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1. (2026·广东)下列计算正确的是 ()
A.$a^3 + a^2 = 2a^5$
B.$a^3 · a^2 = a^6$
C.$(a^3)^2 = a^5$
D.$a^3 ÷ a^2 = a(a ≠ 0)$
A.$a^3 + a^2 = 2a^5$
B.$a^3 · a^2 = a^6$
C.$(a^3)^2 = a^5$
D.$a^3 ÷ a^2 = a(a ≠ 0)$
答案
D
解析
【分析】
这道题考查整式幂运算的相关基础法则，解题时需逐一对应每个选项的运算类型，结合对应法则判断计算是否正确，排除错误选项即可得到答案。思考时先回忆合并同类项、同底数幂乘除、幂的乘方的运算规则，再逐个验证选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. $a^3$和$a^2$相同字母的指数不同，不属于同类项，不能直接合并相加，因此A计算错误；
B. 根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$a^3 · a^2 = a^{3+2}=a^5≠ a^6$，因此B计算错误；
C. 根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得$(a^3)^2 = a^{3×2}=a^6≠ a^5$，因此C计算错误；
D. 根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减（底数不为0），可得$a^3 ÷ a^2 = a^{3-2}=a(a≠0)$，因此D计算正确。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项；同底数幂的运算；幂的乘方运算
【点评】
本题是幂运算板块的基础常考题，核心考查不同幂运算规则的区分，解题关键是准确记忆各类运算对应的指数变化规律，避免混淆法则导致失误。
【难度系数】
0.9
这道题考查整式幂运算的相关基础法则，解题时需逐一对应每个选项的运算类型，结合对应法则判断计算是否正确，排除错误选项即可得到答案。思考时先回忆合并同类项、同底数幂乘除、幂的乘方的运算规则，再逐个验证选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. $a^3$和$a^2$相同字母的指数不同，不属于同类项，不能直接合并相加，因此A计算错误；
B. 根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$a^3 · a^2 = a^{3+2}=a^5≠ a^6$，因此B计算错误；
C. 根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得$(a^3)^2 = a^{3×2}=a^6≠ a^5$，因此C计算错误；
D. 根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减（底数不为0），可得$a^3 ÷ a^2 = a^{3-2}=a(a≠0)$，因此D计算正确。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项；同底数幂的运算；幂的乘方运算
【点评】
本题是幂运算板块的基础常考题，核心考查不同幂运算规则的区分，解题关键是准确记忆各类运算对应的指数变化规律，避免混淆法则导致失误。
【难度系数】
0.9
2. 在下列实数$\sqrt{3}$、0.31、$\frac{π}{3}$、$\frac{1}{7}$、$3.6024×10^{3}$、$\sqrt{9}$、1.212212221…（每两个1之间依次多一个2）中，无理数的个数为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
C
解析
【分析】
要解这道题，首先需要明确有理数和无理数的定义，牢记无理数的三类常见形式：①开方开不尽的数；②含有π的数；③有规律但无限不循环的小数。接下来我们逐个判断给出的实数属于有理数还是无理数，最后统计无理数的个数即可得到答案。
【解析】
解：有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都属于有理数；无理数是无限不循环小数。
逐个分析所给实数：
1. $\sqrt{3}$：3开平方无法得到整数或有限小数，是开方开不尽的数，属于无理数；
2. 0.31：是有限小数，属于有理数；
3. $\frac{π}{3}$：π是无限不循环小数，因此$\frac{π}{3}$也是无限不循环小数，属于无理数；
4. $\frac{1}{7}$：是分数，属于有理数；
5. $3.6024×10^{3}=3602.4$，是有限小数，属于有理数；
6. $\sqrt{9}=3$，是整数，属于有理数；
7. 1.212212221…（每两个1之间依次多一个2）：是无限不循环小数，属于无理数。
综上，无理数共有3个。
