典例3 (1)计算：$2^5 × 5^5$；
(2)若$a^m=2,a^n=3$，求$a^{3m+2n}$的值。
典例解析

解：
(1) 原式$=(2×5)^5$
$=10^5$
$=100000$
(2) $a^{3m+2n}=a^{3m}· a^{2n}$
$=(a^m)^3· (a^n)^2$
将$a^m=2$，$a^n=3$代入得：
原式$=2^3×3^2$
$=8×9$
$=72$

【分析】
(1) 观察算式发现两个幂的指数相同，可逆用积的乘方运算公式简化计算：先将两个底数相乘，再对乘积取相同指数的幂，避免分别计算高次幂再相乘的复杂运算。
(2) 所求代数式的指数是和的形式，先逆用同底数幂的乘法公式，将其拆分为两个幂相乘的形式；再观察拆分后的两个幂的指数是倍数形式，逆用幂的乘方公式，将其变形为已知的$a^m$、$a^n$的乘方形式，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
(1) 原式$=(2×5)^5$
$=10^5$
$=100000$
(2) 先对$a^{3m+2n}$变形：
$a^{3m+2n}=a^{3m}· a^{2n}$
$=(a^m)^3· (a^n)^2$
将$a^m=2$，$a^n=3$代入得：
原式$=2^3×3^2$
$=8×9$
$=72$
【答案】
(1) $\boxed{100000}$；(2) $\boxed{72}$
【知识点】
积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法
【点评】
本题属于幂的运算的基础常考题，核心考查幂的运算性质的逆用能力，熟练掌握各运算公式的正、逆变形规则是解题的关键，计算时注意不要混淆不同运算的指数规则。
【难度系数】
0.8

典例1
解 (1) $(10^7)^3 = 10^{7 × 3} = 10^{21}.$
(2) $(x^4)^3 = x^{4 × 3} = x^{12}.$
典例2
解 (1) $(2b)^5 = 2^5 · b^5 = 32b^5.$
(2) $(3x^3)^6 = 3^6 · (x^3)^6 = 3^6 · x^{18} = 729x^{18}.$
(3) $(-3x^3y^2)^3 = (-3)^3 · (x^3)^3 · (y^2)^3 = -27x^9y^6.$
规律方法 当指数相同的两个或几个幂相乘时，如果底数的积容易求出，那么先利用 $a^n b^n = (ab)^n$ 把底数相乘，再做乘方运算，从而使运算简便.
举一反三 (1) 若 $a^x = 3$，则 $a^{3x} =$ .
(2) 计算：$( \dfrac{2}{3} )^{2026} × (1.5)^{2026} =$ .

3.【举一反三】(1)27 (2)1

【分析】
第(1)题：已知$a^x$的值，求$a^{3x}$，观察指数$3x$可写成$3× x$，符合幂的乘方公式$a^{mn}=(a^m)^n$的逆用形式，因此可将$a^{3x}$转化为$(a^x)^3$，再代入已知值计算即可。
第(2)题：观察到两个幂的指数相同，且底数$\frac{2}{3}$和$1.5$（即$\frac{3}{2}$）互为倒数，乘积为1，符合积的乘方公式$a^n b^n=(ab)^n$的逆用形式，因此先将两个底数相乘，再进行乘方运算即可简化计算。
【解析】
(1) 根据幂的乘方的逆运算公式$a^{mn}=(a^m)^n$，可得：
$a^{3x}=(a^x)^3$
将$a^x=3$代入上式，得：
$(a^x)^3=3^3=27$
(2) 先将小数$1.5$化为分数$\frac{3}{2}$，根据积的乘方的逆运算公式$a^n b^n=(ab)^n$，可得：
$( \dfrac{2}{3} )^{2026} × (1.5)^{2026} = ( \dfrac{2}{3} )^{2026} × ( \dfrac{3}{2} )^{2026} = ( \dfrac{2}{3} × \dfrac{3}{2} )^{2026}$
计算底数乘积：$\dfrac{2}{3} × \dfrac{3}{2}=1$，因此原式$=1^{2026}=1$
【答案】
(1)27；(2)1
【知识点】
幂的乘方逆运算，积的乘方逆运算
【点评】
本题是幂的运算性质的基础应用类题目，解题核心是熟练掌握幂的运算公式的正用和逆用，做题时先观察式子的结构特点，遇到同指数的幂相乘优先考虑逆用积的乘方公式简化运算，遇到指数为乘积形式的幂可以考虑逆用幂的乘方公式代入求值。
【难度系数】
0.8

1. 计算$(ab^2)^3$的结果是().

