登录
9. 如图2,数轴上与1、$\sqrt{3}$对应的点分别为A、B,点B关于点A的对称点为C,设点C表示的数为x,则$|x - 3\sqrt{3}| + x^2$等于（）
A.$\sqrt{3}$
B.$3$
C.$3\sqrt{3}$
D.$5$
A.$\sqrt{3}$
B.$3$
C.$3\sqrt{3}$
D.$5$
答案
D
解析
【分析】
解题分两步开展：第一步求点C对应的数x，利用对称的性质，点B关于点A对称说明A是线段BC的中点，数轴上中点对应的数为两端点对应数的平均数，据此即可列方程求出x；第二步代入代数式计算，先根据绝对值的性质判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号，再结合完全平方公式计算x²，最后合并化简即可得到结果。
【解析】
1. 求x的值：
∵ 点B与点C关于点A对称，
∴ 点A是线段BC的中点，
根据数轴中点的性质可得：$1=\frac{\sqrt{3}+x}{2}$，
等式两边同乘2得：$2=\sqrt{3}+x$，解得$x=2-\sqrt{3}$。
2. 计算代数式$|x - 3\sqrt{3}| + x^2$的值：
① 化简绝对值：将$x=2-\sqrt{3}$代入得$|2-\sqrt{3}-3\sqrt{3}|=|2-4\sqrt{3}|$，
∵ $4\sqrt{3}=\sqrt{48}＞2$，
∴ $2-4\sqrt{3}＜0$，
根据负数的绝对值等于它的相反数，得$|2-4\sqrt{3}|=4\sqrt{3}-2$。
② 计算$x^2$：根据完全平方公式，
$x^2=(2-\sqrt{3})^2=2^2-2×2×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=4-4\sqrt{3}+3=7-4\sqrt{3}$。
③ 合并计算：
$|x - 3\sqrt{3}| + x^2=(4\sqrt{3}-2)+(7-4\sqrt{3})=5$。
【答案】
D
【知识点】
数轴对称性质，绝对值化简，完全平方公式
【点评】
本题综合考查了数轴、对称的含义、二次根式的运算等内容，解题核心是先利用对称关系求出x的值，代入计算时要注意绝对值符号的处理和完全平方公式的正确运用，属于基础综合性习题。
【难度系数】
0.7
解题分两步开展：第一步求点C对应的数x，利用对称的性质，点B关于点A对称说明A是线段BC的中点，数轴上中点对应的数为两端点对应数的平均数，据此即可列方程求出x；第二步代入代数式计算，先根据绝对值的性质判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号，再结合完全平方公式计算x²，最后合并化简即可得到结果。
【解析】
1. 求x的值：
∵ 点B与点C关于点A对称，
∴ 点A是线段BC的中点，
根据数轴中点的性质可得：$1=\frac{\sqrt{3}+x}{2}$，
等式两边同乘2得：$2=\sqrt{3}+x$，解得$x=2-\sqrt{3}$。
2. 计算代数式$|x - 3\sqrt{3}| + x^2$的值：
① 化简绝对值：将$x=2-\sqrt{3}$代入得$|2-\sqrt{3}-3\sqrt{3}|=|2-4\sqrt{3}|$，
∵ $4\sqrt{3}=\sqrt{48}＞2$，
∴ $2-4\sqrt{3}＜0$，
根据负数的绝对值等于它的相反数，得$|2-4\sqrt{3}|=4\sqrt{3}-2$。
② 计算$x^2$：根据完全平方公式，
$x^2=(2-\sqrt{3})^2=2^2-2×2×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=4-4\sqrt{3}+3=7-4\sqrt{3}$。
③ 合并计算：
$|x - 3\sqrt{3}| + x^2=(4\sqrt{3}-2)+(7-4\sqrt{3})=5$。
【答案】
D
【知识点】
数轴对称性质，绝对值化简，完全平方公式
【点评】
本题综合考查了数轴、对称的含义、二次根式的运算等内容，解题核心是先利用对称关系求出x的值，代入计算时要注意绝对值符号的处理和完全平方公式的正确运用，属于基础综合性习题。
【难度系数】
0.7
10. 如图3,将1、$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$三个数按图中方式排列,若规定$(a,b)$表示第$a$排第$b$列的数,则$(8,2)$与$(100,100)$表示的两个数的积是
()
A.1
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{6}$
()
A.1
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{6}$
答案
C
解析
【分析】
解题首先要梳理两个核心规律：①排列数量规律：第n排有n个数，第a排第b列对应的数的总序号为“前a-1排的总个数加b”，前a-1排总个数用等差数列求和计算为$\frac{a(a-1)}{2}$；②数字循环规律：1、$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$三个数为一个循环周期，用总序号除以3，余数为1对应1，余数为2对应$\sqrt{2}$，余数为0（整除）对应$\sqrt{3}$。分别求出两个坐标对应的数，再计算乘积即可。