【答案】
C
【知识点】
无理数的识别；实数的分类；有理数的定义
【点评】
本题考查实数的分类中无理数的判断，解题时要注意不要误将带根号的数都判定为无理数，需先化简再判断，同时注意有规律的无限小数若不存在循环节，也属于无理数。
【难度系数】
0.7
要解这道题，首先需要明确有理数和无理数的定义，牢记无理数的三类常见形式：①开方开不尽的数；②含有π的数；③有规律但无限不循环的小数。接下来我们逐个判断给出的实数属于有理数还是无理数，最后统计无理数的个数即可得到答案。
【解析】
解：有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都属于有理数；无理数是无限不循环小数。
逐个分析所给实数：
1. $\sqrt{3}$：3开平方无法得到整数或有限小数，是开方开不尽的数，属于无理数；
2. 0.31：是有限小数，属于有理数；
3. $\frac{π}{3}$：π是无限不循环小数，因此$\frac{π}{3}$也是无限不循环小数，属于无理数；
4. $\frac{1}{7}$：是分数，属于有理数；
5. $3.6024×10^{3}=3602.4$，是有限小数，属于有理数；
6. $\sqrt{9}=3$，是整数，属于有理数；
7. 1.212212221…（每两个1之间依次多一个2）：是无限不循环小数，属于无理数。
综上，无理数共有3个。
【答案】
C
【知识点】
无理数的识别；实数的分类；有理数的定义
【点评】
本题考查实数的分类中无理数的判断，解题时要注意不要误将带根号的数都判定为无理数，需先化简再判断，同时注意有规律的无限小数若不存在循环节，也属于无理数。
【难度系数】
0.7
3.若一个数的平方根与它的立方根完全相同,则这个数是()
A.0
B.-1
C.1
D.±1、0
A.0
B.-1
C.1
D.±1、0
答案
A
解析
【分析】
解题时需先回忆平方根和立方根的性质，再逐一排查选项：首先，负数没有平方根，因此可以直接排除含负数的选项；再验证正数的平方根和立方根是否相等，最后确认0的平方根和立方根的情况即可得出答案。
【解析】
1. 根据平方根的性质排查：只有非负数才有平方根，-1是负数，没有平方根，因此B、D选项错误；
2. 验证正数的情况：1的平方根是±1，而1的立方根是1，二者不相同，因此C选项错误；
3. 验证0：0的平方根是0，0的立方根也是0，二者完全相同，符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平方根的性质，立方根的性质，方根概念辨析
【点评】
本题属于基础概念题，解题的核心是区分平方根和立方根的性质差异，易错点是忽略负数没有平方根，或者记错正数平方根的个数，从而错选包含±1的选项。
【难度系数】
0.8
解题时需先回忆平方根和立方根的性质，再逐一排查选项：首先，负数没有平方根，因此可以直接排除含负数的选项；再验证正数的平方根和立方根是否相等，最后确认0的平方根和立方根的情况即可得出答案。
【解析】
1. 根据平方根的性质排查：只有非负数才有平方根，-1是负数，没有平方根，因此B、D选项错误；
2. 验证正数的情况：1的平方根是±1，而1的立方根是1，二者不相同，因此C选项错误；
3. 验证0：0的平方根是0，0的立方根也是0，二者完全相同，符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平方根的性质，立方根的性质，方根概念辨析
【点评】
本题属于基础概念题，解题的核心是区分平方根和立方根的性质差异，易错点是忽略负数没有平方根，或者记错正数平方根的个数，从而错选包含±1的选项。
【难度系数】
0.8
4. 下列说法正确的是 ()
A.1 的立方根是±1
B.-9 没有立方根
C.$\frac{1}{36}$的平方根是$\frac{1}{6}$
D.-5 的立方根是$\sqrt[3]{-5}$
A.1 的立方根是±1
B.-9 没有立方根
C.$\frac{1}{36}$的平方根是$\frac{1}{6}$
D.-5 的立方根是$\sqrt[3]{-5}$
答案
D
解析
【分析】
解题时先回忆平方根和立方根的核心性质，再逐个验证选项即可：①立方根性质：任意实数都有且仅有1个立方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根是0；②平方根性质：正数有2个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。带着上述性质逐一判断四个选项就能得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：1的立方根是唯一的，结果为1，±1是1的平方根，因此A错误；
B选项：任意实数都有立方根，-9的立方根为$\sqrt[3]{-9}$，因此B错误；
C选项：正数的平方根有两个，$\frac{1}{36}$的平方根是$\pm\frac{1}{6}$，选项仅给出正的平方根，遗漏了负的平方根，因此C错误；
