登录
22.(10分)湖北省第十七届中学生运动会排球比赛在黄冈举办,全省多支代表队齐聚赛场同台竞技,东道主黄冈代表队参赛队员在赛场进行发球热身训练.如图,已知排球场的长度OD为18米,位于球场中线处的球网AB的高度为2.24米.一队员站在点O处发球,排球从点O的正上方2米处的C点向正前方飞去,排球的飞行路线是抛物线的一部分.当排球运动至离点O的水平距离OE为6米时,到达最高点G,以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)当排球飞行的最大高度为2.8米时,求排球飞行的高度y(单位:米)与水平距离x(单位:米)之间的函数解析式;
(2)在(1)的条件下,这次所发的球能够过网吗?如果能够过网,是否会出界?请说明理由;
(3)排球从C点飞出去,要想排球既能过网又不会出界,直接写出球运行的最大高度h(米)的取值范围.(排球压线属于没出界)
(1)当排球飞行的最大高度为2.8米时,求排球飞行的高度y(单位:米)与水平距离x(单位:米)之间的函数解析式;
(2)在(1)的条件下,这次所发的球能够过网吗?如果能够过网,是否会出界?请说明理由;
(3)排球从C点飞出去,要想排球既能过网又不会出界,直接写出球运行的最大高度h(米)的取值范围.(排球压线属于没出界)
答案
(1) 解：
由题意得抛物线顶点$G$的坐标为$(6, 2.8)$，设抛物线的解析式为$y=a(x-6)^2 + 2.8$。
将点$C(0,2)$代入解析式：
$2 = a·(0-6)^2 + 2.8$
解得$a=-\frac{1}{45}$。
因此排球飞行的高度$y$与水平距离$x$之间的函数解析式为：
$y=-\frac{1}{45}(x-6)^2 + 2.8 \quad (0≤ x≤ 6+3\sqrt{14})$
---
(2) 解：
这次发球能够过网，且不会出界，理由如下：
由题意得球网$AB$对应的水平距离$OA=\frac{1}{2}OD=9$米。
将$x=9$代入函数解析式：
$y=-\frac{1}{45}×(9-6)^2 + 2.8 = 2.6$
因为$2.6＞2.24$，所以排球能够过网。
令$y=0$，得：
$-\frac{1}{45}(x-6)^2 + 2.8 = 0$
整理得$(x-6)^2=126$，解得$x_1=6+3\sqrt{14}$，$x_2=6-3\sqrt{14}$（舍去）。
计算得$6+3\sqrt{14}\approx17.22＜18$，因此排球不会出界。
---
(3) 解：
球运行的最大高度$h$的取值范围是$\boldsymbol{h≥ \frac{8}{3}}$。
由题意得抛物线顶点$G$的坐标为$(6, 2.8)$，设抛物线的解析式为$y=a(x-6)^2 + 2.8$。
将点$C(0,2)$代入解析式：
$2 = a·(0-6)^2 + 2.8$
解得$a=-\frac{1}{45}$。
因此排球飞行的高度$y$与水平距离$x$之间的函数解析式为：
$y=-\frac{1}{45}(x-6)^2 + 2.8 \quad (0≤ x≤ 6+3\sqrt{14})$
---
(2) 解：
这次发球能够过网，且不会出界，理由如下：
由题意得球网$AB$对应的水平距离$OA=\frac{1}{2}OD=9$米。
将$x=9$代入函数解析式：
$y=-\frac{1}{45}×(9-6)^2 + 2.8 = 2.6$
因为$2.6＞2.24$，所以排球能够过网。
令$y=0$，得：
$-\frac{1}{45}(x-6)^2 + 2.8 = 0$
整理得$(x-6)^2=126$，解得$x_1=6+3\sqrt{14}$，$x_2=6-3\sqrt{14}$（舍去）。
