析】
(1) 将$x=3$，$y=-4$代入$y=-x^2+2x+k$，得
$-4 = -3^2 + 2×3 +k$
化简得$-4 = -3 +k$，
解得 $k=-1$。
(2) 是，理由如下：
将函数解析式配方得：
$y = -x^2 + 2x +k = -(x-1)^2 + k +1$
$\because a=-1＜0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$。
$\because -1≤ x≤4$，对称轴$x=1$在该区间内，
$\therefore$ 当$x=1$时，$y$取得最大值，$y_{\mathrm{max}} = k+1$。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=-1$时，$y = -(-1)^2 + 2×(-1) +k = k-3$；
当$x=4$时，$y = -4^2 + 2×4 +k = k-8$。
$\because k-8 ＜ k-3$，
$\therefore$ 当$x=4$时，$y$取得最小值，$y_{\mathrm{min}} = k-8$。
$\therefore y_{\mathrm{max}} - y_{\mathrm{min}} = (k+1) - (k-8) = 9$，
因此当$-1≤ x≤4$时，无论$k$为何实数，函数$y$的最大值与最小值的差恒为9。
【答案】
(1) $k=-1$；
(2) 是，函数最大值与最小值的差恒为9，理由见解析。
【知识点】
待定系数法求参数；二次函数的图象与性质；二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数基础应用类常考题，第一问侧重基础代入计算能力，第二问核心考察二次函数顶点式转化、定区间内最值的求解逻辑，解题时需结合抛物线图象性质判断最值位置，避免直接默认区间端点为最值点的误区。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问已知函数解析式及对应的x、y值，直接用代入法将x=3、y=-4代入函数表达式，得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值。
(2) 第二问要判断定区间内函数最值差是否恒定，首先将二次函数一般式配方为顶点式，确定抛物线开口方向和对称轴；再判断对称轴是否在给定区间[-1,4]内，开口向下的抛物线在顶点处取最大值，随后计算区间两个端点的函数值，比较大小得到最小值；最后计算最值差，观察参数k是否被抵消，即可判断差值是否恒定。
【解析】
(1) 将$x=3$，$y=-4$代入$y=-x^2+2x+k$，得
$-4 = -3^2 + 2×3 +k$
化简得$-4 = -3 +k$，
解得 $k=-1$。
(2) 是，理由如下：
将函数解析式配方得：
$y = -x^2 + 2x +k = -(x-1)^2 + k +1$
$\because a=-1＜0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$。
$\because -1≤ x≤4$，对称轴$x=1$在该区间内，
$\therefore$ 当$x=1$时，$y$取得最大值，$y_{\mathrm{max}} = k+1$。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=-1$时，$y = -(-1)^2 + 2×(-1) +k = k-3$；
当$x=4$时，$y = -4^2 + 2×4 +k = k-8$。
$\because k-8 ＜ k-3$，
$\therefore$ 当$x=4$时，$y$取得最小值，$y_{\mathrm{min}} = k-8$。
$\therefore y_{\mathrm{max}} - y_{\mathrm{min}} = (k+1) - (k-8) = 9$，
因此当$-1≤ x≤4$时，无论$k$为何实数，函数$y$的最大值与最小值的差恒为9。
【答案】
(1) $k=-1$；
(2) 是，函数最大值与最小值的差恒为9，理由见解析。
【知识点】
待定系数法求参数；二次函数的图象与性质；二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数基础应用类常考题，第一问侧重基础代入计算能力，第二问核心考察二次函数顶点式转化、定区间内最值的求解逻辑，解题时需结合抛物线图象性质判断最值位置，避免直接默认区间端点为最值点的误区。
【难度系数】
0.7
21.(9分)黄冈市英山县是中国茶叶之乡，英山云雾茶曾获评国家地理标志产品、湖北十大名茶，凭借优良品质远销多地，是当地乡村振兴支柱特色产业.某加工厂加工英山云雾茶的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克.为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克.
(1)设批发价每千克降x元，写出工厂每天的利润ω元与降价x元之间的函数解析式；
(2)当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
(3)若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？
(1)设批发价每千克降x元，写出工厂每天的利润ω元与降价x元之间的函数解析式；
(2)当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
(3)若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？
答案
解：
(1) 由题意得，每千克的利润为$(48 - x - 30)=(18 - x)$元，每天的销量为$(500 + 50x)$千克。
则利润$w=(18 - x)(500 + 50x)$，整理得：
$w=-50x^2 + 400x + 9000$，
由保证盈利可知$18-x＞0$且$x≥0$，即自变量取值范围为$0≤ x＜18$。
(2) 在函数$w=-50x^2 + 400x + 9000$中，$a=-50＜0$，函数图象开口向下，对称轴为直线：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{400}{2×(-50)}=4$，
当$x=4$时，$w$取得最大值：
$w_{max}=-50×4^2 + 400×4 + 9000=9800$。
即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元。
(3) 令$w=9750$，则：
$-50x^2 + 400x + 9000=9750$，
整理得$x^2 - 8x + 15=0$，
因式分解得$(x-3)(x-5)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=5$。
要让利于民，应选择更大的降价幅度，即$x=5$，
此时定价为$48 - 5=43$元。
答：(1) 函数解析式为$w=-50x^2 + 400x + 9000(0≤ x＜18)$；
(2) 降价4元时每天利润最大，最大为9800元；
(3) 定价应为43元。