D选项：根据立方根的表示规则，-5的立方根可表示为$\sqrt[3]{-5}$，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.立方根的性质 2.平方根的性质
【点评】
本题是基础概念类题型，核心考查平方根和立方根的性质差异，做题时要注意区分两者的个数、符号规则，不要混淆两类运算的特点。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆平方根和立方根的核心性质，再逐个验证选项即可：①立方根性质：任意实数都有且仅有1个立方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根是0；②平方根性质：正数有2个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。带着上述性质逐一判断四个选项就能得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：1的立方根是唯一的，结果为1，±1是1的平方根，因此A错误；
B选项：任意实数都有立方根，-9的立方根为$\sqrt[3]{-9}$，因此B错误；
C选项：正数的平方根有两个，$\frac{1}{36}$的平方根是$\pm\frac{1}{6}$，选项仅给出正的平方根，遗漏了负的平方根，因此C错误；
D选项：根据立方根的表示规则，-5的立方根可表示为$\sqrt[3]{-5}$，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.立方根的性质 2.平方根的性质
【点评】
本题是基础概念类题型，核心考查平方根和立方根的性质差异，做题时要注意区分两者的个数、符号规则，不要混淆两类运算的特点。
【难度系数】
0.8
5. 下列各组数中互为相反数的是 （）
A.$|-\sqrt{5}|$与$\sqrt{5}$
B.$-5$与$\sqrt[3]{-125}$
C.$5$与$(-\sqrt{5})^2$
D.$-5$与$\sqrt{(-5)^2}$
A.$|-\sqrt{5}|$与$\sqrt{5}$
B.$-5$与$\sqrt[3]{-125}$
C.$5$与$(-\sqrt{5})^2$
D.$-5$与$\sqrt{(-5)^2}$
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确互为相反数的核心定义：只有符号不同的两个数互为相反数。解题时第一步要先利用绝对值、立方根、乘方、二次根式的性质，把每个选项中的两个数分别化简，再对比两个数是否仅符号不同，即可判断是否互为相反数。
【解析】
根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，我们逐个分析选项：
A选项：根据绝对值的性质，可得$|-\sqrt{5}|=\sqrt{5}$，两个数均为$\sqrt{5}$，是同一个数，不互为相反数，故A错误；
B选项：根据立方根的性质，$\sqrt[3]{-125}=\sqrt[3]{(-5)^3}=-5$，两个数均为$-5$，是同一个数，不互为相反数，故B错误；
C选项：根据乘方的运算规则，$(-\sqrt{5})^2=(\sqrt{5})^2=5$，两个数均为5，是同一个数，不互为相反数，故C错误；
D选项：根据二次根式的性质，$\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5$，$-5$和$5$仅符号不同，符合相反数的定义，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.相反数的定义 2.绝对值的化简 3.二次根式的性质
【点评】
本题属于基础概念类考题，解题的关键是先准确化简各选项中的数，再结合相反数的定义判断即可，需熟练掌握绝对值、根式、乘方的相关化简规则，避免化简出错。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确互为相反数的核心定义：只有符号不同的两个数互为相反数。解题时第一步要先利用绝对值、立方根、乘方、二次根式的性质，把每个选项中的两个数分别化简，再对比两个数是否仅符号不同，即可判断是否互为相反数。
【解析】
根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，我们逐个分析选项：
A选项：根据绝对值的性质，可得$|-\sqrt{5}|=\sqrt{5}$，两个数均为$\sqrt{5}$，是同一个数，不互为相反数，故A错误；
B选项：根据立方根的性质，$\sqrt[3]{-125}=\sqrt[3]{(-5)^3}=-5$，两个数均为$-5$，是同一个数，不互为相反数，故B错误；
C选项：根据乘方的运算规则，$(-\sqrt{5})^2=(\sqrt{5})^2=5$，两个数均为5，是同一个数，不互为相反数，故C错误；
D选项：根据二次根式的性质，$\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5$，$-5$和$5$仅符号不同，符合相反数的定义，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.相反数的定义 2.绝对值的化简 3.二次根式的性质
