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21. (10分)我们都学过王之涣的《登鹳雀楼》,其中“欲穷千里目,更上一层楼”说的是登得高看得远.若观测点的高度为$h$ km,则观测者能看到的最远距离$d≈\sqrt{2hR}$ km(其中$R≈6400$ km).已知小明站在鹳雀楼下,此时$h=0.005$ km,$d=d_1$.
(1)小明能看到距离鹳雀楼1.2 km处的黄河吗?请说明理由.
(2)当小明站在鹳雀楼上时,此时$h≈0.02$ km,$d=d_2$,求$d_2 - d_1$的长.
(1)小明能看到距离鹳雀楼1.2 km处的黄河吗?请说明理由.
(2)当小明站在鹳雀楼上时,此时$h≈0.02$ km,$d=d_2$,求$d_2 - d_1$的长.
答案
解：
(1) 小明能看到距离鹳雀楼1.2 km处的黄河，理由如下：
将$h=0.005$，$R≈6400$代入$d≈\sqrt{2hR}$，得
$d_1 = \sqrt{2×0.005×6400} = \sqrt{64} = 8\ (\mathrm{km})$
因为$8＞1.2$，所以小明能看到距离鹳雀楼1.2 km处的黄河。
(2) 将$h≈0.02$，$R≈6400$代入$d≈\sqrt{2hR}$，得
$d_2 = \sqrt{2×0.02×6400} = \sqrt{256} = 16\ (\mathrm{km})$
所以$d_2 - d_1 = 16 - 8 = 8\ (\mathrm{km})$
答：(1) 小明能看到距离鹳雀楼1.2 km处的黄河；(2) $d_2-d_1$的长为8 km。
(1) 小明能看到距离鹳雀楼1.2 km处的黄河，理由如下：
将$h=0.005$，$R≈6400$代入$d≈\sqrt{2hR}$，得
$d_1 = \sqrt{2×0.005×6400} = \sqrt{64} = 8\ (\mathrm{km})$
因为$8＞1.2$，所以小明能看到距离鹳雀楼1.2 km处的黄河。
(2) 将$h≈0.02$，$R≈6400$代入$d≈\sqrt{2hR}$，得
$d_2 = \sqrt{2×0.02×6400} = \sqrt{256} = 16\ (\mathrm{km})$
所以$d_2 - d_1 = 16 - 8 = 8\ (\mathrm{km})$
答：(1) 小明能看到距离鹳雀楼1.2 km处的黄河；(2) $d_2-d_1$的长为8 km。
解析
【分析】
本题是数学知识结合实际场景的应用类题目，解题思路如下：（1）要判断小明能否看到1.2km处的黄河，只需将h=0.005km、R≈6400km代入给定的距离公式，计算出可观测的最远距离d₁，再将d₁与1.2km比较大小，若d₁更大则可以看到，反之不能；（2）求d₂-d₁的差值，先将h≈0.02km代入公式计算出d₂，再减去第一问得到的d₁即可，计算时要注意算术平方根的化简准确。
【解析】
(1) 小明能看到距离鹳雀楼1.2 km处的黄河，理由如下：
将$h=0.005$，$R≈6400$代入$d≈\sqrt{2hR}$，得
$d_1 = \sqrt{2×0.005×6400} = \sqrt{64} = 8\ (\mathrm{km})$
因为$8＞1.2$，所以小明能看到距离鹳雀楼1.2 km处的黄河。
(2) 将$h≈0.02$，$R≈6400$代入$d≈\sqrt{2hR}$，得
$d_2 = \sqrt{2×0.02×6400} = \sqrt{256} = 16\ (\mathrm{km})$
所以$d_2 - d_1 = 16 - 8 = 8\ (\mathrm{km})$
【答案】
(1) 小明能看到距离鹳雀楼1.2 km处的黄河；(2) $d_2-d_1$的长为8 km。
【知识点】
代数式求值；算术平方根运算；实数大小比较
【点评】
本题结合古诗词背景设置问题，考查数学知识的实际应用能力，解题核心是准确代入数值完成算术平方根的计算，再结合题意完成大小比较或作差运算即可，整体难度较低。
【难度系数】
0.85
本题是数学知识结合实际场景的应用类题目，解题思路如下：（1）要判断小明能否看到1.2km处的黄河，只需将h=0.005km、R≈6400km代入给定的距离公式，计算出可观测的最远距离d₁，再将d₁与1.2km比较大小，若d₁更大则可以看到，反之不能；（2）求d₂-d₁的差值，先将h≈0.02km代入公式计算出d₂，再减去第一问得到的d₁即可，计算时要注意算术平方根的化简准确。