(1) 由题意得，每千克的利润为$(48 - x - 30)=(18 - x)$元，每天的销量为$(500 + 50x)$千克。
则利润$w=(18 - x)(500 + 50x)$，整理得：
$w=-50x^2 + 400x + 9000$，
由保证盈利可知$18-x＞0$且$x≥0$，即自变量取值范围为$0≤ x＜18$。
(2) 在函数$w=-50x^2 + 400x + 9000$中，$a=-50＜0$，函数图象开口向下，对称轴为直线：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{400}{2×(-50)}=4$，
当$x=4$时，$w$取得最大值：
$w_{max}=-50×4^2 + 400×4 + 9000=9800$。
即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元。
(3) 令$w=9750$，则：
$-50x^2 + 400x + 9000=9750$，
整理得$x^2 - 8x + 15=0$，
因式分解得$(x-3)(x-5)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=5$。
要让利于民，应选择更大的降价幅度，即$x=5$，
此时定价为$48 - 5=43$元。
答：(1) 函数解析式为$w=-50x^2 + 400x + 9000(0≤ x＜18)$；
(2) 降价4元时每天利润最大，最大为9800元；
(3) 定价应为43元。
解析
【分析】
本题是二次函数在销售利润问题中的实际应用，解题思路如下：
(1) 利润问题核心公式为“总利润=每千克利润×销售总量”，先分别求出降价x元后每千克的利润、每天的销售量，相乘即可得到利润w与x的函数关系，再结合“保证盈利”“降价”的实际意义求出自变量x的取值范围；
(2) 所得函数是二次函数，且二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处取得最大值，利用对称轴公式求出对应的x值，再代入函数解析式求出最大利润即可；
(3) 令利润w=9750，得到关于x的一元二次方程，解方程得到两个解，结合“让利于民”的要求选择降价幅度更大的x值，再计算对应的定价即可。
【解析】
(1) 由题意得，降价x元后，每千克的利润为$(48 - x - 30)=(18 - x)$元，每天的销量为$(500 + 50x)$千克。
总利润$w = 每千克利润 × 销量$，即：
$w=(18 - x)(500 + 50x)$
整理得：$w=-50x^2 + 400x + 9000$
结合保证盈利和降价的实际意义，得$\begin{cases}x≥0 \\ 18-x＞0 \end{cases}$，即自变量取值范围为$0≤ x＜18$。
(2) 对于二次函数$w=-50x^2 + 400x + 9000$，$a=-50＜0$，函数图象开口向下，对称轴为直线：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{400}{2×(-50)}=4$
因为$4$在$0≤ x＜18$范围内，所以当$x=4$时，$w$取得最大值：
$w_{max}=-50×4^2 + 400×4 + 9000 = 9800$
(3) 令$w=9750$，代入函数解析式得：
$-50x^2 + 400x + 9000=9750$
移项整理得：$x^2 - 8x + 15=0$
因式分解得：$(x-3)(x-5)=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=5$
因为要让利于民，所以选择降价幅度更大的$x=5$，此时定价为$48 - 5=43$元。
【答案】
(1) $w=-50x^2 + 400x + 9000(0≤ x＜18)$；
(2) 当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元；
(3) 定价应为43元。
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数的最值，一元二次方程的应用
【点评】
本题结合地方特色产业的销售场景命题，贴近生活实际，解题时需要先理清利润、单价、销量之间的数量关系建立函数模型，再结合二次函数的性质和一元二次方程的解法求解，同时要注意题干中“保证盈利”“让利于民”等限定条件，对求得的结果进行合理取舍。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数在销售利润问题中的实际应用，解题思路如下：
(1) 利润问题核心公式为“总利润=每千克利润×销售总量”，先分别求出降价x元后每千克的利润、每天的销售量，相乘即可得到利润w与x的函数关系，再结合“保证盈利”“降价”的实际意义求出自变量x的取值范围；
(2) 所得函数是二次函数，且二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处取得最大值，利用对称轴公式求出对应的x值，再代入函数解析式求出最大利润即可；
(3) 令利润w=9750，得到关于x的一元二次方程，解方程得到两个解，结合“让利于民”的要求选择降价幅度更大的x值，再计算对应的定价即可。
【解析】
(1) 由题意得，降价x元后，每千克的利润为$(48 - x - 30)=(18 - x)$元，每天的销量为$(500 + 50x)$千克。
总利润$w = 每千克利润 × 销量$，即：
$w=(18 - x)(500 + 50x)$
整理得：$w=-50x^2 + 400x + 9000$
结合保证盈利和降价的实际意义，得$\begin{cases}x≥0 \\ 18-x＞0 \end{cases}$，即自变量取值范围为$0≤ x＜18$。
(2) 对于二次函数$w=-50x^2 + 400x + 9000$，$a=-50＜0$，函数图象开口向下，对称轴为直线：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{400}{2×(-50)}=4$
因为$4$在$0≤ x＜18$范围内，所以当$x=4$时，$w$取得最大值：
$w_{max}=-50×4^2 + 400×4 + 9000 = 9800$
(3) 令$w=9750$，代入函数解析式得：
$-50x^2 + 400x + 9000=9750$
移项整理得：$x^2 - 8x + 15=0$
因式分解得：$(x-3)(x-5)=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=5$
因为要让利于民，所以选择降价幅度更大的$x=5$，此时定价为$48 - 5=43$元。
【答案】
(1) $w=-50x^2 + 400x + 9000(0≤ x＜18)$；
(2) 当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元；
(3) 定价应为43元。
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数的最值，一元二次方程的应用
【点评】
本题结合地方特色产业的销售场景命题，贴近生活实际，解题时需要先理清利润、单价、销量之间的数量关系建立函数模型，再结合二次函数的性质和一元二次方程的解法求解，同时要注意题干中“保证盈利”“让利于民”等限定条件，对求得的结果进行合理取舍。
【难度系数】
0.7
