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23. (11分)阅读下面的文字,解答问题:大家知道$\sqrt{2}$是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此$\sqrt{2}$的小数部分我们不可能全部写出来,于是小明用$\sqrt{2}-1$来表示$\sqrt{2}$的小数部分,你同意小明的表示方法吗?事实上,小明的表示方法是有道理的,因为$\sqrt{2}$的整数部分是1,将这个数减去其整数部分,差就是小数部分.又例如:$\because \sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$,即$2＜\sqrt{7}＜3$,$\therefore \sqrt{7}$的整数部分为2,小数部分为$\sqrt{7}-2$.
请解答:(1)$\sqrt{17}$的整数部分是,小数部分是.
(2)如果$\sqrt{5}$的小数部分为$a$,$\sqrt{13}$的整数部分为$b$,求$a+b-\sqrt{5}$的值.
(3)已知$10+\sqrt{3}=x+y$,其中$x$是整数,且$0＜y＜1$,求$x-y$的相反数.
请解答:(1)$\sqrt{17}$的整数部分是,小数部分是.
(2)如果$\sqrt{5}$的小数部分为$a$,$\sqrt{13}$的整数部分为$b$,求$a+b-\sqrt{5}$的值.
(3)已知$10+\sqrt{3}=x+y$,其中$x$是整数,且$0＜y＜1$,求$x-y$的相反数.
答案
解：
(1) ∵$\sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{17}＜5$，
∴$\sqrt{17}$的整数部分是$4$，小数部分是$\sqrt{17}-4$。
(2) ∵$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，
∴$\sqrt{5}$的小数部分$a=\sqrt{5}-2$。
∵$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$，
∴$\sqrt{13}$的整数部分$b=3$。
∴$a+b-\sqrt{5}=(\sqrt{5}-2)+3-\sqrt{5}=1$。
(3) ∵$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$，
∴$11＜10+\sqrt{3}＜12$。
又∵$10+\sqrt{3}=x+y$，$x$是整数，$0＜y＜1$，
∴$x=11$，$y=10+\sqrt{3}-11=\sqrt{3}-1$。
∴$x-y=11-(\sqrt{3}-1)=12-\sqrt{3}$，
∴$x-y$的相反数为$-(12-\sqrt{3})=\sqrt{3}-12$。
(1) ∵$\sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{17}＜5$，
∴$\sqrt{17}$的整数部分是$4$，小数部分是$\sqrt{17}-4$。
(2) ∵$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，
∴$\sqrt{5}$的小数部分$a=\sqrt{5}-2$。
∵$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$，
∴$\sqrt{13}$的整数部分$b=3$。
∴$a+b-\sqrt{5}=(\sqrt{5}-2)+3-\sqrt{5}=1$。
(3) ∵$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$，
∴$11＜10+\sqrt{3}＜12$。
又∵$10+\sqrt{3}=x+y$，$x$是整数，$0＜y＜1$，
∴$x=11$，$y=10+\sqrt{3}-11=\sqrt{3}-1$。
∴$x-y=11-(\sqrt{3}-1)=12-\sqrt{3}$，
∴$x-y$的相反数为$-(12-\sqrt{3})=\sqrt{3}-12$。
解析
【分析】
解决这类问题的核心思路是用“夹逼法”估算无理数的大小：先找到和被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理数介于哪两个相邻正整数之间，即可得到无理数的整数部分，再用“原无理数减去整数部分”得到小数部分，最后结合题目要求完成后续运算即可。
(1) 先找与17相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{17}$的取值范围，即可得到它的整数部分和小数部分；
(2) 分别估算$\sqrt{5}$和$\sqrt{13}$的取值范围，求出a、b的值后代入代数式计算即可；
(3) 先估算$\sqrt{3}$的取值范围，得到$10+\sqrt{3}$的取值范围，结合x是整数、$0＜y＜1$的条件求出x、y的值，再计算$x-y$的相反数即可。
【解析】
(1) $\because \sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{17}＜5$，
$\therefore \sqrt{17}$的整数部分是$4$，小数部分是$\sqrt{17}-4$。
(2) $\because \sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，
$\therefore \sqrt{5}$的小数部分$a=\sqrt{5}-2$。
$\because \sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$，
$\therefore \sqrt{13}$的整数部分$b=3$。
将a、b代入代数式得：$a+b-\sqrt{5}=(\sqrt{5}-2)+3-\sqrt{5}=1$。
(3) $\because \sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$，
$\therefore 11＜10+\sqrt{3}＜12$。
又$\because 10+\sqrt{3}=x+y$，$x$是整数，且$0＜y＜1$，
$\therefore x=11$，$y=10+\sqrt{3}-11=\sqrt{3}-1$。
$\therefore x-y=11-(\sqrt{3}-1)=12-\sqrt{3}$，
$\therefore x-y$的相反数为$-(12-\sqrt{3})=\sqrt{3}-12$。
【答案】
(1) $4$，$\sqrt{17}-4$；(2) $1$；(3) $\sqrt{3}-12$
【知识点】
估算无理数的大小，实数的运算，相反数的定义
【点评】
本题重点考查无理数的估算方法，解题核心是掌握“夹逼法”确定无理数的整数部分和小数部分，再结合实数运算规则、相反数的概念求解，整体思路固定，掌握估算技巧即可快速解答。
【难度系数】
0.7
解决这类问题的核心思路是用“夹逼法”估算无理数的大小：先找到和被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理数介于哪两个相邻正整数之间，即可得到无理数的整数部分，再用“原无理数减去整数部分”得到小数部分，最后结合题目要求完成后续运算即可。
(1) 先找与17相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{17}$的取值范围，即可得到它的整数部分和小数部分；
(2) 分别估算$\sqrt{5}$和$\sqrt{13}$的取值范围，求出a、b的值后代入代数式计算即可；
(3) 先估算$\sqrt{3}$的取值范围，得到$10+\sqrt{3}$的取值范围，结合x是整数、$0＜y＜1$的条件求出x、y的值，再计算$x-y$的相反数即可。
【解析】
(1) $\because \sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{17}＜5$，
$\therefore \sqrt{17}$的整数部分是$4$，小数部分是$\sqrt{17}-4$。
(2) $\because \sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，
$\therefore \sqrt{5}$的小数部分$a=\sqrt{5}-2$。
$\because \sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$，
$\therefore \sqrt{13}$的整数部分$b=3$。
将a、b代入代数式得：$a+b-\sqrt{5}=(\sqrt{5}-2)+3-\sqrt{5}=1$。
(3) $\because \sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$，
$\therefore 11＜10+\sqrt{3}＜12$。
又$\because 10+\sqrt{3}=x+y$，$x$是整数，且$0＜y＜1$，
$\therefore x=11$，$y=10+\sqrt{3}-11=\sqrt{3}-1$。
$\therefore x-y=11-(\sqrt{3}-1)=12-\sqrt{3}$，
$\therefore x-y$的相反数为$-(12-\sqrt{3})=\sqrt{3}-12$。
【答案】
(1) $4$，$\sqrt{17}-4$；(2) $1$；(3) $\sqrt{3}-12$
【知识点】
估算无理数的大小，实数的运算，相反数的定义
【点评】
本题重点考查无理数的估算方法，解题核心是掌握“夹逼法”确定无理数的整数部分和小数部分，再结合实数运算规则、相反数的概念求解，整体思路固定，掌握估算技巧即可快速解答。
【难度系数】
0.7