【解析】
1. 推导总序号公式：
前a-1排的数的总个数为$1+2+3+\dots+(a-1)=\frac{a(a-1)}{2}$，因此第$a$排第$b$列的数是第$\frac{a(a-1)}{2}+b$个数。
2. 求$(8,2)$对应的数：
代入公式得总序号$N_1=\frac{8×7}{2}+2=30$，$30÷3=10$，余数为0，对应数为$\sqrt{3}$。
3. 求$(100,100)$对应的数：
代入公式得总序号$N_2=\frac{100×99}{2}+100=5050$，$5050÷3=1683\dots\dots1$，余数为1，对应数为1。
4. 计算乘积：$\sqrt{3}×1=\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
数字规律探究、等差数列求和、二次根式乘法
【点评】
本题是典型的规律探究题，解题核心是先归纳出总序号的计算方法和数字的循环周期，再结合周期判断对应数字，考察学生的归纳推理和运算能力。
【难度系数】
0.6
解题首先要梳理两个核心规律：①排列数量规律：第n排有n个数，第a排第b列对应的数的总序号为“前a-1排的总个数加b”，前a-1排总个数用等差数列求和计算为$\frac{a(a-1)}{2}$；②数字循环规律：1、$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$三个数为一个循环周期，用总序号除以3，余数为1对应1，余数为2对应$\sqrt{2}$，余数为0（整除）对应$\sqrt{3}$。分别求出两个坐标对应的数，再计算乘积即可。
【解析】
1. 推导总序号公式：
前a-1排的数的总个数为$1+2+3+\dots+(a-1)=\frac{a(a-1)}{2}$，因此第$a$排第$b$列的数是第$\frac{a(a-1)}{2}+b$个数。
2. 求$(8,2)$对应的数：
代入公式得总序号$N_1=\frac{8×7}{2}+2=30$，$30÷3=10$，余数为0，对应数为$\sqrt{3}$。
3. 求$(100,100)$对应的数：
代入公式得总序号$N_2=\frac{100×99}{2}+100=5050$，$5050÷3=1683\dots\dots1$，余数为1，对应数为1。
4. 计算乘积：$\sqrt{3}×1=\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
数字规律探究、等差数列求和、二次根式乘法
【点评】
本题是典型的规律探究题，解题核心是先归纳出总序号的计算方法和数字的循环周期，再结合周期判断对应数字，考察学生的归纳推理和运算能力。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每小题3分,共15分)
11. $\sqrt{16} =$ .
11. $\sqrt{16} =$ .
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
本题考查算术平方根的计算，解题时首先要明确$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示的是$a$的算术平方根，即求一个非负数，使得它的平方等于被开方数16，即可得到结果。需要注意算术平方根和平方根的区别，算术平方根的结果是非负的，不要混淆两者概念写错答案。
【解析】
根据算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，则这个非负数$x$叫做$a$的算术平方根，记为$x=\sqrt{a}(a≥0)$。
我们寻找满足$x^2=16$的非负数$x$，因为$4^2=16$，且4是非负数，所以$\sqrt{16}=4$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
算术平方根的定义；二次根式求值
【点评】
本题属于基础送分题，主要考查对算术平方根概念的掌握，解题时要注意区分算术平方根和平方根的差异，避免误写为$\pm4$。
【难度系数】
0.9
本题考查算术平方根的计算，解题时首先要明确$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示的是$a$的算术平方根，即求一个非负数，使得它的平方等于被开方数16，即可得到结果。需要注意算术平方根和平方根的区别，算术平方根的结果是非负的，不要混淆两者概念写错答案。
【解析】
根据算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，则这个非负数$x$叫做$a$的算术平方根，记为$x=\sqrt{a}(a≥0)$。
我们寻找满足$x^2=16$的非负数$x$，因为$4^2=16$，且4是非负数，所以$\sqrt{16}=4$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
算术平方根的定义；二次根式求值
【点评】
本题属于基础送分题，主要考查对算术平方根概念的掌握，解题时要注意区分算术平方根和平方根的差异，避免误写为$\pm4$。
【难度系数】
0.9
12. 已知$\sqrt{2}＜m＜\sqrt{11}$，且$m$是整数，请写出一个符合要求的$m$的值：.