【点评】
本题属于基础概念类考题，解题的关键是先准确化简各选项中的数，再结合相反数的定义判断即可，需熟练掌握绝对值、根式、乘方的相关化简规则，避免化简出错。
【难度系数】
0.8
6. 数轴上表示数$5-\sqrt{17}$的点应在（）
A.-1与0之间
B.0与1之间
C.1与2之间
D.2与3之间
A.-1与0之间
B.0与1之间
C.1与2之间
D.2与3之间
答案
B
解析
【分析】
要判断数轴上表示$5-\sqrt{17}$的点的位置，本质是估算$5-\sqrt{17}$的取值范围。解题思路如下：首先估算无理数$\sqrt{17}$的大小，找与17相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{17}$的取值区间；再利用不等式的基本性质，对$\sqrt{17}$的不等式进行变形，求出$5-\sqrt{17}$的取值范围，最后对应选项判断所在区间即可。
【解析】
第一步：估算$\sqrt{17}$的取值范围
因为$4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜17＜25$，根据算术平方根的性质可得：
$\sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{17}＜5$。
第二步：变形求$5-\sqrt{17}$的范围
对不等式$4＜\sqrt{17}＜5$三边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：
$-5＜-\sqrt{17}＜-4$
再对不等式三边同时加5，得：
$5-5＜5-\sqrt{17}＜5-4$
化简得$0＜5-\sqrt{17}＜1$
因此表示数$5-\sqrt{17}$的点在0与1之间。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 不等式的基本性质
【点评】
本题是无理数估算的常考题型，解题核心是先确定带根号无理数的取值范围，再通过不等式变形得到目标式子的范围，整体解题逻辑清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
要判断数轴上表示$5-\sqrt{17}$的点的位置，本质是估算$5-\sqrt{17}$的取值范围。解题思路如下：首先估算无理数$\sqrt{17}$的大小，找与17相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{17}$的取值区间；再利用不等式的基本性质，对$\sqrt{17}$的不等式进行变形，求出$5-\sqrt{17}$的取值范围，最后对应选项判断所在区间即可。
【解析】
第一步：估算$\sqrt{17}$的取值范围
因为$4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜17＜25$，根据算术平方根的性质可得：
$\sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{17}＜5$。
第二步：变形求$5-\sqrt{17}$的范围
对不等式$4＜\sqrt{17}＜5$三边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：
$-5＜-\sqrt{17}＜-4$
再对不等式三边同时加5，得：
$5-5＜5-\sqrt{17}＜5-4$
化简得$0＜5-\sqrt{17}＜1$
因此表示数$5-\sqrt{17}$的点在0与1之间。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 不等式的基本性质
【点评】
本题是无理数估算的常考题型，解题核心是先确定带根号无理数的取值范围，再通过不等式变形得到目标式子的范围，整体解题逻辑清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
7.若$|x+y-1|+(y+3)^2=0$,则$x-y$的值为（）
A.$-1$
B.$1$
C.$-7$
D.$7$
A.$-1$
B.$1$
C.$-7$
D.$7$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先回忆绝对值和平方的性质：二者都是非负数，即取值都大于等于0。当两个非负数的和为0时，仅存在一种可能：两个非负数各自的值都为0。据此我们可以列出关于x、y的两个方程，先求出y的取值，再代入求解x，最后计算x-y的结果即可。
【解析】
解：$\because |x+y-1|≥0$，$(y+3)^2≥0$，且$|x+y-1|+(y+3)^2=0$
$\therefore$ 可得：
$\begin{cases}x+y-1=0 \\y+3=0\end{cases}$