计算得$6+3\sqrt{14}\approx17.22＜18$，因此排球不会出界。
---
(3) 解：
球运行的最大高度$h$的取值范围是$\boldsymbol{h≥ \frac{8}{3}}$。
解析
【分析】
(1) 已知排球飞行的最高点为G，顶点坐标为(6,2.8)，因此选择顶点式设二次函数解析式，再代入抛物线经过的点C(0,2)，即可求出未知系数，得到函数解析式，同时标注自变量的取值范围。
(2) 判断是否过网：球网对应x=9的位置，将x=9代入解析式求出y值，和网高2.24米比较，大于则能过网；判断是否出界：求出y=0时x的正根，和球场总长18米比较，小于等于18则不出界。
(3) 先设抛物线顶点式为$y=a(x-6)^2+h$，代入C(0,2)将a用h表示，再结合“x=9时y≥2.24（过网）、x=18时y≤0（不出界）”两个条件联立求解，即可得到h的取值范围。
【解析】
(1) 由题意得抛物线顶点G的坐标为$(6, 2.8)$，设抛物线的解析式为$y=a(x-6)^2 + 2.8$。
将点$C(0,2)$代入解析式：
$2 = a·(0-6)^2 + 2.8$
解得$a=-\frac{1}{45}$。
因此排球飞行的高度$y$与水平距离$x$之间的函数解析式为：
$y=-\frac{1}{45}(x-6)^2 + 2.8 \quad (0≤ x≤ 6+3\sqrt{14})$
(2) 这次发球能够过网，且不会出界，理由如下：
由题意得球网$AB$对应的水平距离$OA=\frac{1}{2}OD=9$米。
将$x=9$代入函数解析式：
$y=-\frac{1}{45}×(9-6)^2 + 2.8 = 2.6$
因为$2.6＞2.24$，所以排球能够过网。
令$y=0$，得：
$-\frac{1}{45}(x-6)^2 + 2.8 = 0$
整理得$(x-6)^2=126$，解得$x_1=6+3\sqrt{14}$，$x_2=6-3\sqrt{14}$（不符合实际，舍去）。
计算得$6+3\sqrt{14}\approx17.22＜18$，因此排球不会出界。
(3) 设抛物线解析式为$y=a(x-6)^2+h$，将$C(0,2)$代入得$2=36a+h$，即$a=\frac{2-h}{36}$。
若排球过网：当$x=9$时，$y≥2.24$，代入得$9×\frac{2-h}{36}+h≥2.24$，解得$h≥\frac{8}{3}$；
若排球不出界：当$x=18$时，$y≤0$，代入得$144×\frac{2-h}{36}+h≤0$，解得$h≥\frac{8}{3}$。
综上，球运行的最大高度h的取值范围为$h≥\frac{8}{3}$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{45}(x-6)^2 + 2.8 \quad (0≤ x≤ 6+3\sqrt{14})$
(2) 能过网，且不会出界；
(3) $h≥\frac{8}{3}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数实际应用，解不等式
【点评】
本题结合排球运动的实际场景考查二次函数的应用，需要将实际问题转化为二次函数相关的代数问题，通过代入求值、解方程、解不等式等方法完成求解，侧重考查学生的知识迁移应用能力和计算能力。
【难度系数】
0.6
(1) 已知排球飞行的最高点为G，顶点坐标为(6,2.8)，因此选择顶点式设二次函数解析式，再代入抛物线经过的点C(0,2)，即可求出未知系数，得到函数解析式，同时标注自变量的取值范围。