答案
解：
$\because \sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$，
$\therefore 1＜\sqrt{2}＜2$，
$\because \sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$，
$\therefore 3＜\sqrt{11}＜4$，
$\therefore$ 满足$\sqrt{2}＜m＜\sqrt{11}$的整数为2、3。
2（答案不唯一，3也符合要求）
$\because \sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$，
$\therefore 1＜\sqrt{2}＜2$，
$\because \sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$，
$\therefore 3＜\sqrt{11}＜4$，
$\therefore$ 满足$\sqrt{2}＜m＜\sqrt{11}$的整数为2、3。
2（答案不唯一，3也符合要求）
解析
【分析】
要找到满足$\sqrt{2} ＜ m ＜ \sqrt{11}$的整数$m$，首先需要分别估算出$\sqrt{2}$和$\sqrt{11}$的取值范围，确定它们分别介于哪两个相邻整数之间，再找出两个范围之间的整数，即为符合要求的$m$值。
【解析】
先估算$\sqrt{2}$的范围：
$\because \sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$
$\therefore 1＜\sqrt{2}＜2$
再估算$\sqrt{11}$的范围：
$\because \sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$
$\therefore 3＜\sqrt{11}＜4$
结合条件$\sqrt{2} ＜ m ＜ \sqrt{11}$，且$m$是整数，可得$m$需要大于1且小于4，因此符合条件的整数$m$为2、3，任选其一即可。
【答案】
2（答案不唯一，3也符合要求）
【知识点】
无理数的估算；实数的大小比较
【点评】
本题属于基础题型，核心考查无理数的估算方法，解题的关键是通过平方运算将无理数转化为相邻整数的算术平方根，从而确定其整数范围，熟练掌握常见无理数的估算技巧即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要找到满足$\sqrt{2} ＜ m ＜ \sqrt{11}$的整数$m$，首先需要分别估算出$\sqrt{2}$和$\sqrt{11}$的取值范围，确定它们分别介于哪两个相邻整数之间，再找出两个范围之间的整数，即为符合要求的$m$值。
【解析】
先估算$\sqrt{2}$的范围：
$\because \sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$
$\therefore 1＜\sqrt{2}＜2$
再估算$\sqrt{11}$的范围：
$\because \sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$
$\therefore 3＜\sqrt{11}＜4$
结合条件$\sqrt{2} ＜ m ＜ \sqrt{11}$，且$m$是整数，可得$m$需要大于1且小于4，因此符合条件的整数$m$为2、3，任选其一即可。
【答案】
2（答案不唯一，3也符合要求）
【知识点】
无理数的估算；实数的大小比较
【点评】
本题属于基础题型，核心考查无理数的估算方法，解题的关键是通过平方运算将无理数转化为相邻整数的算术平方根，从而确定其整数范围，熟练掌握常见无理数的估算技巧即可快速求解。
【难度系数】
0.9
13. 设 $ m=\sqrt{5}+1 $, 则 $ m $ 的小数部分为 .
答案
$\sqrt{5}-2$
解析
【分析】
要计算一个数的小数部分，核心思路是先确定这个数的整数部分：先估算出无理数$\sqrt{5}$的取值范围，再推导得到$m=\sqrt{5}+1$的取值范围，确定$m$的整数部分，最后用原数$m$减去整数部分即可得到小数部分。
【解析】
第一步：估算$\sqrt{5}$的取值范围
∵ $2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜5＜9$
∴ $2＜\sqrt{5}＜3$
第二步：推导$m$的取值范围
不等式三边同时加1，得：$2+1 ＜ \sqrt{5}+1 ＜ 3+1$
即 $3 ＜ m ＜ 4$
∴ $m$的整数部分为$3$
第三步：计算$m$的小数部分
小数部分 = 原数 - 整数部分 = $m - 3 = (\sqrt{5}+1) - 3 = \sqrt{5} - 2$
【答案】
$\sqrt{5}-2$
【知识点】
无理数的估算、实数的运算、小数部分的定义
【点评】
本题是无理数估算的基础常考题型，解题关键是掌握“小数部分=原数-整数部分”的关系，熟练掌握常见无理数的大小估算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.75