【解析】
(1) 小明能看到距离鹳雀楼1.2 km处的黄河，理由如下：
将$h=0.005$，$R≈6400$代入$d≈\sqrt{2hR}$，得
$d_1 = \sqrt{2×0.005×6400} = \sqrt{64} = 8\ (\mathrm{km})$
因为$8＞1.2$，所以小明能看到距离鹳雀楼1.2 km处的黄河。
(2) 将$h≈0.02$，$R≈6400$代入$d≈\sqrt{2hR}$，得
$d_2 = \sqrt{2×0.02×6400} = \sqrt{256} = 16\ (\mathrm{km})$
所以$d_2 - d_1 = 16 - 8 = 8\ (\mathrm{km})$
【答案】
(1) 小明能看到距离鹳雀楼1.2 km处的黄河；(2) $d_2-d_1$的长为8 km。
【知识点】
代数式求值；算术平方根运算；实数大小比较
【点评】
本题结合古诗词背景设置问题，考查数学知识的实际应用能力，解题核心是准确代入数值完成算术平方根的计算，再结合题意完成大小比较或作差运算即可，整体难度较低。
【难度系数】
0.85
22. (10分)图3是一个数值转换器，原理如图3所示.
(1)当输入的x值为16时，求输出的y值.
(2)是否存在输入x值后，始终输不出y值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由.
(3)输入一个两位数x，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则x=.
(1)当输入的x值为16时，求输出的y值.
(2)是否存在输入x值后，始终输不出y值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由.
(3)输入一个两位数x，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则x=.
答案
解：(1) 当输入$x=16$时：
第一次取算术平方根，得$\sqrt{16}=4$，4是有理数，返回重新运算；
第二次取算术平方根，得$\sqrt{4}=2$，2是有理数，返回重新运算；
第三次取算术平方根，得$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是无理数，
因此输出的$y$值为$\sqrt{2}$。
(2) 存在，满足要求的$x$值为$0$和$1$。
(3) $\boldsymbol{25}$（答案不唯一，25、36、49、64中任意一个均正确）
第一次取算术平方根，得$\sqrt{16}=4$，4是有理数，返回重新运算；
第二次取算术平方根，得$\sqrt{4}=2$，2是有理数，返回重新运算；
第三次取算术平方根，得$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是无理数，
因此输出的$y$值为$\sqrt{2}$。
(2) 存在，满足要求的$x$值为$0$和$1$。
(3) $\boldsymbol{25}$（答案不唯一，25、36、49、64中任意一个均正确）
解析
【分析】
(1) 按照数值转换器的运算规则，输入x后先取算术平方根，若结果为有理数则返回重新运算，直到结果为无理数时输出。因此将x=16代入，逐步计算算术平方根并判断结果属性，最终得到输出值即可。
(2) 若始终输不出y值，说明每次取算术平方根的结果都是有理数，会一直循环。结合算术平方根的性质，0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，二者均为有理数，无论运算多少次结果都不变，因此这两个数符合要求。
(3) “恰好经过两次取算术平方根才输出无理数”说明：第一次取x的算术平方根得到的是有理数（需返回重算），第二次取该结果的算术平方根得到的是无理数（直接输出）。同时x是两位数，因此x是完全平方数，且它的算术平方根是非完全平方数的正整数，据此筛选符合条件的数即可。
【解析】
(1) 当输入$x=16$时：
第一次取算术平方根，得$\sqrt{16}=4$，4是有理数，返回重新运算；