先解第二个方程：$y+3=0$，得$y=-3$
将$y=-3$代入$x+y-1=0$中：
$x+(-3)-1=0$，解得$x=4$
$\therefore x-y=4-(-3)=4+3=7$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
非负数的性质、解一元一次方程、代数式求值
【点评】
本题属于基础常考题型，核心考查非负数的性质，牢记“多个非负数的和为0时，每个非负数的取值都为0”是解题的突破口，计算时要注意有理数减法的符号规则，避免运算出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆绝对值和平方的性质：二者都是非负数，即取值都大于等于0。当两个非负数的和为0时，仅存在一种可能：两个非负数各自的值都为0。据此我们可以列出关于x、y的两个方程，先求出y的取值，再代入求解x，最后计算x-y的结果即可。
【解析】
解：$\because |x+y-1|≥0$，$(y+3)^2≥0$，且$|x+y-1|+(y+3)^2=0$
$\therefore$ 可得：
$\begin{cases}x+y-1=0 \\y+3=0\end{cases}$
先解第二个方程：$y+3=0$，得$y=-3$
将$y=-3$代入$x+y-1=0$中：
$x+(-3)-1=0$，解得$x=4$
$\therefore x-y=4-(-3)=4+3=7$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
非负数的性质、解一元一次方程、代数式求值
【点评】
本题属于基础常考题型，核心考查非负数的性质，牢记“多个非负数的和为0时，每个非负数的取值都为0”是解题的突破口，计算时要注意有理数减法的符号规则，避免运算出错。
【难度系数】
0.8
8. 如图
，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示-1的点重合，将圆沿数轴滚动1周，点A到达点A'的位置，则点A'表示的数是（）
A.$π -1$
B.$-π -1$
C.$-π -1$ 或 $π -1$
D.$-π -1$ 或 $π +1$
，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示-1的点重合，将圆沿数轴滚动1周，点A到达点A'的位置，则点A'表示的数是（）A.$π -1$
B.$-π -1$
C.$-π -1$ 或 $π -1$
D.$-π -1$ 或 $π +1$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先要明确：圆沿数轴滚动1周，移动的距离等于圆的周长。首先根据直径计算出圆的周长，再分两种情况讨论：圆向右滚动、圆向左滚动，结合原来点A对应的数是-1，分别计算两种情况下点A'对应的数即可。
【解析】
首先计算圆的周长：已知圆的直径为1个单位长度，根据圆的周长公式$C=π d$，可得周长$C=π×1=π$，即圆滚动1周移动的距离为$π$个单位长度。
分两种情况讨论：
1. 当圆沿数轴向右滚动1周时，点A向右移动$π$个单位长度，此时点A'表示的数为：$-1+π=π-1$；
2. 当圆沿数轴向左滚动1周时，点A向左移动$π$个单位长度，此时点A'表示的数为：$-1-π=-π-1$。
综上，点A'表示的数是$π-1$或$-π-1$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 圆的周长计算
2. 数轴的应用
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是几何与数轴结合的基础题，易错点是容易忽略滚动方向的两种可能性，导致漏解，解题时要养成多情况讨论的习惯。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确：圆沿数轴滚动1周，移动的距离等于圆的周长。首先根据直径计算出圆的周长，再分两种情况讨论：圆向右滚动、圆向左滚动，结合原来点A对应的数是-1，分别计算两种情况下点A'对应的数即可。
【解析】
首先计算圆的周长：已知圆的直径为1个单位长度，根据圆的周长公式$C=π d$，可得周长$C=π×1=π$，即圆滚动1周移动的距离为$π$个单位长度。
分两种情况讨论：
1. 当圆沿数轴向右滚动1周时，点A向右移动$π$个单位长度，此时点A'表示的数为：$-1+π=π-1$；
2. 当圆沿数轴向左滚动1周时，点A向左移动$π$个单位长度，此时点A'表示的数为：$-1-π=-π-1$。
综上，点A'表示的数是$π-1$或$-π-1$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 圆的周长计算
2. 数轴的应用
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是几何与数轴结合的基础题，易错点是容易忽略滚动方向的两种可能性，导致漏解，解题时要养成多情况讨论的习惯。
【难度系数】
0.6