要计算一个数的小数部分，核心思路是先确定这个数的整数部分：先估算出无理数$\sqrt{5}$的取值范围，再推导得到$m=\sqrt{5}+1$的取值范围，确定$m$的整数部分，最后用原数$m$减去整数部分即可得到小数部分。
【解析】
第一步：估算$\sqrt{5}$的取值范围
∵ $2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜5＜9$
∴ $2＜\sqrt{5}＜3$
第二步：推导$m$的取值范围
不等式三边同时加1，得：$2+1 ＜ \sqrt{5}+1 ＜ 3+1$
即 $3 ＜ m ＜ 4$
∴ $m$的整数部分为$3$
第三步：计算$m$的小数部分
小数部分 = 原数 - 整数部分 = $m - 3 = (\sqrt{5}+1) - 3 = \sqrt{5} - 2$
【答案】
$\sqrt{5}-2$
【知识点】
无理数的估算、实数的运算、小数部分的定义
【点评】
本题是无理数估算的基础常考题型，解题关键是掌握“小数部分=原数-整数部分”的关系，熟练掌握常见无理数的大小估算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.75
14. 有三个数a、b、c，其中a没有平方根，$\sqrt{b} ＞ b$，$\sqrt{c} ＜ c$，则a、b、c这三个数按照从小到大的顺序排列应为。
答案
$\boldsymbol{a ＜ b ＜ c}$
解析
【分析】
解题时先从平方根的性质入手：首先，只有非负数才有平方根，负数没有平方根，由此可直接判断a的取值范围；其次，二次根式有意义的前提是被开方数为非负数，因此b、c均为非负数，接下来分区间讨论算术平方根和原数的大小关系：分别验证非负实数在0、0＜b＜1、b=1、b＞1时√b和b的大小，可得到b的取值范围，同理推导得到c的取值范围，最后根据三个数的取值范围排序即可。
【解析】
1. 确定a的范围：
∵ 负数没有平方根，且a没有平方根，
∴ a ＜ 0。
2. 确定b的范围：
∵ √b有意义，
∴ b ≥ 0，
当b=0时，√0=0=b，不满足√b＞b；
当b=1时，√1=1=b，不满足√b＞b；
当0 ＜ b ＜ 1时，例如取b=0.25，√0.25=0.5 ＞ 0.25，满足√b ＞ b，
因此可得 0 ＜ b ＜ 1。
3. 确定c的范围：
∵ √c有意义，
∴ c ≥ 0，
当c=0时，√0=0=c，不满足√c ＜ c；
当c=1时，√1=1=c，不满足√c ＜ c；
当c ＞ 1时，例如取c=4，√4=2 ＜ 4，满足√c ＜ c，
因此可得 c ＞ 1。
4. 比较大小：
∵ a ＜ 0 ＜ b ＜ 1 ＜ c，
∴ 三个数从小到大排列为a ＜ b ＜ c。
【答案】
$\boldsymbol{a ＜ b ＜ c}$
【知识点】
平方根的性质；二次根式的意义；实数大小比较
【点评】
本题核心考查平方根的相关性质以及不同取值范围内非负数与其算术平方根的大小关系，解题的关键是根据已知条件分别推导三个数的取值范围，再通过范围直接比较大小，是对基础概念应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题时先从平方根的性质入手：首先，只有非负数才有平方根，负数没有平方根，由此可直接判断a的取值范围；其次，二次根式有意义的前提是被开方数为非负数，因此b、c均为非负数，接下来分区间讨论算术平方根和原数的大小关系：分别验证非负实数在0、0＜b＜1、b=1、b＞1时√b和b的大小，可得到b的取值范围，同理推导得到c的取值范围，最后根据三个数的取值范围排序即可。
【解析】
1. 确定a的范围：
∵ 负数没有平方根，且a没有平方根，
∴ a ＜ 0。
2. 确定b的范围：
∵ √b有意义，
∴ b ≥ 0，
当b=0时，√0=0=b，不满足√b＞b；
当b=1时，√1=1=b，不满足√b＞b；
当0 ＜ b ＜ 1时，例如取b=0.25，√0.25=0.5 ＞ 0.25，满足√b ＞ b，
因此可得 0 ＜ b ＜ 1。
3. 确定c的范围：
∵ √c有意义，
∴ c ≥ 0，
当c=0时，√0=0=c，不满足√c ＜ c；
当c=1时，√1=1=c，不满足√c ＜ c；
当c ＞ 1时，例如取c=4，√4=2 ＜ 4，满足√c ＜ c，
因此可得 c ＞ 1。
4. 比较大小：
∵ a ＜ 0 ＜ b ＜ 1 ＜ c，
∴ 三个数从小到大排列为a ＜ b ＜ c。
【答案】
$\boldsymbol{a ＜ b ＜ c}$
【知识点】
平方根的性质；二次根式的意义；实数大小比较
【点评】
本题核心考查平方根的相关性质以及不同取值范围内非负数与其算术平方根的大小关系，解题的关键是根据已知条件分别推导三个数的取值范围，再通过范围直接比较大小，是对基础概念应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
15. 如图4,数轴上A、B、C三点分别表示实数$-\sqrt{11}$、1、3,且B是CD的中点,则点A与点D之间表示整数的点有个.