第二次取算术平方根，得$\sqrt{4}=2$，2是有理数，返回重新运算；
第三次取算术平方根，得$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是无理数，因此输出的$y$值为$\sqrt{2}$。
(2) 存在。由于0的算术平方根为0，1的算术平方根为1，二者均为有理数，无论进行多少次取算术平方根的操作，结果始终是有理数，因此永远输不出y值，满足要求的x值为0和1。
(3) 设x第一次取算术平方根的结果为a，由题意可得a为有理数，$\sqrt{a}$为无理数，且x是两位数的完全平方数：
当a=5时，$x=5^2=25$，$\sqrt{25}=5$（有理数，返回运算），$\sqrt{5}$（无理数，输出），符合要求；同理a=6时x=36、a=7时x=49、a=8时x=64均符合要求。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\sqrt{2}}$
(2) 存在，满足要求的x值为$\boldsymbol{0}$和$\boldsymbol{1}$
(3) $\boldsymbol{25}$（答案不唯一，25、36、49、64任选其一即可）
【知识点】
算术平方根的计算；无理数的判定；程序类运算逻辑
【点评】
本题结合数值转换器的形式考查实数相关知识，需要准确理解程序的运算规则，解题时要注意0和1的算术平方根的特殊性，第三问需要逆向推导符合条件的数值，较好地考查了逻辑推理能力和对算术平方根性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
(1) 按照数值转换器的运算规则，输入x后先取算术平方根，若结果为有理数则返回重新运算，直到结果为无理数时输出。因此将x=16代入，逐步计算算术平方根并判断结果属性，最终得到输出值即可。
(2) 若始终输不出y值，说明每次取算术平方根的结果都是有理数，会一直循环。结合算术平方根的性质，0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，二者均为有理数，无论运算多少次结果都不变，因此这两个数符合要求。
(3) “恰好经过两次取算术平方根才输出无理数”说明：第一次取x的算术平方根得到的是有理数（需返回重算），第二次取该结果的算术平方根得到的是无理数（直接输出）。同时x是两位数，因此x是完全平方数，且它的算术平方根是非完全平方数的正整数，据此筛选符合条件的数即可。
【解析】
(1) 当输入$x=16$时：
第一次取算术平方根，得$\sqrt{16}=4$，4是有理数，返回重新运算；
第二次取算术平方根，得$\sqrt{4}=2$，2是有理数，返回重新运算；
第三次取算术平方根，得$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是无理数，因此输出的$y$值为$\sqrt{2}$。
(2) 存在。由于0的算术平方根为0，1的算术平方根为1，二者均为有理数，无论进行多少次取算术平方根的操作，结果始终是有理数，因此永远输不出y值，满足要求的x值为0和1。
(3) 设x第一次取算术平方根的结果为a，由题意可得a为有理数，$\sqrt{a}$为无理数，且x是两位数的完全平方数：
当a=5时，$x=5^2=25$，$\sqrt{25}=5$（有理数，返回运算），$\sqrt{5}$（无理数，输出），符合要求；同理a=6时x=36、a=7时x=49、a=8时x=64均符合要求。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\sqrt{2}}$
(2) 存在，满足要求的x值为$\boldsymbol{0}$和$\boldsymbol{1}$
(3) $\boldsymbol{25}$（答案不唯一，25、36、49、64任选其一即可）
【知识点】
算术平方根的计算；无理数的判定；程序类运算逻辑
【点评】
本题结合数值转换器的形式考查实数相关知识，需要准确理解程序的运算规则，解题时要注意0和1的算术平方根的特殊性，第三问需要逆向推导符合条件的数值，较好地考查了逻辑推理能力和对算术平方根性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
