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5. 求下列各式中$x$的值：
(1)$x^3=2^9$；
(2)$4× 2^x × 16^x = 2^{12}$。
(1)$x^3=2^9$；
(2)$4× 2^x × 16^x = 2^{12}$。
答案
5.解 (1)$\because x^3=2^9=(2^3)^3=8^3$,
$\therefore x=8$.
(2)$\because 4×2^x×16^x=2^2×2^x×2^{4x}=2^{5x+2}=2^{12}$,
$\therefore 5x+2=12$,
解得$x=2$.
$\therefore x=8$.
(2)$\because 4×2^x×16^x=2^2×2^x×2^{4x}=2^{5x+2}=2^{12}$,
$\therefore 5x+2=12$,
解得$x=2$.
解析
【分析】
(1) 观察等式两边，左边是x的三次方，右边是2的9次方，可利用幂的乘方法则将右边的幂转化为指数为3的形式：幂的乘方满足$(a^m)^n=a^{mn}$，因此$2^9$可以改写为$(2^3)^3=8^3$，此时等式变为$x^3=8^3$，根据立方的性质，若两个数的立方相等，则这两个数相等，即可求出x的值。
(2) 等式左边的项底数分别为4、2、16，首先统一底数为2：$4=2^2$，$16=2^4$，因此$16^x=2^{4x}$，再利用同底数幂相乘，底数不变、指数相加的法则，将左边合并为底数为2的幂，此时等式两边底数相同，对应指数也相等，可得到关于x的一元一次方程，解方程即可得到x的值。
【解析】
(1) $\because x^3=2^9=(2^3)^3=8^3$
$\therefore x=8$
(2) 先将等式左边各项统一为底数是2的幂：
$4×2^x×16^x=2^2×2^x×(2^4)^x=2^2×2^x×2^{4x}$
根据同底数幂的乘法法则，指数相加得：
$2^{2+x+4x}=2^{5x+2}$
$\therefore 2^{5x+2}=2^{12}$
因为底数相同的幂相等则指数相等，可得：
$5x+2=12$
移项计算得$5x=10$，解得$x=2$。
【答案】
(1)$x=8$；(2)$x=2$
【知识点】
幂的乘方、同底数幂的乘法、一元一次方程求解
【点评】
本题属于幂的运算基础应用题，解题核心是熟练掌握幂的相关运算法则，能够将不同底数的幂统一为同底数幂，再根据指数相等建立方程求解，是巩固幂的运算规则的典型习题。
【难度系数】
0.8
(1) 观察等式两边，左边是x的三次方，右边是2的9次方，可利用幂的乘方法则将右边的幂转化为指数为3的形式：幂的乘方满足$(a^m)^n=a^{mn}$，因此$2^9$可以改写为$(2^3)^3=8^3$，此时等式变为$x^3=8^3$，根据立方的性质，若两个数的立方相等，则这两个数相等，即可求出x的值。
(2) 等式左边的项底数分别为4、2、16，首先统一底数为2：$4=2^2$，$16=2^4$，因此$16^x=2^{4x}$，再利用同底数幂相乘，底数不变、指数相加的法则，将左边合并为底数为2的幂，此时等式两边底数相同，对应指数也相等，可得到关于x的一元一次方程，解方程即可得到x的值。
【解析】
(1) $\because x^3=2^9=(2^3)^3=8^3$
$\therefore x=8$
(2) 先将等式左边各项统一为底数是2的幂：
$4×2^x×16^x=2^2×2^x×(2^4)^x=2^2×2^x×2^{4x}$
根据同底数幂的乘法法则，指数相加得：
$2^{2+x+4x}=2^{5x+2}$
$\therefore 2^{5x+2}=2^{12}$
因为底数相同的幂相等则指数相等，可得：
$5x+2=12$
移项计算得$5x=10$，解得$x=2$。
【答案】
(1)$x=8$；(2)$x=2$
【知识点】
幂的乘方、同底数幂的乘法、一元一次方程求解
【点评】
本题属于幂的运算基础应用题，解题核心是熟练掌握幂的相关运算法则，能够将不同底数的幂统一为同底数幂，再根据指数相等建立方程求解，是巩固幂的运算规则的典型习题。
【难度系数】
0.8
6. 已知$ x + y = a $，求$ (x + y)^3 (2x + 2y)^3 · (3x + 3y)^3 $的值。
答案
6.解 原式$=(x+y)^3[2(x+y)]^3·[3(x+y)]^3=a^3·2^3a^3·3^3a^3=216a^9$.