答案
解：
∵ B是CD的中点，点B表示的实数为1，点C表示的实数为3，
∴ 点D表示的实数为 $ 2×1 - 3 = -1 $。
∵ $ 9 ＜ 11 ＜ 16 $，
∴ $ 3 ＜ \sqrt{11} ＜ 4 $，
∴ $ -4 ＜ -\sqrt{11} ＜ -3 $。
因此大于$-\sqrt{11}$且小于$-1$的整数为$-3$、$-2$，共2个。
即点A与点D之间表示整数的点有$\boldsymbol{2}$个。
∵ B是CD的中点，点B表示的实数为1，点C表示的实数为3，
∴ 点D表示的实数为 $ 2×1 - 3 = -1 $。
∵ $ 9 ＜ 11 ＜ 16 $，
∴ $ 3 ＜ \sqrt{11} ＜ 4 $，
∴ $ -4 ＜ -\sqrt{11} ＜ -3 $。
因此大于$-\sqrt{11}$且小于$-1$的整数为$-3$、$-2$，共2个。
即点A与点D之间表示整数的点有$\boldsymbol{2}$个。
解析
【分析】
解题需分三步完成：第一步利用数轴上线段中点的性质求出点D表示的实数，数轴上若点B是CD的中点，则点B表示的数是点C和点D表示数的平均数，变形后即可推导点D的数值；第二步估算$-\sqrt{11}$的取值范围，先找到与11相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{11}$的范围后再取相反数得到$-\sqrt{11}$的范围；第三步找出大于$-\sqrt{11}$、小于点D对应数之间的整数，统计个数即可得到答案。
【解析】
解：
∵ B是CD的中点，点B表示的实数为1，点C表示的实数为3，
∴ 点D表示的实数为 $2×1 - 3 = -1$。
∵ $9 ＜ 11 ＜ 16$，
∴ $\sqrt{9} ＜ \sqrt{11} ＜ \sqrt{16}$，即$3 ＜ \sqrt{11} ＜ 4$，
不等式两边同乘-1得：$-4 ＜ -\sqrt{11} ＜ -3$。
因此大于$-\sqrt{11}$且小于$-1$的整数为$-3$、$-2$，共2个。
即点A与点D之间表示整数的点有2个。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
数轴的应用；无理数的估算；线段中点的性质
【点评】
本题是基础常考题，综合考察数轴、无理数估算和中点性质三个模块的知识，解题时要注意“两点之间”不包含端点对应的数，避免出现多数或漏数的错误。
【难度系数】
0.7
解题需分三步完成：第一步利用数轴上线段中点的性质求出点D表示的实数，数轴上若点B是CD的中点，则点B表示的数是点C和点D表示数的平均数，变形后即可推导点D的数值；第二步估算$-\sqrt{11}$的取值范围，先找到与11相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{11}$的范围后再取相反数得到$-\sqrt{11}$的范围；第三步找出大于$-\sqrt{11}$、小于点D对应数之间的整数，统计个数即可得到答案。
【解析】
解：
∵ B是CD的中点，点B表示的实数为1，点C表示的实数为3，
∴ 点D表示的实数为 $2×1 - 3 = -1$。
∵ $9 ＜ 11 ＜ 16$，
∴ $\sqrt{9} ＜ \sqrt{11} ＜ \sqrt{16}$，即$3 ＜ \sqrt{11} ＜ 4$，
不等式两边同乘-1得：$-4 ＜ -\sqrt{11} ＜ -3$。
因此大于$-\sqrt{11}$且小于$-1$的整数为$-3$、$-2$，共2个。
即点A与点D之间表示整数的点有2个。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
数轴的应用；无理数的估算；线段中点的性质
【点评】
本题是基础常考题，综合考察数轴、无理数估算和中点性质三个模块的知识，解题时要注意“两点之间”不包含端点对应的数，避免出现多数或漏数的错误。
【难度系数】
0.7