(2) 判断是否过网：球网对应x=9的位置，将x=9代入解析式求出y值，和网高2.24米比较，大于则能过网；判断是否出界：求出y=0时x的正根，和球场总长18米比较，小于等于18则不出界。
(3) 先设抛物线顶点式为$y=a(x-6)^2+h$，代入C(0,2)将a用h表示，再结合“x=9时y≥2.24（过网）、x=18时y≤0（不出界）”两个条件联立求解，即可得到h的取值范围。
【解析】
(1) 由题意得抛物线顶点G的坐标为$(6, 2.8)$，设抛物线的解析式为$y=a(x-6)^2 + 2.8$。
将点$C(0,2)$代入解析式：
$2 = a·(0-6)^2 + 2.8$
解得$a=-\frac{1}{45}$。
因此排球飞行的高度$y$与水平距离$x$之间的函数解析式为：
$y=-\frac{1}{45}(x-6)^2 + 2.8 \quad (0≤ x≤ 6+3\sqrt{14})$
(2) 这次发球能够过网，且不会出界，理由如下：
由题意得球网$AB$对应的水平距离$OA=\frac{1}{2}OD=9$米。
将$x=9$代入函数解析式：
$y=-\frac{1}{45}×(9-6)^2 + 2.8 = 2.6$
因为$2.6＞2.24$，所以排球能够过网。
令$y=0$，得：
$-\frac{1}{45}(x-6)^2 + 2.8 = 0$
整理得$(x-6)^2=126$，解得$x_1=6+3\sqrt{14}$，$x_2=6-3\sqrt{14}$（不符合实际，舍去）。
计算得$6+3\sqrt{14}\approx17.22＜18$，因此排球不会出界。
(3) 设抛物线解析式为$y=a(x-6)^2+h$，将$C(0,2)$代入得$2=36a+h$，即$a=\frac{2-h}{36}$。
若排球过网：当$x=9$时，$y≥2.24$，代入得$9×\frac{2-h}{36}+h≥2.24$，解得$h≥\frac{8}{3}$；
若排球不出界：当$x=18$时，$y≤0$，代入得$144×\frac{2-h}{36}+h≤0$，解得$h≥\frac{8}{3}$。
综上，球运行的最大高度h的取值范围为$h≥\frac{8}{3}$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{45}(x-6)^2 + 2.8 \quad (0≤ x≤ 6+3\sqrt{14})$
(2) 能过网，且不会出界；
(3) $h≥\frac{8}{3}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数实际应用，解不等式
【点评】
本题结合排球运动的实际场景考查二次函数的应用，需要将实际问题转化为二次函数相关的代数问题，通过代入求值、解方程、解不等式等方法完成求解，侧重考查学生的知识迁移应用能力和计算能力。
【难度系数】
0.6
23. (10分)如图,一次函数$y=\frac{1}{2}x+2$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象交于点$A(2,b)$和点$B(a,-1)$.
(1)求$a,b$的值和反比例函数解析式；
(2)若点$P(m,n)$在该反比例函数图象上,且它到$x$轴的距离大于3,请根据图象直接写出$m$的取值范围；
(3)若在$y$轴上有一点$C$,且$S_{△ ABC}=12$,求点$C$的坐标.
(1)求$a,b$的值和反比例函数解析式；
(2)若点$P(m,n)$在该反比例函数图象上,且它到$x$轴的距离大于3,请根据图象直接写出$m$的取值范围；
(3)若在$y$轴上有一点$C$,且$S_{△ ABC}=12$,求点$C$的坐标.