A.$3ab^2$
B.$ab^6$
C.$a^3b^5$
D.$a^3b^6$

1.D

【分析】
本题考查幂的乘方与积的乘方的运算，解题时先明确运算顺序：首先运用积的乘方法则，将积中的每个因式分别乘方，再对含有幂的因式运用幂的乘方法则计算即可，注意不要混淆指数的运算规则。
【解析】
根据积的乘方运算法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得：
$(ab^2)^3 = a^3 · (b^2)^3$
再根据幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得：
$(b^2)^3 = b^{2×3} = b^6$
因此原式计算结果为$a^3b^6$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算
【点评】
本题是幂的运算的基础题型，核心是对积的乘方、幂的乘方运算法则的识记与应用，做题时注意区分幂的乘方和同底数幂乘法的指数运算规则，避免出错。
【难度系数】
0.9

2. 如果一个正方体的棱长是$(1-2b)^3$，那么这个正方体的体积是（）.

A.$(1-2b)^6$
B.$(1-2b)^9$
C.$(1-2b)^{12}$
D.$6(1-2b)^6$

2.B

【分析】
解题思路分为两步：第一步先回忆正方体体积的计算公式，正方体体积等于棱长的三次方；第二步将题目给出的棱长代入体积公式，再利用幂的乘方运算规则计算结果即可，计算时要注意区分幂的乘方和同底数幂乘法的指数运算规则，避免出错。
【解析】
解：正方体的体积公式为 $V=a^3$（$a$ 为正方体的棱长）。
已知正方体棱长 $a=(1-2b)^3$，代入公式可得：
$V=[(1-2b)^3]^3$
根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$、$n$ 为正整数，底数$a$不为0），计算得：
$[(1-2b)^3]^3=(1-2b)^{3×3}=(1-2b)^9$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
正方体体积计算、幂的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，将几何体积公式和幂的运算规则结合考察，核心考点是幂的乘方的运算规律，只要牢记底数不变、指数相乘的规则就能顺利解题。
【难度系数】
0.8

3. 已知$m^2=2$，则$m^6=$.

3.8

【分析】
已知$m^2$的值，要求$m^6$，首先观察两个幂的指数关系：$6=2×3$，因此可以逆用幂的乘方运算法则，将$m^6$转化为以$m^2$为底数的幂的形式，再代入已知条件计算即可。
【解析】
根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m、n$均为正整数），逆用该法则可得：
$m^6=m^{2×3}=(m^2)^3$
将$m^2=2$代入上式计算：
$(m^2)^3=2^3=8$
【答案】
$8$
【知识点】
幂的乘方运算、幂的乘方的逆应用
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对幂的乘方运算法则的灵活运用，解题关键是能根据指数的关系将所求幂转化为已知幂的乘方形式，是对幂运算基础知识的常规考查。
【难度系数】
0.9

4. 计算:
(1)$a^6 + (a^3)^2$;
(2)$x^2 · [(x^3)^2]^4$;
(3)$(-3a^2b^3c)^3$;
(4)$-(-2x^3y)^4$.

4.解 (1) 原式$=a^6+a^6=2a^6$.
(2) 原式$=x^2·(x^6)^4=x^2·x^{24}=x^{26}$.
(3) 原式$=(-3)^3·(a^2)^3·(b^3)^3·c^3=-27a^6b^9c^3$.
(4) 原式$=-(-2)^4·(x^3)^4·y^4=-16x^{12}y^4$.

【分析】
这组题目考查幂的相关运算规则，解题思路如下：
1. 先明确核心运算规则：①幂的乘方：底数不变，指数相乘；②积的乘方：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；③同底数幂相乘：底数不变，指数相加；另外同类项需要合并。
2. 第(1)题：先计算幂的乘方，再合并同类项即可；
3. 第(2)题：遵循从内到外的顺序先计算多层幂的乘方，再计算同底数幂的乘法；
4. 第(3)(4)题：先运用积的乘方规则拆分运算，重点注意系数和负号的乘方运算，再结合幂的乘方规则计算，避免漏算符号。
【解析】
(1) 先计算幂的乘方，再合并同类项：
原式$=a^6+a^{3×2}=a^6+a^6=2a^6$
(2) 从内到外计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法：
原式$=x^2·(x^{3×2})^4=x^2·(x^6)^4=x^2·x^{6×4}=x^2·x^{24}=x^{2+24}=x^{26}$
(3) 拆分积的每个因式分别乘方，再化简：
原式$=(-3)^3·(a^2)^3·(b^3)^3·c^3=-27·a^{2×3}·b^{3×3}·c^3=-27a^6b^9c^3$
(4) 先算积的乘方，注意外层负号不参与乘方运算：
原式$=-[(-2)^4·(x^3)^4·y^4]=-(16·x^{3×4}·y^4)=-16x^{12}y^4$
【答案】
(1)$2a^6$；(2)$x^{26}$；(3)$-27a^6b^9c^3$；(4)$-16x^{12}y^4$
【知识点】
幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的乘法
【点评】
本题属于幂运算的基础巩固题型，核心是准确区分不同幂运算的指数处理规则，运算时注意优先级：先算乘方，再算乘法，同时要格外注意负号的运算顺序和系数的乘方计算，避免因粗心混淆规则出错。
【难度系数】
0.8