解析
【分析】
解题时先观察已知条件和待求式的关联：已知给出了$x+y=a$，待求式中$2x+2y$、$3x+3y$都可以提取公因式转化为含$x+y$的形式，因此可以用整体代入的思路，先将待求式各项整理为含$(x+y)$的结构，再代入$x+y=a$，最后结合幂的运算法则计算即可。
【解析】
解：先对待求式提取公因式变形：
原式$=(x+y)^3 · [2(x+y)]^3 · [3(x+y)]^3$
将$x+y=a$代入上式，得：
$=a^3 · (2a)^3 · (3a)^3$
根据积的乘方运算法则$(ab)^n=a^n b^n$展开：
$=a^3 · 2^3a^3 · 3^3a^3$
$=a^3 · 8a^3 · 27a^3$
再根据同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$计算：
$=(1×8×27)·a^{3+3+3}$
$=216a^9$
【答案】
$216a^9$
【知识点】
1.整体代入求值 2.积的乘方运算 3.同底数幂的乘法
【点评】
本题是幂运算章节的典型基础题型，侧重考察整体思想在代数运算中的应用，解题核心是将待求式转化为含已知整体$(x+y)$的形式，熟练掌握幂的基本运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知条件和待求式的关联：已知给出了$x+y=a$，待求式中$2x+2y$、$3x+3y$都可以提取公因式转化为含$x+y$的形式，因此可以用整体代入的思路，先将待求式各项整理为含$(x+y)$的结构，再代入$x+y=a$，最后结合幂的运算法则计算即可。
【解析】
解：先对待求式提取公因式变形：
原式$=(x+y)^3 · [2(x+y)]^3 · [3(x+y)]^3$
将$x+y=a$代入上式，得：
$=a^3 · (2a)^3 · (3a)^3$
根据积的乘方运算法则$(ab)^n=a^n b^n$展开：
$=a^3 · 2^3a^3 · 3^3a^3$
$=a^3 · 8a^3 · 27a^3$
再根据同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$计算：
$=(1×8×27)·a^{3+3+3}$
$=216a^9$
【答案】
$216a^9$
【知识点】
1.整体代入求值 2.积的乘方运算 3.同底数幂的乘法
【点评】
本题是幂运算章节的典型基础题型，侧重考察整体思想在代数运算中的应用，解题核心是将待求式转化为含已知整体$(x+y)$的形式，熟练掌握幂的基本运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7.数学课上,老师给同学们出了这样一道题目:比较$3^{55},4^{44},5^{33}$的大小.甲同学的回答:因为$5＞4＞3$,所以$5^{33}＞4^{44}＞3^{55}$.乙同学的回答:因为$55＞44＞33$,所以$3^{55}＞4^{44}＞5^{33}$.你认同哪一位同学的算法?若都不认同,你又是如何解答的呢?
答案
7.解 都不认同.
$3^{55}=(3^5)^{11}=243^{11}$,$4^{44}=(4^4)^{11}=256^{11}$,$5^{33}=(5^3)^{11}=125^{11}$,
$\because 256＞243＞125$,
$\therefore 256^{11}＞243^{11}＞125^{11}$,
$\therefore 4^{44}＞3^{55}＞5^{33}$.
$3^{55}=(3^5)^{11}=243^{11}$,$4^{44}=(4^4)^{11}=256^{11}$,$5^{33}=(5^3)^{11}=125^{11}$,
$\because 256＞243＞125$,
$\therefore 256^{11}＞243^{11}＞125^{11}$,
$\therefore 4^{44}＞3^{55}＞5^{33}$.
解析
【分析】
甲、乙两位同学的算法均错误，二者仅单独比较了底数或指数的大小，忽略了三个幂的底数、指数均不相同，无法仅通过单一项的大小判断幂的大小。解题时先观察指数特征：55、44、33均为11的倍数，因此可逆用幂的乘方公式$a^{mn}=(a^m)^n$，将三个幂的指数统一为11，当指数为正整数时，同指数幂的底数越大，幂的值越大，因此只需比较变形后的底数大小即可得到原幂的大小关系。
【解析】
两位同学的算法都不认同，正确解法如下：
逆用幂的乘方公式变形各数：
$3^{55}=3^{5×11}=(3^5)^{11}=243^{11}$，
$4^{44}=4^{4×11}=(4^4)^{11}=256^{11}$，
$5^{33}=5^{3×11}=(5^3)^{11}=125^{11}$，
$\because$ 指数均为正整数11，且$256＞243＞125$，
$\therefore 256^{11}＞243^{11}＞125^{11}$，
即$4^{44}＞3^{55}＞5^{33}$。
【答案】
都不认同两位同学的算法，正确大小关系为$\boldsymbol{4^{44}＞3^{55}＞5^{33}}$。
【知识点】
1. 幂的乘方逆运算
2. 同指数幂大小比较
【点评】
本题是幂的运算的典型应用，易错点是忽略底数、指数均不同的前提，仅通过单一维度比较幂的大小。解题核心是利用指数的公因数将不同幂转化为同指数幂，再通过比较底数大小得出结果，该方法是幂的大小比较类题目的常用思路。
【难度系数】
0.7
甲、乙两位同学的算法均错误，二者仅单独比较了底数或指数的大小，忽略了三个幂的底数、指数均不相同，无法仅通过单一项的大小判断幂的大小。解题时先观察指数特征：55、44、33均为11的倍数，因此可逆用幂的乘方公式$a^{mn}=(a^m)^n$，将三个幂的指数统一为11，当指数为正整数时，同指数幂的底数越大，幂的值越大，因此只需比较变形后的底数大小即可得到原幂的大小关系。
【解析】
两位同学的算法都不认同，正确解法如下：
逆用幂的乘方公式变形各数：
$3^{55}=3^{5×11}=(3^5)^{11}=243^{11}$，
$4^{44}=4^{4×11}=(4^4)^{11}=256^{11}$，
$5^{33}=5^{3×11}=(5^3)^{11}=125^{11}$，
$\because$ 指数均为正整数11，且$256＞243＞125$，
$\therefore 256^{11}＞243^{11}＞125^{11}$，
即$4^{44}＞3^{55}＞5^{33}$。
【答案】
都不认同两位同学的算法，正确大小关系为$\boldsymbol{4^{44}＞3^{55}＞5^{33}}$。
【知识点】
1. 幂的乘方逆运算
2. 同指数幂大小比较
【点评】
本题是幂的运算的典型应用，易错点是忽略底数、指数均不同的前提，仅通过单一维度比较幂的大小。解题核心是利用指数的公因数将不同幂转化为同指数幂，再通过比较底数大小得出结果，该方法是幂的大小比较类题目的常用思路。
【难度系数】
0.7