答案
解：
(1) 将点$A(2,b)$代入一次函数$y=\frac{1}{2}x+2$，得：
$b=\frac{1}{2}×2 + 2=3$
将点$B(a,-1)$代入一次函数$y=\frac{1}{2}x+2$，得：
$-1=\frac{1}{2}a + 2$，解得$a=-6$
将$A(2,3)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$3=\frac{k}{2}$，解得$k=6$
因此反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$。
(2) $m$的取值范围是$-2＜m＜0$或$0＜m＜2$。
(3) 设直线$AB$与$y$轴交于点$D$，令$x=0$，得$y=2$，即$D(0,2)$。
设点$C$坐标为$(0,c)$，则$CD=|c-2|$。
$S_{△ ABC}=S_{△ ACD}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}· |c-2|· |x_A| + \frac{1}{2}· |c-2|· |x_B|$
代入$x_A=2$，$x_B=-6$，得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· |c-2|· 2 + \frac{1}{2}· |c-2|· 6=4|c-2|$
由$S_{△ ABC}=12$，得$4|c-2|=12$，即$|c-2|=3$
解得$c=5$或$c=-1$
因此点$C$的坐标为$(0,5)$或$(0,-1)$。
(1) 将点$A(2,b)$代入一次函数$y=\frac{1}{2}x+2$，得：
$b=\frac{1}{2}×2 + 2=3$
将点$B(a,-1)$代入一次函数$y=\frac{1}{2}x+2$，得：
$-1=\frac{1}{2}a + 2$，解得$a=-6$
将$A(2,3)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$3=\frac{k}{2}$，解得$k=6$
因此反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$。
(2) $m$的取值范围是$-2＜m＜0$或$0＜m＜2$。
(3) 设直线$AB$与$y$轴交于点$D$，令$x=0$，得$y=2$，即$D(0,2)$。
设点$C$坐标为$(0,c)$，则$CD=|c-2|$。
$S_{△ ABC}=S_{△ ACD}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}· |c-2|· |x_A| + \frac{1}{2}· |c-2|· |x_B|$
代入$x_A=2$，$x_B=-6$，得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· |c-2|· 2 + \frac{1}{2}· |c-2|· 6=4|c-2|$
由$S_{△ ABC}=12$，得$4|c-2|=12$，即$|c-2|=3$
解得$c=5$或$c=-1$
因此点$C$的坐标为$(0,5)$或$(0,-1)$。
解析
【分析】
(1) 已知点A、B均在一次函数图象上，直接将两点坐标代入一次函数解析式即可求出a、b的值；再将求出的A点坐标代入反比例函数解析式，即可求出k值，得到反比例函数解析式。
(2) 点P到x轴的距离大于3，即点P纵坐标的绝对值$|n|＞3$，结合反比例函数图象，分别在第一、第三象限找到纵坐标绝对值等于3的点对应的横坐标，即可确定m的取值范围。
(3) 点C在y轴上，先求出一次函数与y轴的交点D，将$△ ABC$的面积拆分为$△ ACD$和$△ BCD$的面积之和，两个三角形共底CD，高分别为点A、B到y轴的距离（即两点横坐标的绝对值），据此列方程求解即可得到点C的坐标，注意绝对值计算时不要漏解。
【解析】
(1) 将点$A(2,b)$代入一次函数$y=\frac{1}{2}x+2$，得：
$b=\frac{1}{2}×2 + 2=3$
将点$B(a,-1)$代入一次函数$y=\frac{1}{2}x+2$，得：
$-1=\frac{1}{2}a + 2$，解得$a=-6$
将$A(2,3)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$3=\frac{k}{2}$，解得$k=6$
因此反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$。
(2) 点$P(m,n)$在反比例函数图象上，到x轴的距离大于3，即$|n|＞3$，也就是$|\frac{6}{m}|＞3$。结合图象分析：当$m＞0$时，$\frac{6}{m}＞3$，解得$0＜m＜2$；当$m＜0$时，$\frac{6}{m}＜-3$，解得$-2＜m＜0$。
(3) 设直线$AB$与$y$轴交于点$D$，令$x=0$，得$y=2$，即$D(0,2)$。
设点$C$坐标为$(0,c)$，则$CD=|c-2|$。
$S_{△ ABC}=S_{△ ACD}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}· |c-2|· |x_A| + \frac{1}{2}· |c-2|· |x_B|$
代入$x_A=2$，$x_B=-6$，得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· |c-2|· 2 + \frac{1}{2}· |c-2|· 6=4|c-2|$
由$S_{△ ABC}=12$，得$4|c-2|=12$，即$|c-2|=3$
解得$c=5$或$c=-1$
【答案】
(1) $a=-6$，$b=3$，反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{6}{x}}$；
(2) $m$的取值范围是$\boldsymbol{-2＜m＜0}$或$\boldsymbol{0＜m＜2}$；
(3) 点$C$的坐标为$\boldsymbol{(0,5)}$或$\boldsymbol{(0,-1)}$。
【知识点】
一次函数与反比例函数综合，反比例函数图象性质，坐标系三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的常见综合题型，考查了待定系数法求函数解析式、结合函数图象解不等式、分割法求坐标系中三角形面积等内容，解题时要注意绝对值相关的计算不要漏解，熟练掌握函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.65
(1) 已知点A、B均在一次函数图象上，直接将两点坐标代入一次函数解析式即可求出a、b的值；再将求出的A点坐标代入反比例函数解析式，即可求出k值，得到反比例函数解析式。
(2) 点P到x轴的距离大于3，即点P纵坐标的绝对值$|n|＞3$，结合反比例函数图象，分别在第一、第三象限找到纵坐标绝对值等于3的点对应的横坐标，即可确定m的取值范围。
(3) 点C在y轴上，先求出一次函数与y轴的交点D，将$△ ABC$的面积拆分为$△ ACD$和$△ BCD$的面积之和，两个三角形共底CD，高分别为点A、B到y轴的距离（即两点横坐标的绝对值），据此列方程求解即可得到点C的坐标，注意绝对值计算时不要漏解。
【解析】
(1) 将点$A(2,b)$代入一次函数$y=\frac{1}{2}x+2$，得：
$b=\frac{1}{2}×2 + 2=3$
将点$B(a,-1)$代入一次函数$y=\frac{1}{2}x+2$，得：
$-1=\frac{1}{2}a + 2$，解得$a=-6$
将$A(2,3)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$3=\frac{k}{2}$，解得$k=6$
因此反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$。
(2) 点$P(m,n)$在反比例函数图象上，到x轴的距离大于3，即$|n|＞3$，也就是$|\frac{6}{m}|＞3$。结合图象分析：当$m＞0$时，$\frac{6}{m}＞3$，解得$0＜m＜2$；当$m＜0$时，$\frac{6}{m}＜-3$，解得$-2＜m＜0$。
(3) 设直线$AB$与$y$轴交于点$D$，令$x=0$，得$y=2$，即$D(0,2)$。
设点$C$坐标为$(0,c)$，则$CD=|c-2|$。
$S_{△ ABC}=S_{△ ACD}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}· |c-2|· |x_A| + \frac{1}{2}· |c-2|· |x_B|$
代入$x_A=2$，$x_B=-6$，得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· |c-2|· 2 + \frac{1}{2}· |c-2|· 6=4|c-2|$
由$S_{△ ABC}=12$，得$4|c-2|=12$，即$|c-2|=3$
解得$c=5$或$c=-1$
【答案】
(1) $a=-6$，$b=3$，反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{6}{x}}$；
(2) $m$的取值范围是$\boldsymbol{-2＜m＜0}$或$\boldsymbol{0＜m＜2}$；
(3) 点$C$的坐标为$\boldsymbol{(0,5)}$或$\boldsymbol{(0,-1)}$。
【知识点】
一次函数与反比例函数综合，反比例函数图象性质，坐标系三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的常见综合题型，考查了待定系数法求函数解析式、结合函数图象解不等式、分割法求坐标系中三角形面积等内容，解题时要注意绝对值相关的计算不要漏解，熟练掌握函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.65
24.(12分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标为$(2,9)$,与$y$轴交于点$A(0,5)$,与$x$轴交于点$E,B$.
(1)求二次函数$y=ax^2+bx+c$的解析式;
(2)过点$A$作$AC$平行于$x$轴,交抛物线于点$C$,点$P$为抛物线上的一点(点$P$在$AC$上方),作$PD$平行于$y$轴交$AB$于点$D$,当点$P$在何位置时,四边形$APCD$的面积最大?求出最大面积;
(3)若点$M$在抛物线上,点$N$在其对称轴上,使得以$A,E,N,M$为顶点的四边形是平行四边形,且$AE$为其一边,求点$M,N$的坐标.
第24小题图
(1)求二次函数$y=ax^2+bx+c$的解析式;
(2)过点$A$作$AC$平行于$x$轴,交抛物线于点$C$,点$P$为抛物线上的一点(点$P$在$AC$上方),作$PD$平行于$y$轴交$AB$于点$D$,当点$P$在何位置时,四边形$APCD$的面积最大?求出最大面积;
(3)若点$M$在抛物线上,点$N$在其对称轴上,使得以$A,E,N,M$为顶点的四边形是平行四边形,且$AE$为其一边,求点$M,N$的坐标.
第24小题图
答案
解析
【分析】
(1) 已知抛物线顶点坐标，优先选用顶点式设解析式，代入已知点A的坐标即可求出参数，再转化为一般式即可。
(2) 先求出点C、点B坐标和直线AB的解析式，设出点P的横坐标，用含横坐标的式子表示出PD的长度，再根据四边形APCD的面积和PD的关系构建二次函数，利用二次函数性质求最大值即可。
(3) 已知AE为平行四边形的边，根据平行四边形对边平行且相等的性质，结合平移规律得到点M的横坐标，代入抛物线求点M坐标，再根据平移关系求出点N坐标即可，注意分两种情况讨论。
【解析】
(1) 设抛物线的顶点式为$y=a(x-2)^2+9$，将$A(0,5)$代入解析式得：
$5=a(0-2)^2+9$，解得$a=-1$
$\therefore y=-(x-2)^2+9=-x^2+4x+5$
(2) $\because AC// x$轴，$A(0,5)$，$\therefore$点$C$纵坐标为5，代入$y=-x^2+4x+5$：
$5=-x^2+4x+5$，解得$x=0$或$x=4$，即$C(4,5)$，$AC=4$
令$y=0$，则$-x^2+4x+5=0$，解得$x=-1$或$x=5$，即$E(-1,0)$，$B(5,0)$
设直线$AB$的解析式为$y=kx+b$，代入$A(0,5)$、$B(5,0)$：
$\begin{cases}b=5\\5k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=5\end{cases}$，即$y=-x+5$
设点$P$的横坐标为$t(0＜t＜4)$，则$P(t,-t^2+4t+5)$，$D(t,-t+5)$
$\therefore PD=(-t^2+4t+5)-(-t+5)=-t^2+5t$
$\because AC// x$轴，$PD// y$轴，$\therefore AC⊥ PD$
四边形$APCD$的面积$S=\frac{1}{2}× AC× PD=\frac{1}{2}×4×(-t^2+5t)=-2t^2+10t$
该二次函数开口向下，当$t=\frac{10}{2×2}=\frac{5}{2}$时，$S$取最大值，最大值为$-2×(\frac{5}{2})^2+10×\frac{5}{2}=\frac{25}{2}$
此时$P$点坐标为$(\frac{5}{2},\frac{35}{4})$
(3) $\because AE$为平行四边形的边，$\therefore AE// MN$且$AE=MN$，抛物线对称轴为$x=2$，故$N$的横坐标为2
$A(0,5)$到$E(-1,0)$的横坐标差为$-1$，纵坐标差为$-5$，故$M$的横坐标为$2+1=3$或$2-1=1$：
①当$M$横坐标为3时，代入抛物线得$y=-9+12+5=8$，即$M(3,8)$，$N$纵坐标为$8-5=3$，即$N(2,3)$
②当$M$横坐标为1时，代入抛物线得$y=-1+4+5=8$，即$M(1,8)$，$N$纵坐标为$8+5=13$，即$N(2,13)$
【答案】
(1) $y=-x^2+4x+5$
(2) 当点$P$坐标为$(\frac{5}{2},\frac{35}{4})$时，四边形$APCD$面积最大，最大面积为$\frac{25}{2}$
(3) $M(3,8),N(2,3)$或$M(1,8),N(2,13)$
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数最值，平行四边形性质
【点评】
本题是二次函数综合题型，结合了一次函数解析式求解、图形面积计算、平行四边形性质等知识点，重点考查数形结合思想和分类讨论思想，需要熟练掌握二次函数相关性质和平移规律来解题，是中考常见的压轴类题型。
【难度系数】
0.3
(1) 已知抛物线顶点坐标，优先选用顶点式设解析式，代入已知点A的坐标即可求出参数，再转化为一般式即可。
(2) 先求出点C、点B坐标和直线AB的解析式，设出点P的横坐标，用含横坐标的式子表示出PD的长度，再根据四边形APCD的面积和PD的关系构建二次函数，利用二次函数性质求最大值即可。
(3) 已知AE为平行四边形的边，根据平行四边形对边平行且相等的性质，结合平移规律得到点M的横坐标，代入抛物线求点M坐标，再根据平移关系求出点N坐标即可，注意分两种情况讨论。
【解析】
(1) 设抛物线的顶点式为$y=a(x-2)^2+9$，将$A(0,5)$代入解析式得：
$5=a(0-2)^2+9$，解得$a=-1$
$\therefore y=-(x-2)^2+9=-x^2+4x+5$
(2) $\because AC// x$轴，$A(0,5)$，$\therefore$点$C$纵坐标为5，代入$y=-x^2+4x+5$：
$5=-x^2+4x+5$，解得$x=0$或$x=4$，即$C(4,5)$，$AC=4$
令$y=0$，则$-x^2+4x+5=0$，解得$x=-1$或$x=5$，即$E(-1,0)$，$B(5,0)$
设直线$AB$的解析式为$y=kx+b$，代入$A(0,5)$、$B(5,0)$：
$\begin{cases}b=5\\5k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=5\end{cases}$，即$y=-x+5$
设点$P$的横坐标为$t(0＜t＜4)$，则$P(t,-t^2+4t+5)$，$D(t,-t+5)$
$\therefore PD=(-t^2+4t+5)-(-t+5)=-t^2+5t$
$\because AC// x$轴，$PD// y$轴，$\therefore AC⊥ PD$
四边形$APCD$的面积$S=\frac{1}{2}× AC× PD=\frac{1}{2}×4×(-t^2+5t)=-2t^2+10t$
该二次函数开口向下，当$t=\frac{10}{2×2}=\frac{5}{2}$时，$S$取最大值，最大值为$-2×(\frac{5}{2})^2+10×\frac{5}{2}=\frac{25}{2}$
此时$P$点坐标为$(\frac{5}{2},\frac{35}{4})$
(3) $\because AE$为平行四边形的边，$\therefore AE// MN$且$AE=MN$，抛物线对称轴为$x=2$，故$N$的横坐标为2
$A(0,5)$到$E(-1,0)$的横坐标差为$-1$，纵坐标差为$-5$，故$M$的横坐标为$2+1=3$或$2-1=1$：
①当$M$横坐标为3时，代入抛物线得$y=-9+12+5=8$，即$M(3,8)$，$N$纵坐标为$8-5=3$，即$N(2,3)$
②当$M$横坐标为1时，代入抛物线得$y=-1+4+5=8$，即$M(1,8)$，$N$纵坐标为$8+5=13$，即$N(2,13)$
【答案】
(1) $y=-x^2+4x+5$
(2) 当点$P$坐标为$(\frac{5}{2},\frac{35}{4})$时，四边形$APCD$面积最大，最大面积为$\frac{25}{2}$
(3) $M(3,8),N(2,3)$或$M(1,8),N(2,13)$
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数最值，平行四边形性质
【点评】
本题是二次函数综合题型，结合了一次函数解析式求解、图形面积计算、平行四边形性质等知识点，重点考查数形结合思想和分类讨论思想，需要熟练掌握二次函数相关性质和平移规律来解题，是中考常见的压轴类题型。
【难度系数】
0.3
